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2015数学理科高考真题分类汇-集合与常用逻辑用语


专题一 集合与常用逻辑用语
1.【2015 高考四川,理 1】设集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ,集合 B ? {x |1 ? x ? 3} ,则

A ? B =(



( A) {x | ?1 ? x ? 3} ( D) {x | 2 ? x ? 3}
【答

案】A 【解析】

( B) {x | ?1 ? x ? 1}

(C ) {x |1 ? x ? 2}

A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x |1 ? x ? 3},? A ? B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,选 A.
【考点定位】集合的基本运算. 【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点,几乎是每年必考内容,属于容易题.一般 是结合不等式,函数的定义域值域考查,解题的关键是结合韦恩图或数轴解答. 2.【2015 高考广东,理 1】若集合 M = {x | ( x + 4)( x +1) = 0} , N = {x | ( x - 4)( x - 1) = 0} ,则

M ? N =(
A. ? 【答案】 A .

) B. ??1, ?4? C. ?0? D. ?1, 4?

【解析】因为 M ? x | ? x ? 4 ?? x ? 1? ? 0 ? ??4, ?1? , N ? x | ? x ? 4 ?? x ? 1? ? 0 ? ?1, 4? , 所以 M ? N ? ? ,故选 A . 【考点定位】一元二次方程的解集,集合的基本运算. 【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的解集,有限集合的交集运算和运算求解能力,属 于容易题. 3.【2015 高考新课标 1,理 3】设命题 p : ?n ? N , n ? 2 ,则 ?p 为(
2 n

?

?

?

?

)

(A) ?n ? N , n ? 2
2 2

n n

(B) ?n ? N , n ? 2
2 2

n n

(C) ?n ? N , n ? 2 【答案】C

(D) ?n ? N , n =2

【解析】 ?p : ?n ? N , n ? 2 ,故选 C.
2 n

【考点定位】本题主要考查特称命题的否定 【名师点睛】全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点,对特称命题的否定,将 存在换成任意,后边变为其否定形式,注意全称命题与特称命题否定的书写,是常规题,很 好考查了学生对双基的掌握程度. 4.【2015 高考陕西,理 1】设集合 M ? {x | x ? x} , N ? {x | lg x ? 0} ,则 M ? N ? (
2



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A. [0,1] 【答案】A

B. (0,1]

C. [0,1)

D. (??,1]

【解析】 ? ? x x ? x ? ?0,1? , ? ? x lg x ? 0 ? x 0 ? x ? 1 ,所以 ? ? ? ? ? 0,1? ,
2

?

?

?

? ?

?

故选 A. 【考点定位】1、一元二次方程;2、对数不等式;3、集合的并集运算. 【名师点晴】 本题主要考查的是一元二次方程、 对数不等式和集合的并集运算, 属于容易题. 解 题时要看清楚是求“ ? ”还是求“ ? ”和要注意对数的真数大于 0 ,否则很容易出现错误. 5.【2015 高考湖北,理 5】设 a1 , a2 ,? , an ? R , n ? 3 . 若 p: a1 , a2 ,? , an 成等比数列;
2 2 2 2 2 2 ? ? ? an q: (a12 ? a2 ?1 )( a2 ? a3 ? ? ? an ) ? ( a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an ?1an ) ,则(



A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 【答案】A

【考点定位】等比数列的判定,柯西不等式,充分条件与必要条件. 【名师点睛】判断 p 是 q 的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件 p 能否推得条件 q,二 是由条件 q 能否推得条件 p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把 抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性, 转化为判断它的等价命题. 6.【2015 高考天津,理 4】设 x ? R ,则“ x ? 2 ? 1 ”是“ x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

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【答案】A 【解析】 x ? 2 ? 1 ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? x ? 3 , x 2 ? x ? 2 ? 0 ? x ? ?2 或 x ? 1 ,所以 “ x ? 2 ? 1 ”是“ x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件,故选 A. 【考点定位】不等式解法与充分条件、必要条件. 【名师点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题,将含绝对值不等 式与一元二次不等式和解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来,体现 综合应用数学知识解决问题的能力,是基础题 7.【2015 高考重庆,理 1】已知集合 A= ?1, 2,3? ,B= ?2,3? ,则( A、A=B 【答案】D 【解析】由于 2 ? A, 2 ? B,3 ? A,3 ? B,1 ? A,1 ? B ,故 A、B、C 均错,D 是正确的,选 D. 【考点定位】本题考查子集的概念,考查学生对基础知识的掌握程度. 【名师点晴】考查集合的关系,涉及集合的相等.集合的交集运算,子集等概念,是送分题. 8.【2015 高考福建,理 1】若集合 A ? i, i 2 , i 3 , i 4 等于 ( A. ??1? 【答案】C 【解析】由已知得 A ? ?i, ?1, ?i,1? ,故 A ? B ? ?1, ?1? ,故选 C. 【考点定位】1、复数的概念;2、集合的运算. 【名师点睛】本题考查复数的概念和集合的运算,利用 i 2 ? ?1 和交集的定义求解,属于基础 题,要注意运算准确度. 9.【2015 高考重庆,理 4】“ x ? 1 ”是“ log 1 ( x ? 2) ? 0 ”的(
2

) D、B ? A

B、 A ? B= ?

C、 A ? B

?

? (i

是虚数单位) ,B ? ?1, ?1? ,则 A ? B

) B. ?1? C. ?1, ?1? D. ?

) B、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

A、充要条件 C、必要不充分条件 【答案】B 【解析】 log 1 ( x ? 2) ? 0 ? x ? 2 ? 1 ? x ? ?1 ,因此选 B.
2

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【考点定位】充分必要条件. 【名师点晴】本题把充分必要条件与对数不等式结合在一起,既考查了对数函数的性质,又 考查了充分必要条件的判断,从本题可知我们可能用集合的观点看充分条件、必要条件:A= {x|x 满足条件 p},B={x|x 满足条件 q},(1)如果 A ? B,那么 p 是 q 的充分不必要条件;(2) 如果 B ? A,那么 p 是 q 的必要不充分条件;(3)如果 A=B,那么 p 是 q 的充要条件;(4)如果

A? ? B ,且 B ? ? A ,那么 p 是 q 的既不充分也不必要条件.本题易错点在于解对数不等式时没
有考虑对数的定义域. 10.【2015 高考新课标 2,理 1】已知集合 A ? , B ? x ( x ? 1)( x ? 2 ? 0 ,则 {? 2, ? 1, 0, 1, 2}

?

?

A? B ? (

) B. ?0,1? C. ??1, 0,1? D. ?0,1, 2?

A. A ? ??1, 0? 【答案】A

【解析】由已知得 B ? x ?2 ? x ? 1 ,故 A ? B ? ??1, 0? ,故选 A. 【考点定位】集合的运算. 【名师点睛】本题考查一元二次不等式解法和集合运算,要求运算准确,属于基础题. 11.【2015 高考天津,理 1】已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7,8? ,集合 A ? ?2,3,5, 6? ,集合

?

?

B ? ?1,3, 4, 6, 7? ,则集合 A ? ?U B ? (
(A) ?2,5? 【答案】A (B) ?3, 6?

) (D) ?2,3,5, 6,8?

(C) ?2,5, 6?

【解析】 ? U B ? {2,5,8} ,所以 A ? ? U B ? {2,5} ,故选 A. 【考点定位】集合的运算. 【名师点睛】本题主要考查集合的运算,涉及全集、补集、交集相关概念和求补集、交集的 运算,是基础题. 12.【2015 高考安徽,理 3】设 p :1 ? x ? 2, q : 2 ? 1 ,则 p 是 q 成立的(
x



(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 【答案】A (D)既不充分也不必要条件

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【考点定位】1.指数运算;2.充要条件的概念. 【 名师 点睛 】对于指 对数 运算 问题,需 要记 住常 见的等式 关系 ,如

1 ? 20 , 2 ? 21 ,1 ? log a a, 0 ? log a 1 ,进而转化成同底的问题进行计算;充要关系的判断
问题, 可以分为由 “ p :1 ? x ? 2 ” 推证 “q: x ? 0” 以及由 “q: x ? 0” 推证 “ p :1 ? x ? 2 ” . 13.【2015 高考山东,理 1】已知集合 A ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x 2 ? x ? 4 ,则 A ? B ?
2

?

?

?

?



) (B) (1,4) (C) (2,3) (D) (2,4)

(A) (1,3) 【答案】C

【解析】因为 A ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 ? x 1 ? x ? 3 ,
2

?

? ?

?

所以 A ? B ? x 1 ? x ? 3 ? x 2 ? x ? 4 ? x 2 ? x ? 3 .故选:C. 【考点定位】1、一元二次不等式;2、集合的运算. 【名师点睛】本题考查集合的概念与运算,利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集 合的交集,本题属基础题,要求学生最基本的算运求解能力. 14.【2015 高考浙江,理 4】命题“ ?n ? N , f (n) ? N 且 f (n) ? n 的否定形式是( )
* *

?

? ?

? ?

?

A. ?n ? N , f (n) ? N 且 f (n) ? n
* *

B. ?n ? N , f (n) ? N 或 f (n) ? n
* *

C. ?n0 ? N * , f (n0 ) ? N * 且 f (n0 ) ? n0 【答案】D.

D. ?n0 ? N * , f (n0 ) ? N * 或 f (n0 ) ? n0

【解析】根据全称命题的否定是特称命题,可知选 D. 【考点定位】命题的否定 【名师点睛】本题主要考查了全称命题的否定等知识点,属于容易题,全称(存在性)命题的否 定与一般命题的否定有着一定的区别,全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词 (或把存在量词改为全称量词),并把结论否定;而一般命题的否定则是直接否定结论即可,全 称量词与特称量词的意义,是今年考试说明中新增的内容,在后续的复习时应予以关注. 15. 【2015 高考浙江, 理 1】 已知集合 P ? {x x 2 ? 2 x ? 0} ,Q ? {x 1 ? x ? 2} , 则 (?R P ) ? Q ? 53 家教网—免费帮您找家教

( A. [0,1)

) B. (0, 2] C. (1, 2) D. [1, 2]

【答案】C. 【解析】由题意得, C R P ? (0,2) ,∴ (?R P ) ? Q ? (1, 2) ,故选 C. 【考点定位】1.解一元二次不等式;2.集合的运算. 【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式,求集合的补集与交集,属于容易题,在解 题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到,这是一个易错点,同时将不等 式与集合融合,体现了知识点之间的交汇. 16. 【 2015 高考山东,理 12 】若 “ ?x ? ? 0, 为 【答案】1 .

? ?? , tan x ? m ” 是真命题,则实数 m 的最小值 ? 4? ?

【考点定位】1、命题;2、正切函数的性质. 【名师点睛】本题涉及到全称命题、正切函数的性质、不等式恒成立问题等多个知识点,意 在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力,注意等价转化的思想的应用,此题属中档题.

1,2,3? , B ? ?2,4,5?,则集合 A ? B 中元素的个数为 17.【2015 高考江苏,1】已知集合 A ? ?
_______. 【答案】5 【解析】 A ? B ? {1, 2, 3} ? {2, 4, 5} ? {1, 2, 3, 4,, 5} ,,则集合 A ? B 中元素的个数为 5 个. 【考点定位】集合运算 【名师点晴】研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时, 关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合 A 或属于集合 B 的元

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素的个数. 本题需注意检验集合的元素是否满足互异性,否则容易出错. 18.【2015 高考湖南,理 2】.设 A , B 是两个集合,则“ A ? B ? A ”是“ A ? B ”的( A.充分不必要条件 【答案】C. 【解析】 试题分析:由题意得, A ? B ? A ? A ? B ,反之, A ? B ? A ? B ? A ,故为充要条件, 选 C. 【考点定位】1.集合的关系;2.充分必要条件. 【名师点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件,属于容易题,高考强调集合作为 工具与其他知 识点的结合,解题的关键是利用韦恩图或者数轴求解,充分,必要条件的判断性问题首要分 清条件 和结论,然后找出条件和结论之间的推出或包含关系. 19.【2015 高考上海,理 1】设全集 U ? R .若集合 ? ? ?1, 2,3, 4? , ? ? x 2 ? x ? 3 ,则 B.必要不充分条件 C.充要条件 )

D.既不充分也不必要条件

?

?

? ? ?U ? ?
【答案】 ?1, 4?



【解析】因为 CU B ? {x | x ? 3或x ? 2} ,所以 A ? CU B ? {4,1} 【考点定位】集合运算 【名师点睛】研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时, 关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合 A 或不属于集合 B 的 元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集,一个是无限集,按有限集逐一验证为妥。

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