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2013-2014学年高中数学人教A版必修三同步辅导与检测:3.2.1古典概型及其概率计算1


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概率

3 .2

古典概型

3.2.1古典概型及其概率计算(一)

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通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用 列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生 的概率.

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基础梳理 1.基本事件(要正确区分事件和基本事件)

一个事件如果不能再被分解为________的事件,称作 ________. 2.基本事件的两个特点 (1)任何两个基本事件是________. (2)任何事件(除不可能事件外)都可以表示成_______. 例如:投掷一枚硬币的事件____________是这个实验 的二个基本事件.
1.两个或两个以上 基本事件 2.(1)互斥的 (2)基本事件的和 例:“正面向上”与“反面向上” 金品质?高追求 我们让你更放心!

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◆数学?必修3?(配人教A版)◆ 3.古典概型有两个特征
(1)试验中所有可能出现的基本事件________; (2)各基本事件的出现是________,即它们发生的概率 相同. 我们称具有这两个特征的概率模型称为________,简 称古典概型.

注意:在“等可能性”概念的基础上,很多实际问题 符合或近似符合这两个条件,可以作为古典概型来看待.
(1)只有有限个 (2)等可能的 古典概率模型

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4.掌握古典概型的概率计算公式

A包含的基本事件个数 P(A)= . 总的基本事件个数
1 为:________. 3

例如:掷一骰子正面向上点数是3的倍数的概率

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思考应用 1.如何理解基本事件? 解析:主要从两个方面来理解. 一是任何两个基本事件都不可能同时发生, 即任意两个基本事件都是互斥的, 二是其它事件都能表示成基本事件的和.

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2.如何认识古典概型及其条件? 解析:看一个概率模型是否是古典概型,应从两个方 面分析,

第一,每一次试验中所有可能出现的结果是有限的;
第二,每一个结果出现的可能性是相等的.其中等可 能性指的是结果而不是事件.具备这两个条件的概率模型即 为古典概型.

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3.如何求得古典概型中事件A发生的概率? 解析:古典概型中求事件A发生的概率可以不通过 大量重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结 果进行分析和计算即可.求出两个数,一个是试验中所 有可能出现的结果数n,第二个是事件A包含的结果数m, m 进而计算P(A)= ,在求 P(A)时,应注意这n种结果必须 n 是等可能的,在这一点上容易出错. 例如,先后抛掷两 枚均匀的硬币,共出现“正正”、“正反”、“反正”、 “反反”这四种等可能的结果,而不是“2个正面”、 “2个反面”、“1正1反”三种结果.

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自测自评 1.若书架上放有中文书五本,英文书三本,日文 书两本,则抽出一本外文书的概率为( )
1 A. 5 3 B. 10 2 C. 5 1 D. 2

3 2 解析:是英文书概率是 ,是日文书概率是 , 10 10 5 1 是外文书概率是 = . 10 2 答案:D

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2.有100张卡片(从1号到100号),从中任取1张, 取到的卡号是7的倍数的概率为(
7 A. 50 7 B. 100 7 C. 48

)
15 D. 100

解析:卡号是7的倍数有7×1,7×2,7×3,…, 7×14共14种. 答案:A

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3.下列概率模型中,有几个是古典概型(

A )

①从区间[1,10]内任意取出一个数,求取到1的概率; ②从1~10中任意取出一个整数,求取到1的概率; ③向一个正方形ABCD内投一点P,求P刚好与点A 重合的概率;

④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概
率 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

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4.一部三册的小说,任意排放在书架的同一层 上,则各册自左到右或自右到左恰好为第1,2,3册的概 率为( )

1 A. 6

1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

解析:三本书从左至右顺序有如下各种情况: (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1), 满足条件的是(1,2,3),(3,2,1), 答案:B
2 1 P= = . 6 3

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列举基本事件求概率 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编

有不同号码的3个黑球,从中摸出2个球.求:
(1)基本事件总数; (2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件? (3)摸出2个黑球的概率是多少? 解析:在古典概型下,每一个基本事件出现的概 率均为 .因此,要求P(A)关键是求出事件A中所包含的 基本事件的个数m,然后套用公式 金品质?高追求
1 n

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事件A包含的基本事件的个数m P(A)= , 基本事件的总数n

求得古典概型的概率.

由于4个球的大小相等,摸出每个球的可能性是均等 的,所以是古典概型.
(1)从装有4个球的口袋内摸出2个球,基本事件总数 为6. (2)事件“摸出2个黑球”={(黑1,黑2),(黑2,黑3), (黑1,黑3)},共3个基本事件.

(3)基本事件总数n=6,事件“摸出两个黑球”包含 的基本事件数m=3,故P1 = . 2
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跟踪训练

1.在一个口袋中装有3个白球和2个黑球,这些球 除颜色外完全相同.从中摸出2个球,至少摸到1个黑球

的概率是________.

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解析:3个白球编号为1,2,3;2个黑球编号为4,5.则基本 事件是:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),

(3,4),(3,5),(4,5),共有10个基本事件.设至少摸到1个黑 球为事件A,其对立事件为B.则B包含的基本事件是(1,2), (1,3),(2,3),即包含3个基本事件. 3 7 所以 P(A)=1-P(B)=1- = . 10 10 7 答案: 10 点评:计算复杂事件的概率时,通常利用其对立事件 的概率来求解.

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利用事件的运算关系求概率 假如某人有5把钥匙,但忘了开门的是哪一 把,只好逐把试开,现在我们来研究一下: (1)此人恰好在第三次打开房门的概率有多大?

(2)此人三次内打开房门的概率是多少?

解析:(1)记“恰好第三次打开房门”为事件 A1, 5 把钥匙的排列是随机的,因此哪一次打开房门的概 1 率均相等,故 P(A1)= . 5

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(2)记“三次内打开房门”为事件 A2,它可以分解 成三个子事件 B1,B2,B3,其中事件 B1 是第一次就把 1 房门打开,其概率 P(B1)= ;事件 B2 是第二次把房门 5 1 打开,其概率 P(B2)= ;事件 B3 是第三次把房门打开, 5 1 其概率 P(B3)= ,因为事件 B1,B2,B3 彼此互斥,由互 5 斥事件概率的加法公式 P(A2)=P(B1∪B2∪B3) 3 =P(B1)+P(B2)+P(B3)= . 5

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跟踪训练
2.袋中有 12 个小球,分别为红球,黑球,黄球,绿球. 1 从中任取一球,得到红球的概率是 ,得到黑球或黄球的概率 3 5 5 是 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球,得到黄 12 12 球,得到绿球的概率各是多少?

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解析:利用方程思想求解. 从袋中任取一球,记事件“取得红球”, “取得黑球”,“取得黄球”,“取得绿球” 为 A,B,C,D,则有 5 P(B∪C)=P(B)+P(C)= , 12 5 P(C∪D)=P(C)+P(D)= , 12 2 P(B∪C∪D)=1-P(A)= , 3 1 1 1 ∴P(B)= ,P(C)= ,P(D)= . 4 6 4

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用列表法表示基本事件求概率

抛掷两颗骰子:
(1)一共有多少种不同结果? (2)向上的点数之和是5的结果有多少种?概率是多 少? (3)出现两个4点的概率. (4)向上的点数都是奇数的概率.

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解析:(1)我们列表如下,可以看出掷第一颗骰子的结果 有6种,第二颗骰子都有6个不同结果.如第一颗掷得2点时, 与第二颗配对有(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),6个 不同结果,因此两颗骰子配对共有6×6=36种不同结果,每 个结果都是等可能的. 第二颗 第一颗 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

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(2)设“向上的点数之和是5”=A,由5=1+4=2+ 3=3+2=4+1,故共有4种(1,4),(2,3),(3,2)和(4,1), 则 4 1 P(A)= = . 36 9 (3)事件 B=“出现 2 个 4 点”只有一种情形(4,4) 1 故 P(B)= . 36 (4)事件 C=“向上的点数都是奇数”包括以下 9 种情形(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5), (5,1),(5,3),(5,5),即 9 1 P(C)= = . 36 4

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跟踪训练

3.任意说出星期一到星期日中的两天(不重复),其 中恰有一天是星期六的概率为( )
1 A. 7 2 B. 7 1 C. 49 2 D. 49

解析:可借助图表分析. 答案:B

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用树形图表示基本事件求概率 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、 3、4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每 个小球被取出的可能性相等. (1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率;

(2)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.
解析:解法一:利用树状图可以列出从甲、乙两个盒 子中各取出1个球的所有可能结果:

可以看出,试验的所有可能结果数为16种.
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(1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有 1-2, 2-1,2-3,3-2,3-4,4-3 共 6 种. 6 3 故所求概率 P= = . 16 8 3 ∴取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为 . 8 (2)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 1-2, 2-1,2-4,3-3,4-2 共 5 种. 5 故所求概率为 P= . 16 5 ∴取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为 . 16

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解法二:设从甲、乙两个盒子中各取1个球,其数字 分别为x,y,用(x,y)表示抽取结果,则所有可能有(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种. (1)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有(1,2), (2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)共6种.
6 3 故所求概率 P= = . 16 8 3 ∴取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为 . 8 (2)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有(1,2), (2,1),(2,4),(3,3),(4,2)共 5 种. 5 故所求概率为 P= . 16 5 ∴取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为 . 16

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跟踪训练 4.用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色.每个 矩形只涂一种颜色,求: 矩 形 1 矩 形 2 矩 形 3

(1)3个矩形颜色都相同的概率; (2)3个矩形颜色都不同的概率.

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分析:本题中的基本事件较多,为了清楚地枚举 出所有可能的基本事件,可画图枚举如下:

本题的基本事件共有27个.

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解析:(1)记“3 个矩形都涂同一颜色”为事件 A, 由图知,事件 A 的基本事件有 1×3=3 个. 3 1 故 P(A)= = . 27 9 (2)记“3 个矩形颜色都不同”为事件 B, 由图可知,事件 B 的基本事件为 2×3=6 个. 6 2 故 P(B)= = . 27 9 1 则 3 个矩形颜色相同的概率为 , 9 2 3 个矩形颜色都不同的概率为 . 9

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1.一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古 典概型的两个特征——有限性和等可能性.并不是所有的试验 都是古典概型.只有同时具备这两个特点的才是古典概型.例 如:某射手射击靶子,击中靶子的概率为0.75,那么该射手连 续射击3次,则恰有两次击中靶子的概率为多少? 因为每次试验的结果有两个,但是出现这两种结果的概 率不一样,即击中的概率与击不中的概率不相同,故此概率模 型不是古典概型. 2.解决古典概型的概率问题,需从不同的背景材料中抽 象出两个问题: (1)所有基本事件的个数n; (2)随机事件A包含的基本事件的个数m; m 最后套用公式P(A)= n 求值. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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3.注意以下几点 (1)求基本事件总数和事件A所包含的基本事件数,可采 用一一列举或图表的形式来直观描述. (2)转化观察角度,从简单易行的角度入手,避免计算 复杂化.

(3)熟练地应用互斥事件和对立事件概率公式,将所求 事件分解为概率更易于计算的彼此互斥事件的和,化整为零, 化难为易,也可采取逆向思维,求其对立事件的概率.
(4)注重例题精选的学习,通过对例题的学习加深对概 念的理解,逐步掌握一些具体问题的解题方法,并通过大量 练习积累经验,总结题目类型,形成解题技巧. (5)注意有无放回抽样问题的区别. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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