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二次函数与一元二次方程专题训练


二次函数与一元二次方程

知识要点梳理: 知识要点梳理 :
2

一 元 二次 方程 ax +bx+c=0(a ≠0) 的解 的 情况 等价 于 抛 物线
2

2

y=ax +bx+c(c≠0)与直线 y=0( x 轴)的公共点的个数。抛物线 y=ax +bx+c(a y=0(即 +bx+c(a≠0)与 x 轴的 公共点有三种情况:两个公共点 两个公共点(即有两个交点) ,一个公共点,没有公共点 没有公共点,因此有: (1)抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴有两个公共点(x1,0)(x2,0) 2 有两个不等实根 △=b -4ac>0 4ac>0。
2

一元二次方程 ax +bx+c=0

2

(2)抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴只有一个公共点时,此公共点即为顶点

2

一元

二次方程 ax +bx+c=0 有两个相等实根 有两个相等实根, (3)抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴没有公共点 2 △=b -4ac<0.
2 2

2

一元二次方程 ax +bx+c=0 没有实数根 方程 ax +bx+c=h 的根的情
2 2

2

(4)事实上,抛物线 y=ax +bx+c 与直线 y=h 的公共点情况 况。 抛物线 y=ax +bx+c 与直线 y=mx+n 的公共点情况
2

方程 ax +bx+c=mx+n 的根的情况。

典例精讲
例 1 ( 2008 枣 庄 ) 在 直 角 坐 标 平 面 中 , O 为 坐 标 原 点 , 二 次 函 数 与 且 y = ? x2 + (k ? 1) x + 4 的图象与 y 轴交于点 A, x 轴的负半轴交于点 B, S?OAB = 6 . (1)求点 A 与点 B 的坐标 (2)求此二次函数的解析式; 的坐标; (3)如果点 P 在 x 轴上, ,且△ABP 是等腰三角形,求点 P 的坐标.
例 2 已知二次函数 y=x2-〔m2+8〕x+2〔m2+6〕, ⑴求证;不论 m 取任何实数 取任何实数,此函数图象都与 x 轴有两个交点,且两个交点都在 x 轴的 且两个交点都在 正半轴上。 ⑵设抛物线顶点为 A,与 X 轴交于 B,C 两点, 与 问是否存在实数 M,使三角形 ABC 为等腰直 使三角形 角角形?如果存在,求出 M 的值;如果不存在,请说明理由。

遂宁) ,二次函数的图象经过点 D(0, 7 3 ),且顶点 C 的横坐标为 4, 例 3(2009 遂宁)如图, ( 9 该图象在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6. ⑴求二次函数的解析式; ;⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P,使 PA+PD 最小,求出点 P 的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点 Q,使△QAB 与△ABC 相似?如果存在,求出点 Q 的坐标;如果 在抛物线上是否存在点 求出点 不存在,请说明理由.

基础练习
1.不论 x 为何值,二次函数 y=ax +bx+c 的值恒为负的条件( 1.
2 2 2 2

) 。
2

A.a>0,b -4ac<0 B . .a>0,b -4ac>0 C. a<0,b -4ac<0 D. a<0,b -4ac>0 A. 2.已知关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的一个根为 x1=1,且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直 2. 线 x=2,则抛物线的顶点坐标为( ) 。 2 3.已知二次函数 y=-x +(3-k)x+2k-1 的图像与 y 轴的交点位于(0,1)的上方,则 k 的取值 范围( ) 。 4.对于每个非零自然数 n, 抛物线 y = x 2 ?
2n + 1 n ( n + 1)

x+

1 n( n + 1)

与 x 轴交于 An、 n 两点, An Bn B 以 ) 。

表示这两点间的距离,则 A1 B1 + A2 B2 + L + A2009 B2009 的值是( A.

2009

2008 2009 2009 2010 2 5.设函数 y=x ﹣(k+1)x﹣4(k+5)的图象如图所示,它与 x 轴交于 A、B 两点,且线段 5. OA 与 OB 的长的比为 1:4,则 k= _________ .

B.

2008

C.

2010

D.

2009

6. 2010 包头)已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点 ( ?2, 、 ( x1, ,且 . ( 包头) 0) 0)

1 < x1 < 2 ,与 y 轴的正半轴的交点在 (0, 的下方.下列结论:① 4a ? 2b + c = 0 ; 2)
② a < b < 0 ;③ 2a + c > 0 ;④ 2a ? b + 1 > 0 .其中正确结论的个数是
2

个.

7. ( 2010 自贡 ) y=x +(1-a)x+1 是关于 x 的二次函数,当 x 的取值范围是 1≤x≤3 时,y 在 x=1 时取得最大值,则实数 a 的取值范围是( A.a=5 B.a≥5 C.a=3 ) 。 D.a≥3

2 8. ( 2008 武汉 ) 下列命题:①若 a + b + c = 0 ,则 b ? 4ac ≥ 0 ;

②若 b > a + c ,则一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 有两个不相等的实数根; ③若 b = 2a + 3c ,则一元二次方程 ax + bx + c = 0 有两个不相等的实数根;
2 2 ④若 b ? 4ac > 0 ,则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3.

其中正确的是( ) . A.只有①②③B.只有①③④C.只有①④D.只有②

能力提升
1、 (2011?大庆)二次函数:y=ax ﹣bx+b(a>0,b>o)图象顶点的纵坐标不大于﹣ .
2

(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围; (2)若该二次函数图象与 x 轴交于 A,B 两点,求线段 AB 长度的最小值. 2、 (2011?广东)已知抛物线 与 x 轴没有交点.

(1)求 c 的取值范围; (2)试确定直线 y=cx+1 经过的象限,并说明理由. 3、 (2011?荆州)如图,等腰梯形 ABCD 的底边 AD 在 x 轴上,顶点 C 在 y 轴正半轴上,B 2 (4,2) ,一次函数 y=kx﹣1 的图象平分它的面积,关于 x 的函数 y=mx ﹣(3m+k)x+2m+k 的图象与坐标轴只有两个交点,求 m 的值.

4、 (2011?南京)已知函数 y=mx ﹣6x+1(m 是常数) . (1)求证:不论 m 为何值,该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点; (2)若该函数的图象与 x 轴只有一个交点,求 m 的值. 2 5、 (2011?新疆)已知抛物线 y=﹣x +4x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点左侧) ,顶 点为 P. (1)求 A、B、P 三点的坐标; (2)在直角坐标系中,用列表描点法作出抛物线的图象,并根据图象写出 x 取何值时,函 数值大于零; (3)将此抛物线的图象向下平移一个单位,请写出平称后图象的函数表达式. x y

2

6、 (2010?镇江)已知二次函数 y=x +2x+m 的图象 C1 与 x 轴有且只有一个公共点 已知二次函数 轴有且只有一个公共点. (1)求 C1 的顶点坐标; (2) C1 向下平移若干个单位后 得抛物线 C2, 将 向下平移若干个单位后, 如果 C2 与 x 轴的一个交点为 A (﹣3, , 0) 求 C2 的函数关系式,并求 C2 与 x 轴的另一个交点坐标; (3)若 P(n,y1) ,Q(2, 2)是 C1 上的两点,且 y1>y2,求实数 n 的取值范围 ,y 的取值范围. 2 7、 (2010?咸宁)已知二次函数 y=x +bx﹣c 的图象与 x 轴两交点的坐标分别为 已知二次函数 轴两交点的坐标分别为(m,0)(﹣ , 3m,0) (m≠0) . 2 (1)证明 4c=3b ; 若该函数图象的对称轴为直线 (2)若该函数图象的对称轴为直线 x=1,试求二次函数的最小值. 2 8、 (2010?十堰)已知关于 x 的方程 mx ﹣(3m﹣1)x+2m﹣2=0. (1)求证:无论 m 取任何实数时 取任何实数时,方程恒有实数根; 2 (2)若关于 x 的二次函数 y=mx ﹣(3m﹣1)x+2m﹣2 的图象与 x 轴两交点间的距离为 2 时,求抛物线的解析式; 中,画出(2)中的函数图象,结合图象回答问题 结合图象回答问题:当直线 y=x+b (3)在直角坐标系 xoy 中 与(2)中的函数图象只有两个交点时 中的函数图象只有两个交点时,求 b 的取值范围. 2 9、 (2010?汕头)已知二次函数 y=﹣x +bx+c 的图象如图所示,它与 x 轴的一个交点坐标为 已知二次函数 (﹣1,0) ,与 y 轴的交点坐标为 轴的交点坐标为(0,3) . (1)求出 b,c 的值,并写出此二次函数的解析式 并写出此二次函数的解析式; (2)根据图象,写出函数值 y 为正数时,自变量 x 的取值范围. 写出函数值

2

10、 (2010?娄底)已知:二次 二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点 两点,与 y 轴交于 点 C,其中点 A 的坐标是(﹣ (﹣2,0) ,点 B 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上 轴的正半轴上,线 2 段 OB、OC 的长(OC<OB OB)是方程 x ﹣10x+24=0 的两个根. (1)求 B、C 两点的坐标; ; (2)求这个二次函数的解析式 求这个二次函数的解析式. 11、 (2009?肇庆)已知一元二次方程 x +px+q+1=0 的一根为 2. 已知一元二次方程 (1)求 q 关于 p 的关系式; ; 2 (2)求证:抛物线 y=x +px+q 与 x 轴有两个交点;
2

2

(3)设抛物线 y=x +px+q 的顶点为 M,且与 x 轴相交于 A(x1,0) 、B(x2,0)两点,求 使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式. 2 12、 (2009?黔东南州)已知二次函数 y=x +ax+a﹣2. (1)求证:不论 a 为何实数,此函数图象与 x 轴总有两个交点; (2)设 a<0,当此函数图象与 x 轴的两个交点的距离为

2

13时,求出此二次函数的解析

式; (3)若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点,在函数图象上是否存在点 P,使得△PAB 的面积为

3 13 ,若存在求出 P 点坐标,若不存在请说明理由. 2 1 2
2

15、 (2009?宁夏)如图,抛物线 y=﹣ x +

2 x+2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点. 2

(1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)证明△ABC 为直角三角形; (3)在抛物线上除 C 点外,是否还存在另外一个点 P,使△ABP 是直角三角形,若存在, 请求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由.

y ( ( , 16、2008?长春) ( 已知两个关于 x 的二次函数 y1 与 y2,1=a x﹣k)+2 k>0)y1+y2=x +6x+12; 当 x=k 时,y2=17;且二次函数 y2 的图象的对称轴是直线 x=﹣1. (1)求 k 的值; (2)求函数 y1,y2 的表达式; (3)在同一直角坐标系内,问函数 y1 的图象与 y2 的图象是否有交点?请说明理由. 2 17、 (2009?黄石)已知关于 x 的函数 y=ax +x+1(a 为常数) (1)若函数的图象与 x 轴恰有一个交点,求 a 的值; (2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在 x 轴上方,求 a 的取值范围. 18、 (2009?娄底)已知关于 x 的二次函数 y=x ﹣(2m﹣1)x+m +3m+4. (1)探究 m 满足什么条件时,二次函数 y 的图象与 x 轴的交点的个数; 2 2 (2)设二次函数 y 的图象与 x 轴的交点为 A(x1,0) ,B(x2,0) ,且 x1 +x2 =5,与 y 轴 的交点为 C,它的顶点为 M,求直线 CM 的解析式. 19、 (2008?北京)已知:关于 x 的一元二次方程 mx ﹣(3m+2)x+2m+2=0(m>0) . (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两个实数根分别为 x1,x2(其中 x1<x2) .若 y 是关于 m 的函数,且 y=x2﹣ 2x1,求这个函数的解析式; (3)(2) 在 的条件下, 结合函数的图象回答: 当自变量 m 的取值范围满足什么条件时, y≤2m.
2 2 2

2

2

20、 (2009 孝感)已知抛物线 y = x 2 + kx ?

3

4 (1)证明:此抛物线与 x 轴总有两个交点; (2)设抛物线与 x 轴交于 M、N 两点,若这两点到原点的距离分别为 OM、ON,且 1 1 2 ? = ,求 k 的值. ON OM 3

. k 2 (k 为常数,且 k>0)

21、. 已知:二次函数 y = x 2 ? 2( m ? 1) x ? 1 ? m 的图像与 x 轴交于 A( x1 ,0) 、B( x 2 , 0) x1 <0< x 2 ,与 y 轴交于点 C,且满足 ,

1 1 2 ? = AO BO CO

⑴ 求这个二次函数的解析式; ⑵ 是否存在着直线 y=kx+b 与抛物线交于点 P、Q,使 y 轴平分△CPQ 的面积?若存在, 求出 k、b 应满足的条件;若不存在,请说明理由. 22、 (2008 北京) .在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y = x 2 + bx + c 与 x 轴交于 A,B 两 点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C ,点 B 的坐标为 (3, ,将直线 y = kx 沿 y 轴向 0) 上平移 3 个单位长度后恰好经过 B,C 两点. (1)求直线 BC 及抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为 D ,点 P 在抛物线的对称轴上,且 ∠APD = ∠ACB ,求点 P 的坐 标; y (3)连结 CD ,求 ∠OCA 与 ∠OCD 两角和的度数 4 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 1 2 3 4 x

23、 (2010 厦门) 在平面直角坐标系中, 在平面直角坐标系中 点 O 是坐标原点, P ( m, ?1) ( m > 0) 。 点 连结 OP , 将 线 段 OP 绕 点 O 按 逆 时 针 方 向 旋 转 90 ° 得 到 线 段 OM , 且 点 M 是 抛 物 线

y = ax 2 + bx + c 的顶点
抛物线 ,当 0 ≤ x ≤ 1 时,求 y 的取 ( 1)若 m = 1 ,抛物线 y = ax + bx + c 经过点(2,2)
2

值范围; (2)已知点 A (1, ,若抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交于点 B ,直线 AB 与抛 ,0) 物线 y = ax 2 + bx + c 有且只有一 个交点,请判断 BOM 的形状,并说明理由 并说明理由 24、 (2010 江津)


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