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抛物线焦点弦的性质


一、抛物线的焦点弦性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
y

抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (1)|AB|=x1+x2+p (3)x1x2 =p2/4; (2)通径长为2 p y1y2=-p2;
O B

A

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线 相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(1)|AB|=x1+x2+p
x

(2)通径长为2p

θ F

y

(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ (5)以AB为直径的圆与准线相切. (6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。

y
A` A

A F B x

o
B`

F B

x

O

(7)

1 1 2 ? ? AF BF p

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2;
y

法二:由题知AB不与x轴平行 设AB方程为x ? my ? p ,(m ? R) 2

证明:思路分析:韦达定理

A

? y1 y2 ? - p 2,x1 x2 ?

p p 易得A( ,p),B( ,-p), 2 2 2

10当AB ? x轴时,

O B

F

x

20 AB斜率存在时设为k,(k ? 0)

p ; 4

y p 2 py 消元得y2 ? 2 ( p ? )即y2 ? ? p2 ? 0 k 2 k y 21 y 21 p 2 ? ? ?y1 y2 ? - p2;x1 x2 ? 2 p 2p 4

p 则直线AB方程为y=k(x- ) 代入抛物线方程y2 ? 2 px 2

? y 2 ? 2 px p ? 2 ? p ? y ? 2 p (my ? ) 2 ? x ? my ? ? 2 y A 即:y 2 ? 2 pmy ? p 2 ? 0 ? y1 y2 ? ? p 2  (定值) ? x1x2 ?
O B

F

x

2 y1 y2 p4 p2 ? 2 ? ? (定值) 2 p 2 p 4 p2 4

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; 法3:利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90° 。
解:过A,B点作准线的垂线,垂足 为P, Q
p p p ? P(? , y1 ), Q(? , y2 ), F ( ,0) 2 2 2
P
y

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ 证明: 思路分析 y |AB|=|AF|+|BF|= x1 ? x 2 ? p

A

A

? PF ? QF

Q

O

?

F

x

? PF ? QF ? 0 即( p,? y1 ) ? ( p,? y2 ) ? 0
? p 2 ? y1 y2 ? 0
即y1 y2 ? ? p 2

B

() 1 ? ? 900 时,k不存在, p p 易得A( ,p),B( ,-p), 2 2 2p A B =2P= sin 2 900

O
B

θ F

x

易得:x1 x2 ?

p2 4

p (2)? ? 900 时,斜率k ? tan ?,直线方程为y ? tan ? (x ? ) 2 2p 然后联立方程组用韦达定理得 A B ? p ? x1 ? x2 ? sin 2?

思考:焦点弦何时最短? 过焦点的所有弦中,通径最短

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (5)以AB为直径的圆与准线相切.

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。

证明:如图, M M1 ? A A1 ? B B1 2 ? AF ? BF 2 ? AB 2
l A1

y A F

证明:如图, ?1=?2 ? ?3,?4=?5 ? ?6, 又?1 ? ?3 ? ?4 ? ?5 ? 1800, ??1 ? ?4 ? 900,即?AFB ? 900
M
X

A1

y
2

A

故以AB为直径的圆与准线相切.

M1

O

O

B1
B1 B

5

1 4 6

3

F

X

B

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 1 ? 1 ? 2

7) AF ? X 1 ?

p p    BF ? X 2 ? 2 2

AF

BF

p

p? ? p? ? ? X1 ? ? ? ? X 2 ? ? 1 1 1 1 2? ? 2? ? ? ? ? ? ? p p p ?? p? AF BF ? X1 ? X2 ? ? X1 ? ? ? X 2 ? ? 2 2 2 ?? 2? ? x1 ? x2 ? p x1 ? x2 ? p ? ? 2 2 p p p p2 p x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ? ? ( x1 ? x2y) A 2 4 4 4 2 x1 ? x2 ? p 2 ? ? p O F ( x1 ? x2 ? p ) p B 2

例1.若直线过定点M(s,0)(s>0)与抛物线y2=2px(p>0)交于 A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps. 证明:设AB 的方程为x=my+s (m∈R) 代入抛物线得y2-2pmy-2ps=0, 2 2 2 (? 2 ps) ? y1 ? y2 ? ?2ps ? x1 x2 ? y1 ? y2 ? ? s2 2 (2). 若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2), 且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证:直线过定点 (s,0)(s>0) y ?y 2p y 21 ? 2 px1 相减得k AB ? 1 2 ? 证明: 2 x ? x y 1 2 1 ? y2 y 2 ? 2 px2 y 2p A ? 直线AB方程为y ? y1 ? (x ? x1) y1 ? y2
2p 2p 4p

令y ? 0得 ? y21 ? y1 y2 ? 2 px ? 2 px1
2 1

x

因为y ? 2 px1,y1y2 =-2ps代入上式得 x ? s ?直线AB必过点(s, 0)

B
l

M

y2=2 px

x

例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和 抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴. y 证明 : 设直线AB的方程 : A p x ? my ? , 代入y 2 ? 2 px, 得 2 O F y 2 ? 2 pmy ? p 2 ? 0.
设( A x1,y1),( B x2,y2)则y1 y2 ? ? p 2 .
C
B

例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和 抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (2)过B作BC⊥准线l,垂足为C,则AC过原点O共线. y (2001年高考题) 证明 : 设直线AB的方程 : p x ? my ? , 代入y 2 ? 2 px, 得 2 O F y 2 ? 2 pmy ? p 2 ? 0. C
设( A x1,y1),( B x2,y2)则y1 y2 ? ? p 2 . 2 p p ?p ? B || X 轴 ? C (- ,y2), 即C (- , ) 2 2 2 y1 ?p
k OC ? y1 2 p y12 1 y1 ? ? ? ? ? kOA p y1 x1 y1 x1 ? 2
B

A

x

x

y=

y1 py p p x,x=- 联立得C (- ,- 1 ) x1 2 2 2x1

py py ? p 2 y1 y2 yc ? - 1 ? - 1 ? ? ? y2 2 y 2x1 y1 y1 2 1 2p

? BC || X 轴

?OC || OA且共点O, ?直线AC过点O

二、抛物线中的直角三角形问题 例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的 两点,且OA⊥OB, 1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB,
(1) 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积; [解答] (1)设A(x1, y1),B(x2, y2),中点P(x0, y0),
kOA ? y1 y , kOB ? 2 x1 x2

2. 求证:直线AB过定点;
3. 求弦AB中点P的轨迹方程;

∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1,∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y12 = 2px1,y22 = 2px2 ?
y1 y2 ? ? y1 y2 ? 0 2p 2p
2 2

4. 求△AOB面积的最小值;
5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.

∵ y1≠0, y2≠0, ∴ y1y2=?4p2 ∴ x1x2=4p2.

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB,

(2) 求证:直线AB过定点;
[解答](2)∵ y12=2px1,y22=2px2∴ (y1?y2)(y1+y2) = 2p(x1?x2)

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB, (3) 求弦AB中点P的轨迹方程;
(3)设OA∶y = kx,代入y2=2px 得: k

?

y1 ? y2 2p ? x1 ? x2 y1 ? y2

? k AB ?

2p y1 ? y2

?A( 2 , ? 0, k

2p 2p ) k

? 直 线AB : y ? y1 ?
?y?

2p ( x ? x1 ) y1 ? y2
2

同理,? k 以代k得B(2pk2, -2pk) .

1

2 px y ? 2 px1 ? y1 y2 2 px 2 px1 ?y? ? 1 ? y1 ? y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2

1 ? 2 ? x0 ? p( k ? k 2 ) ? ?? ? y ? p( 1 ? k ) 0 ? k ?

2 ? y1 ? 2 px1 , y1 y2 ? ?4 p2 ? y ?

?y?

2p ( x ? 2 p) y1 ? y2

2 px ?4p ? y1 ? y2 y1 ? y2
2

? k2 ?

x0 y 1 1 ? ( 0 )2 ? 2 ? (k ? ) 2 ? 2 ? 2 p p k k

即 y02 = px0-2p2, ∴ 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2

∴ AB过定点T(2p, 0).

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (4)求△AOB面积的最小值;

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB,
(5)求O在AB上的射影M轨迹方程. y (5)法一:设M(x3, y3), 则 kOM ? 3 x3 x

(4)

? S ?AOB ? S ?AOM ? S ?BOM ? 1 | OT | (| y1 | ? | y2 |) ? p(| y1 | ? | y2 |) 2

? 2 p | y1 y2 | ? 4 p2
当且仅当|y1|=|y2|=2p时,等号成立.

x3 ( x ? x3 ) y3 y 即x ? ? 3 ( y ? y3 ) ? x3代入y 2 ? 2 px得 x3 2 2 py3 2 py3 y2 ? y? ? 2 px3 ? 0, 由(1)知,y1y2=-4p2, x3 x3 2 2 py3 ? ? 2 px3 ? 4 p 2 整理得:x32+y32 -2px3=0, x3
? k AB ? ?
3

y3

? AB : y ? y3 ? ?

∴ 点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0, 0)).

例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, (5)求O在AB上的射影M轨迹方程.

小结:
在求轨迹方程问题中易于出错是对轨 迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此,在 求出曲线方程之后而仔细检查有无“不法 分子”掺杂其中,应将其剔除;另一方面 又要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”, 应将其找回。

法二:∵ AB过定点T(2p, 0). ∴ ∠OMT=90?, 又OT为定线段 ∴ M在以OT为直径的圆上

∴ 点M轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉 (0, 0).
评注:此类问题要充分利用(2)的结论.


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