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江苏省盐城市2012-2013学年高二下学期期末考试数学文试题(解析版)


2012-2013 学年江苏省盐城市高二(下)期 末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. (5 分)命题 p“?x∈R,sinx≤1”的否定是 ?x∈R,sinx>1 . 考点:命题的否定. 专题:综合题. 分析:直接把语句进行否定即可,注意否定时?对应?

,≤对应>. 解答:解:根据题意我们直接对语句进行否定 命题 p“?x∈R,sinx≤1”的否定是:?x∈R,sinx>1. 故答案为:?x∈R,sinx>1. 点评:本题考查了命题的否定,注意一些否定符号和词语的对应. 2. (5 分)已知复数 z 满足 z=i(2﹣i) (其中 i 为虚数单位) ,则|z|= 考点:复数代数形式的乘除运算;复数求模. 专题:计算题. 分析:先由复数的乘法运算对 z 进行化简,再代入公式求出复数的模. 2 解答:解:由题意得 z=i(2﹣i)=2i﹣i =1+2i, 则|z|= = , .

故答案为: . 点评:本题考查了复数的乘法运算,以及复数模的公式,属于基础题. 3. (5 分) 某校对全校 1000 名男女学生进行课外阅读情况调查, 采用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本,已知女生抽了 80 人,则该校的男生数为 600 . 考点:分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:先求出样本中的男生数目,然后利用样本容量和全校学生的人数比确定该校的男生数. 解答: 解:在样本中,由于女生抽了 80 人,所以男生为 120,所以男生在样本中的比例为 所以该校的男生数为 故答案为:600. 点评:本题的考点是分层抽样的应用. 4. (5 分)集合 A={3,log2a},B={a,b},若 A∩ B={1},则 A∪ B= {1,2,3} . 人.



考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:由题意 A∩ B={1},得,集合 A,B 中必定含有元素 1,即 log2a=1,可求得 a=2,最后求并集 即可. 解答:解:∵ 由题意 A∩ B={1}, ∴ 得集合 A 和 B 中必定含有元素 1, 即 log2a=1,∴ a=2, ∴ A={3,1},B={1,2}, ∴ 则 A∪ B={1,2,3}. 故答案为:{1,2,3,}. 点评:本题考查了集合的确定性、互异性、无序性、交集和并集运算,属于基础题.

5. (5 分)有 4 件产品,其中有 2 件次品,从中任选 2 件,恰有 1 件次品的概率为



考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:所有的选法有 种,恰有一件次品的取法有 2×2 种,由此求得恰有 1 件次品的概率. 解答:解:所有的选法有 率为 = , 故答案为 . =6 种,恰有一件次品的取法有 2×2=4 种,由此求得恰有 1 件次品的概

点评:本题考查古典概型及其概率计算公式的应用,属于基础题. 6. (5 分)甲、乙两种水稻试验品种连续 4 年的单位面积平均产量如下: 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 9.8 9.9 10.2 10.1 甲 9.7 10 10 10.3 乙 其中产量比较稳定的水稻品种是 甲 . 考点:极差、方差与标准差. 专题:计算题. 分析:首先做出两个品种的平均产量,结果平均数相同,再分别求出两个品种的产量的方差,得到 甲的方差小于乙的方差,得到结论. 解答: 解:甲的平均数是 =10 乙的平均数是 两个品种的平均数相同, 甲的方差是 =10,

乙的方差是

=0.045

∴ 甲的方差小于乙的方差,即甲的产量比较稳定. 故答案为:甲 点评:本题考查方差和平均数,对于两组数据通常考查这两组数据的平均数和方差,以观察两组数 据的性质特点.

7. (5 分)若双曲线 的离心率为 .

=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于 a,则该双曲线

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,通过渐近线、离心率等几何元素,沟 通 a,b,c 的关系,即可求出该双曲线的离心率. 解答:解:∵ 焦点到渐近线的距离等于半实轴长, ∴ ∴ b=a, ∴ e= . 故答案为: . 点评:本题考查的知识点是双曲线的简单性质,双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过 a,b, c 的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程. 8. (5 分) (2013?黄埔区一模)执行如图的程序框图,若 p=15,则输出的 n= 5 .

考点:程序框图. 专题:计算题. 分析:由已知可得循环变量 n 的初值为 1, 循环结束时 S≥p, 循环步长为 1, 由此模拟循环执行过程, 即可得到答案. 解答:解:当 n=1 时,S=2,n=2; 当 n=2 时,S=6,n=3;

当 n=3 时,S=14,n=4; 当 n=4 时,S=30,n=5; 故最后输出的 n 值为 5 故答案为:5 点评:本题考查的知识点是程序框图,处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行,其中分析循 环过程中各变量在循环中的值是关键.

9. (5 分) (2008?江苏二模)观察下列不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +…+ > ,1+ + +…+ >2,1+ + +…+ 1+ + +…+ > ,…,由此猜测第 n 个不等式为 > (n∈N ) .
*

考点:归纳推理. 专题:规律型;探究型. 分析:根据所给的五个式子,看出不等式的左边是一系列数字的倒数的和,观察最后一项的特点, 2 3 4 3=2 ﹣1,7=2 ﹣1,15=2 ﹣1,和右边数字的特点,得到第 n 格不等式的形式. 2 3 4 解答:解:∵ 3=2 ﹣1,7=2 ﹣1,15=2 ﹣1, ∴ 可猜测:1+ + +…+ > (n∈N ) .
*

故答案为:1+ + +…+



点评:本题考查归纳推理,是由某类事物的部分对象所具有的某些特征,推出该类事物的全部对象 都具有这些特征的推理,它的特点是有个别到一般的推理,本题是一个不完全归纳. 10. (5 分)若关于 x 的方程 x +4=ax 有正实根,则实数 a 的取值范围是 a≥4 . 考点:函数的零点. 专题:函数的性质及应用. 2 2 分析:将方程 x +4=ax 转化为函数 f(x)=x ﹣ax+4,利用函数求解范围. 解答:解:由 x2+4=ax 得 x2﹣ax+4=0,设函数 f(x)=x2﹣ax+4,所以要使方程 x2+4=ax 有正实根, 则函数 f(x)=x ﹣ax+4 与 x 轴的正半轴有交点. 2 因为 f(0)=4>0,所以要使函数 f(x)=x ﹣ax+4 与 x 轴的正半轴有交点,则必有
2 2

,即



所以 a≥4. 故答案为:a≥4. 点评:本题考查函数与方程的关系以及二次函数的图象和性质.将方程转化为函数,是解决本题的

关键.

11. (5 分) 在锐角△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 则 b 的值为 .

, a=2,



考点:余弦定理;正弦定理. 专题:计算题;转化思想. 分析: 题设条件中只给出

,a=2,

,欲求 b 的值,可由这些条件建立关于 b

的方程,根据所得方程进行研究,判断出解出其值的方法 解答:解:∵ ∴ bcsinA= ∴ bc=3 又 ① ,a=2,锐角△ ABC,可得 cosA=
2 2 2 2 2 2

,即 bc×

=



由余弦定理得 4=b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣2×3× ,解得 b +c =6



由① ② 解得 b=c,代入① 得 b=c= 故答案为 点评:本题考查余弦定理,解题的关键是熟练掌握余弦定理与三角形的面积公式,解题过程中对所 得出的数据进行分析也很重要,通过对解出的数据进行分析判明转化的方向,本题考查了分 析判断的能力,是一道能力型题,探究型题 12. (5 分)若函数 f(x)=ln(ae ﹣x﹣3)的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是 (e ,+∞) . 考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:f(x)=ln(aex﹣x﹣3)的定义域为 R 等价于 aex﹣x﹣3>0 的解集是 R,由此能求出实数 a 的范围. x 解答:解:∵ f(x)=ln(ae ﹣x﹣3)的定义域为 R, ∴ ae ﹣x﹣3>0 的解集是 R,即 a>
x x 2

恒成立.

设 g(x)=

,则 g'(x)=

,当 x<﹣2 时 g'(x)>0,当 x>﹣2 时 g'(x)<0,

故 g(x)在(﹣∞,﹣2)是增函数,在(﹣2,+∞)上是减函数, 2 故当 x=﹣2 时,g(x)取得最大值 g(﹣2)=e , 2 ∴ a>e . 2 故答案为: (e ,+∞) . 点评:本题考查对数函数的定义域,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

13. (5 分)已知 Rt△ ABC 的三个顶点都在抛物线 y =2px(p>0)上,且斜边 AB∥ y 轴,则斜边上的 高等于 2p . 考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由斜边 AB∥ y 轴及抛物线的对称性可知△ ABC 为等腰直角三角形,高 CD 为 AB 一半,求出点 A 坐标即可. 解答:解:由题意,斜边平行 y 轴,即垂直对称轴 x 轴, 所以 Rt△ ABC 是等腰直角三角形, 所以斜边上的高 CD 是 AB 的一半, 假设斜边是 x=a,则有 A( , ) , 代入 y =2px 得 a=4p, 所以 CD= =2p, 故答案为:2p. 点评:本题的考点是抛物线的应用,主要考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查抛物线的标准方程 等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题.
2

2

14. (5 分)已知曲线 C:f(x)=x+ (a>0) ,直线 l:y=x,在曲线 C 上有一个动点 P,过点 P 分 别作直线 l 和 y 轴的垂线,垂足分别为 A,B.再过点 P 作曲线 C 的切线,分别与直线 l 和 y 轴相交 于点 M,N,O 是坐标原点.则△ OMN 与△ ABP 的面积之比为 8 . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析:由题意易得 B 的坐标,写出垂线的方程联立 y=x 可得 A 坐标,进而可得△ ABP 的面积,然后 可写出切线的方程, 进而可得 M、 N 的坐标, 可表示出△ OMN 的面积, 从而求出△ OMN 与△ ABP 的面积之比. 解答:解:由题意设点 P(x ,x + ) ,则 B(0,x + ) ,
0 0 0

又与直线 l 垂直的直线向斜率为﹣1,故方程为 y﹣(x0+ 和方程 y=x 联立可得 x=y=x0+ 故△ ABP 的面积 S= |x0||x0+ = |x0|| |= a,解得 a=2, ,故点 A(x0+ ﹣(x0+ )|

)=﹣(x﹣x0) ) ,

,x0+

又因为 f(x)=x+ ,所以 f′ (x)=1﹣

,故切线率为 k=1﹣



故切线的方程为 y﹣(x0+

)=(1﹣

) (x﹣x0) ,

令 x=0,可得 y=

,故点 N(0,

) ,

联立方程 y=x 可解得 x=y=2x0,即点 M(2x0,2x0) , 故△ OMN 的面积为 ?| ||2x0|=2a,

则△ OMN 与△ ABP 的面积之比为 8. 故答案为:8. 点评:本题考查利用导数研究曲线的切线方程,涉及三角形的面积和方程组的求解,属中档题. 二、解答题:本大题共 8 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. (14 分)记关于 x 的不等式(x﹣a) (x+1)≤0 的解集为 P,不等式|x﹣1|≤1 的解集为 Q. (1)若 a=3,求集合 P; (2)若 Q?P,求正数 a 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法;一元二次不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:(1)当 a=3 时,不等式即(x﹣3) (x+1)≤0,求得此不等式的解集 P. (2) 先求得 Q={x|0≤x≤2}, 经过检验, 当 a=﹣1, 或 a<﹣1 时, 分别求得 P, 都不满足 Q?P. 当 a>﹣1 时,求出 P,由 Q?P 可得 a≥2,即得所求 a 的范围. 解答:解: (1) 当 a=3 时, 不等式即 (x﹣3) (x+1) ≤0, 解得﹣1≤x≤3, 故此不等式的解集 P={x|﹣1≤x≤3}. (2)解不不等式|x﹣1|≤1 可得﹣1≤x﹣1≤1,即 0≤x≤2,故 Q={x|0≤x≤2}. 由不等式(x﹣a) (x+1)≤0,可得当 a=﹣1 时,P=?,不满足 Q?P; 当 a<﹣1 时,求得 P={x|a≤x≤﹣1},由 Q={x|0≤x≤2},可得不满足 Q?P; 当 a>﹣1 时,P={x|a≥x≥﹣1},由 Q?P,可得 a≥2,故 a 的范围是[2,+∞) . 点评:本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法,集合间的包含关系,体现了分类讨论 的数学思想,属于中档题.

16. (14 分)已知函数 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 ,且 ,求 sin2α 的值.



考 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法;正弦函 点:数的定义域和值域. 专 三角函数的图像与性质. 题: 分 (1)利用二倍角、辅助角公式,化简函数,即可求函数 f(x)的最小正周期; 析:(2)整体思维,结合角的变换,可求 sin2α 的值.

解 解: (1) 答: 所以函数 f(x)的最小正周期 (2)由题 因为 则 所以 ,则 ,…(9 分) ,得 , .…(6 分) ,



.…(14 分) 点 本题考查三角函数的化简,考查角的变换,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 评:

17. (14 分)已知函数 (1)用反证法证明函数 f(x)不能为偶函数; (2)函数 f(x)为奇函数的充要条件是 a=1.

(其中 a>0) .求证:

考点:反证法与放缩法;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:(1)假设函数 f(x)为偶函数,则 f(﹣x)=f(x) ,代入利用对数的性质,可得矛盾,即可 得证; (2)分充分性、必要性进行论证,即可得到结论. 解答:证明: (1)假设函数 f(x)为偶函数,则 f(﹣x)=f(x) , ∴ = ,即 = ,化简得: ,

∴ a=0,与条件 a>0 矛盾, ∴ 函数 f(x)不能为偶函数.…(7 分) (2)充分性:由 a=1,函数 ∵ >0,∴ ﹣1<x<1, + =lg1=0, = ,

又 f(x)+f(﹣x)=

∴ 当 a=1 时,函数 f(x)为奇函数.…(10 分) 必要性:由函数 f(x)为奇函数,即 f(x)+f(﹣x)=0, ∴ f(x)+f(﹣x)= ∵ a>0,∴ a=1, + =0,化简得(2a﹣1) =1,
2

∴ 当函数 f(x)为奇函数时,a=1.…(14 分) (注:必要性的证明也可由定义域的对称性得到 a=1) 点评:本题考查反证法,考查充要性的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 18. (16 分)为改善行人过马路难的问题,市政府决定在如图所示的矩形区域 ABCD(AB=60 米, AD=104 米) 内修建一座过街天桥, 天桥的高 GM 与 HN 均为 米, , AE, EG,

HF, FC 的造价均为每米 1 万元, GH 的造价为每米 2 万元, 设 MN 与 AB 所成的角为 α (α∈[0, ]) , 天桥的总造价(由 AE,EG,GH,HF,FC 五段构成,GM 与 HN 忽略不计)为 W 万元. (1)试用 α 表示 GH 的长; (2)求 W 关于 α 的函数关系式; (3)求 W 的最小值及相应的角 α.

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法. 专题:导数的综合应用. 分析:(1)先确定 MP 的值,再在 Rt△ NMT 中,即可用 α 表示 GH 的长; (2)利用 AE,EG,HF,FC 的造价均为每米 1 万元,GH 的造价为每米 2 万元,即可求出 W 关于 α 的函数关系式; (3)求导函数,确定函数的单调性,即可求出 W 的最小值及相应的角 α. 解答: 解: (1)由题意可知∠ MNP=α,故有 MP=60tanα,所以在 Rt△ NMT 中, …(6 分) (2) = (3)设 .…(11 分) (其中 , =





令 f'(α)=0 得 1﹣2sinα=0,即 列表 α

,得



f'(α) f(α) 所以当

+ 单调递增 时有

0 极大值

﹣ 单调递减 . .…(16 分)

,此时有 万元,相应的角

答:排管的最小费用为

点评:本题考查函数模型的构建,考查导数知识的运用,考查函数的最值,考查学生的计算能力, 属于中档题.

19. (16 分) 已知椭圆 E:

=1 (a>b>0) 上任意一点到两焦点距离之和为

, 离心率为



左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 是右准线上任意一点,过 F2 作直线 PF2 的垂线 F2Q 交椭圆于 Q 点. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)点 P 的纵坐标为 3,过 P 作动直线 l 与椭圆交于两个不同点 M、N,在线段 MN 上取点 H,满 足 ,试证明点 H 恒在一定直线上.

考点:直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意可得 ,解出即可;

(2)由(1)可知:椭圆的右准线方程为

,设 P(3,y0) ,Q(x1,y1) ,由 PF2⊥ F2Q,

可得

,利用斜率计算公式可得 kPQ?kOQ 及

代入化简得直

线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值. (3)设过 P(3,3)的直线 l 与椭圆交于两个不同点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,点 H(x,y) , 由点 M,N 在椭圆上可得 设 ,则 , . ,可得(3﹣x1,3﹣y1)=﹣λ(x2﹣3,y2﹣3) ,

(x﹣x1,y﹣y1)=λ(x2﹣x,y2﹣y) ,即可证明 6x+9y 为定值. 解答: 解: (1)由题意可得 ,解得 ,c=1,

所以椭圆 E:



(2)由(1)可知:椭圆的右准线方程为 设 P(3,y0) ,Q(x1,y1) , 因为 PF2⊥ F2Q,所以 所以﹣y1y0=2(x1﹣1) 又因为 且





代入化简得

. 即直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值 .

(3)设过 P(3,3)的直线 l 与椭圆交于两个不同点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,点 H(x,y) , 则 设 , ,则 . ,

∴ (3﹣x1,3﹣y1)=﹣λ(x2﹣3,y2﹣3) , (x﹣x1,y﹣y1)=λ(x2﹣x,y2﹣y) 整理得 , ,

∴ 从而 由于 之比为 2:3. ∴ ,

, ,∴ 我们知道 与 的系数之比为 2:3, 与 的系数



所以点 H 恒在直线 2x+3y﹣2=0 上. 点评:本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系 数的关系、向量运算、斜率计算公式等基础知识与基本技能,考查了分析问题和解决问题的

能力、推理能力和计算能力.

20.已知椭圆 E:

=1(a>b>0)上任意一点到两焦点距离之和为

,离心率为

,左、

右焦点分别为 F1,F2,点 P 是右准线上任意一点,过 F2 作直线 PF2 的垂线 F2Q 交椭圆于 Q 点. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)证明:直线 PQ 与椭圆 E 只有一个公共点. 考点:直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意可得 ,解出即可;

(2)由(1)可知:椭圆的右准线方程为

,设 P(3,y0) ,Q(x1,y1) ,由 PF2⊥ F2Q,

可得

,利用斜率计算公式可得 kPQ?kOQ 及

代入化简得直

线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值. (3)由(2)知,直线 PQ 的方程为 ,即 ,与椭

圆的方程联立,消去一个未知数得到关于 x 的一元二次方程,只要证明△ =0 即可. 解答: 解: : (1)由题意可得 ,解得 ,c=1,

所以椭圆 E:



(2)由(1)可知:椭圆的右准线方程为 设 P(3,y0) ,Q(x1,y1) , 因为 PF2⊥ F2Q,所以 所以﹣y1y0=2(x1﹣1)





又因为



代入化简得

. 即直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值 .

(3)由(2)知,









∴ 直线 PQ 的方程为

,即



联立





∵ ∴ 化简得:



. ,又△ =0,

解得 x=x1,所以直线 PQ 与椭圆 C 相切,只有一个交点. 点评:本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系 数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能,考查了分析问题和解决问题的能力、推理 能力和计算能力.

21. (16 分)设函数 f(x)=alnx,



(1)记 h(x)=f(x)﹣g(x) ,若 a=4,求 h(x)的单调递增区间; (2)记 g'(x)为 g(x)的导函数,若不等式 f(x)+2g'(x)≤(a+3)x﹣g(x)在 x∈[1,e]上有 解,求实数 a 的取值范围; (3)若在[1,e]上存在一点 x0,使得 求 a 的取值范围. 考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的零点;利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题;导数的综合应用. 分析: (1)当 a=4 时,可得 ,利用导数公式算出 ,再解关 成立,

于 x 的不等式并结合函数 h(x)的定义域,即可得到函数 h(x)的单调递增区间; (2)通过移项合并同类项,化简不等式 f(x)+2g'(x)≤(a+3)x﹣g(x)得 ,再进行变量分离得 调性得到 ,由此设 并讨论其单

,结合原不等式有解即可算出实数 a 的取值范围; ,整理得 ,设右边对应

(3)原不等式等价于

的函数为 m(x) ,求得它的导数 m'(x)=

,然后分 a≤0、0<a≤e﹣1

和 a>e﹣1 三种情况加以讨论,分别解关于 a 的不等式得到 a 的取值,最后综上所述可得实 数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪ ( ,+∞) . ,

解答: 解: (1)当 a=4 时,可得 f(x)=4lnx,此时 由

得﹣2<x<2,结合 x>0,可得 0<x<2.

所以 h(x)的单调递增区间为(0,2) .…(4 分) (2)不等式 f(x)+2g′ (x)≤(a+3)x﹣g(x) ,即为 化简得: , ,

由 x∈[1,e]知 x﹣lnx>0,因而

,设



由 ∵ 当 x∈(1,e)时 x﹣1>0, 由不等式有解,可得知 (3)不等式

= ,∴ y′ >0 在 x∈[1,e]时成立. ,即实数 a 的取值范围是[﹣ ,+∞)…(10 分) 等价于



, 整理得 ,设 ,

则由题意可知只需在[1,e]上存在一点 x0,使得 m(x0)<0.

对m (x) 求导数, 得 因为 x>0,所以 x+1>0,令 x﹣1﹣a=0,得 x=1+a.…(12 分) ① 若 1+a≤1,即 a≤0 时,令 m(1)=2+a<0,解得 a<﹣2. ② 若 1<1+a≤e,即 0<a≤e﹣1 时,m(x)在 1+a 处取得最小值, 令 m(1+a)=1+a﹣aln(1+a)+1<0,即 1+a+1<aln(1+a) ,可得 考察式子



,因为 1<t≤e,可得左端大于 1,而右端小于 1,所以不等式不能成立

③ 当 1+a>e,即 a>e﹣1 时,m(x)在[1,e]上单调递减,只需 m(e)<0,得



又因为

,所以



综上所述,实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪ (

,+∞) .…(16 分)

点评:本题给出含有分式和对数符号的函数,求函数的单调区间并讨论关于 x 的不等式解集非空的 问题,着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值 问题中的应用等知识,属于中档题.
2

22.设函数 f(x)=alnx,g(x)= x . (1)记 h(x)=f(x)﹣g(x) ,若 a=4,求 h(x)的单调递增区间; (2)记 g'(x)为 g(x)的导函数,若不等式 f(x)+2g'(x)≤(a+3)x﹣g(x)在 x∈[1,e]上有 解,求实数 a 的取值范围; (3)若 a=1,对任意的 x1>x2>0,不等式 m[g(x1)﹣g(x2)]>x1f(x1)﹣x2f(x2)恒成立.求 m(m∈Z,m≤1)的值. 考点:利用导数研究函数的单调性;函数的零点;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:计算题;导数的综合应用. 分析: (1)当 a=4 时,可得 ,利用导数公式算出 ,再解关 于 x 的不等式并结合函数 h(x)的定义域,即可得到函数 h(x)的单调递增区间; (2)通过移项合并同类项,化简不等式 f(x)+2g'(x)≤(a+3)x﹣g(x)得 ,再进行变量分离得 调性得到 ,由此设 并讨论其单

,结合原不等式有解即可算出实数 a 的取值范围;

(3)当 a=1 时原不等式恒成立,即 mg(x1)﹣x1f(x1)>mg(x2)﹣x2f(x2)恒成立,因

此设 成立,解出

,结合题意当 x∈(0,+∞)时 t(x)为增函数,得 t′ (x)≥0 恒 恒成立.再研究不等式右边对应函数 h(x)的单调性得到 h(x)max=1,

从而得到 m≥1,结合已知条件可得 m=1. 解答: 解: (1)当 a=4 时,可得 f(x)=4lnx,此时 由



得﹣2<x<2,结合 x>0,可得 0<x<2.

所以 h(x)的单调递增区间为(0,2) .…(4 分) (2)不等式 f(x)+2g′ (x)≤(a+3)x﹣g(x) ,即为 化简得: , ,

由 x∈[1,e]知 x﹣lnx>0,因而

,设



由 ∵ 当 x∈(1,e)时 x﹣1>0, 由不等式有解,可得知 (3)当 a=1,f(x)=lnx.

= ,∴ y′ >0 在 x∈[1,e]时成立. ,即实数 a 的取值范围是[﹣ ,+∞)…(10 分)



由 m[g(x1)﹣g(x2)]>x1f(x1)﹣x2f(x2)恒成立,得 mg(x1)﹣x1f(x1)>mg(x2) ﹣x2f(x2)恒成立, 设 .

由题意知 x1>x2>0,故当 x∈(0,+∞)时函数 t(x)单调递增, ∴ t′ (x)=mx﹣lnx﹣1≥0 恒成立,即 恒成立,

因此,记

,得



∵ 函数在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴ 函数 h(x)在 x=1 时取得极大值,并且这个极大值就是函数 h(x)的最大值. 由此可得 h(x)max=h(1)=1,故 m≥1,结合已知条件 m∈Z,m≤1,可得 m=1.…(16 分) 点评:本题给出含有分式和对数符号的函数,求函数的单调区间并讨论关于 x 的不等式解集非空的 问题,着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值 问题中的应用等知识,属于中档题.


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