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等差、等比数列的公式与方法


第 13 讲
(一)知识归纳: 1.概念与公式:

等差、等比数列的公式与方法

①等差数列:1°.定义:若数列 {an }满足an?1 ? an ? d (常数),则 an } 称等差数列;2°. { 通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? ak ? (n ? k )d ; 3°.前 n 项和公式: 公式: S n

?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2

②等比数列:1°.定义若数列 {an }满足

an?1 ,则 ? q (常数) {an } 称等比数列;2°.通 an a1 ? an q a1 (1 ? q n ) ? (q ? 1), 当 1? q 1? q

项公式: an ? a1q n?1 ? ak q n?k ; 3°.前 n 项和公式: S n ? q=1 时 S n ? na1 . 2.简单性质: ①首尾项性质:设数列 {an } : a1 , a2 , a3 ,?, an ,

1°.若 {an } 是等差数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?; 2°.若 {an } 是等比数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?. ②中项及性质: 1°.设 a,A,b 成等差数列,则 A 称 a、b 的等差中项,且 A ?

a?b ; 2

2°.设 a,G,b 成等比数列,则 G 称 a、b 的等比中项,且 G ? ? ab. ③设 p、q、r、s 为正整数,且 p ? q ? r ? s, 1°. 若 {an } 是等差数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; 2°. 若 {an } 是等比数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; ④顺次 n 项和性质:
1

1°.若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 则 列;

?a , ? a , ?a
k ?1 k k ? n ?1 k k ? 2 n ?1

n

2n

3n

k

组成公差为 n2d 的等差数

2°. 若 {an } 是公差为 q 的等比数列, 则

? ak ,
k ?1

n

k ? n ?1

?

2n

ak ,

k ? 2 n ?1

?a

3n

k

组成公差为 qn 的等比数

列.(注意:当 q=-1,n 为偶数时这个结论不成立) ⑤若 {an } 是等比数列, 则顺次 n 项的乘积: a1a2 ?an , an?1an?2 ?a2n , a2n?1a2n?2 ?a3n 组成公比这 q n 的等比 数列. ⑥若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 1°.若 n 为奇数,则 S n ? na中且S 奇 ? S 偶 ? a中 (注 : a中指中项,即a中 ? a n?1 , 而 S 奇、
2
2

S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和) ; 2°.若 n 为偶数,则 S 偶 ? S 奇 ?

nd . 2

(二)学习要点: 1.学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差 d≠0 的等差数 列的通项公式是项 n 的一次函数 an=an+b;②公差 d≠0 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的 没有常数项的二次函数 Sn=an2+bn;③公比 q≠1 的等比数列的前 n 项公式可以写成 n=a(1-qn) “S 的形式;诸如上述这些理解对学习是很有帮助的. 2.解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质,但所用的性质必须简单、明确, 绝对不能用课外的需要证明的性质解题. 3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三数成等差数列,可设 三数为 “a,a+m,a+2m (或 a-m,a,a+m) ②三数成等比数列, ” 可设三数为 “a,aq,aq2(或

a , a,aq)” q

③四数成等差数列, 可设四数为 a, a ? m, a ? 2m, a ? 3m(或a ? 3m, a ? m, a ? m, a ? 3m); ” “ ④四数成等比数列,可设四数为“ a, aq, aq , aq (或
2 3

a a ,? , aq,?aq3 ), ”等等;类似的经 3 q q

验还很多,应在学习中总结经验. [例 1]解答下述问题: (Ⅰ)已知

1 1 1 , , 成等差数列,求证: a b c
2

b?c c?a a?b , , 成等差数列; a b c b b b (2) a ? ,? , c ? 成等比数列. 2 2 2
(1) [解析]该问题应该选择“中项”的知识解决,

1 1 2 a?c 2 ? ? ? ? ? 2ac ? b(a ? c), a c b ac b b ? c a ? b bc ? c 2 ? a 2 ? ab b(a ? c) ? a 2 ? c 2 (1) ? ? ? ? a c ac ac 2 2( a ? c ) 2( a ? c ) ? ? . b( a ? c ) b b?c c?a a?b ? , , 成等差数列 ; a b c b b b b2 b (2)(a ? )(c ? ) ? ac ? (a ? c) ? ? (? ) 2 , 2 2 2 4 2 b b b ? a ? ,? , c ? 成等比数列 . 2 2 2 ?
(Ⅱ)设数列 {an } 的前n项和为S n , 且满足a2 ? 1,2S n ? n(an ? 1), (1)求证: {an } 是等差数列; (2)若数列 {bn }满足 :

b1 ? 3b2 ? 5b3 ? ? ? (2n ? 1)bn ? 2n?1 an ? 6
求证:{ bn }是等比数列. [解析](1) ?

?2S n ? n(a n ? 1) ?2S n ?1 ? (n ? 1)(a n ?1 ? 1)

① ②

②-①得 2an ? (n ? 1)an?1 ? nan ? 1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ? 1,

令n ? 1得a1 ? ?1,? a2 ? 1,? 令n ? 2得a3 ? 3, 猜想an ? 2n ? 3, 用数学归纳法证明:
1)当 n ? 1 , a1 ? ?1 ? 2 ?1 ? 3, a2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3, 结论正确 时 ; 2) 假设n ? k (k ? 2)时结论正确即ak ? 2k ? 3, ,
3

?当n ? k ? 1时,? (k ? 1)ak ?1 ? kak ? 1 ? k (2k ? 3) ? 1 ? 2k 2 ? 3k ? 1 ? (2k ? 1)(k ? 1)
? k ? 2,? ak ?1 ? 2k ? 1 ? 2(k ? 1) ? 3, 结论正确 .
由 1) 、2)知, 当n ? N ?时, an ? 2n ? 3,

? a n ?1 ? a n ? (2n ? 1) ? (2n ? 3) ? 2,即{a n }是公差为2的等差数列 ; (2)设Tn ? 2 n ?1 a n ? 6 ? 2 n ?1 (2n ? 3) ? 6, ?当n ? 2时(2n ? 1)bn ? Tn ? Tn ?1 ? 2 n ?1 (2n ? 3) ? 2 n (2n ? 5) ? (2n ? 1) ? 2 n ,? bn ? 2 n (n ? 2), 而b1 ? 4 ? (?1) ? 6 ? 2, 也适合, ?当n ? N ?时bn ? 2 n , ? bn ?1 ? 2,即{bn }是公比为2的等比数列 . bn

[评析]判断(或证明)一个数列成等差、等比数列主要方法有:根据“中项”性质、根 据“定义”判断,或通过“归纳猜想”并证明. [例 2]解答下述问题: (Ⅰ)等差数列的前 n 项和为 S n , 若S P ? 求 S P?Q (用P, Q表示). [解析]选择公式 " S n ? an2 ? bn" 做比较好,但也可以考虑用性质完成.

Q P , S Q ? ( P ? Q), P Q

?Q 2 ? P ? aP ? bP ? 2 [解法一]设 S n ? an ? bn,? ? ? P ? aQ2 ? bQ ?Q ?

① ②

Q2 ? P2 ①-②得: ? ( P ? Q)[a( P ? Q) ? b],? P ? Q, PQ
? P ? Q,? a( P ? Q) ? b ? ? ? S P ?Q P?Q , PQ

( P ? Q) 2 ? ( P ? Q)[a( P ? Q) ? b] ? ? . PQ
4

[解法二]不妨设 P ? Q,?

Q P ? ? S P ? S Q ? aQ ?1 ? aQ ? 2 ? ? ? a P P Q

?

( P ? Q)(aQ ?1 ? a P ) 2 ( P ? Q) 2 . PQ

?

P ? Q ( P ? Q)(a1 ? a P ?Q ) P ? Q ? ? S P ?Q , P?Q 2 P?Q

? S P ?Q ? ?

(Ⅱ)等比数列的项数 n 为奇数,且所有奇数项的乘积为 1024,所有偶数项的乘积为

128 2 ,求项数 n.
[解析]设公比为 q,?
n ?1 2

a1a3 a5 ? an 1024 ? ?4 2 a2 a4 ? an?1 128 2

? a1 ? q

?4 2

(1)
35 2 5 2

而a1a 2 a3 ? a n ? 1024? 128 2 ? 2 ? (a1 ? q ?
n ?1 n 2 35 2

? a1 ? q
35 2

1? 2 ? 3

? ?(n ? 1) ? 2

35 2

) ? 2 , 将(1)代入得(2 ) n ? 2 ,

5n 35 ? , 得n ? 7. 2 2

( Ⅲ ) 等 差 数 列 {an}中 , 公 差 d ≠ 0 , 在 此 数 列 中 依 次 取 出 部 分 项 组 成 的 数 列 :

ak1 , ak2 ,?, akn 恰为等比数列其中k1 ? 1, k 2 ? 5, k3 ? 17, ,
求数列 {k n } 的前n项和. [解析]? a1 , a5 , a17 成等比数列? a5 ? a1 ? a17 , ,
2

? (a1 ? 4d ) 2 ? a1 ? (a1 ? 16d ) ? d (a1 ? 2d ) ? 0 ? d ? 0,? a1 ? 2d , ? 数列{a kn }的公比q ? a5 a1 ? 4d ? ? 3, a1 a1
① ②

? a kn ? a1 ? 3 n ?1 ? 2d ? 3 n ?1 而a kn ? a1 ? (k n ? 1)d ? 2d ? (k n ? 1)d 由 ①,② 得k n ? 2 ? 3 n ?1 ? 1,

3n ? 1 {k n }的前n项和S n ? 2 ? ? n ? 3 n ? n ? 1. 3 ?1
5

[评析]例 2 是一组等差、等比数列的基本问题,熟练运用概念、公式及性质是解决问题 的基本功. [例 3]解答下述问题: (Ⅰ)三数成等比数列,若将第三项减去 32,则成等差数列;再将此等差数列的第二项 减去 4,又成等比数列,求原来的三数. [解析]设等差数列的三项,要比设等比数列的三项更简单, 设等差数列的三项分别为 a-d, a, a+d,则有

?(a ? d )(a ? d ? 32) ? a 2 ?d 2 ? 32d ? 32a ? 0 ? ? ?? ? 2 ?(a ? 4) ? (a ? d )(a ? d ) ?8a ? 16 ? d 2 ? ? 8 26 ? 3d 2 ? 32d ? 64 ? 0,? d ? 8或d ? , 得a ? 10或 , 3 9 2 26 338 ? 原三数为2,10,50或 , , . 9 9 9
(Ⅱ)有四个正整数成等差数列,公差为 10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方, 求此四数. [解析]设此四数为 a ? 15, a ? 5, a ? 5, a ? 15(a ? 15) ,

? (a ? 152 ) ? (a ? 5) 2 ? (a ? 5) 2 ? (a ? 15) 2 ? (2m) 2 (m ? N ? ) ? 4a 2 ? 500 ? 4m 2 ? (m ? a)(m ? a) ? 125, ?125 ? 1 ? 125 ? 5 ? 25, ? m ? a与m ? a均为正整数, 且m ? a ? m ? a, ?m ? a ? 1 ?m ? a ? 2 ?? ?? ?m ? a ? 125 ?m ? a ? 25
解得 a ? 62或a ? 12(不合),?所求四数为 47,57,67,77 [评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法,特别是求若干个数成等 差、等比数列的问题中是主要方法.

6

《训练题》
一、选择题:

1 1 m2 ? n2 2 2 的值为 1.三个数 ,1, 成等差数列 , 又m ,1, n 成等比数列 , 则 m n m?n
A.-1 或 3 B.-3 或 1 C.1 或 3 D.-3 或-1





2.在等比数列 {an }中, a7 ? a11 ? 6, a4 ? a14 ? 5, 则

a20 = a10
1 5
D. 或 ?





A.

2 3 或 3 2

B. ?

2 3 或? 3 2

C. ? 5或 ?

1 3

1 2
( )

3.等比数列 {a n }前n项乘积记为 n , 若M 10 ? 20, M 20 ? 10, 则M 30 ? M A.1000 B.40 C.

25 4

D.

1 8

4.已知等差数列 5,8,11,?与 3,7,11,?都有 100 项,则它们相同项的个数 ( ) A.25 B.26 C.33 D.34 5.已知一个等差数列的前 5 项的和是 120,最后 5 项的和是 180,又所有项的和为 360,则 此数列的项数为 ( ) A.12 项 B.13 项 C.14 项 D.15 项 6.若两个等差数列 {an }, {bn }的前n项和分别为 n 和Bn , 且满足 A

An 7n ? 1 ? (n ? N ? ) Bn 4n ? 27
( )



a11 的值是 b11
7 4
B.

A.

3 2

C.

4 3

D.

78 71
.

二、填空题: 7. 在等比数列 {an } , a5 ? a4 ? 108 a2 ? a1 ? 4, 则a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值为 中 , 8.若 a、b、c 成等比数列,a、x、b 成等差数列,b、y、c 成等差数列,则

a c ? ? x y

.

9.数列 {an } 是公差不为零的等差数列,它的第 4,8,17 项恰是另一等比数列 {bn } 的第 6,

7

8,10 项,则 {bn } 的公比是

. . .

10.在等差数列 {an } , a p ? q, aq ? p, 则a p?q ? 中 在各项为正的等比数列 {an } , am?n ? p, am?n ? q, 则am ? 中 三、解答题:

11. 设等差数列 {an } 的前n项和为S n ,已知S6 ? 36, S n?6 ? 144(n ? 6), S n ? 324, 求 an 的值. 12.设等比数列的各项为正数,前 n 项的和为 2,这 n 项后面的 2n 项的和为 12,求上述 3n 项后面的 3n 项之和. 13.已知等差数列 {an }, a1 ? 0, 且S 6 ? S 4 , (Ⅰ)当 n 为何值时,Sn 最小? (Ⅱ)当 n 为何值时, S n ? 0 ? S n ? 0 ? S n ? 0 ? (Ⅲ) 若a7 ? a8 ? 72,问 an } { 中有多少项满足? 9 ? an ? 260. 14.有五个整数成等比数列,且第一个数为正数,若这五个整数的和为 205,而它们的倒数 之和为

205 ,求此五数. 256

15.数列 {an } 的前n项和为S n , 对任意的正整数 , an ? 0, n

若S n?1 ? S n ? kan?1 (| k |? 1),问数列 an }是否为等比数列 说明理由 { ? .

8

《答案与解析》
一、1.B 2.A 3.D 4.A 5.A 6.C 二、7.242 8.2, 9. ?

2 3

10.0,

pq
, ①+② 得6(a1 ? a n ) ? 216

11.? ?

① ?a1 ? a 2 ? ? ? a 6 ? 36 ?a n ? a n ?1 ? ? ? a n ?5 ? S n ? S n ?6 ? 180 ②

?a1 ? a 2 ? ? ? a 6 ? 36 ?? , 两式相减得6 ? 12d ? 144 ? d ? 2, ?a13 ? a14 ? ? ? a18 ? 180 代入(1)得a1 ? 1,? a n ? a18 ? 35.
12. (1) 当q ? 1时, S n ?
n ? ?a(q ? 1) ? 2 ① ? ? 3n ?a(q ? 1) ? 14 ② ?

a1 (q n ? 1) ? a(q n ? 1), q ?1
, ①得q n ? 2, 代入 ① 得a ? 2,


? S6n ? a(q 6n ? 1) ? 126,? S6n ? S3n ? 112 ;
(2)当 q=1 时,有 na1=2 及 2na1=12,矛盾; 综上,所求前 3n 项后面的 3n 项的和为 112. (另解)设公比为 q, 且W1 ?

?
k ?1

n

ak ,W2 ?

k ? n ?1

? ak,?,W6 ?

2n

k ?5 n ?1

? ak,

6n

?W1 ,W2 ,?,W6 成公比为q n的等比数列 , ?W1 ? 2 ?W1 ? 2 ?? ?? ? q n ? 2, W2 ? W3 ? 12 ?W1 (q n ? q 2 n ) ? 12 ? ? 所求和s ? W4 ? W5 ? W6 ? W1 (q 3n ? q 4 n ? q 5n ) ? 112.
13. (Ⅰ) S 6 ? S 4 ? a1 ? ?

9 d ? 0 ? d ? 0, 2

? Sn ?

d 2 d n ? 5nd ? [( n ? 5) 2 ? 25],?当n ? 5时S n 最小; 2 2

9

d n(n ? 10),?当n ? 10时S n ? 0;当n ? 10时S n ? 0;当1 ? n ? 10时S n ? 0. 2 d (Ⅲ)? a 7 ? a8 ? 72,? S14 ? 7 ? 72, 而S14 ? ? 14 ? 4, 得d ? 18, 2
(Ⅱ)? S n ?

? a n ? 18n ? 99,? ?9 ? 18n ? 99 ? 260 ? 5 ? n ? 19, ? 共有15项满足条件 .
14.设五数为

a a , , a, aq, aq2 , 2 q q

? 首项为正数, 且第一, 三, 五项同号,? a ? 0且a ? N ? , ? 1 1 2 ?a ( q 2 ? q ? q ? q ) ? 205 ? 由条件得? ? 1 (q 2 ? q ? 1 ? 1 ) ? 205 ?a q q2 256 ?
① 得a 2 ? 256,? a ? 0,? a ? 16, ② ① ②

1 1 189 1 1 221 ?q? ? ? (q ? ) 2 ? (q ? ) ? , 2 q 16 q q 16 q 1 13 17 令q ? ? x, 得16x 2 ? 16x ? 221 ? 0 ? x ? 或x ? ? , q 4 4 13 (1)若x ? , 则4q 2 ? 13q ? 4 ? 0, 方程无有理解 不合; , 4 17 1 (2)若x ? ? , 则4q 2 ? 17q ? 4 ? 0 ? q ? ? 或q ? ?4, 4 4 1 q ? ? 时, 得所求五数为 ,?64,16,?4,1; 256 4 q ? ?4时, 得所求五数为 ,?4,16,?64,256. 1 代入 ① 得q 2 ?
15.? S n?1 ? S n ? kan?1 ① , 而S n?1 ? S n ? an?1 ② , ①+② 得2S n?1

? (k ? 1)a n?1 ,? 2a n?1 ? 2S n?1 ? 2S n (k ? 1)a n ?1 ? (k ? 1)a n ? (k ? 1)a n?1 ? (k ? 1)a n ,? k ? 1 ? 0,? a n?1 k ? 1 ? , 而S 2 ? S1 ? ka2 ? an k ?1

a2 2 k ?1 2 ? , 若{a n }为等比数列 则 , ? ? k ? 1, 矛盾, a1 k ? 1 k ?1 k ?1

10



故{a n }不是等比数列 另) ? .(
2

a n ?1 S n ?1 a S 2 ? ,? 3 ? 3 ? a1 a3 ? a1 a 2 ? a 2 ① an Sn a2 S 2

若{a n }为等比, 则a 2 ? a1 ? a3 ② ,由 ①,② 得a1 ? a 2 ? 0, 矛盾.

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