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江苏省无锡市2009届高三第一学期期末质量调研数学试题


江苏省无锡市 2009 届高三第一学期期末质量调研数学试题
注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅 笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点,再 作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:如果事件 A, B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ? .

A.必做题部分
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 设集合 M ? ? x x ?
? ? 1 2 ? ? 0 ? , N ? ? x 2 x ? 1 ? 0? ?

,则 M I N ?





2. 已知复数 z 满足 z2+1=0,则(z6+i) 6-i)= ▲ (z . 3. 在总体中抽取了一个样本,为了便于统计,将样本中的每个数据乘以 100 后进行分析,得出新 样本平均数为 3,则估计总体的平均数为 ▲ . 说明:本题关注一下: xi? ? axi ? b ? xi? ? a xi ? b , ( S ?) 2 ? a 2 S 2 . 4. 幂函数 y ? f ( x ) 的图象经过点 ( ? 2, ? 1 ) ,则满足 f ( x ) =27 的 x 的值是
8





5. 下列四个命题: ① ? n ? R, n 2 ≥ n ; ② ? n ? R, n 2 ? n ; ③ ? n ? R , ? m ? R , m 2 ? n ;④ ? n ? R , ? m ? R , m ? n ? m . 其中真命题的序号是 ▲ . 说明:请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号.如果题中的集合 R 改成 Z,真命题的序号 是①④,如果 R 改成复数集 C 呢? 6. 如图甲是第七届国际数学教育大会(简称 ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图乙 的一连串直角三角形演化而成的,其中 OA1 ? A1 A2 ? A2 A3 ? ? ? A7 A8 ? 1 ,如果把图乙中的直角 三角形继续作下去,记 OA1 , OA2 , ? , OAn , ? 的长度构成数列 ? a n ? ,则此数列的通项公式为 a n = ▲ .
A6 A5 A4 A3 A2 O 图乙 A1

ICME 7 图甲
A8



A7

说明:本题是课本中的习题改编,重在建立观察、归纳意识. 7. 以下伪代码: Read x If x≤ 0 Then f ( x ) ← 4x Else x f ( x) ← 2 End If Print f ( x ) 根据以上算法,可求得 f ( ? 3) ? f (2) 的值为 ▲ . 说明:算法在复习中不应搞得太难,建议阅读《数学通报》2008.1 中的一篇关于“四省”07 年的高考中的算法的文章. 8. 在半径为 1 的圆周上按顺序均匀分布着 A1,A2,A3,A4,A5,A6 六个点.则
????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? A1 A2 ? A2 A3 ? A2 A3 ? A3 A4 ? A3 A4 ? A4 A5 ? A4 A5 ? A5 A6 ? A5 A6 ? A6 A1 ? A6 A1 ? A1 A2







说明:此学生容易把两向量的夹角弄错.如改成 12 个点,边长 | Ai Ai ? 1 | 的求法就不一样了,难 度会加大. 9 若 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 (? ? 0, | ? | <π) 对任意实数 t,都有 f t ? π ? f ? t ? π .记
3 3
π g ( x ) ? A cos(? x ? ? ) ? 1 ,则 g ( ) ? 3

?????? ?

?

? ?

?

▲ .

说明:注意对称性. 10.已知函数 f(x)=loga| x |在(0,+∞)上单调递增,则 f(-2) ▲ f(a+1)(填写“<” . , “=”“>”之一) , 说明:注意函数 y=f(| x |)是偶函数.比较 f(-2)与 f(a+1)的大小只要比较-2、 a+1 与 y 轴的距离的大小. 11. 过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、 两点, B 交准线于点 C. CB ? 2 BF , 若 则直线 AB 的斜率为 ▲ . 说明:涉及抛物线的焦点弦的时候,常用应用抛物线的定义.注意本题有两解. 12.有一根长为 6cm,底面半径为 0.5cm 的圆柱型铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕 4 圈,并使铁丝 的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的长度最少为 ▲ cm. 说明:本题是由课本例题改编的.关键是要把空间问题转化为平面问题.
? x ? y ≥ 0, ? ? 2 x ? y ≤ 2, 13.若不等式组 ? ? y ≥ 0, ? ?x ? y ≤ a

uur

uuu r

表示的平面区域是一个三角形及其内部,则 a 的取值范围是 ▲ .

说明:线性规划要注意数形结合,要综合运用多方面的知识.特别要注意区域的边界. 14.已知△ABC 三边 a,b,c 的长都是整数,且 a ≤ b ≤ c ,如果 b=m(m ? N*) ,则这样的三角形 共有 ▲ 个(用 m 表示) . 说明:本题是推理和证明这一章的习题,考查合情推理能力.讲评时可改为 c=m 再探究.本 题也可以用线性规划知识求解.

填空题答案: 1. x ? 1 ? x ? 1
2

?

2

?

2.2

3.0.03 4. 1

3

5.④

6. n

7.-8 14.

8.3
m ( m ? 1) 2

9.-1

10.<

11. ? 3

12. 36 ? 14 π 2

13. (0, 1] U [ 4 , ? ? )
3

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1 ? (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)若 m ? (0, ? 1) ,n ? cos B , 2 cos 2 C ,试求|m ? n|的最小值.
2
tan A tan B ? 2c b



?

?

解: (Ⅰ)1 ?

tan A tan B

?

2c b

? 1?

sin A cos B sin B cos A

?

2 sin C sin B

,?????????????????3 分

即 ∴

sin B cos A ? sin A cos B sin B cos A sin( A ? B ) sin B cos A ? 2 sin C sin B π 3

?

2 sin C sin B


1 2

,∴ cos A ?

. ?????????????????5 分

∵ 0 ? A ? π ,∴ A ?

.???????????????????????7 分
C 2 ? 1) ? (cos B , cos C ) , 2π 3 ? B) ? 1 ? 1 2 sin(2 B ? π 6

(Ⅱ)m ? n ? (cos B , 2 cos 2

? |m ? n| 2 ? cos 2 B ? cos 2 C ? cos 2 B ? cos 2 (

????10 ).



∵A? 从而 ?

π 3 π 6

,∴ B ? C ?
? 2B ? π 6 π 6 ?

2π 3

,∴ B ? (0,

2π 3

)



7π 6

.??????????????????????12 分
π 3

∴当 sin(2 B ? ) =1,即 B ? 所以,|m ? n| m in ?
2 2

时,|m ? n| 2 取得最小值

1 2

.???????13 分

.???????????????????????14 分

评讲建议: 本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识,要求学生涉及三角形中三角恒等变换时,要 从化角或化边的角度入手,合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形;在第二小题中,要强 调多元问题的消元意识,进而转化为函数的最值问题,注意定义域的确定对结论的影响,并指 明取最值时变量的取值. A1 B
1

16. (本小题满分 14 分) 直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是直角梯形, ∠BAD=∠ADC=90° A B ? 2 A D ? 2 C D ? 2 . ,

D
1

C1 A

B C

D

(Ⅰ)求证:AC⊥平面 BB1C1C; (Ⅱ)在 A1B1 上是否存一点 P,使得 DP 与平面 BCB1 与 平面 ACB1 都平行?证明你的结论. 证明: (Ⅰ) 直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,BB1⊥平面 ABCD,? BB1⊥AC. ??????2 分 又? ∠BAD=∠ADC=90° A B ? 2 A D ? 2 C D ? 2 , , ∴ AC ? 2 ,∠CAB=45° ,∴ BC ? 2 ,? BC⊥AC.???????????5 分 又 BB1 ? BC ? B , BB1 , BC ? 平面 BB1C1C,? AC⊥平面 BB1C1C. ?????7 分 (Ⅱ)存在点 P,P 为 A1B1 的中点. ??????????????????????8 分 证明:由 P 为 A1B1 的中点,有 PB1‖AB,且 PB1= 又∵DC‖AB,DC=
1 2 1 2

AB.?????????????9 分

AB,? DC ∥PB1,且 DC= PB1,

∴DC PB1 为平行四边形,从而 CB1∥DP.?????????????????11 分 又 CB1 ? 面 ACB1,DP ? 面 ACB1,? DP‖面 ACB1.????????????13 分 同理,DP‖面 BCB1.??????????????????????????14 分 评讲建议: 本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识,第一小题要引导学生挖掘直角梯形 ABCD 中 BC⊥AC,第二小题,要求学生熟练掌握一个常用结论:若一直线与两相交平面相交, 则这条直线一定与这两平面的交线平行;同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性,这里只需 要指出结论并验证其充分性即可,当然亦可以先探求结论,再证明之,这事实上证明了结论是 充分且必要的. 变题: 求证: (1)A1B⊥B1D; (2)试在棱 AB 上确定一点 E,使 A1E∥平面 ACD1,并说明理由. 17. (本小题满分15分) 口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏: 甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号, 如果两个编号的和为偶数算甲 赢, 否则算乙赢. (Ⅰ)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率; (Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由. 解: (I)设“甲胜且两数字之和为6”为事件A,事件A包含的基本事件为 (1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1) , , , , ,共5个.????????2分 又甲、乙二人取出的数字共有5×5= 25( 个 ) 等 可 能 的 结 果 , ???????4分 所以 P ( A ) ?
5 25 ? 1 5 1

. ??????????????????????????6分

答:编号的和为6的概率为 .????????????????????????7分
5

(Ⅱ)这种游戏规则不公平.?????????????????????????9分 设“甲胜”为事件B, “乙胜”为事件C, ????????????????10分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个:

(1, , 1)(1, , 3)(1, , 5)(2, , 2)(2, , 4)(3, , 1)(3, , 3)(3, , 5) (4, , 2) (4, , 4)(5, , 1) (5,3)(5,5) , . 所以甲胜的概率P(B)=
13 25

,从而乙胜的概率P(C)=1-

13 25



12 25

.????14分

由于P(B)≠P(C) ,所以这种游戏规则不公平. ????????????15分 评讲建议: 本题主要考查古典概率的计算及其相关知识,要求学生列举全面,书写规范.尤其注意此类问 题的答题格式:设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答. 引申:连续玩此游戏三次, 若以 D 表示甲至少赢一次的事件, 表示乙至少赢两次的事件, E 试问 D 与 E 是否为互斥事件?为什么?(D 与 E 不是互斥事件.因为事件 D 与 E 可以同时发生,如 甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意;亦可分别求 P(D) 、P(E) ,由 P(D)+ P(E)>1 可得两者一互斥. ) 18. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 x 2 ?
y b
2 2

? 1(0 ? b ? 1)

的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A、C,上顶点为 B.过 F、B、

C 作⊙P,其中圆心 P 的坐标为(m,n) . (Ⅰ)当 m+n>0 时,求椭圆离心率的范围; (Ⅱ)直线 AB 与⊙P 能否相切?证明你的结论. 解: (Ⅰ)设 F、B、C 的坐标分别为(-c,0)(0,b)(1,0) , , ,则 FC、BC 的中垂线分别 为x ?
1? c 2

,y?

b 2

?

1 b

(x ?

1 2

) .??????????????????????2



1? c ? ?x ? 2 , ? 联立方程组,解出 ? ??????????????????????4 分 2 ?y ? b ? c. ? 2b ?

m?n?

1? c 2

?

b ?c
2

?0

,即 b ? bc ? b 2 ? c ? 0 ,即(1+b) (b-c)>0,

2b

∴ b>c. ???????????????????????????????6 分 从而 b 2 ? c 2 即有 a 2 ? 2 c 2 ,∴ e 2 ? 又 e ? 0 ,∴ 0 ? e ?
2 2

1 2

.???????????????????7 分

. ????????????????????????8 分

(Ⅱ)直线 AB 与⊙P 不能相切.????????????????????????9 分
b? b ?c
2

由 k AB ? b , k P B ?
0?

2b 1? c 2



b ?c
2

b ( c ? 1)
2

. ?????????????????10 分

如果直线 AB 与⊙P 相切,则 b ·

b ?c

b ( c ? 1)

=-1. ??????????????12 分

解出 c=0 或 2,与 0<c<1 矛盾,????????????????????14 分 所以直线 AB 与⊙P 不能相切. ?????????????????????15 分 评讲建议: 此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识,要求学生理解三角形外接圆圆心是 三边中垂线的交点,从而大胆求出交点坐标,构造关于椭圆中 a,b,c 的齐次等式得离心率的 范围.第二小题亦可以用平几的知识:圆的切割线定理,假设直线 AB 与⊙P 相切,则有 AB2

=AF×AC,易由椭圆中 a,b,c 的关系推出矛盾. 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 2 x - 2 x , g ( x ) ? log a x (a>0,且
2

a≠1) ,其中为常数.如果 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x )

是增函数,且 h ?( x ) 存在零点( h ?( x ) 为 h ( x ) 的导函数) . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ) A 1, 1) B 2, 2) 1<x2) 设 (x y 、 (x y (x 是函数 y=g (x) 的图象上两点,g ?( x 0 ) ? 为 g ( x ) 的导函数) ,证明: x1 ? x 0 ? x 2 . 解: (Ⅰ)因为 h ( x ) ?
1 2 x ? 2 x ? log a x ( x ? 0) ,
2

y 2 ? y1 x 2 ? x1

( g' ( x )

所以 h ?( x ) ? x ? 2 ?

1 x ln a

?

x ln a ? 2 x ln a ? 1
2

. ???????????????3 分

x ln a

因为 h(x)在区间 (0, ? ? ) 上是增函数, 所以
x ln a ? 2 x ln a ? 1
2

≥ 0 在区间 (0, ? ? )

上恒成立.

x ln a

若 0<a<1,则 lna<0,于是 x 2 ln a ? 2 x ln a ? 1 ≤ 0 恒成立. 又 h ?( x ) 存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0,lna=0,或 lna=1 与 lna<0 矛盾. 所以 a>1. 由 x 2 ln a ? 2 x ln a ? 1 ? 0 恒成立,又 h ?( x ) 存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0, 所以 lna=1,即 a=e. ????????????????????????7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) g ? ( x 0 ) ? , 以下证明 x1 ?
1 x0

,于是 .

1 x0

?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

, x0 ?

x 2 ? x1 ln x 2 ? ln x1

.?????????9 分

x 2 ? x1 ln x 2 ? ln x1

(※)

(※)等价于 x1 ln x 2 ? x1 ln x1 ? x 2 ? x1 ? 0 . ????????????????11 分 令 r(x)=xlnx2-xlnx-x2+x,??????????????????????13 分 r ′(x)=lnx2-lnx,在(0,x2]上,r′(x)>0,所以 r(x)在(0,x2]上为增函数. 当 x1<x2 时,r(x1)< r(x2)=0,即 x1 ln x 2 ? x1 ln x1 ? x 2 ? x1 ? 0 , 从而 x 0 ? x1 得到证明.?????????????????????????15 分 对于 x 2 ?
x 2 ? x1 ln x 2 ? ln x1

同理可证??????????????????????16 分

所以 x1 ? x 0 ? x 2 . 评讲建议: 此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识.评讲时注意着重导数在研究函数中的 应用.本题的第一小题是常规题比较容易,第二小题是以数学分析中的中值定理为背景,作辅

助函数,利用导数来研究函数的性质,是近几年高考的热点.第二小题还可以这样证明:
x2
x 2 ? x1 ln x 2 ? ln x1

?1 x2 x1

要证明 x1 ?

,只要证明

x1 ln

>1,令

x2 x1

?t

,作函数 h(x)=t-1-lnt,下略.

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 { a n } 中,a 0 ? 2, a1 ? 3, a 2 ? 6 , 且对 n ≥ 3 时, a n ? ( n ? 4) a n ?1 ? 4 na n ? 2 ? (4 n ? 8) a n ? 3 . 有 (Ⅰ)设数列 {bn } 满足 bn ? a n ? na n ?1 , n ? N ? ,证明数列 {b n ?1 ? 2 bn } 为等比数列,并求数列 {bn } 的 通项公式; (Ⅱ)记 n ? ( n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? n ! ,求数列 { na n } 的前 n 项和 Sn. (Ⅰ) 证明:由条件,得 a n ? na n ?1 ? 4[ a n ?1 ? ( n ? 1) a n ? 2 ] ? 4[ a n ? 2 ? ( n ? 2) a n ? 3 ] , 则 a n ?1 ? ( n ? 1) a n ? 4[ a n ? na n ?1 ] ? 4[ a n ?1 ? ( n ? 1) a n ? 2 ] .??????????????2 分 即 bn ?1 ? 4 bn ? 4 bn ?1 . 又 b1 ? 1, b2 ? 0 ,所以 bn ?1 ? 2 bn ? 2(bn ? 2 bn ?1 ) , b2 ? 2 b1 ? ? 2 ? 0 . 所以 {b n ?1 ? 2 bn } 是首项为 ? 2,公比为 2 的等比数列. ?????????????4 分
b2 ? 2 b1 ? ? 2 ,所以 bn ? 1 ? 2 bn ? 2
n ?1

( b2 ? 2 b1 ) ? ? 2
1 2

n



两边同除以 2 n ? 1 ,可得 于是 ? 所以
1 ? bn ? 为以 n ? 2 ? 2 ? bn 2
n

bn ? 1 2
n ?1

? 1 2

bn 2
n

??

.???????????????????6 分

首项,-

为公差的等差数列.

?

b1 2

?

n 1 n ( n ? 1), 得 bn ? 2 (1 ? ) .??????????????????8 分 2 2

(Ⅱ) a n ? 2 n ? na n ?1 ? n 2 n ?1 ? n ( a n ?1 ? 2 n ?1 ) ,令 c n ? a n ? 2 n ,则 c n ? nc n ?1 . 而 c1 ? 1,? c n ? n ( n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? c1 ? n ( n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 . ∴ a n ? n ( n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? 2 n . ???????????????????????12 分
na n ? n ? n ? ( n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? n 2 ? ( n ? 1)!? n !? n ? 2
n n



∴ S n ? (2 !? 1!) ? (3!? 2 !) ? ? ? ( n ? 1)!? n !? (1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ) .??????14 分 令 Tn= 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n , ①

则 2Tn= 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n ?1 .



①-②,得 ? Tn= 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ,Tn= ( n ? 1)2 n ? 1 ? 2 . ∴ S ? ( n ? 1) !? ( n ? 1)2 n ? 1 ? 1 .???????????????????????16
n

分 评讲建议: 此题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列、数列的递推公式、数列的通项求法、数列前 n 项和的求法,作新数列法,错项相消法,裂项法等知识与方法,同时考查学生的分析问题与 解决问题的能力,逻辑推理能力及运算能力.讲评时着重在正确审题,怎样将复杂的问题化成 简单的问题,本题主要将一个综合的问题分解成几个常见的简单问题.事实上本题包含了好几 个常见的数列题.本题还有一些另外的解法,如第一问的证明还可以直接代.

B.附加题部分
一、选做题:本大题共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题,如果多做,则按所做的前两题记分.每 小题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1. 选修 4-1:几何证明选讲 E A B · O C D CB 的延长线于 E 点. 求证: AB 2 ? BE ? CD . 证明:连结 AC.????????????1 分 如图,四边形 ABCD 内接于 ? O , ? ? ? ,过 A 点的切线交 AB AD

因为 EA 切 ? O 于 A, 所以∠EAB=∠ACB.????3 分 E A B · O C D 因为 ? ? ? ,所以∠ACD=∠ACB,AB=AD. AB AD 于是∠EAB=∠ACD.?????????????5 分 又四边形 ABCD 内接于 ? O ,所以∠ABE=∠D. 所以 ? ABE ∽ ? C D A . 于是 A B ? B E ,即 A B ? D A ? B E ? C D .??????9 分
CD DA

所以 AB 2 ? BE ? CD .?????????????10 分 2. 选修 4-2:矩阵与变换 y
B'

如图所示, 四边形 ABCD 和四边形 A B ?C ?D 分别是矩形和平行四边 形,其中点的坐标分别为 A(-1,2) ,B(3,2) ,C(3,-2) , ? (3,7) C ? (3,3) D(-1,-2) B , , .求将四边形 ABCD 变成 四边形 A B ?C ?D 的变换矩阵 M.

C'

A O D

B x C

解:该变换为切变变换,设矩阵 M 为 ?

?1 0 ? ? ? k 1?

,???????3 分

则?

?1 0 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? .??????????????????6 ? k 1? ? ? 2 ? ? 3 ?



∴ 3 k ? 2 ? 3 ,解得 k ? 所以,M 为 ? 5
?1 0? ? 1? ? ?

5 3

.?????????????????9 分

? ?3 ?

.??????????????????10 分

说明:掌握几种常见的平面变换. 3. 选修 4-4 坐标系与参数方程
1 ? ?x ? t ? t , ? ( t为 参 数 ) 30°的直线和曲线 ? ?y ? t ? 1 ? t ?

过点 P(-3,0)且倾斜角为

相交于 A、B 两点.求线

段 AB 的长.
? 3 s, ? x ? ?3 ? ? 2 解:直线的参数方程为 ? ( s为 参 数 ) ,?????????????3 分 ?y ? 1 s ? ? 2
1 ? ?x ? t ? t , ? 2 2 ( t 为 参 数 ) 可以化为 x ? y ? 4 曲线 ? 1 ?y ? t ? ? t ?

.????????????5 分

将直线的参数方程代入上式,得 s 2 ? 6 3 s ? 10 ? 0 . 设 A、B 对应的参数分别为 s1, s 2 ,∴ s1 ? s 2 ? 6 3, s1 s 2 ? 10 .??????????8 分 AB ? s1 ? s 2 ? ( s1 ? s 2 ) 2 ? 4 s1 s 2 = 2 17 .??????????????????10 分 说明:掌握直线,圆,圆锥曲线的参数方程及简单的应用. 4. 选修 4-5:不等式选讲 已知 x,y,z 均为正数.求证:
x yz ? y zx x yz ? ? z xy y zx ? ≥ 1 x ? 1 y ? 1 z .

证明:因为 x,y,z 无为正数.所以 同理可得
y zx ? z xy ≥ 2

1 x y 2 ( ? )≥ z y x z

, ???????????4 分

z x 2 , ? ≥ x xy yz y

,?????????????????????7 分

当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立.

将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得

x yz

?

y zx

?

z xy



1 x

?

1 y

?

1 z

.????10 分

二、必做题:本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 5.已知 ( x ?
1 2 x )
n

的展开式中前三项的系数成等差数列.

(Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)求展开式中系数最大的项. 解: (Ⅰ)由题设,得 C 0 ? n
1 4 ? Cn ? 2 ?
2

1 2

? Cn
1

, ?????????????????3 分

即 n 2 ? 9 n ? 8 ? 0 ,解得 n=8,n=1(舍去) .???????????????4 分 (Ⅱ)设第
1 ? 1 r r ?1 ? 2 r C 8 ≥ 2 r ?1 C 8 , ? r+1 的系数最大,则 ? ????????????????6 分 ? 1 C r ≥ 1 C r ?1 . 8 r ?1 ? 2r 8 ? 2

1 ? 1 ? 8 ? r ≥ 2( r ? 1) , ? 即? 解得 r=2 或 r=3. ?????????????????8 分 ? 1 ≥ 1 . ? 2r 9 ?1 ?
9

所以系数最大的项为 T3 ? 7 x 5 , T 4 ? 7 x 2 .???????????????10 分 说明:掌握二项式定理,展开式的通项及其常见的应用. 6. 动点 P 在 x 轴与直线 l:y=3 之间的区域(含边界)上运动,且点 P 到点 F(0,1)和直线 l 的距离之和为 4. (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q(0,-1)作曲线 C 的切线,求所作的切线与曲线 C 所围成的区域的面积. 解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,根据题意,得 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 3 ? y ? 4 .??????????3 分 化简,得 y ?
1 4 x ( y ≤ 3) .????????????????????????4
2



(Ⅱ)设过 Q 的直线方程为 y ? kx ? 1 ,代入抛物线方程,整理,得 x 2 ? 4 kx ? 4 ? 0 . ∴△= 16 k 2 ? 16 ? 0 .解得 k ? ? 1 .?????????????????????6 分 所求切线方程为 y ? ? x ? 1 (也可以用导数求得切线方程) , 此时切点的坐标为(2,1)(-2,1) , ,且切点在曲线 C 上. ?????????8 分 由对称性知所求的区域的面积为
S ? 2? (
0 2

1 4

x ? x ? 1)dx ? (
2

1 12

x ?
3

x

2

? x)

2 0

?

4 3

.???????????????10 分

2

说明:抛物线在附加题中的要求提高了,定积分要求不高.

附加题部分说明: 本次附加题考查内容尽量回避一模所考内容,没有考查概率分布和空间向量解立体几何问 题.这两部分内容很重要,希望在后期的复习中不可忽视.


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