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湖北省黄州区第一中学2013届高三下学期数学交流试题(理科)


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湖北省黄州区第一中学 2013 届高三下学期数学交流试题(理科)
本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟. 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. ) 1.已知全集 U=R,集合 A= {0,

1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分所表 示的集合为 A.{0,1} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} 2.设 x, y ? R ,则“ x ? 2且y ? 2 ”是“ x2 ? y 2 ? 4 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 3.函数 y ? x ? sin x , x ???π, π? 的大致图象是 ( )

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

A、

B、

C、

D、

4.为调查高中三年级男生的身高情况,选取了 5000 人作为样本,右图是 此次调查中的某一项流程图,若输出的结果是 3800,则身高在 170cm 以下的频率为 A.0.76 ( ) B.0.38 C.0.62 D.0.24

?x ? y ? 6 ? 0 ? 5.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 0 若 z ? ax ? y 的最大值为 3a ? 9 ,最小 ?x ? 3 ?
值为 3a ? 3 ,则a的范围为 A. a ? 1 B. a ? ?1 C. ( )

a ? 1 或 a ? ?1 D. ?1 ? a ? 1

6.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? ( ) , Sn = a1 + 4a2 + 42 a3 + ?+ 4n- 1 an ,类
n

1 4

比课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法 ,可求得 5S n ? 4 n an ? ( A.

) D. n ? 1

n 2

B. n

C. n ? 1

7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 acosC, bcosB, ccosA 成等差数 列,若 b= 3 ,则 a+c 的最大值为 A.

3 2

B. 3

C. 2 3

D. 9

8.在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则四面
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体 ABCD 的外接球的体积为 A、

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125? 6 125? 3
1 1? x

125? 12

B、

125? 9

C、

D、

9.若直角坐标系中有两点 P , Q 满足条件: (1) P , Q 分别在函数 y ? f ( x ) 、 y ? g ( x ) 的图象 上, (2) P , Q 关于点(1,0)对称,则对称点对( P , Q )是一个“和谐点对” 。函数 y ? 的图象与函数 y ? 2 sin πx ( ?2 ? x ? 4) 的图象中“和谐点对”的个数是 A.2 10.过双曲线
x a
2
2

B.4
? y b
2 2

C.6
2

D.8
2

? 1( a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F ( ? c, 0)( c ? 0) ,作圆 x ? y ?
??? ? ??? ? ????

a2 的切线, 4

切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 OP ? 2OE ? OF ,则双曲线的离心率为 A. 10 B.
10 5

C.

10 2

D.

2

二、填空题(本大题共 6 题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的横线上) (一)必做题 11 .若关 于 x 的 不等式 | a ? 1 |? (| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |) 的 解集非空 ,则实数 a 的 范围 是 ; 12.已知两点 A(1,0),B〔1,1),O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且∠AOC=135°, 设 则 的值为 ;

13.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 1, AC ? 2, O 为 AC 中点,抛物线的 一部分在矩形内,点 O 为抛物线顶点,点 B, D 在抛物线上,在矩形内 随机地放一点,则此点落在阴影部分的概率为 ;

14.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且数列 {an } 的各项按如下规则排列:

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 n ?1 , , , , , , , , , ,? , , ,?, ,?, 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n n
则 a15 = ;若存在正整数 k,使 Sk ? 10, Sk ?1 ? 10 ,则 k= ;

(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在 答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如 果全选,则按第15题作答结果计分. ) 15. 如图,AB 是⊙ O 的直径, 是 AB 延长线上的一点, 过作⊙ O 的切线,切点为 C , PC ? 2 3 ,若 ?CAP ? 30 ? ,则⊙ O 的直
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径 AB ? ;

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? ?x ? ? 16. 直 线 l 的 参 数 方 程 是 ? ?y ? ? ?
4

2 t 2 (其中为参数) ,圆 C 的极坐标方程为 2 t?4 2 2
.

? ? ? 2 cos(? ? ) ,过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 . (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A 、 B 、 C 对边分别是 a 、 b 、 c ,满足 ??? ? ???? 2 AB ? AC ? a2 ? (b ? c)2 . (Ⅰ)求角 A 的大小; C 4? (Ⅱ)求 2 3 cos2 ? sin( ? B) 的最大值,并求取得最大值时角 B、C 的大小. 2 3

n?N . 18、 (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n . 已知 a1 ? a , an ?1 ? S n ? 3n ,
*

(Ⅰ)设 bn ? S n ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 an ?1 ≥an , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

19. (本小题满分 12 分)盒子里装有 6 件包装完全相同的产品,已知其中有 2 件次品,其 余 4 件是合格品。为了找到 2 件次品,只好将盒子里的这些产品包装随机打开检查,直到 两件次品被全部检查或推断出来为止。记 ? 表示将两件次品被全部检查或推断出来所需检 查次数。 (I)求两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数恰为 4 次的概率; (II)求 ? 的分布列和数学期望。

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20. (本大题满分 12 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所
示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角 形, 俯视图为直角梯形.

(1) 求证:BN 丄平面 C1B1N; (2) 设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点

P,使 MP//平面 CNB1,并求

的值.

21. (本小题满分 13 分)已知点 F 是抛物线 C: y 2 ? x 的焦点,S 是抛物线 C 在第一象 限内的点,且|SF|=

5 . 4

(Ⅰ)求点 S 的坐标; (Ⅱ)以 S 为圆心的动圆与 X 轴分别交于两点 A、B,延长 SA、SB 分别交抛物线 C 于 M、N 两点; ①判断直线 MN 的斜率是否为定值,并说明理由;

1 ②延长 NM 交 X 轴于点 E,若|EM|= |NE|,求 cos∠MSN 的值. 3

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 1 ? e? x ,函数 g ( x) ?

x (其中 a ? R ,e 是自然 ax ? 1

对数的底数) . (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 h( x) ? f ?( x) ? g ( x) 的极值; (Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) 在 [0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设 n ? N ,求证: e
*

2n?

? k ?1
k ?1

n

4

? n!? e

n ( n ?1) 2 (其中

e 是自然对数的底数) .

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参考答案 一、选择题
题号 答案 1 A 2 A 3 A 4 D 5 D 6 B 7 C 8 C 9 B 10 C

二、填空题
11. ?5, ?? ? ??,?3? 12.

1 2

13.

1 3

14.

5 ;20 15. 4 16. 2 6 6

三、解答题
17.解: (Ⅰ)由已知 2bc cos A ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ,????2 分
1 由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 得 4bc cos A ? ?2bc ,∴ cos A ? ? ,??4 分 2 2? ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? .????6 分 3 2? ? ? (Ⅱ)∵ A ? ,∴ B ? ? C , 0 ? C ? . 3 3 3 C 4? 1 ? cos C ? ? 2 3 cos2 ? sin( ? B) ? 2 3 ? ? sin( ? B) ? 3 ? 2sin(C ? ) .??8 分 2 3 2 3 3 ? ? ? 2? ∵ 0 ? C ? ,∴ ? C ? ? , 3 3 3 3 ? ? C 4? ? ∴当 C ? ? , 2 3 cos2 ? sin( ? B) 取最大值 3 ? 2 ,得 B ? C ? .?? 12 分 3 2 2 3 6

18. 解: (Ⅰ)依题意, Sn?1 ? Sn ? an?1 ? Sn ? 3n ,即 Sn?1 ? 2Sn ? 3n , 由此得 Sn?1 ? 3n?1 ? 2(Sn ? 3n ) . 因此,所求通项公式为 bn ? Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N .?? 4 分
*

(Ⅱ)由①知 Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N ,
*

当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3 ? (a ? 3) ? 2
n

n?1

? 3n?1 ? (a ? 3) ? 2n?2

? 2 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2 ,?? 6 分
an?1 ? an ? 4 ? 3
n?1

? (a ? 3)2

n?2

?2

n?2

? ? 3 ?n?2 ? ? a ? 3 ?12? ?, ? ? ? ?2? ? ? ?

?3? 当 n ≥ 2 时, an?1 ≥ an ? 12? ? ? ?2?
? a ≥ ?9 .
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n?2

? a ? 3≥ 0
?? 10 分

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又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 .

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综上,所求的的取值范围是 ??9, ? ?? .??12 分 19、解: (1)检查次数为 4 次包含两类情况:

C 21C 42 A33 1 ①前 3 次检查中有一个次品,第 4 次检查出次品,其概率为 P1 ? ? ??2 分 A64 5
②前 4 次检查全部是合格品,余下两件必是次品,其概率为 P2 ? 所以所求概率为 P1 ? P2 ?

A 44 1 ? ,??4 分 4 A 6 15

1 1 4 ? ? , 5 15 15
??6 分

??5 分

(2) ? 的可能取值为 2,3,4,5

1 2 1 C 22 C4 A2 C 2 1 2 P(? ? 2) ? 2 ? ,P(? ? 3) ? ? , 3 15 15 C6 A6
1 2 3 A44 ? C 2 C 4 A3 4 ? , 4 15 A6

P(? ? 4) ?

C 3C 1A44 8 P(? ? 5) ? 4 2 ? . 4 15 A6
分布列如下表:

(一个 1 分)

??10 分

?
P

2

3

4

5

1 15

2 15

4 15
??12 分

8 15

所以 E ? ? 2 ?

1 2 4 8 64 ?3? ?4? ?5? ? 15 15 15 15 15

20.解:由三视图可以得到: AB ? AN ? BC ? 4 , BB1 ? 8 , BA, BC.BB1 两两互相垂直. (1)证明:计算得 BN ? 4 2 ,得到 BN ? NB1 ,又 BN ? B1C1 ,而 B1C1 ? B1 N ? B1 ,

? BN 丄平面 C1B1N;

??6 分

(2)以 BA, BB1 .BC 为 x, y , z 轴建立直角坐标系, 则 B?0,0,0? , A?4,0,0? , N ?4,4,0? , B1 ?0,8,0? , C ?0,0,4? , M ?2,0,0? ,设 P?0,0, z ? 设平面 CNB1 的法向量为 n ? ?a, b, c? ,由 ?

? ? n ? CN ? 0 ,可取 n ? ?1,1,2? ??9 分 ?n ? NB1 ? 0 ?

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若 MP//平面 CNB1 则

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=

n ? MP ? 0 得到 z ? 1 ,此时

1 .??12 分 3

1 1 5 21.解: (1)设 S ( x0 , y 0 ) ( y0 >0),由已知得 F ( ,0) ,则|SF|= x0 ? ? , x0 ? 1 , 4 4 4

∴ y0 =1,∴点 S 的坐标是(1,1)

??3 分

(2)①设直线 SA 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1)(k ? 0), M ( x1 , y1 ),

? y ? 1 ? k ( x ? 1), 由? 2 得 ky 2 ? y ? 1 ? k ? 0, ? y ? x,
∴ y1 ? 1 ?
(1 ? k ) 2 1 1 1 , ? 1) .??5 分 , y1 ? ? 1 ,∴ M ( k k2 k k (1 ? k ) 2 1 ,? ? 1) , k k2

由已知 SA=SB,∴直线 SB 的斜率为 ? k ,∴ N (
1 1 ?1? ?1 1 k k ? ?? 2 2 2 (1 ? k ) (1 ? k ) ? 2 2 k k

∴ k MN

??7 分

1 1 ②设 E(t,0),∵|EM|= |NE|,∴ EM ? EN , 3 3

∴(

(1 ? k ) 2 1 1 (1 ? k ) 2 1 1 1 1 ? t , ? 1) ? ( ? t , ? ? 1) ,则 ? 1 ? (? ? 1), ∴ k ? 2 ??9 分 2 2 k 3 k k k k 3 k

1 3 ∴直线 SA 的方程为 y ? 2 x ? 1 ,则 A( ,0) ,同理 B( ,0) ??11 分 2 2

∴ cos?MSN ? cos?ASB ?

SA2 ? SB2 ? AB2 3 ??13 分 ? 2SA? SB 5

22.解: (Ⅰ) f ?( x) ? ?e? x ? (? x)? ? e? x ,函数 h( x) ? f ?( x) ? g ( x) ? xe? x , h?( x) ? (1 ? x) ? e? x , 当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,故该函数在 (??,1) 上单调递增,在 (1, ??) 1 上单调递减.∴函数 h( x) 在 x ? 1 处取得极大值 h(1) ? . ?? 4 分 e x x (Ⅱ)由题 1 ? e? x ? 在 [0, ??) 上恒成立,∵ x ? 0 , 1 ? e? x ?[0,1) ,∴ ? 0, ax ? 1 ax ? 1 1 若 x ? 0 ,则 a ? R ,若 x ? 0 ,则 a ? ? 恒成立,则 a ? 0 . x x 不等式 1 ? e? x ? 恒成立等价于 (ax ? 1)(1 ? e? x ) ? x ? 0 在 [0, ??) 上恒成立, ??6 分 ax ? 1 令 u( x) ? (ax ? 1)(1 ? e? x ) ? x ,则 u?( x) ? a(1 ? e? x ) ? (ax ? 1)e? x ? 1 , 又令? ( x) ? a(1 ? e? x ) ? (ax ? 1)e? x ? 1 ,则? ?( x) ? e? x (2a ? ax ? 1) ,∵ x ? 0 , a ? 0 . ①当 a ? 0 时,? ?( x) ? ?e? x ? 0 ,则? ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,∴? ( x) ? u ?( x) ? ? (0) ? 0 , ∴ u ( x) 在 [0, ??) 上单减,∴ u ( x) ? u (0) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) 在 [0, ??) 上恒成立;??7 分 2a ? 1 ②当 a ? 0 时,? ?( x) ? ?a ? e? x ( x ? ). a

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ⅰ)若 2a ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ?

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1 时,? ?( x) ? 0 ,则? ( x) 在 [0, ??) 上单调递减, 2 ∴? ( x) ? u ?( x) ? ? (0) ? 0 ,∴ u ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,∴ u ( x) ? u (0) ? 0 , 此时 f ( x) ? g ( x) 在 [0, ??) 上恒成立; ??8 分 1 2a ? 1 2a ? 1 ⅱ)若 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,若 0 ? x ? 时,? ?( x) ? 0 ,则? ( x) 在 (0, )上 a a 2 2a ? 1 单调递增,∴? ( x) ? u?( x) ? ? (0) ? 0 ,∴ u ( x) 在 (0, ) 上也单调递增, a ∴ u ( x) ? u(0) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ,不满足条件. ??9 分 1 综上,实数 a 的取值范围是 [0, ] .??10 分 2 x 2? x 1 ? e? x ? (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? 时,则 1 ? e? x ? , 1 2 ? x 2 x ?1 2 2? x 2? x 2? x 2n ? 2 4 当 x ? [0, 2) 时, e? x ? ,令 , ? x ? ln ? n ,则 x ? ?2? 2? x 2? x 2? x n ?1 n ?1 n n n 4 4 4 ∴ ln n ? 2 ? ,∴ ln(n !) ? 2n ? ? ,??12 分 (n ? N* ) ,∴ ? ln k ? 2n ? ? n ?1 k ?1 k ?1 k ? 1 k ?1 k ? 1 1 1 又由(Ⅰ)得 h( x) ? h(1) ,即 xe? x ? ,当 x>0 时, ln( xe? x ) ? ln ? ?1 ,∴ ln x ? x ? 1 , e e n(n ? 1) , ln(n!) ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2
2n?? 4 n2 ? n k ?1 ? ln(n !) ? 综上得 2n ? ? ,即 e k ?1 ? n! ? e 2 k ?1 k ? 1
n
n

4

n ( n ?1) 2

.??14 分

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