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重庆市第八中学2016届高三上学期第四次月考数学(文)试题 扫描版含答案


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重庆市第八中学 2016 届高考适应性月考卷(四) 文科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1. B ? {3, 4, 6} , A
B ? {4, 6} ,故选 B.

1 B

2 B

3 A

4 D

5 D

6 A

7 B

8 B

9 D

10 C

11 B

12 A

2. 分段间隔为 4, 所以抽取的样本标号为 CRH0002, CRH0006, CRH0010, CRH0014, CRH0018, 故选 B. 3.命题 p 为真,命题 q 为假,故选 A. 4.11 点到 12 点,出口车辆数为 10,入口车辆数为 40,车流动量为 50,故选 D.
S ? 1, T ? 2,k ? 2 ;2≤3 ,S ? 2, T ? 4,k ? 3 ;3≤3 , T ?1 , k ? 1 时,1≤3 ,S ? 1, 5.当 n ? 3, S ? 8, T ? 12,k ? 4 ; 4 ? 3 ,程序结束;输出 T ? 12 ,故选 D.

6.设 g ( x) ? f ( x) ? 1 ? x 3 ? x cos x 是奇函数,由图象的对称性知, g ( x ) 的最大值与最小值之和 为 0,即 M ? 1 ? m ? 1 ? 0 ,所以 M ? m ? 2 ,故选 A. 7. a10 ? a8 ? a2, a8 ? 2a4, a4 ? 2a2 ? a10 ? 5a2 ? 20 ,故选 B. 8.设点 P( x0,y0 ) ,则 k PM k PN ?
y0 y0 x2 y2 ? ? ,整理得 0 ? 0 ? 1 ,由点 P 的轨迹是焦 x0 ? 2 x0 ? 2 4 ?4?

点在 x 轴上的椭圆,则 0 ? ?4? ? 4 ? ?1 ? ? ? 0 ,故选 B. 9.如图 1,圆 C 和圆 D 的面积恰好为 π ,所以点 P 在线段 AC 和 BD 上时,所得的截面圆面积小于 π ,所以概率为 1 ?

3 ,故选 D. 2
图1

10.由a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3, a4 ? 1, a5 ? 2, … ,所以数列 {an } 的周期是 3,

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a2015 ? a2016 ? a2 ? a3 ? 5 ,故选 C.
11.由阳马的体积为 12,计算得 BC ? B1C1 ? 4, 又由A1B1 ? CC1 ? 3, 鳖臑的表面积等于 27,故 选 B. 12.设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ), 由S△OFA ? 2S△OFB ?| AF |? 2 | BF | ,如 图 2,设 | BF |?| BB1 |? x, | AF |?| AA1 |? 2 x, 在 Rt△ABC 中,
| AB |? 3x, | AC |? x ,则 sin ? ?

2 2 ,故选 A. 3

图2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】 13. z ? 13
2

14 1

15 12

16
?1 ? ? 4 ,2 ? ? ?

2i 1) ,到原点的距离为 2 . ? ?1 ? i 对应的点为 ( ?1, 1? i

14.由 AB∥AC ,所以 ?2a ? b ? ab ? 另解:直线 AB 的方程为 所以

1 2 ? ?1. a b

x y ? ? 1 ,点 C (1,2) 在直线上, a b

1 2 ? ?1. a b

15.如图 3, | NA | ? | NB | ? 2 | PF1 | ? | PF2 | ? 4a ? 12 . 16.由 AB ? 2 DC ? D(1, 3) ,如图 4,作出梯形 ABCD, 设 t ? 2 x ? y ? y ? 2 x ? t ,作出目标函数线 t ? 2 x ? y ,
3) 处 t 取得 在点 B (2,2) 处 t 取得最大值 2,在点 D(1,
图3

最小值 ?1 ,则 t 的取值范围为 [?1,2] ,因为函数
?1? ?1? ?1 ? z ? ? ? 单调递减,所以 z ? ? ? 的取值范围为 ? ,2 ? . ?2? ?2? ?4 ?
t

t

图4

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三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知: f ( x) ? 2 3 sin 2 x cos 2 x ? 6
∴ f ( x) ? 3 sin 4 x ? 3cos 4 x ? a ,
π? ? ∴ f ( x) ? 2 3 sin ? 4 x ? ? ? a , 3? ?

1 ? cos 4 x ?3? a , 2

……………(2 分)

………………………………………………(4 分)

所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ?

2π 2π π ? ? , |? | 4 2

………………………………(5 分)

π π π 又 2kπ ? ≤4 x ? ≤2kπ ? , 2 3 2
所以

kπ 5π kπ π ? ≤x≤ ? , k ?Z , 2 24 2 24
……………(7 分)

? 5π kπ π kπ ? 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? ? ? , ? ? ,k ? Z . ? 24 2 24 2 ? π π (Ⅱ)∵ ? ≤x≤ , 8 8

π π 5π ……………………………………………………………(8 分) ∴ ? ≤4 x ? ≤ , 6 3 6 1 π? ? ∴ ? ≤sin ? 4 x ? ?≤1 , ……………………………………………………(10 分) 2 3? ?
所以函数 f ( x) 的最大值为 2 3 ? a ,最小值为 ? 3 ? a . 由已知 2 3 ? a ? (? 3 ? a) ? 0 ,∴ a ? ? 18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:一级产品中应抽查 100 件,二级产品中应抽查 50 件,得 x ? 38 , y ? 15 . 频率分布直方图如图 5 所示:

3 . 2

………………………………(12 分)

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图5

从直方图可以判断:一级产品中个体间的差异程度更小.

……………………(4 分)

(Ⅱ)质量指标值不低于 95 的一级产品所占比例的估计值为 0.38 ? 0.22 ? 0.08 ? 0.68 , 由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的一级产品符合“质量指标值不低于 95 的一级产品至少要占全部产品的 80%”的规定. (Ⅲ)质量指标值的样本平均数为 …………………………(8 分)

x1 ? 80 ? 0.06 ? 90 ? 0.26 ? 100 ? 0.38 ? 110 ? 0.22 ? 120 ? 0.08 ? 100 , x2 ? 80 ? 0.2 ? 90 ? 0.2 ? 100 ? 0.3 ? 110 ? 0.2 ? 120 ? 0.1 ? 98 ,

x?

100 50 ? 100 ? ? 98 ? 99.3 . 150 150

………………………………………………(12 分)

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)如图 6,取 A1 E ? 1 , C1 F ? 1 , 易得 D1 E ? 2 ? EM 且 D1 E∥FM , 所以 D1 EMF 为边长为 2 的菱形.………………………(3 分) 再由 D1M ? 6 ,由余弦定理,

1 可得 cos ?D1 EM ? ? , 2
sin ?D1 EM ? 3 , 2

图6

所以 S菱形D1EMF ? 3 . …………………………………………………………………(6 分)

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(Ⅱ)易得整个长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积为 3 , 其中 V上 ? VD1 ? A1B1ME ? VD1 ? B1C1FM ? 2VD1 ? A1B1ME …………………………………(9 分)

1 1 ? 2 ? ? 1? ? (1 ? 2) ? 1 ? 1 , 3 2

…………………………………………………(11 分)

下半部分为 3 ? 1 ? 2 ,所以体积比为 20. (本小题满分 12 分)
c 2 ? , a 2 1 1 解: (Ⅰ)依题意有 2 ? 2 ? 1, a 2b a 2 ? b2 ? c2 , e?

1 . 2

………………………………………(12 分)

椭圆 C :

x2 ? y2 ? 1 . 2

…………………………………………………(5 分)

(Ⅱ)设 M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ) ,
? x2 2 ? ? y ? 1, 由方程组 ? 2 得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 2 ? 0 , ? y ? kx ? m, ?

则 x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 ,x1 x2 ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
?2k 2 ? m2 , 1 ? 2k 2

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

……………(8 分)

因以线段 MN 为直径的圆过原点 O ,所以 OM⊥ON , 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即
2m2 ? 2 ?2k 2 ? m2 ? ? 0 ? 3m2 ? 2k 2 ? 2 , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

…………………………………(10 分)

因为 l: y ? kx ? m 为圆 O: x 2 ? y 2 ? r 2 的切线,
2k 2 ? 2 6 3 ? . 2 1? k 3

所以圆 O 的半径 r ? 21. (本小题满分 12 分)

|m| k ?1
2

?

m ? k2 ?1

2

…………………(12 分)

1 解: (Ⅰ)当 a ? ? 时, f ?( x) ? ( x ? 1)e x ? x ? 1 ? ( x ? 1)(e x ? 1) , 2

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因为 x ? 0 时, e ? 1 ? 0 ; x ? 0 时, e ? 1 ? 0 ,
x

x

所以当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , 即 f ( x) 在 (??,? 1) 上单调递增,在 (?1,0) 上单调递减,在 (0,? ?) 上单调递增.

1 1 所以 f ( x) 的极大值为 f (?1) ? ? ? ; e 2
f ( x) 的极小值为 f (0) ? 0 .

…………………………………………………(4 分)

(Ⅱ)设 g ( x) ? f ?( x) ? f ( x) ? (4a ? 1) x ? e x ? ax 2 ? 2ax ? 1 , 则 g ?( x) ? e x ? 2ax ? 2a ? ? ( x) , 则 ? ?( x) ? e x ? 2a , 由于 x≥0 时, e x ≥1 . ………………………………………………………………(5 分)

1 (1)当 2a≤1 ,即 a≤ 时, ? ?( x )≥0 , ? ( x ) 在 [0,? ?) 上单调递增, 2

1 ? ( x)≥? (0) ? 1 ? 2a≥0 ,故 a≤ 时,满足题意. ………………………………(8 分) 2 1 (2)当 2a ? 1 时,即 a ? 时, ? ?( x) ? 0 ? x ? ln 2a , 2
所以 ? ( x ) 在 [0,ln 2a] 上单调递减,在 (ln 2a,? ?) 上单调递增, 所以 g ?( x) ? ? ( x) 在 [0,ln 2a] 上恒有 g ?( x)≤g ?(0) ? 1 ? 2a ? 0 , 即 g ( x ) 在 [0,ln 2a] 上单调递减,从而 g ( x)≤g (0) ? 0 ,这与 g ( x )≥0 恒成立矛盾.
1? ? 综上所述:a 的取值范围是 ? ??, ? . 2? ?

…………………………………………(12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 (Ⅰ)证明:如图 7,连接 O1 A, O2 B ,

∵ AB 是两圆的外公切线, A,B 为切点,
∴O1 A ? AB, O2 B ? AB,

1 1 ∴O1 A∥O2 B, ?PAB ? ?AO1 P, ?PBA ? ?BO2 P, 2 2
由 ?AO1 P ? ?BO2 P ? 180? ,
∴ ?APB ? 90? , 知 ?PAB ? ?PBA ? 90?,

图7

∴△ABP 是直角三角形.

………………………………………………………(5 分)
AE,?PAB ? ?CAE,

(Ⅱ)解:∵ AB

AC ? AP

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∴△PAB ∽ △CAE ,∴

CE PB 3 ? ? , AC AP 4

设 PB ? 3x,AP ? 4 x, 则 AB ? 5 x , 由 AB 2 ? AP
AD ,得 x ? 2, ∴ ?BPD ? 90?, ∴ PB ? 6 ,又 BP ? AP,

∴DB 是⊙ O2 的一条直径,且 DB ?
∴⊙ O2 的半径为

15 , 2

15 . 4

…………………………………………………………(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】
? π? ? 5π ? 解: (Ⅰ)由已知点 A,B,C 的极坐标分别是 ? 2, ? , (2,π ) , ? 2, ? , 3 ? ? 3? ?

∴点 A,B,C 的直角坐标分别是 (1, (Ⅱ)由题意知: P(2 cos ?,3sin ? ) ,
∴| PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2

3) , (?2, 0) , (1, ? 3) .

……………(5 分)

? (2cos? ? 1)2 ? (3sin ? ? 3)2 ? (2cos ? ? 2) 2 ? (3sin ? ? 0) 2 ? (2cos ? ? 1) 2 ? (3sin ? ? 3)2
? 27sin 2 ? ? 12cos2 ? ? 12 ? 15sin 2 ? ? 24 ,

∴| PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? [24, 39] .

……………………………………………(10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 解: (Ⅰ)由已知: g ( x) ? ? x 2 ? 2 x ,由 g (x)+ | x ? 1| ≥f (x) 得:

1 2 x 2 ? | x ? 1| ≤0 ,当 x≥1 时, x ?? ,当 x ? 1 时, ?1≤x≤ , 2
1? ? 综上所述, x ? ? ?1, ? . 2? ?

…………………………………………………………(5 分)

(Ⅱ)对 ?x ? R ,不等式 g (x) ? m≤f (x)? | x ? 1| 恒成立,得 m≤2 x 2 ? | x ? 1| 恒成立,
? 2 x 2 ? x ? 1,x≥1, 令 h(x) ? 2 x 2 ? | x ? 1| ,则 h(x) ? ? 2 ?2 x ? x ? 1,x ? 1,

9 9 由图象知, h(x)min ? ? ,∴ m≤ ? . 8 8

………………………………………(10 分)


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