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2014·新课标高考总复习·数学2-2函数的定义域和值域


2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

第二节

函数的定义域和值域

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一、常见基本初等函数的定义域
1.分式函数中分母 不等于零 . .

2.偶次根式函数被开方式 大于或等于0

3.一次函数、二次函数的定义域均为 R . 4.y=ax,y=sin x,y=cos x,定义域均为 R .
? ? ? π x?x≠kπ+2,k∈Z? ? ? . 5.y=tan x的定义域为 ? ? ? ? ? ?

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6.函数f(x)=x0的定义域为

{x|x≠0}



注意:实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意义外, 还要考虑实际问题对函数自变量的制约.

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二、基本初等函数的值域 1.y=kx+b(k≠0)的值域是
? ? ? 4ac-b2 ?y?y≥ 4a ? ? ? ? ? ? ? ?

R .
? ? ? 4ac-b2 ?y?y≤ 4a ? ? ? ? ? ? ? ? .

2 . y = ax2 + bx + c(a≠0) 的 值 域 是 : 当 a>0 时 , 值 域 为 ;当a<0时,值域为

3.y=(k≠0)的值域是 {y|y≠0} . 4.y=ax(a>0且a≠1)的值域是 {y|y>0} . 5.y=logax(a>0且a≠1)的值域是 R .

6.y=sin x,y=cos x的值域是 [-1,1] .
7.y=tan x的值域是 R .

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[疑难关注] 1.函数的定义域是研究函数问题的先决条件,它会直接影响函 数的性质,所以要树立定义域优先的意识. 2.(1)如果函数f(x)的定义域为A,则f(g(x))的定义域是使函数 g(x)∈A的x的取值范围; (2)如果f(g(x))的定义域为A,则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值 域; (3)f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同.

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2-x 1.(课本习题改编)函数 y= 的定义域为( x-1 A.(-∞,2] C.(-∞,1)∪(1,2) B.(-∞,2)

)

D.(-∞,1)∪(1,2]

?2-x≥0, 2-x 解析: 要使函数 y= 有意义, ? 则 解得 x≤2 且 x≠1, x-1 ?x-1≠0,

所以所求函数的定义域为(-∞,1)∪(1,2].
答案:D

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2.(2013 年唐山模拟)函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为( A.(0,8] C.(-2,8] B.(2,8] D.[8,+∞)

)

解析:由题意可知,1-lg(x+2)≥0,整理得:lg(x+2)≤lg 10,∴
?x+2≤10, ? 解得-2<x≤8,故函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为(- ?x+2>0,

2,8],选 C.
答案:C

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3.(课本习题改编)函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3}.则其值域 为( )

A.{-1,0,3}
C.{y|-1≤y≤3}

B.{0,1,2,3}
D.{y|0≤y≤3}

解析:由y=x2-2x,且x∈{0,1,2,3}得y∈{-1,0,3}. 答案:A

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1 4. (2012 年高考四川卷)函数 f(x)= 的定义域是________. (用 1-2x 区间表示)

解析:根据解析式有意义的条件求解. 1 由题意,需 1-2x>0,解得 x<2.
? 1? 故 f(x)的定义域为?-∞,2?. ? ?
? 1? 答案:?-∞,2? ? ?

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5.(课本习题改编)函数y=x2+3x-5,x∈[-1,0]的最大值是 ________最小值是________.

3 解析:由 y=x +3x-5 的对称轴 x=- ?[-1,0]结合函数图象可知 2
2

在[-1,0]上单调递增. 故当 x=-1 时,ymin=1-3-5=-7. 当 x=0 时 ymax=-5.
答案:-5 -7

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考向一 求函数的定义域 [例 1] (1)(2012 年高考山东卷)函数 f(x)= 域为( ) B.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,2] 1 + 4-x2的定义 ln?x+1?

A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2]

(2)已知函数 f(x)= 2x2-mx+3,若 f(x)的定义域为 R,则 m 的取值 范围是________.

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[解析] (1)根据使函数有意义的条件求解.

?x+1>0, ? 由?ln?x+1?≠0, 得-1<x≤2,且 x≠0. ?4-x2≥0 ?
(2)由已知得 2x2-mx+3≥0 对 x∈R 恒成立,即 Δ=m2-24≤0,∴-2 6≤m≤2 6.

[答案] (1)B (2)[-2 6,2 6]

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本 例 (2) 中 若 f(x) 分 别 变 为 ① f(x) = lg(2x2 - mx + 3) , ② f(x) = 1 ,求 m 的取值范围. 2x2-mx+3
解析:①由 f(x)=lg(2x2-mx+3)知 2x2-mx+3>0 对 x∈R 恒成立. ∴Δ=m2-24<0,∴-2 6<m<2 6. 1 ②要使 f(x)= 2 有意义,则 2x2-mx+3≠0. 2x -mx+3 令 g(x)=2x2-mx+3 解得,函数图象开口向上. 故 Δ=m2-24<0,解得-2 6<m<2 6.

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考向二 求已知函数的值域 [例 2] 求下列函数的值域. 1-x2 4 (1)y= ;(2)y=x+x (x<0); 1+x2 (3)f(x)=x- 1-2x .

1-x2 2 2 [解析] (1)y= 2= 2-1,∵1+x ≥1, 1+x 1+x 2 ∴0< ≤2. 1+x2 2 ∴-1< -1≤1. 1+x2 即 y∈(-1,1]. ∴函数的值域为(-1,1].
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? 4? 4 (2)∵x<0,∴x+ =-?-x-x ?≤-4, x ? ?

当且仅当 x=-2 时“=”成立. ∴y∈(-∞,-4]. ∴函数的值域为(-∞,-4]. (3)解法一 (换元法)令 1-2x=t,则 t≥0 1-t2 且 x= , 2 1-t2 1 于是 y= -t=- (t+1)2+1, 2 2
1 由于 t≥0,所以 y≤2,
? 1? 故函数的值域是?-∞,2?. ? ?

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解法二 (单调性法)容易判断 f(x)为增函数,而其定义域应满足 1-
?1? 1 ? 1? 1 2x≥0,即 x≤ ,所以 y≤f?2?= ,即函数的值域是?-∞,2?. 2 ? ? 2 ? ?

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1.(2013 年青岛模拟)函数 y= 16-4x的值域是( A.[0,+∞) C.[0,4) B.[0,4] D.(0,4)

)

解析:由题意得 0≤16-4x<16,0≤ 16-4x< 16=4,即函数 y= 16-4x的值域为[0,4).
答案:C

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考向三 函数定义域、值域的综合应用 [例 3]
?1?x (2013 年黄冈模拟)已知函数 f(x)=?3? , x∈[-1,1], 函数 g(x) ? ?

=f2(x)-2af(x)+3 的最小值为 h(a). (1)求 h(a)的解析式; (2)是否存在实数 m,n 同时满足下列两个条件: ①m>n>3; ②当 h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出 m, n 的值;若不存在,请说明理由.
?1? [解析] (1)由 f(x)=?3?x,x∈[-1,1], ? ? ?1 ? 知 f(x)∈?3,3?, ? ?

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?1 ? ? ,3?,记 g(x)=y=t2-2at+3, 令 t=f(x)∈ 3 ? ?

则其对称轴为 t=a,故有:
?1? 28 2a 1 ①当 a≤3时,g(x)的最小值 h(a)=g?3?= 9 - 3 . ? ?

②当 a≥3 时,g(x)的最小值 h(a)=g(3)=12-6a. 1 ③当3<a<3 时,g(x)的最小值 h(a)=g(a)=3-a2. 综上所述,

?28-2a,a≤1, ?9 3 3 ? 1 h(a)=? 2 ?3-a ,3<a<3, ?12-6a,a≥3. ?
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(2)当 a≥3 时,h(a)=-6a+12. 故 m>n>3 时,h(a)在[n,m]上为减函数, 所以 h(a)在[n,m]上的值域为[h(m),h(n)].
?h?m?=n2, ?-6m+12=n2, 由题意,则有? ?? 2 h?n?=m2 ? ?-6n+12=m ,

两式相减得 6n-6m=n2-m2,又 m≠n,所以 m+n=6, 这与 m>n>3 矛盾.故不存在满足题中条件的 m,n 的值.

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4 2.(2013 年烟台模拟)已知函数 f(x)= -1 的定义域是[a,b](a, |x|+2 b∈Z),值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a,b)共有________个. 4 4 解析:由 0≤ -1≤1,即 1≤ ≤2 得 0≤|x|≤2,所以满足 |x|+2 |x|+2 条件的整数数对有(-2,0),(-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2)共 5 个.
答案:5

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【易错警示】 对值域理解不当而致误 【典例】 (2013年海淀模拟)函数f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4的

定义域为R,值域为(-∞,0],则实数a的取值范围是(
A.(-∞,2) C.{-2} B.(-∞,-2) D.[-2,2]

)

【错解】 函数 f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4 的值域为(-∞,0], 即 f(x)≤0 恒成立.
?a<2, ∴? 解得-2≤a<2,故选 D. Δ≤0, ? 菜 单 隐 藏

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【错因】

解题过程中误认为值域为(-∞,0]等价于f(x)≤0恒成立,

其实不然,若f(x)的值域为(-∞,0],则函数f(x)的最大值为0,而 f(x)≤0恒成立,则不一定有函数f(x)的最大值为0. 【解析】 由函数f(x)的值域为(-∞,0]可知,函数f(x)的最大值

为0,可求得a=-2. 【答案】 C 1.求函数的值域问题时,不但要重视对应关系的

【防范指南】

作用,而且还要特别注意定义域对值域的制约作用. 2.函数的值域问题常常化归为求函数的最值问题.

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1.(2011 年高考湖南卷)已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3, 若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为( A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3] )

B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3)

解析:函数 f(x)=ex-1 为增函数,其值域为(-1,+∞),故 f(a)> -1.若有 f(a)=g(b),则需满足 g(b)=-b2+4b-3>-1,化简整理得 b2 -4b+2<0, 解得 2- 2<b<2+ 2.
答案:B

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2.(2012 年高考江西卷)下列函数中,与函数 y= 函数为( A.y=

1 3 x

定义域相同的

) 1 sin x ln x B.y= x

sin x D.y= x 解析:利用正弦函数、指数函数、对数函数及分式型函数定义域的 C.y=xex

确定方法求解. 函数 y= 1 3 x 的定义域为{x|x≠0},选项 A 中由 sin x≠0?x≠kπ,k∈

Z,故 A 不对;选项 B 中 x>0,故 B 不对;选项 C 中 x∈R,故 C 不对; 选项 D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为 答案:D {x|x≠0},故选 D.
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3 . (2012 年 高 考 江 苏 卷 ) 函 数 f(x) = ________.

1-2log6x 的 定 义 域 为

解析:利用对数的真数是正数,偶次方根非负解题. 要使函数 f(x)= 1-2log6x有意义,
?x>0, 则? 解得 0<x≤ 6. 1-2log6x≥0. ?

答案:(0, 6]

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