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全国高中数学联赛模拟试题(七)


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全国高中数学联赛模拟试题(七)
(选题人:李潜)

第一试
一、选择题: (每小题 6 分,共 36 分)
1、a、b 是异面直线,直线 c 与 a 所成的角等于 c 与 b 所成的角,则这样的 直线 c 有 (A)1

条 (B)2 条 (C)3 条 (D)无数条 2、已知 f(x)是 R 上的奇函数,g(x)是 R 上的偶函数,若 f(x)?g(x)=x2+2x+3, 则 f(x)+g(x)= (A)?x2+2x?3 (B)x2+2x?3 (C)?x2?2x+3 (D)x2?2x+3 3、已知△ABC,O 为△ABC 内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA= AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO) 成立的 m 的最大值是 (A)2 (B)
5 3

2? 3

,则使

(C) 3

(D)

3 2

4、设 x=0.820.5,y=sin1,z=log3 7 则 x、y、z 的大小关系是 (A)x<y<z 5、整数 ?
? 10 1995 ? ? 95 ? 10 ? 3 ?

(B)y<z<x

(C)z<x<y

(D)z<y<x

的末尾两位数字是

(A)10 (B)01 (C)00 (D)20 6、设(a,b)表示两自然数 a、b 的最大公约数.设(a,b)=1,则(a2+b2,a3+b3)为 (A)1 (B)2 (C)1 或 2 (D)可能大于 2

二、填空题: (每小题 9 分,共 54 分)
1、若 f(x)=x10+2x9?2x8?2x7+x6+3x2+6x+1,则 f( 2 ?1)= .

2、设 F1、F2 是双曲线 x2?y2=4 的两个焦点,P 是双曲线上任意一点,从 F1 引∠F1PF2 平分线的垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹方程是 . 3、给定数列{xn},x1=1,且 x n ? 1 ?
3xn ? 1 3 ? xn

,则 x1999?x601=



4、 正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1,E 是 CD 中点,F 是 BB1 中点,则 四面体 AD1EF 的体积是 . 5、在坐标平面上, 由条件 ?
?y ? ? x ?1 ? ? y ? ?2 x ? 3 ?

所限定的平面区域的面积是



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6、12 个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组 4 人,不同组坐不同 的桌子.若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子,则至 少需要 周.

三、 (20 分)
已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 过定点 A(1,0), 且焦点在 x 轴上, 椭圆与曲线|y|=x

的交点为 B、C.现有以 A 为焦点,过 B、C 且开口向左的抛物线,抛物 线的顶点坐标 M(m,0).当椭圆的离心率 e 满足 取值范围.
2 3 ? e
2

? 1 ,求实数

m的

四、 (20 分)
a、b、c 均为实数,a≠b,b≠c,c≠a. 证明:
3 2



a ? b ? 2c ? b ? c ? 2 a ? c ? a ? 2b a?b ? b?c ? c?a

<2.

五、 (20 分)
已知 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx,满足 (i)a、b、c、d 均大于 0; (ii)对于任一个 x∈{?2, ?1,0,1,2},f(x)为整数; (iii)f(1)=1,f(5)=70. 试说明,对于每个整数 x,f(x)是否为整数.

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第二试
一、 (50 分)
设 K 为△ABC 的内心,点 C1、B1 分别为边 AB、AC 的中点,直线 AC 与 C1K 交于点 B2,直线 AB 于 B1K 交于点 C2.若△AB2C2 于△ABC 的面积相等,试求∠CAB.

二、 (50 分)
设 w ? cos
?
5 ? i sin

?
5

,f(x)=(x?w)(x?w3)(x?w7)(x?w9).

求证:f(x)为一整系数多项式,且 f(x)不能分解为两个至少为一次的 整系数多项式之积.

三、 (50 分)
在圆上有 21 个点.求在以这些点为端点组成的所有的弧中,不超过 120°的弧的条数的最小值.

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参考答案
第一试
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 1、4; 3、0; 5、16;
? ? 3? 2 ? ? ? 4 ?

1 D

2 A

3 C

4 B

5 C

6 C

2、x2+y2=4; 4、
5 24



6、5.

三、 ? 1, ?



四、证略. 五、是.

第二试
一、60°; 二、证略. 三、100.

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