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【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题3 三角函数 第1讲 三角函数的图象与性质、三角恒等变换 文


第1讲

三角函数的图象与性质、三角恒等变换

三角函数的概念、诱导公式及恒等变换 1.(2015 贵阳高三适应性监测)已知α ∈(0,2π ),且α 的终边上一点的坐标为(sin ,cos ), 则α 等于( B ) (A) (B) (C) (D)

解析:由已知可得,α 的终边上一点的坐标为( ,- ),


且α ∈(0,2π ),故α ∈( ,2π ),

根据三角函数的定义可得 tan α =-

,

所以α = . 故选 B. 2.(2015 太原市模拟)已知 sin α +cos α = ,α ∈(- , ),则 tan α 等于( D )

(A)-1

(B)-

(C)

(D)1

解析:因为 sin α +cos α =

,α ∈(- , ),

所以

sin(α + )=

,

所以 sin(α + )=1,

所以α + = ,所以α = ,

1

所以 tan α =tan =1,选 D.

3.(2015 呼伦贝尔一模)已知 sin α +cos α = ,则 sin ( -α )等于(

2

B )

(A)

(B)

(C) (D)

解析:因为 sin α +cos α = ,

则 1+2sin α cos α = ,2sin α cosα =- ,

sin ( -α )=( cos α - sin α )

2

2

= (1-2sin α cos α )

= (1+ )= , 故选 B. 4.(2015 衢州一模)若 cos(α + )=- ,则 sin(α - )= .

解析:sin(α - )=sin[(α + )- ]=-sin[ -(α + )]=-cos(α + )= .

答案:

函数 y=Asin(ω x+φ )+B 的解析式 5.(2015 许昌一模)函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (其中 A>0,|φ |< )的图象如图所示,为了得到 g(x)=sin 2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( A )

2

(A)向右平移 个长度单位

(B)向右平移 个长度单位

(C)向左平移 个长度单位

(D)向左平移 个长度单位

解析:由已知中函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (其中 A>0,|φ |< )的图象,过( ,0)点, ( ,-1)点,

易得,A=1,T=4( - )=π ,即ω =2,

即 f(x)=sin(2x+φ ),将( ,-1)点代入得

+φ = +2kπ ,k∈Z,

又|φ | < ,所以φ = ,

所以 f(x)=sin(2x+ ),

故将函数 f(x)的图象向右平移 个长度单位得到函数 g(x)=sin 2x 的图象, 故选 A. 6.(2015 沈阳校级模拟)将函数 y=sin(2x+ )的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位, 所得图象的函数解析式是( A ) 2 2 (A)y=2cos x (B)y=2sin x (C)y=1+sin(2x+ ) (D)y=cos 2x

解析:将 y=sin(2x+ )的图象向左平移 个单位得到

y=sin[2(x+ )+ ],即 y=cos 2x, 再向上平移 1 个单位得到函数 y=cos 2x+1=2cos x, 故选 A.
2

3

7.(2015 郑州第一次质量预测)如图,函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (其中 A>0,ω >0, |φ |≤ )与坐标轴的三个交点 P,Q,R 满足 P(1,0),∠PQR= ,M(2,-2)为线段 QR 的中点,则 A 的值为( C )

(A)2

(B)

(C)

(D)4

解析:因为 M(2,-2)为 QR 的中点, 所以可知 R(0,-4),Q(0,4) 所以函数的周期 T=6,所以ω = = ,

所以 f(x)=Asin( x+φ ),把 P(1,0)代入 f(x)可得,

sin( +φ )=0,

又|φ |≤ ,所以φ =- ,

所以 f(x)=Asin( x- ),

把 R(0,-4)代入 f(x)可得 Asin(- )=-4,

所以 A=

,故选 C.

8.(2015 赤峰市高三统考)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )的图象如图所示,其中 A>0,ω >0,|φ |< , 则下列关于函数 f(x)的说法正确的是( D )

4

(A)对称轴方程是 x= +2kπ (k∈Z)

(B)φ =(C)最小正周期是π (D)在区间(- ,- )上单调递减

解析:由图知 A=1,周期 T= =2[ -(- )]=2π , 所以ω =1, 故 f(x)=sin(x+φ ),由五点法作图可得- +φ =0,

所以φ = ,

所以 f(x)=sin(x+ ),

由 x+ =kπ + (k∈Z),

可得对称轴为 x=kπ + ,(k∈Z),且φ = , 最小正周期为 2π ,故 A,B,C 都不正确. 令 2kπ + ≤x+ ≤2kπ + (k∈Z),

可得 2kπ + ≤x≤2kπ + (k∈Z),

故函数 f(x)在区间(- ,- )上单调递减,

5

故选 D. 三角函数的图象和性质 9.(2015 丽水一模)要得到函数 y=sin(2x+ )的图象,只需将函数 y=sin 2x 的图象( C )

(A)向左平移 个单位长度

(B)向右平移 个单位长度

(C)向左平移 个单位长度

(D)向右平移 个单位长度

解析:因为 y=sin(2x+ )=sin[2(x+ )],

故只需把 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度即可得到 y=sin(2x+ )的图象.选 C.

10.(2015 开封二模)若函数 f(x)=(1+

tan x)cos x,0≤x< ,则 f(x)的最大值是(

B )

(A)1

(B)2

(C)

+1 (D)

+2

解析:f(x)=(1+ =cos x+ sin x

tan x)cos x

=2sin(x+ ),

因为 0≤x< ,

所以 ≤x+ < , 所以 f(x)∈[1,2],故选 B. 11.若函数 f(x)=sin ω x(ω >0)在区间[0, ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递减,则ω 等于 ( C ) (A)3 (B)2 (C) (D)

6

解析:因为 y=sin ω x(ω >0)过原点, 所以当 0≤ω x≤ ,即 0≤x≤ 时,y=sin ω x 是增函数;

当 ≤ω x≤ ,即 ≤x≤ 时,y=sin ω x 是减函数.

由 y=sin ω x(ω >0)在[0, ]上单调递增,在[ , ]上单调递减知,

= ,

所以ω = .

12.(2015 衢州二模 ) 设函数 f(x)=2cos( x+ ), 则该函数的最小正周期为 为 ,单调递增区间为 .

, 值域

解析:函数的最小正周期为 T=

=4π ,值域为 [-2,2],由 2kπ -π ≤ x+ ≤2kπ (k∈Z),可得

其单调递增区间为 4kπ - ≤x≤4kπ - (k∈Z).

答案:4π

[-2,2] [4kπ - ,4kπ - ](k∈Z).

13.(2015 洛阳一模)将函数 y=sin( x)sin( x+ )的图象向右平移 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则正数ω 的最小值为 解析:因为 y=sin( x)sin( x+ ) .

= sin

2

+

sin ω x

=

= sin(ω x- )+ ,

7

所以将函数的图象向右平移 个单位,

所得解析式为 y= sin[ω (x- )- ]+

= sin(ω x-ω - )+ , 因为所得图象关于 y 轴对称, 所以-ω - =kπ + ,k∈Z, 可解得ω =-6k-4,k∈Z, 所以 k=-1 时,正数ω 的最小值为 2, 答案:2

一、选择题 1.设 P(x,2)为角α 终边上的一点,且 sin α = ,则 tan α 等于( A (A)1 (B)-1 (C)±1 (D)±2 解析:因为角α 终边上一点 P(x,2), 所以|OP|= (O 为坐标原点), )

由 sin α = =

,

得 x=2,所以 tan α = =1,故选 A. 2.(2015 江南二模)若 3sin θ =cos θ ,则 cos 2θ +sin 2θ 的值等于( (A)(B) (C)(D) B )

解析:因为 3sin θ =cos θ ,所以 tan θ = ,

所以 cos 2θ +sin 2θ =

8

=

=

= , 故选 B. 3.(2015 湖北模拟)在下面给出的函数中,既是区间(0, )上的增函数又是以π 为周期的偶 函数的是( B ) 2 (A)y=x (x∈R) (B)y=|sin x|(x∈R) sin 2x (C)y=cos 2x(x∈R) (D)y=e (x∈R) 2 解析:y=x (x∈R)不是周期函数,故排除 A.

因为 y=|sin x|(x∈R)周期为π ,且根据正弦图象知在区间(0, )上是增函数. 故选 B. 4.(2015 桐城市一模)函数 y=sin(2x- )在区间[- ,π ]的简图是( B )

解析:当 x=- 时,

y=sin[2×(- )- ]=-sin(π + )

9

=sin = >0,排除 A,D;

当 x= 时,y=sin(2× - )=sin 0=0,排除 C. 故选 B. 5.(2015 邢台二模)要得到函数 y=2sin(2x- )的图象,只需将函数 y=2sin 2x 的图象( D )

(A)向左平移 个单位

(B)向右平移 个单位

(C)向左平移 个单位

(D)向右平移 个单位

解析:y=2sin(2x- )=2sin 2(x- ),

所以要得到 y=2sin(2x- )的图象,只需将函数 y=2sin 2x 的图象向右平移 个单位,故选 D.

6.(2015 惠州模拟)函数 f(x)= ω ,φ 的值分别是( A )

sin(ω x+φ ) (x∈R,ω >0,|φ |< )的部分图象如图所示,则

(A)2,-

(B)2,-

(C)4,-

(D)4,

解析:由图知 T= -(- )= π ,

所以 T=π ,即 =π , 解得ω =2.
10

由图象过( ,

)可知,

2× +φ = +2kπ ,k∈Z,

即φ =- +2kπ ,k∈Z,

因为|φ |< ,得φ =- ,

所以ω ,φ 的值分别是 2,- .故选 A.

7.(2015 东北三校联合二模)函数 f(x)=sin x+sin( -x)图象的一条对称轴为( D

)

(A)x=

(B)x=π (C)x=

(D)x=

解析:因为 f(x)=sin x+sin( -x)

=sin x+ cos x+ sin x

= cos x+ sin x

=

sin(x+ ),

结合选项知 x= 为其一条对称轴. 故选 D. 8.(2015 丽水一模)设函数 f(x)=sin(ω x+φ )+cos(ω x+φ ) (ω >0,|φ |< )的最小正周期为 π ,且 f(-x)=f(x),则( A ) (A)f(x)在(0, )上单调递减

11

(B)f(x)在( , )上单调递减

(C)f(x)在(0, )上单调递增

(D)f(x)在( , )上单调递增 解析:由于 f(x)=sin(ω x+φ )+cos(ω x+φ ) = sin(ω x+φ + ),

由于该函数的最小正周期为π = ,得出ω =2, 又 f(-x)=f(x), 得φ + = +kπ (k∈Z),

以及|φ |< ,得出φ = .

因此,f(x)=

sin(2x+ )=

cos 2x,

若 x∈(0, ),则 2x∈(0,π ),

从而 f(x)在(0, )上单调递减,

若 x∈( , ),则 2x∈( , ), 该区间不为单调区间,故 B,C,D 都错,A 正确. 故选 A. 9.(2015 唐山一模)已知 2sin 2α =1+cos2α ,则 tan 2α 等于( A (A) 或 0 (B)- 或 0

)

(C)

(D)-

12

解析:把 2sin 2α =1+cos 2α 两边平方得 2 2 4sin 2α =(1+cos 2α ) , 2 2 整理得 4-4cos 2α =1+2cos 2α +cos 2α , 2 即 5cos 2α +2cos 2α -3=0, 得(5cos 2α -3)(cos 2α +1)=0, 解得 cos 2α = 或 cos 2α =-1,

当 cos 2α = 时,sin 2α =

= ;tan 2α = ,

当 cos 2α =-1 时,sin 2α =

=0,tan 2α =0,

则 tan 2α = 或 0.故选 A.

10.(2015 广西南宁二模)已知函数 f(x)=sin(2x+α )在 x= 时有极大值,且 f(x-β )为奇函数, 则α ,β 的一组可能值依次为( D ) (A) ,(B) ,

(C) ,-

(D) ,

解析:依题意知,f( )=1, 即 sin(2× +α )=1,

所以 +α = +2kπ (k∈Z),

所以α = +2kπ (k∈Z),k=0 时,α = ; 又 f(x-β )=sin(2x+α -2β ), 因为 f(x-β )为奇函数,所以α -2β =nπ (n∈Z), 即β = - = - (k∈Z),

当 n=0 时,β = ,故选 D.

13

二、填空题 11.(2015 东北三校第二次联考)若 cos (α + )= ,则 sin 2α =
2

.

解析:sin 2α =-cos(2α + )=-[2cos (α + )-1]

2

=-(2× -1)= .

答案:

12.(2015 衡阳校级模拟)函数 y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,|φ |< )的部分图象如图所示,则 函数的解析式为 .

解析:由题图可得 A=2, 周期 T= =2( 解得ω =2, 所以 y=2sin(2x+φ ),由图象过点( ,2), - ),

所以 2sin( +φ )=2,

解得 +φ =2kπ + ,k∈Z,解得φ =2kπ - ,

因为|φ |< ,所以φ =- ,

所以所求函数解析式为 y=2sin(2x- ).

答案:y=2sin(2x- )

14

13.(2014 北京卷)设函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 是常数,A>0,ω >0).若 f(x)在区间 [ , ]上具有单调性,且 f( )=f( )=-f( ),则 f(x)的最小正周期为 .

解析:因为 f(x)在[ , ]上具有单调性,

所以 ≥ - ,所以 T≥ .

因为 f( )=f( ),

所以 f(x)的一条对称轴为 x=

= .

又因为 f( )=-f( ),

所以 f(x)的一个对称中心的横坐标为

= .

所以 T= - = ,所以 T=π . 答案:π 三、解答题 14.(2015 河南三市第三次调研)已知函数 f(x)=2 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值及相应的 x 的值. sin(x+ )cos(x+ )+2cos (x- )-1(x∈R).
2

解:(1)f(x)=

sin(2x+ )+cos(2x- )

=

cos 2x+sin 2x

=2sin(2x+ ).

所以 f(x)的最小正周期为 T= =π .

15

(2)因为 0≤x≤ ,所以 ≤2x+ ≤ .

当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)max=2sin =2;

当 2x+ = ,即 x= 时,

f(x)min=2sin =-

.

16


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