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上海市2014届高三高考数学模拟卷(1)


2013 学年上海市高考数学模拟试卷 1
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚,并在规定的区域贴上条形码. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题 (本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若 z1

? a ? 2i, z2 ? 3 ? 4i ,且

z1 为纯虚数,则实数 a ? z2

2.已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ? ,则 tan( 3.若 ( x ?

3 5

?
4

? 2? ) ?

a x
2

)6 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为

4.不等式 a 2 ? 3b2 ? ?b(a ? b) 对任意 a , b ? R 恒成立,则实数 ? 的最大值为 5.若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 , 2, 3, ) ,则此数列的通项公式为 6.若正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面边长为 1, AB1 与底面 ABCD 成 60°角,则 AC 1 1 到底面 ABCD 的距离为

7.设 F1 , F2 分别为椭圆


x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 A, B 在椭圆上,若 F1 A ? 5F2 B ,则点 A 的坐标 3

8.直线 y ? 1 与曲线 y ? x2 ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是 y 9.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图
像如右图所示,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? 2

f (2010) ?

o
-2

2

6

x

10.已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 2
11.已知平面直角坐标系内的两个向量 a ? ?1,2 ? , b ? ?m,3m ? 2 ? ,且平面内的任一向量 c 都可以唯
·1 ·
? ?
?

一表示成 c ? ? a ? ? b ? , ?为实数 ,则 m 的取值范围是 12.给 n 个则上而下相连的正方形着黑色或白 色.当 n ? 4 时,在所有不同的着色方案中, 黑色正方形互不相邻 的着色方案如下图所 .... 示:由此推断,当 n ? 6 时,黑色正方形互 . 不相邻 着色方案共有 ... 种,至少有两个 n=4 n=1 n=2

?

?

?

?

?

n=3

黑色正方形相邻 着色方案共有 ..

种.(结果用数值表示)

13.在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点, 则

PA ? PB PC
2

2

2

=

14. 若点 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 外,过点 P0 作该椭圆的两条切线的切点分别为 a 2 b2

P 1P 2 所在直线的方程为 1, P 2 ,则切点弦 P
正确的命题为

x0 x y0 y ? 2 ? 1.那么对于双曲线,类似地,可以得到一个 a2 b

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么 A. AO ? OD B. AO ? 2OD C. AO ? 3OD
2

D. 2 AO ? OD ,判断如下三个命题

16.对于函数① f ( x) ? lg( x ? 2 ? 1) ,② f (x) ?( x ? 2) 的真假: 命题甲: f ( x ? 2) 是偶函数;

2) ,③ f (x) ?cos( x ?

·2 ·

?) 上是减函数,在 (2, ? ? ) 上是增函数; 命题乙: f ( x) 在 ( ??,

? ?) 上是增函数. 命题丙: f ( x ? 2) ? f ( x) 在 (??,
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 A.①③ 17.已知椭圆 C1 : B.①② C.③ D.②

x2 y2 y2 2 ? ? 1 C : x ? ? 1 有公共的焦点, C 2 的一条渐近 a ( > >0 )与双曲线 b 2 a 2 b2 4

线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 A. a 2 ?

13 2

B. a ? 13
2

C. b2 ?

1 2

2 D. b ? 2

18.如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的对角线 BD1 上.过点 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直 线,与正方体表面相交于 M,N .设 BP ? x , MN ? y ,则函数 y ? f ( x) 的图象大致是 D1 A1 D A M B1 P N B C1 y y y y

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共 2 小题,第(Ⅰ)小题 6 分,第(Ⅱ)小题 6 分. 已知锐角 ?ABC 中的三个内角分别为 A, B, C . (I)设 BC CA ? CA AB ,求证 ?ABC 是等腰三角形;

1 ? C ? ? (II)设向量 s ? 2sin C, ? 3 , t ? ? cos 2C,2cos2 ? 1? ,且 s ∥ t ,若 sin A ? ,求 sin( ? B) 的值. 2 ? ? 3 3

?

?

·3 ·

20.(本题满分 14 分)本题共 3 小题,第(Ⅰ)小题 4 分,第(Ⅱ)小题 4 分,第(III)小题 6 分。 如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ?

π ,斜边 AB ? 4 . 6

Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转
得到,且二面角 B ? AO ? C 是直二面角.动点 D 的 斜边 AB 上。 (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)当 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小; (III)求 CD 与平面 AOB 所成角的最大值。

21.(本题满分 14 分)本题共 3 小题,第(Ⅰ)小题 5 分,第(Ⅱ)小题 4 分,第(III)小题 5 分。 设某旅游景点每天的固定成本为 500 元, 门票每张为 30 元, 变动成本与购票进入旅游景点的人数的 ................. 算术平方根成正比 。一天购票人数为 25 时,该旅游景点收支平衡;一天购票人数超过 100 时,该旅 ........ 游景点须另交保险费 200 元。设每天的购票人数为 x ,盈利额为 y 。 (Ⅰ)求 y 与 x 之间的函数关系; (Ⅱ)试用程序框图描述算法(要求:输入购票人数,输出盈利额) ; (Ⅲ)该旅游景点希望在人数达到 20 人时即不出现亏损,若用提高门票价格的措施,则每张门票至 少要多少元(取整数)? 注:可选用数据: 2 ? 1.41, 3 ? 1.73, 5 ? 2.24 .
·4 ·

22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(Ⅰ)小题 5 分,第(Ⅱ)小题 5 分,第(Ⅲ)小题 6 分. 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l , 焦点为 F .
2

M 的圆心在 x 轴的正半轴上,且与 y 轴相

切.过原点 O 作倾斜角为

? 的直线 n ,交 l 于点 A ,交 M 于另一点 B ,且 AO ? OB ? 2 . 3 (Ⅰ)求 M 和抛物线 C 的方程; y l (Ⅱ)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ? PF 的最小值; (Ⅲ)过 l 上的动点 Q 向 M 作切线,切点为 S , T ,求证:直线 ST 恒
过一个定点,并求该定点的坐标. A O B · FM x

23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(Ⅰ)小题 4 分,第(Ⅱ)小题 6 分,第(Ⅲ)小题 8 分. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, 前 n 项和为 S n , an ?1 ? ?

(Ⅰ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? a2 n ? a2 n?1 (n ? 1) ,试求数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn ; (Ⅱ)若数列 ?cn ? 满足 cn ? a2 n ,试判断 ?cn ? 是否为等比数列,并说明理由; (Ⅲ)当 p ?

? pan ? n ? 1(n为奇数) . ??an ? 2n(n为偶数)

1 * 时,问是否存在 n ? N ,使得 ( S2 n ?1 ? 10)c2n ? 1,若存在,求出所有的 n 的值;若不存 2

在,请说明理由.

·5 ·


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