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专题3.12 综合求证多变换,几何结合代数算(原卷版)


专题 12 综合求证多变换,几何结合代数算
【题型综述】
综合求证问题有以下类型:(1)证明直线过定点,设出直线方程,利用题中的条件与设而不求思想 找出曲线方程中参数间的关系,即可求出定点. (2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关,这些变化的因素可能是直线的斜 率、截距,也可能是动点的坐标等,这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标,通过运算得知求 证目标的取值与变化的量无关.当使用直线的斜率和截距表示直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率 和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决. (3)恒等式的证明问题,将恒等式转化为常见 的弦长、距离之比或向量关系等问题,进而 转化为直 线与圆锥曲线的交点坐标问题,利用设而不求思想及韦达定理即可证明. (4)几何图形性质的证明,利用几何图形性质与向量运算的关系,转化为向量的运算或直线的斜率关 系,再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题,利用设而不求思想及韦达定理即可证明.

【典例指引】 类型一 证明分点问题
例 1 【2017 北京,理 18】已知抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1).过点(0,

1 )作直线 l 与抛物线 C 交于不 2

同的两点 M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O 为原点. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)求证:A 为线段 BM 的中点.. 【解析】

类型二

几何证明问题
y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

例 2. 【2015 高考湖南,理 20】已知抛物线 C1 : x2 ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 : 一个焦点, C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 . (1)求 C2 的方程;

(2)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A , B 两点,与 C2 相交于 C , D 两点,且 AC 与 BD 同向 (ⅰ)若 | AC |?| BD | ,求直线 l 的斜率 (ⅱ)设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M ,证明:直线 l 绕点 F 旋转时, ?MFD 总是钝角三角形

????

??? ?

【解析】

类型三

等式证明

例3 【2015 高考上海, 理 21】 已知椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 1 , 过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于 ? 、? 和 C 、

D ,记得到的平行四边形 ?? CD 的面积为 S .
(1)设 ? ? x1, y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,用 ? 、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,并证明 S ? 2 x1 y1 ? x2 y1 ; (2)设 l1 与 l2 的斜率之积为 ? 【解析】

1 ,求面积 S 的值. 2

类型四

长度关系证明
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三 a 2 b2

例 4.【2016 高考四川】已知椭圆 E: 个顶点,点 P( 3, ) 在椭圆 E 上. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

1 2

1 (Ⅱ)设不过原点 O 且 斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 M,直线 OM 与椭 2 圆 E 交于 C,D,证明 : MA ? MB ? MC ? MD .

【扩展链接】
1.圆锥曲线以 P(x0,y0)(y0≠0)为 中点的弦所在直线的斜率分别是:k=-a2y0(椭圆a2+b2=1),k=a2y0
0 0

b2x

x2

y2

b2x

y2-y1 x y p (双曲线 2- 2=1),k= (抛物线 y2=2px),其中 k= (x ≠x ),(x1,y1),(x2,y2)为弦端点的坐标. a b y0 x2-x1 1 2 2.给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA ? MB ,即 ?AMB 是直角,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是锐角; 3.在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD 是菱形; 4.在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形;

2

2

??? ? ????

??? ? ????

[来源:Z§ xx§ k.Com][来源:学科网 ZXXK]

【同步训练】
1. 如图, 圆 C 与 x 轴相切于点 T (2, 0) , 与 y 轴正半轴相交于两点 M, N (点 M 在点 N 的下方) , 且|MN|=3.
[来 源:Z§xx§k.Com]

(1)求圆 C 的方程;

(2)过点 M 任作一条直线与椭圆

相交于两点 A、B,连接 AN、BN,求证:∠ANM=∠BNM.

【思路点拨 】 (1)设圆 C 的半径为 r(r>0) ,依题意,圆心坐标为(2,r) ,根据|MN|=3,利用弦长公式 求得 r 的值,可得圆 C 的方程. (2)把 x=0 代入圆 C 的方程,求得 M、N 的坐标,当 AB⊥y 轴时,由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM, 当 AB 与 y 轴不垂直时,可设直线 AB 的方程为 y=kx+1,代入椭圆的方程,利用韦达定理求得 KAB+KBN=0, 可得∠ANM=∠BNM. 【详细解析】 2.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)经过(1,1)与( , )两点.

(1)求椭圆 C 的方程; ( 2 ) 过 原 点 的 直 线 l 与 椭 圆 C 交 于 A 、 B 两 点 , 椭 圆 C 上 一 点 M 满 足 |MA|=|MB| . 求 证 : + + 为定值.

【思路点拨】 (1)把(1,1)与(



)两点代入椭圆方程解出即可.

(2)由|MA|=|MB|,知 M 在线段 AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对称. ①若点 A、B 是椭圆的短轴顶点,则点 M 是椭圆的一个长轴顶点;同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶点, 则点 M 在椭圆的一个短轴顶点;直接代入计算即可. ②若点 A、 B、M 不是椭圆的顶点, 设直线 l 的方程为 y=kx(k≠0) ,则直线 OM 的方程为 , 设 A(x1,

y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,与椭圆的方程联立解出坐标,即可得到

=

,同理

,代入要求的式子即可.

【详细解析】 3.在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 p (x, y) (x≥0) 满足: 点 p 到定点 F ( , 0) 与到 y 轴的距离之差为 . 记 动点 p 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)过点 F 的直线交曲线 C 于 A、B 两点,过点 A 和原点 O 的直线交直线 x=﹣ 于点 D,求证:直线 DB 平行于 x 轴. 【思路点拨】 (1)利用动点 p(x,y) (x≥0)满足:点 p 到定点 F( ,0)与到 y 轴的距离之差为 .列 出关系式,即可求曲线 C 的轨迹方程; (2)过点 F 的直线交曲线 C 于 A、B 两点,过点 A 和原点 O 的直线交直线 x=﹣ 于点 D,设 A 的坐标为



) ,求出 OM 的方程为 y=

x(y0≠0) ,推出点 D 的纵坐标然后求出直线 AF 的方程,求出点 B

的纵坐标,判断直线 DB 平行于 x 轴.即可得到结果. 【详细解析】 4.在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 P(2,1)在椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程; (2)不经过坐标原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点(不与点 P 重合) ,且线段 AB 的中为 D,直线 OD 的斜率为 1,记直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1?k2 为定值. 上且离心率为 .

【思路点拨】 (1)根据椭圆的离心率公式,将 P 代入椭圆方程,即可求得 a 和 b 的值,求得椭圆方程;

(2)根据中点坐标公式及直线斜率公式,求得 x1+x2=y1+y2,利用点差法求得直线 l 的斜率,将直线方程代 入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式,即可求得 k1?k2 为定值 . 【详细解析】 5.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:x=﹣1,点 T(3,0) ,动点 P 满足 PS⊥l,垂足为 S,且 动点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 曲线 C 的方程; (2)设 Q 是曲线 C 上异于点 P 的另一点,且直线 PQ 过点(1,0) ,线段 PQ 的中点为 M,直线 l 与 x 轴的 交点为 N.求证:向量 与 共线. ? =0,设

【思路点拨】 (1)设 P(x0,y0) ,则 S(﹣1,y0) ,由此利用向量的数量积能求出曲线 C 的方程. (2)设 Q(x1,y1) ,则 ,从而 y2=4x,p=2,焦点 F(1,0) ,N(﹣1,0) ,由 PQ 过 F,得 ,

,进而 【详细解析】

=(

) ,

=(

) ,由此能证明向量



共线.

6.已知动点 A,B 在椭圆

+

=1 上,且线段 AB 的垂直平 分线始终过点 P(﹣1,0) .
[来源:学科网]

(1)证明线段 AB 的中点 M 在定直线上; (2)求线段 AB 长度的最大值.

【思路点拨】 (1)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,线段 AB 的中点 M(x0,y0) ,当 AB 与 x 轴垂直时,线段 AB 的中点 M(﹣2,0) ,在直线 y=0,当 AB 与 x 轴不垂直时,利用平方差法推出 M 在直线 x=﹣2 上. ,说明

[来源:学科网 ZXXK]

(2)当 AB 与 x 轴垂直时, 求解即可. 【详细解析】

,当 AB 与 x 轴不垂直时,联立直线与抛物线方程,利用弦长公式

7.已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,长轴长为 2

,离心率为

;抛物线 G:y2=2px(p>0)的焦点 F 与椭

圆 E 的右焦点重合,若斜率为 k 的直线 l 过抛物线 G 的焦点 F 与椭圆 E 交于 A,B 两点,与抛物线 G 相交 于 C,D 两点. (1)求椭圆 E 及抛物线 G 的方程;

(2)证明:存在实数 λ,使得 【思路点拨】 (1)由 2a=2

+

为常数,并求 λ 的值.

,根据椭圆的离心率公式即可求得 c 的值,代入,b2=a2﹣c2=1,求得椭圆方程,

由 =c,求 得 c 的值,求得抛物线方程; ( 2 ) 设 直 线 l 的 方 程 , 分 别 代 入 椭 圆 方 程 及 抛 物 线 方 程 , 分 别 求 得 丨 AB 丨 及 丨 CD 丨 , 由 + 【详细解析】 8.已知定点 Q( ,0) ,P 为圆 N: 上任意一点,线段 QP 的垂直平分线交 NP 于点 M. = 为常数,则须有 20+ λ=4,即可求得 λ 的值.

(1)当 P 点在圆周上运动时,求点 M (x,y) 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,且 的方程. 【思路点拨】 (1)求出圆 N 的圆心坐标为 N( |M N|+|MQ|=| MN|+|MP|=|NP|= ,0) ,半径为 , |MP|=|MQ| , 得 到 ,求证:直线 l 与某个定圆 E 相切,并求出定圆 E

>|NQ|,利用椭圆的定义,求解点 M 的轨迹 C 的方程.

(2) 当直线的斜率存在时, 设直线 l 为 y=kx+m, A (x1, y1) , B (x2, y2) , 联立直线与椭圆的方程, 得

消去 y,通过直线与椭圆有两个不同的交点,利用判别式以及韦达定理,通过 线的斜率不存在时,直线为 x=m,验证求解即可. 【详细解析】 9.已知椭圆 C: +

,求解即可,当直

=1(a>b>0)的两焦点分别为 F1,F2,离心率为 .设过点 F2 的直线 l 被椭圆 C

截得的线段为 RS,当 l⊥x 轴时,|RS|=3 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知点 T(4,0) ,证明:当直线 l 变化时,直线 TS 与 TR 的斜率之和为定值. 【思路点拨】 (1)由题意可知:a=2c, =3,且 a2=b2+c2,即可求得 a 和 b 的值,求得椭圆方程;

(2)分类讨论,当直线 l 不垂直与 x 轴时,设直线方程,代入椭圆方程,由韦达定理及直线的斜率公式, 即可求得 kTR+kTS=0,即可证明直线 TS 与 TR 的斜率之和为定值. 【详细解析】

10.已知椭圆 E: (1)求椭圆 E 的标准方程;

中,a=

b,且椭圆 E 上任一点到点

的最小距离为



(2)如图 4,过点 Q(1,1)作两条倾斜角互补的直线 l1,l2(l1,l2 不重合)分别交椭圆 E 于点 A,C,B, D,求证:|QA|?|QC|=|QB|?|Q D|.

【思路点拨】 (1)设 M(x,y)为椭圆 E 上任一点,由 求解椭圆 E 上任一点到点 的最小距离为

,椭圆 E 的方程可化为

,通过

.即可求出椭圆的方程.

(2)直线 l1,l2 不重合,则直线 l1,l2 的斜率均存在,设直线 l1:y=k(x﹣1)+1,点 A(x1,y1) ,C(x2, y2) .

直 线 l2 : y= ﹣ k ( x ﹣ 1 ) +1 . 联 立

消去 y,由韦达定理以及弦长公式化简,可得

|QA|?|QC|=|QB|?|QD|. 【详细解析】 11.椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过其右焦点 F 与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相 2 2 a b
1 . 2

交于点 M , MF ?

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设椭圆 C 的左顶点为 A ,右顶点为 B ,点 P 是椭圆上的动点,且点 P 与点 A , B 不重合,直线 PA 与直线 x ? 3 相交于点 S ,直线 PB 与直线 x ? 3 相交于点 T ,求证:以线段 ST 为直径的圆恒过定点. 【思路点拨】(1)由题意可得 a ? 2, b ? 1 ,则椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 1
2 2

? ? 5k 1 ? ? ? 5k 1 ? (2)由题意可得 S ? 3, 5k ? ,结合题意可得圆的方程为 ? x ? 3? ? ? y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,则以线段 ? ? 2 8k ? ? ? 2 8k ?
2

ST 为直径的圆恒过定点 ? 3 ? 【详细解析】

? ? ?

5 ? , 0? ?. 2 ?

2 12.已知点 A ? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? ( 其中 x1 ? x2 ) 是曲线 y ? 4x ? y ? 0? 上的两点, A , D 两点在 x 轴上

的射影分别为点 B , C ,且 BC ? 2 . (1)当点 B 的坐标为 ?1,0 ? 时,求直线 AD 的斜率; (2)记 ?OAD 的面积为 S1 ,梯形 ABCD 的面积为 S2 ,求证:

S1 1 ? . S2 4

【思路点拨】(1)由题意结合直线的斜率公式可得 k AD ?

y2 ? y1 2 3 ? 2 ? ? 3 ?1 ; x2 ? x1 2
1 AD d ? m 2


(2) 设 直 线 AD 的 方 程 为 y ? kx ? m . 联 立 直 线 与 抛 物 线 的 方 程 , 可 得 S1 ?

S2 ?

1 4 ? y1 ? y2 ?? x2 ? x1 ? ? 2 k

,则

1 S1 m km ? . ? ? 4 S2 y1 ? y2 4

【详细解析】


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