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河北唐山一中2013届高三仿真理科数学(一)试题


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唐山一中 2013 年高考仿真试卷(一) 数 学(理科)
命题人:毛金丽 审核人: 第Ⅰ卷
(1) 选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在下列各题的四个选项中,只有一项 是最符合题意的) 1. 设集合 A ? ? x

姚洪琪

? x2 3 y 2 ? ? ? ? ? 1? , B ? y y ? x 2 ,则 A ? B ? ( 4 ? 4 ? ? ?

?

?



A.

? ?2, 2?

B.

?0, 2?

C. ? 0, 4?

D.

?0,8?

2.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C,以 AC、BC 的长为邻边作一个矩形,则该矩形的面积小 于 32cm2 的概率为 A.

4 5

B.

2 3

C.

1 3

D.

1 6

3.如右图,是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图,且正视图、侧视图都是 矩形,则该几何体的体积是 ( ) A.24 (1) B.12 C.8 D.4

已知等比数列 ?a n ? 中,各项都是正数,前 n 项和为 S n ,且 ) D. 16 )

4a3 , a5 ,2a 4 成等差数列, 若 a1 ? 1 ,则 S 4 ? (
A. 7 B. 8
2 2

C. 15

5. 过点 ( 3,1) 作直线与圆 ( x ? 1) ? y ? 9 相交于 A、B 两点,则|AB|的最小值为( A.4
2

B.2

C. 2 5
'

D.6 的解集为 p ,关于 x 的不等式

6. 若 f ? x ? ? x ? 2 x ? 4 ln x , 不 等 式 f

? x? ? 0

已知 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 a 的取值范围是 ( ) x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 的解集记为 q , A.

? ?2, ?1?

B.

? ?2, ?1?

C. ?

D.

? ?2, ?? ?

7.已知定义在 (0, ??) 上的单调函数 f ( x) ,对 ?x ? (0, ??) ,都有 f [ f ( x) ? log 2 x] ? 3 ,则方 程 f ( x) ? f '( x) ? 2 的解所在的区间是 A. (0,

1 ) 2

B. (

1 ,1 ) 2

C. (1,2)

D. (2,3)

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8.某班 50 名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图 如图所示.其中成绩分组区间是: [40,50) , [50, 60)

[60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] .则图中 x
的值为( ) A.0.18 B.0.018 C.0.36 D.0.009

9.定 义域为 R 的连 续函数 f ? x ? ,对 任意 x 都有 f ? x ? ? f ? 4 ? x ? , 且其导函数 f ?(x) 满 足

( x ? 2) f ?( x) ? 0 ,则当 2 ? a ? 4 时,有(
A. f 2a ? f ? 2 ? ? f ? log 2 a ? C. f ? 2 ? ? f ? log 2 a ? ? f 2a



? ?

B.

f ? 2 ? ? f ? 2a ? ? f ? log 2 a ?

? ?
2

D. f ? log 2 a ? ? f 2a ? f ? 2 ?

? ?

10. 已知 a ? 0 ,函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c ,向量 m ? ( 2ax 0 ? b, x 0 ? 1) 与向量
2 n ? ( x 0 ? 1,2ax 0 ? b ) 垂直时,则下列选项的命题中为假命题的是(



A. ?x ? R, f ( x ) ? f ( x 0 ) C. ?x ? R, f ( x ) ? f ( x 0 ) 11. 已知椭圆 C :

B. ?x ? R, f ( x ) ? f ( x 0 ) D. ?x ? R, f ( x ) ? f ( x 0 )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1 , F2 , F2 过 a 2 b2 2 2 2 的直线与圆 x ? y ? b 相切于点 A ,并与椭圆 C 交与不同的两 点 P , Q ,如图,若 A 为线段 PF2 的中点,则椭圆的离心率为
( ) A.

2 3

B.

3 3

C.

5 3

D.

7 3

12.已知函数

f ( x) ? ln


A.6

ex e 2e 2012e , 若f( )+f( )+ ? +f( )=503(a ? b), 则a 2 ? b 2 的最小值- 2 -为 e? x 2013 2013 2013 )
B.8 C.9 D.12

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 在△ ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, c, 角 B, b, 已知 a ? 2 3 ,c ? 2 2 ,1 ?

tan A 2c ? , tan B b

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则角 C 大小为



?y ? x ? 14. 若 在 不 等 式 组 ? x ? 0 所 确 定 的 平 面 区 域 内 任 取 一 点 P ? x, y ? , 则 点 P 的 坐 标 满 足 ?x ? y ? 2 ?
x 2 ? y 2 ? 1 的概率是


15. 如图,BC 是单位圆 A 的一条直径,F 是线段 AB 上的点,且

??? ? ??? ? BF ? 2 FA ,若 DE 是圆 A 中绕圆心 A 转动的一条直径,则

FD ? FE 的值是
16. 给出下列命题:



? ? ? ① 线性回归方程 y ? bx ? a 必过 ( x , y ) ;
② 函数 f ( x ) ? e ? x 的零点有 2 个;
x 2

③ 函数 y ? sin 2 x 是偶函数,且在区间 ? 0,
2

? ?? 内单调递增; ? 4? ?

④ 函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的最小正周期为 ? . 6?

其中真命题的序号是________ _____。 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知 a ? 2(cos ? x , cos ? x ), b ? (cos ? x , 3 sin ? x ) (其中 0 ? ? ? 1 ),函数 f(x)= a · b ,若直线 x ? (1) 试求ω 的值; (2) (2)先列表再作出函数 f(x)在区间 [?? , ? ] 上的图象.

?

?

?

?

?
3

是函数 f ( x ) 图象的一条对称轴,

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中,甲答对其中每道题的概率都是

3 ,乙能 5

答对其中的 5 道题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试,答对一题加10 分,答错一题(不答视为答错)减 5 分,至少得 15 分才能入选. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望;
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(Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率. 19. (本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为矩形,AB=1,

AA1 ? 2 ,D 为 AA1 中点,BD 与 AB1 交于点 0,C0 丄侧
面 ABB1A1
(I )证明:BC 丄 AB1;

(II)若 OC=OA,求二面角 C 1 -BD-C 的余弦值. 20.(本小题满分 12 分) 已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q ,且

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? QP ? QF ? FP ? FQ .
(I)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (II)已知圆 M 过定点 D ? 0, 2 ? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、 B 两点,设

DA ? l1 , DB ? l2 ,求

l1 l2 ? 的最大值. l2 l1
ln x ? k ( k为常数,e ? 2.72 是自然对数的底数) ,曲 ex

21、 (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

线 y ? f (x) 在点(1, f (1) )处的切线与 x 轴平行。 (1)求 k 的值; (2)求 f (x) 的单调区间; (3)设 g ( x) ? ( x ? x) f ' ( x), 其中 f ( x) 为函数 f (x) 的导函数,
2 /

证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e 。 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右 侧方框图黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的 首题进行评分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AD 是⊙O 的直径,AB 是⊙O 的切线,M, N 是圆上两点,直线 MN 交 AD 的延长 线于点 C,交⊙O 的切线于 B,BM=MN=NC=1,求 AB 的长和⊙O 的半径.

?2

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23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆锥曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ,定点 ? y ? 3 sin ?

A(0,? 3 ) , F1 , F2 是圆锥曲线 C 的左,右焦点.
(Ⅰ)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点 F1 且平行于直线 AF2 的直 线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)在(I)的条件下,设直线 l 与圆锥曲线 C 交于 E, F 两点,求弦 EF 的长. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知 a 和 b 是任意非零实数. (1)求 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值。
|a|

(2)若不等式 | 2a ? b | ? | 2a ? b |?| a | (| 2 ? x | ? | 2 ? x |) 恒成立,求实数 x 的取值范围.

仿真试卷(一)答案
一、选择:BBBCA 二、填空: DCBCC CB

?
4



?

8 ; - ; ①③ 8 9

三、解答: 17. 解: (1)f(x)=a·b=2(cosωx, cosωx)· (cosωx, 3sinωx)=2cos2ωx+2 3cosωxsinωx=1+cos2ωx π π 2ωπ π + 3sin2ωx=1+2sin(2ωx+ ).因为直线 x= 是函数 f(x)图象的一条对称轴, 所以 sin( + )=± 1. 6 3 3 6

1 1 2ωπ π π 3 1 所以 + =kπ+ (k∈Z).所以 ω= k+ .因为 0 ? ? ? 1 , 所以 ? ? k ? .又 k ? Z , 所以 k=0, 3 6 2 2 2 3 3
1 ω= . 2 π (2)由(1)知,f(x)=1+2sin(x+ ). 6 列表: π 5 x+ - π 6 6 x y
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-π 0

π 2 2 - π 3 -1 -

0 - 1 π 6

π 2 π 3 3

π 5π 6 1

7 π 6 π 0
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描点作图,函数 f(x)在[-π,π]上的图象如图所示.

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设乙答题所得分数为 X ,则 X 的可能取值为 ?15, 0,15,30 .………1 分

P( X ? ?15) ? P( X ? 15) ?

C3 1 5 ? ; 3 C10 12

P( X ? 0) ?

2 C5 C1 5 5 ? ; 3 C10 12

2 C1 C5 5 5 ? ; 3 C10 12

P( X ? 30) ?

C3 1 5 ? . 3 C10 12

………5 分

乙得分的分布列如下:

X
P

?15 1 12

0 5 12

15 5 12

30 1 12
………6 分

EX ?

1 5 5 1 15 ? (?15) ? ? 0 ? ? 15 ? ? 30 ? . 12 12 12 12 2

…………7 分

(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选,记甲入选为事件 A ,乙入选为事件 B .
2 则 P ( A) ? C3 ( ) 2 ( ) ? ( )3 ?

3 5

2 5

3 5

81 , 125

…10 分

P( B) ?

5 1 1 ? ? . 12 12 2

……11 分

故甲乙两人至少有一人入选的概率 P ? 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ? 19. 解: (Ⅰ)因为 ABB1 A1 是矩形,

44 1 103 .…13 分 ? ? 125 2 125

D 为 AA1 中 点 , AB ? 1 , AA1 ? 2 ,

AD ?

2 , 2

所 以 在 直 角 三 角 形 中, tan ?AB 1 B ?

ABB1

AB 2 , ? BB1 2
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在直角三角形 ABD 中, tan ?ABD ? 所以 ?AB 1 B = ?ABD , 又 ?BAB1 ? ?AB1 B ? 90? ,

AD 2 , ? AB1 2

?BAB1 ? ?ABD ? 90? ,
所以在直角三角形 ABO 中,故 ?BOA ? 90? , 即 BD ? AB1 , ………………………………………………………………3 分 又因为 CO ? 侧面ABB1 A1 , AB1 ? 侧面ABB1 A1 ,所以 CO ? AB1 所以, AB1 ? 面BCD , BC ? 面BCD , 故 BC ? AB1 …………………………5 分 (Ⅱ) 解法一: 如图,由(Ⅰ)可知, OA, OB, OC 两两垂直,分 别以 OA, OB, OC 为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角 坐标系 O ? xyz . 在 Rt ? ABD 中,可求得

6 6 3 , OD ? , OC ? OA ? , 3 6 3 2 3 在 Rt ? ABB1 中,可求得 OB1 ? , 3 OB ?


? ? ? 6 ? 6 ? 3? D ? 0, , 0 ? , B ? 0, ? , 0 ? , C ? 0, 0, ? , ? 6 ? ? ? ? 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 ? B1 ? ? , 0, 0 ? ? ? 3 ? ? ??? ? ? ? 6 ? ??? ? 6 3 ? ???? ? 2 3 6 ? 所以 BD ? ? 0, , , 0 ? , BC ? ? 0, ? 2 ? ? 3 , 3 ? BB1 ? ? ? 3 , 3 , 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ???? ? 2 3 2 6 3 ? ? ? 可得, BC1 ? BC ? BB1 ? ? ? , , ? …………………………………8 分 ? 3 3 3 ? ? ? ??? ? ???? ? 设平面 BDC1 的法向量为 m ? ? x, y, z ? ,则 m ? BD ? 0, m ? BC1 ? 0 ,

? 2 3 2 6 3 x? y? z?0 ?? ? 3 3 3 即? ,取 x ? 1, y ? 0, z ? 2 , ? 6 y?0 ? 2 ? 则 m ? ?1, 0, 2 ? , …………………………………10 分
又 面BCD n ? ?1, 0, 0 ? , 故 cos m , n ?

1 5 , ? 5 5

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所以,二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值为

5 …………………………………12 分 5


解法二:连接 CB1 交 C1 B 于 E ,连接 OE , 因为 CO ? 侧面ABB1 A1 ,所以 BD ? OC ,

BD ? AB1 ,
所以 BD ? 面COB1 ,故 BD ? OE 所 以 ?EOC 为 二 面 角 C1 ? BD ? C 的 平 面 角…………………………………8 分

6 AD AO 1 , AB1 ? 3 , ? ? , 2 BB1 OB1 2 2 2 OB1 ? AB1 ? 3, 3 3 1 3 , OC ? OA ? AB1 ? 3 3 1 4 15 2 2 ? ? 在 Rt ? COB1 中, B1C ? OC ? OB1 ? ,……………………10 分 3 3 3 BD ?
又 ?EOC ? ?OCE

cos ?EOC ?

OC 5 , ? CB1 5
5 . 5
…………………………12 分

故二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值为

20.解: (I)设 P ? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? , ∵ QP ? QF ? FP ? FQ ∴ ?0, y ? 1? ? ?? x,2 ? ? ? x, y ? 1?? x,?2 ?
2 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ? 1? ,即 x ? 4 y ,

2

所以动点 P 的轨迹 C 的方程 x ? 4 y . ……………………………5分
2

(II)设圆 M 的圆心坐标为 M ? a, b ? ,则 a 2 ? 4b . 圆 M 的半径为 MD ?
2



a2 ? ?b ? 2? .
2
2 2 2

圆 M 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a ? ? b ? 2 ? . 令 y ? 0 ,则 ? x ? a ? ? b ? a ? ? b ? 2 ? ,
2 2 2 2

整理得, x 2 ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0 . 由①、②解得, x ? a ? 2 .
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不妨设 A ? a ? 2, 0 ? , B ? a ? 2, 0 ? , ∴ l1 ? ∴

…………………………9分
2

? a ? 2?

2

? 4 , l2 ?

? a ? 2?

?4 .

l1 l2 l12 ? l2 2 2a 2 ? 16 ? ? ? l2 l1 l1l2 a 4 ? 64
?2

?a

2

? 8?

2

a 4 ? 64

? 2 1?

16a 2 , a 4 ? 64



当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 16 16 ? ? 2 1? ≤2 1 ? ?2 2. 64 l2 l1 2?8 2 a ? 2 a
l1 l2 ? ?2. l2 l1

当且仅当 a ? ?2 2 时,等号成立.当 a ? 0 时,由③得,

故当 a ? ?2 2 时, 21、解: (1)由 f ( x) ?

l1 l2 ? 的最大值为 2 2 .………………12分 l2 l1

ln x ? k 1 ? kx ? x ln x 得 f ' ( x) ? , x ? (0,??) x e xe x

由于曲线 y ? f (x) 在点(1, f (1) )处的切线与 x 轴平行, 所以 f ' (1) ? 0 ,因此 k=1. ………4 分 (2)由(1)得 f ' ( x) ?

1 ? kx ? x ln x , x ? (0,??) ; xe x

令 h( x) ? 1 ? x ? x ln x, x ? (0,??)

? 当 x ? (0,1)时,h( x) 0;当x ? (1,??)时,h( x) ? 0; ………6 分 ? 又 e x ? 0 ,所以当 x ? (0,1)时,f ' ( x) 0;当x ? (1,??)时,f ' ( x) ? 0;
因此,函数 f (x) 的单调增区间为(0,1) ;单调减区间为(1,+ ? )…………8 分 (3)证明:因为 g ( x) ? xf ' ( x) ,所以 g ( x) ?

1 (1 ? x ? x ln x), x ? (0,??) ; ex

由(2)知, h( x) ? 1 ? x ? x ln x, x ? (0,??) , 求导得: h' ( x) ? ? ln x ? 2 ? ?(ln x ? ln e ) ; 所以,当 x ? (0, e )时,h' ( x) 0, 函数h( x)为单调增函数; ?
?2 ?2

当x ? (e -2 ,??)时,h ' ( x) ? 0, 函数h( x)单调递减。
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所以,当 x ? (0,??)时,h( x) ? h(e ) ? 1 ? e ,…………10 分 又因为当 x ? (0,??)时, ? 0

?2

?2

1 1 ? 1 ,所以当 x ? (0,??)时, x h( x) ?? 1 ? e ? 2 , x e e

即 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e ?2 。…………12 分 22.(本小题 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解析:∵AD 是⊙O 的直径,AB 是⊙O 的切线,直线 BMN 是⊙O 的割线,∴∠BAC=90°, AB2=BM· BN. ∵BM=MN=NC=1,∴2BM2=AB2,∴AB= 2.………4 分 ∵AB2+AC2=BC2,∴2+AC2=9,AC= 7. 2 ∵CN· CM=CD· CA,∴2=CD· 7,∴CD=7 7. 1 5 ∴⊙O 的半径为2(CA-CD)=14 7.………10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

解: (1)圆锥曲线 C 的参数方程为

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) , ? ? y ? 3 sin ?

x2 y2 所以普通方程为 C : ? ? 1 ----------------------------------------------2 分 4 3
A(0,? 3 ), F2 (1,0), F1 (?1,0) ? k ? 3 , l : y ? 3 ( x ? 1)
? 直线 l 极坐标方程为: ? sin ? ? 3? cos ? ? 3 ? 2 ? sin(? ?

?
3

) ? 3 ---5 分

x2 y2 ? ? ?1 ? 5x 2 ? 8x ? 0 , (2) ? 4 3 ? y ? 3 ( x ? 1)
EF ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 16 -------------------------------10 分 5

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