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2011届江苏高考数学仿真模拟押题卷4


2011 届高考数学仿真押题卷——江苏卷(4) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.
z ? 2 ? 3i ? 3 ? 2 i 的虚部是

1. i 是虚数单位,复数
2

; ;
a1 , 1 2 a3 ,2 a 2

2.抛物线 y ? 4 x 的焦点到准线的距离是 3. 已知等比数列 ?a n ? 中,各项都是正数,且
a 9 ? a 10

成等差数列,



a 7 ? a8

=


? { x | x ? 5}

4.已知集合 A

,集合 B

? { x | x ? a}

,若命题“ x ?

A

”是命 题“ x ? B ”的充分不必

要条件,则实数 a 的取值范围是 ; 5.某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群 体的相关人员中,抽取若干人组成调查小组,有关数据见下表,若从调查小组中的公务员和 教师中随机选 2 人撰写调查报告,则其中恰好有 1 人来自公务员的概率为 相关人员数 公务员 教师 自由职业者
?2 x ? 1 f (x) ? ? ??2 x 6.已知函数
2

抽取人数 x y 4
开始

32 48 64
( x ? 0) ( x ? 0)

,则不等式
x ?1

f (x) ? x ? 2

的解集是



7.若某程序框图如所示,则该程序运作后输出的 y 等于 ; ()其 中 ? ? 0 ,

y ?1


x ? 5?

n 8 . 函 数 f ( x ) ? 2 s i? (x? ?


y ? 2y ?1

?

?
2

?? ?

?
2

输出 y

)的图象如图所示,若点 A 是函数
x ? x ?1

f (x)

的图象与 x 轴的交点,点 B、D 分别是函数
?

结 束

f (x)

(

, 0)

的图象的最高点和最低点,点 C 1 2
??? ???? ?

是点 ;

B 在 x 轴上的射影,则 A B ? B D =

9. 如图, 在棱长为 5 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 是棱 AB 上的一条线段, EF=2, EF 且
Q

是 A1D1 的中点,点 P 是棱 C1D1 上的动点,则四面体 PQEF 的体积为_________;

2 ? 10.如图,是二次函数 f ( x ) ? x ? bx ? a 的部分图象,则函数 g ( x ) ? ln x ? f ( x ) 的零点

k ?

1 2

,k)

所在的区间是(

,则整数 k ? ____________;

11.设 若 则

a1 , a 2 ,? , a 50

是从-1,0,1 这三个整数中取值的数列,
2 2 2

a 1 ? a 2 ? ? ? a 5 0 ? 9 , 且 ( a 1 ? 1) ? ( a 2 ? 1) ? ? ? ( a 5 0 ? 1) ? 1 0 7



a1 , a 2 ,? , a 50

中数字 0 的个数为



12.设 a 是实数.若函数 f ( x ) ? | x ? a | ? | x ? 1 | 是定义在 R 上的奇函数,但不是偶函数,则函 数 f ( x ) 的递增区间为
x
2 2



?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

13.已知椭圆 a

的左焦点 F1 ,O 为坐标原点,点 P 在椭圆上,点 Q 在
???? ???? ? F1 P F1 Q ? ? ( ???? ? | F1 P | | ???? ? F1 O ???? )( ? ? 0 ) ? F1 O |

???? ???? ? P Q ? 2 F1 O ,

椭圆的右准线上,若 为 .
ln x ? 1 ? f (x ) 1 ? f (x)

则椭圆的离心率

14.函数 f ( x ) 满足 最小值为 .

,且 x1 , x 2 均大于 e , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 , 则 f ( x1 x 2 ) 的

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. A1 15.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=2AA1, ?BAA1=?CAA1=60?,D,E 分别为 AB,A1C 中点. A D B E

C1

B1 C

(1)求证:DE∥平面 BB1C1C; (2)求证:BB1?平面 A1BC.

16. (本小题满分 14 分)
? ? ? ? ? a =(1+cos ? ,sin ? ), b =( 1 -co s ? ,sin ? ), c ? (1, 0 ) , ? ? (0, ? ), ? ? (? , 2 ? ) ,向量 a 与 c 已知

夹角为

?1

? ? ? ?2 ?1 ? 2 6 ,向量 b 与 c 夹角为 ,且 - = ,若 ? A B C 中角 A、B、C 的对边分别为 a、

b、c,且角 A= ? ? ? . 求(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 ? A B C 的外接圆半径为 4 3 ,试求 b+c 取值范围.

17.如图, 海岸线 MAN , ? A ? 2? , 现用长为 l 的栏网围成一养殖场, 其中 B ? MA , C ? NA . (1)若 BC ? l ,求养殖场面积最大值; (2)若 B 、 C 为定点, BC ? l ,在折线 MBCN 养殖场 DBAC 的最大面积; (3)若(2)中 B 、 C 可选择,求四边形养殖场 ACDB 面积的最大值. 内选点 D ,使 BD ? DC ? l ,求四边形

18.(本题满分 16 分)
C : x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

给定椭圆

,称圆心在坐标原点 O ,半径为
2 , 0)

a

2

? b

2

的圆是椭圆 C 的
3

“伴随圆”. 若椭圆 C 的一个焦点为 F 2 ( (Ⅰ)求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程; (Ⅱ)若过点 P (0, m )( m 所得的弦长为 2
2

,其短轴上的一个端点到 F2 距离为



? 0)

的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点,且 l 截椭圆 C 的“伴随圆”

,求 m 的值;

(Ⅲ)过椭圆 C“伴椭圆”上一动点 Q 作直线 l1 , l 2 ,使得 l1 , l 2 与椭圆 C 都只有一个公共点,试 判断直线 l1 , l 2 的斜率之积是否为定值,并说明理由. 19. 设 首 项 为 ,
a1

的正项数列
m

?an ?

的前 n 项和为

Sn

, q 为 非 零 常数 , 已 知 对 任 意 正 整 数

n, m S n?m ? S m ? q S n

总成立. 是等比数列;
am ? ah
m h

(Ⅰ)求证:数列

?an ?

(Ⅱ)若不等的正整数 m , k , h 成等差数列,试比较 (Ⅲ)若不等的正整数 m , k , h 成等比数列,试比较 20. 已知函数
f



ak

2k

的大小;
2

1

1

a

m m

?a

h h



a

k k

的大小.
f

?x? ?

ax ? bx ? c
2

?a

? 0?

满足

f ?0? ? 0

,对于任意 x ? R 都有
? 0?

?x? ?

x

,

? 1 ? ? 1 ? f ?? ? x? ? f ?? ? x? ? 2 ? ? 2 ? ,令 g ? x ? ? f 且

? x? ? ? x ?1 ??

.

求函数 求函数

f

?x?

的表达式; 的单调区间;
g ?x?

g ?x?

(3)研究函数

在区间

? 0,1 ?

上的零点个数。

附加题 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1 几何证明选讲 如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相 E 交于点 P,E 为⊙O 上一点,AE=AC, DE 交 AB 于 点 F.求证:△PDF∽△POC. F B A · P O D B.选修 4-2 矩阵与变换
?1 A ? ? ?3 ?2 ? ? ?7 ?

C (第 21-A 题)

已知矩阵


?1

(1)求逆矩阵 A ;
?3? AX ? ? ? ?1 ? 满足

(2)若矩阵 X

,试求矩阵 X.

C.选修 4-4 坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C1:
? cos(? ?
? 4 )?2 2
? x ? 4t , ? y ? 4t C2: ?
2

与曲线

(t∈R)交于 A、B 两点.求证:OA⊥OB.

D.选修 4-5 不等式选讲
y x z 1 1 1 + + ≥ + + yz zx xy x y z

已知 x,y,z 均为正数.求证:



【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.已知 (1)求
( x ? 1) ? a 0 ? a 1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) ? a 3 ( x ? 1) ? ... ? a n ( x ? 1) ,
n 3 n

(其中 n ? N )
*

a0


Sn

Sn ?

?
i ?1

n

ai


n 2

(2) 试比较

与 ( n ? 2 ) 2 ? 2 n 的大小,并说明理由.

23.设顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线过点 P(2,4) ,过 P 作抛物线的动弦 PA,PB, 并设它们的斜率分别为 kPA,kPB. (1)求抛物线的方程;

(2)若 kPA+kPB=0,求证直线 AB 的斜率为定值,并求出其值; (3)若 kPA·kPB=1,求证直线 AB 恒过定点,并求出其坐标. 参考答案 一、填空题:
1 1 3 [? 1 2 , ?? )
?
2

1. 2
25

2. 8

3. 3 ? 2 2

4.

a ? 5

5. 5
5 ?1

?8

6.
5

7. 63 8.

8

9.

6

10. 1 11. 11

? ? 1,1 ? 12. ?

13.

2

14.

7

二、解答题:

16. (Ⅰ)据题设,并注意到 ? 、 ? 的范围,
cos ? 2 ? 1 ? cos ? (1 ? c o s ? ) ? sin ?
2 2

? ? a?b ? cos ?1 ? ? ? ? cos 2 a b

-----------------------2 分

? sin

?
2

? c o s(

?
2

?

?
2

)

,--------------------4 分

由于
?

? 1、 2 ?
? (0,

为向量夹角,故
?
2 ),

? 1、 2 ? ? 0, ? ?
?
2

?,
?
2 ?

?
2

?

?
2

? (0,

),

?

而2

故有 2
? b s in B

? ?1,

?
2

? ?2

A ? ? ?? ?

2? 3 .--7 分

, 得

a s in

?
3

?

c s in C

?8 3

(Ⅱ) (2)由正弦定理

,-------10 分
?
3 ? B )] ? 8 3 sin ( B ?

b ? c ? 8 3 (sin B ? sin C ) ? 8 3 [sin B ? sin (

?


B?

) 3 --------12 分

?
3

?(

?
3

,

2? 3

)

注意到

,从而得 b ? c ? (1 2, 8 3 ]. ------------------------14 分
2 2 2

17. 解:(1)设 A B ? x , A C ? y , x ? 0, y ? 0 . l ? x ? y ? 2 xy co s 2? ? 2 xy ? 2 xy co s 2? ,

xy ?

l

2

2 ? 2 c o s 2?

?

l

2 2

4 s in ?



S ?

1 2

x y sin 2 ? ?

1

2 4 sin ?
2

?

l

2

? 2 sin ? c o s ? ?

l cos ?
2

4 sin ?



l cos ?
2

所以,△ A B C 面积的最大值为 4 s in ? ,当且仅当 x ? y 时取到. (2)设 A B ? m , A C ? n ( m, n 为定值). B C ? 2 c (定值) ,
S ?ABC ? 1 2 m n sin 2?

1 由 D B ? D C ? l ? 2 a ,a = l,知点 D 在以 B 、 C 为焦点的椭圆上, 2 值. 只需 ? D B C 面积最大,需此时点 D 到 B C 的距离最大, 即 D 必为椭圆短轴顶点.
l
2

为定

b ?

a ?c
2

2

?

4

? c , S ?BCD
2

1

? 2c ? b ? c ?

l

2

?c

2

面积的最大值为 2
1 m ? n ? sin 2 ? ? c ? l
2

4


2

?c

因此,四边形 ACDB 面积的最大值为 2

4



(3)先确定点 B、C,使 B C ? l . 由(2)知 ? D B C 为等腰三角形时,四边形 ACDB 面积最大. 确定△BCD 的形状,使 B、C 分别在 AM、AN 上滑动,且 BC 保持定值, 由(1)知 AB=AC 时,四边形 ACDB 面积最大.
l

此时,△ACD≌△ABD,∠CAD=∠BAD=θ ,且 CD=BD= 2 .
2 S ? ACD ? 2 ? 1 2 ? AC ? AD ? sin ?

S=

.
l 1 2 ? l 2 ? 4 tan

?
2

由(1)的同样方法知,AD=AC 时,三角形 ACD 面积最大,最大值为
l
2

.

8 tan

?
2 .
? 2

所以,四边形 ACDB 面积最大值为 18. 解: (Ⅰ)由题意得: a
x
2

?

3

,半焦距 c



b ?1

? y

2

?1

椭圆 C 方程为

3

“伴随圆”方程为 x

2

? y

2

? 4

……………4 分
? kx ? m

(Ⅱ)则设过点 P 且与椭圆有一个交点的直线 l 为: y
? y ? kx ? m ? 2 ?x 2 ? y ?1 ? ? 3 则



整理得
2

?1 ? 3 k ? x
2
2

2

? 6 km x ? (3 m

2

? 3) ? 0

所以

? ? ? 6 km ? ? 4 ? 1 ? 3 k

? ? 3m

2

? 3? ? 0

,解 3 k

2

?1? m

2



……………6 分

又因为直线 l 截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为 2 2 ,
? ? ? ? ? |m | k
2

2

2

2

则有

? ? ? ?1?

2

? 2

2

化简得
2

m

2

? 2 ?k

2

? 1?



……8 分

联立①②解得, k 所以 k

2

? 1, m

? 4

, ,则 P (0, ? 2 )
2

? ? 1 , m ? ? 2 (? m ? 0 )

…………10 分
? y0 ? 4
2

(Ⅲ)当 l1 , l 2 都有斜率时,设点 Q ( x 0 , y 0 ), 其中 x 0

, ,

设经过点 Q ( x 0 , y 0 ), 与椭圆只有一个公共点的直线为 y
? y ? kx ? ( y0 ? kx0 ) ? 2 ?x 2 ? y ?1 ? 由? 3

? k ( x ? x0 ) ? y 0

,消去 得到
2 2

y

x ? 3 ? kx ? ( y 0 ? kx 0 ) ? ? 3 ? 0
2 2

…………12 分 ,


2

(1 ? 3 k ) x ? 6 k ( y 0 ? kx 0 ) x ? 3( y 0 ? kx 0 ) ? 3 ? 0
2
2 2

? ? ? 6 k ( y 0 ? kx 0 ) ? ? 4 ? (1 ? 3 k ) ? 3( y 0 ? kx 0 ) ? 3 ? ? 0 ? ?

, ……14 分 ,

经过化简得到: (3 ? 因为 x 0
2

x0 ) k ? 2 x0 y 0 k ? 1 ? y 0 ? 0
2 2 2 2 2


2

? y0 ? 4
2

,所以有 (3 ?

x 0 ) k ? 2 x 0 y 0 k ? ( x 0 ? 3) ? 0

设 l1 , l 2 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,因为 l1 , l 2 与椭圆都只有一个公共点, 所以 k 1 , k 2 满足方程 (3 ? 因而 k 1 ? k 2
? ?1

x 0 ) k ? 2 x 0 y 0 k ? ( x 0 ? 3) ? 0
2 2 2

, ……16 分 总成立,

,即直线 l1 , l 2 的斜率之积是为定值 ? 1
S n?m ? S m ? q S n
m

19. (Ⅰ)证:因为对任意正整数 n , m ,

S ? S1 ? q S1 a ? q a1 令 n ? m ? 1 ,得 2 ,则 2 …………………………………………(1 分)

S ? S1 ? q S n 令 m ? 1 ,得 n ? 1

(1) , 从而 ……(3 分)

S n ? 2 ? S 1 ? q S n ?1

(2),

-(1)得:

a n ? 2 ? q a n ? 1 ( n ? 1)

,

综上得

a n ? 1 ? q a n ( n ? 1)

,所以数列

? a n ? 是等比数列…………………………(4 分)
m ?h ?
2 2

1 2

(Ⅱ)正整数
m h

m, k, h
m ?m
2

成等差数列,则 m ? h ? 2 k ,所以
h h ?h
2

(m ? h ) ? 2k
2

2

,



a m ? a h ? a1 q
m

a1 q
h

? a1 q
2k
2k

m ?h ?m?h

2

2

…………………………………………(7 分)

a ? a ? a1 ? a k ①当 q ? 1 时, m h ………………………………………………(8 分)
m 2k

a ? a ? a1 q ②当 q ? 1 时, m h
m h 2k

m ?h ?m?h

2

2

? a1 q
2k

2k ?2k

2

? ( a1 q
2

k ?1

)

2k

? ak )
2k

2k

……(9 分)
2k

③当

0 ? q ?1

时,

a m ? a h ? a1 q
m h 2k

m ?h ?m?h

2

2

? a1 q
2k

2k ?2k

? ( a1 q

k ?1

? ak

………(10 分)

1

(Ⅲ)正整数 m , k , h 成等比数列,则 m ? h ? k ,则 m
2

?

1 h

? 2

1 mh

?

2 k ,

1

1

1

1 h ?1

1

a

m m

?a

h h

? ( a1 q

m ?1

) ( a1 q

m

)

h

? a

?

1 h

2?

1 m

?

1 h

m 1

q

? q (
2

a1 q

1

?

1 h

)

m

所以
2

ak k ? q (
2

a1 q

2

)k
? ? ? ? ? 13 分

a1


a

a1 ? q
1

?1

,即 q
2 k k 2

时,
2 k

1 m m

?a

h h

? a

? q ? ak

………………………………………(14 分)
1 1

a1

②当

a1 ? q

?1

a

,即 q
a1 ?1

m m

?a

h h

? q (
2

a1 q a1 q

1

?

1 h

)

m

? q (
2

a1 q

2

)

k

2

时,
1 1 2 m a m ? a hh ? q (

? ak
2

k

…………………(15 分)

1

?

1 h

③当

a1 ? q

)m

? q (
2

a1 q

)k

2

,即 q

时,

? ak k

…………………(16 分)

20. (本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与 方程、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应 用意识) (1) 解:∵
f ?0? ? 0

,∴ c ? 0 .

…1分

? 1 ? ? 1 ? f ?? ? x? ? f ?? ? x? ? ? 2 ?, ∵对于任意 x ? R 都有 ? 2
x ? ? 1 2 ,即 ? b 2a ? ? 1 2 ,得 a ? b .

∴函数 又
f

f

?x?
x

的对称轴为
2

…2分

?x? ?

,即

a x ? ? b ? 1? x ? 0
2

对于任意 x ? R 都成立,

? ? b ? 1? ? 0 ∴ a ? 0 ,且 ? .

? b ? 1? ∵

f

2

? 0
2

, .

∴ b ? 1, a ? 1 . …4分
x? x? 1 , .

?x? ?

x ? x

? 2 x ? ? 1 ? ? ? x ? 1, ? ? ? ? ? x 2 ? ? 1 ? ? ? x ? 1, g ?x? ? f ?x? ? ?x ? 1 ? ? (2) 解:
x? 1

?
1

?

…5分

① 当
? ?1
?

? 时,函数
1

g ? x ? ? x ? ?1 ? ? ? x ? 1
2

x ?

? ?1
2

的对称轴为





2

? ,即 0 ? ? ? 2 ,函数
1

g ?x?

? 1 ? ? , ?? ? ? 上单调递增; 在? ?

…6分

? ?1

?

若 减.

2

? ? ?1 ? ? 1 ? ?1? , ?? ? ? ? , ? 2 ? ? 上单调递增,在 ? ? ? ,即 ? ? 2 ,函数 g ? x ? 在 ? 2 上单调递

…7 分
x ? 1

② 当

? 时,函数

g ? x ? ? x ? ?1 ? ? ? x ? 1
2

x ? ?

1? ? 2

?

1

的对称轴为

? ,

则函数

g ?x?

1? ? ? ? 1? ? 1 ? ? , ? ?? ? ?? , ? ? 2 ? ? 上单调递增,在 ? 2 ? 在? 上单调递减.

…8分

? 1? ? ? , ?? ? ?? g ?x? 2 ? ,单调递减区间为 综上所述,当 0 ? ? ? 2 时,函数 单调递增区间为 ? 1? ? ? ? ? ?? , ? ? 2 ? ? ;

…9分
g ?x?
? 1? ? 1 ? ? ? ?1 ? , ? , ?? ? ?? ? 2 ? ? 和? 2 ? ,单调递减区间为 单调递增区间为 ?

当 ? ? 2 时,函数

1? ? ? ? ? 1 ? ?1? ? ?? , ? ? ? , ? 2 ? 2 ? ? 和? ? .

… 10 分

g ?x? ? 0,1 ? (3)解:① 当 0 ? ? ? 2 时,由(2)知函数 在区间 上单调递增,



g ? 0 ? ? ? 1 ? 0, g ? 1 ? ? 2 ? ? ? 1 ? 0

, … 12 分

故函数

g ?x?

在区间
1

? 0,1 ?
1 2

上只有一个零点.

② 当 ? ? 2 时,则 ?
g ?1 ? ? 2 ? ? ? 1

?

?1

1 1 ? 1 ? g? ?? 2 ? ? 0 g ? 0 ? ? ?1 ? 0, ? ? ? ? ? ,而 ,


1 ?

? ?1
2

(ⅰ)若 2 ? ? ? 3 ,由于 ?
2

?1


2

? ?1 ? ? ?1? ? ? ?1? ? ? ? 1? g? ?1 ? ? ?1? 0 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 2 4 且 ? 2 ? ? 2 ? ,

此时,函数

g ?x?

在区间

? 0,1 ?
?1

上只有一个零点;

… 14 分

? ?1

(ⅱ)若 ? ? 3 ,由于

2



g ?1 ? ? 2 ? ? ? 1 ? 0 g ?x? ,此时,函数 在区间

? 0,1 ?

上有两个不同的零点.

15 分

g ?x? ? 0,1 ? 综上所述,当 0 ? ? ? 3 时,函数 在区间 上只有一个零点; g ?x? ? 0,1 ? 当 ? ? 3 时,函数 在区间 上有两个不同的零点. …… 16 分

附加题
?a ? ?1 A =?c b? ? d? ?a ? c ,则 ? b ? ?1 ? ? d ? ?3 ?2 ? ? ?7 ?
? a ? 3b ? c ? 3d =? ?2a ? 7b ? ? ?2c ? 7 d ?

B. (1)设

?1 ? 0 =?

0? ? 1?





? a ? 3 b ? 1, ? ? ?2 a ? 7b ? 0, ? ? c ? 3d ? 0, ??2c ? 7 d ? 1. ?
?7 X ? ? ?3

解得

?a ? ?b ? ?c ?d ?

? 7, ? ?2, ? 3, ? ?1.
?7 ? ?1 A = ?3 ?2? ? ?1?



.--------6 分

(2)

? 2 ? ? 3 ? ?1 9 ? ?? ? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? 8 ?

.---------------10 分

2 C.解:曲线 C 1 的直角坐标方程 x ? y ? 4 ,曲线 C 2 的直角坐标方程是抛物线 y ? 4 x 4 分

设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,将这两个方程联立,消去 x ,
2 得 y ? 4 y ? 1 6 ? 0 ? y1 y 2 ? ? 1 6 , y 1 ? y 2 ? 4 . --------------6 分

? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? ( y 1 ? 4 )( y 2 ? 4 ) ? y 1 y 2 ? 2 y 1 y 2 ? 4 ( y 1 ? y 2 ) ? 16 ? 0

-------8 分

∴OA ? OB

??? ??? ? ?

? 0

,? OA ? OB .

-----------------------10 分

D.选修 4-5 不等式选讲
x ? y zx ? 1 z ( x y ? y x )≥ 2 z

证明:因为 x,y,z 都是为正数,所以
y ? z xy ≥ 2 z x 2 , ? ≥ x xy yz y

yz

.-------------4 分

同理可得 zx

, -------------------7 分
x ? y zx ? z xy ≥ 1 x ? 1 y ? 1 z

当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立.

将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得
a ? 2 22. (1)令 x ? 1 ,则 0 ,令 x ? 2 ,
n

yz

. ---------- 10 分



?a
i?0

n

i

?3

n

,∴
Sn
n

Sn ? 3 ? 2
n
n

n


2

----------------------3 分
n 2

(2)要比较

n 与 ( n ? 2 ) 2 ? 2 n 的大小,即比较: 3 与 ( n ? 1) 2 ? 2 n 的大小,

当 n ? 1 时, 3 ? ( n ? 1) 2 ? 2 n ;当 n ? 2 , 3 时, 3 ? ( n ? 1) 2 ? 2 n ;
n 2 n n 2

当 n ? 4, 5 时, 3 ? ( n ? 1) 2 ? 2 n ;
n n 2 n n 2

-----------------------------------5 分

猜想:当 n ? 4 时 n ? 4 时, 3 ? ( n ? 1) 2 ? 2 n ,下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知, n ? 4 n ? 4 时结论成立, 假设当 n ? k ( k ? 4 ) n ? k , ( k ? 4 ) 时结论成立,即 3 ? ( n ? 1) 2 ? 2 n ,
n n 2

两边同乘以 3 得: 3 而

k ?1

? 3[( k ? 1) 2 ? 2 k ] ? k 2
k 2

k ?1

? 2 ( k ? 1) ? [( k ? 3) 2 ? 4 k ? 4 k ? 2 ]
2 k 2

( k ? 3) 2 ? 4 k ? 4 k ? 2 ? ( k ? 3) 2 ? 4 ( k ? k ? 2 ) ? 6 ? ( k ? 2 ) 2 ? 4 ( k ? 2 )( k ? 1) ? 6 ? 0
k 2 k 2 k

∴3

k ?1

? [( k ? 1) ? 1]2

k ?1

? 2 ( k ? 1)

2

即 n ? k ? 1 时结论也成立, ∴当 n ? 4 时, 3 ? ( n ? 1) 2 ? 2 n 成立.
n n 2

综上得,当 n ? 1 时, 3 ? ( n ? 1) 2 ? 2 n ;
n n 2

当 n ? 2 , 3 时, 3 ? ( n ? 1) 2 ? 2 n ;当 n ? 4, n ? N 时, 3 ? ( n ? 1) 2 ? 2 n
n n 2 n n

?

2

--10 分

(23)依题意,可设所求抛物线的方程为 y2=2px(p>0) , 因抛物线过点(2,4) ,故 42=4p,p=4,抛物线方程为 y2=8x.
k PA ? y1 ? 4 x1 ? 2 ? y1 ? 4 y1 8
2

?

8 y1 ? 4

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则
k PB ? 8 y2 ? 4 k AB ? 8 y1 ? y 2

?2



同理





∵kPA+kPB=0,
8 8 8
8



y1 ? 4

+

y2 ? 4

=0,∴

y1 ? 4

=

? y2 ? 4

,y1+4= -y2-4,y1+y2= -8

∴ k AB ? ? 1 . 即直线 AB 的斜率恒为定值,且值为-1.
8 8 y1 ? 4 y2 ? 4

(3)∵kPAkPB=1,∴

·
8

=1,∴y1y2+4(y1+y2)-48=0.
y1 8
2

y ? y1 ?

直线 AB 的方程为

y1 ? y 2

(x ?

)

,即(y1+y2)y-y1y2=8x.

将-y1y2=4(y1+y2)-48 代入上式得 (y1+y2)(y+4)=8(x+6),该直线恒过定点(-6,-4) ,命题得证.


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