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江西省抚州一中2015-2016学年高三上学期第二次周练数学理试题


抚州一中高三数学第二次周练(2015.9.12) 一、选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 1.已知集合 A={x| A. >0},B={x|﹣2≤x<2},则 A∩B=( D. C. ( 1, ) ) D. (1, )

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填入答题纸相应位置) 13.如图是某学校抽取的学生

体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前 3 个小组的频 率依次成等差数列,第 2 小组的频数为 15,则抽取的学生人数为 .

11.已知点 P ? a, b ? 在直线 x ? 2 y ? 3 上,则 2 a ? 4b 的最小值为 17.已知函数 f ( x) ? ?



? x 2 ? 3x( x ? 0) ? g ( x) ( x ? 0)

为奇函数,则 f ( g (?1)) ?

.

14.过点 P(3,﹣1)引直线,使点 A(2,﹣3) ,B(4,5)到它的距离相等,则这条直线的 方程为___________________.

三、解答题(共 5 小题,共 70 分;要求写出必要的文字说明,解题过程和演算步骤) 17.从某校随机抽取 100 名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理 得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:

(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率; (2)求频率分布直方图中的 a,b 的值; (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的 100 名学生该周 课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论).

18.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 c=1,且 cosBsinC+(a﹣sinB) cos(A+B)=0. (1)求角 C 的大小; (2)求 a +b 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的值.
2 2

19.如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AD=DE=2AB=2,F 为 CD 的中点. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求四棱锥 C-ABED 的体积.

20.已知点 P(1,1) 到直线 l: y ? 3x ? b(b ? 0) 的距离为 列 ? an , an?1 ? n ? N 均在直线 l 上.
*

2 10 .数列{an}的首项 a1 ? 1 ,且点 5

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求数列{an}的通项; (III)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Sn .

1.A

2.B

3.A

4.C

5.C

6.A

7.B 8.B 9.A 10.D 11.C 12.D

9.解答: 解:模拟执行程序框图,可得 x=7,y=6,n=1 满足条件 n<4,x=7,y=8,n=2 满足条件 n<4,x=9,y=10,n=3 满足条件 n<4,x=11,y=12,n=4 不满足条件 n<4,退出循环,输出有序数对为(11,12) . 故选:A. 10.【答案】D 【解析】

? ?1 ? +? ? ? ? ? ?4 2 试题分析:由五点作图知, ? ,解得 ?=? ,? = ,所以 f ( x ) ? cos(? x ? ) , 4 4 ? 5 ? +? ? 3? ? ?4 2
令 2 k? ? ? x ?

?

4 3 1 ( 2k ? , 2k ? ) , k ? Z ,故选 D. 4 4
考点:三角函数图像与性质 11.【答案】C 【解析】

? 2k? ? ? , k ? Z ,解得 2k ?

1 3 < x < 2 k ? , k ? Z ,故单调减区间为 4 4

试题分析:执行第 1 次,t=0.01,S=1,n=0,m= t=0.01,是,循环,

1 m =0.5,S=S-m=0.5, m ? =0.25,n=1,S=0.5> 2 2

m =0.125,n=2,S=0.25>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 3 次,S=S-m=0.125, m ? =0.0625,n=3,S=0.125>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 4 次,S=S-m=0.0625, m ? =0.03125,n=4,S=0.0625>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 5 次,S=S-m=0.03125, m ? =0.015625,n=5,S=0.03125>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 6 次,S=S-m=0.015625, m ? =0.0078125,n=6,S=0.015625>t=0.01,是,循环, 2 m 执行第 7 次, S=S-m=0.0078125, m ? =0.00390625,n=7,S=0.0078125>t=0.01,否, 输出 n=7, 2
执行第 2 次,S=S-m=0.25, m ? 故选 C.

12.解答: 且 an=

解:数列{an}是递增数列, (n∈N*) ,





1<λ < , ∴λ 的取值范围是(1, ) . 故选:D. 二、填空题: 13. 60 解答: 解:第 2 小组的频率为(1﹣0.0375×5﹣0.0125×5)× =0.25; 则抽取的学生人数为: 故答案为:60. 14. 4 2 15.-28 =60.

16. 4x﹣y﹣13=0 或 x=3. 解答: 解:由题意,所求直线有两条, 其中一条是经过点 P 且与 AB 平行的直线;另一条是经过 P 与 AB 中点 C 的直线. ∵A(2,﹣3) ,B(4,5) , ∴AB 的斜率 k= =4,

可得经过点 P 且与 AB 平行的直线方程为 y+1=4(x﹣3) , 化简得 4x﹣y﹣13=0, 又∵AB 中点为 C(3,1) ∴经过 PC 的直线方程为 x=3, 故答案为:4x﹣y﹣13=0 或 x=3. 三、解答题 17.(1)0.9 (2)a=0.085 b=0.125 (3)在第四组。

18.解答: 解: (1)由 cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0.

可得 cosBsinC﹣(a﹣sinB)cosC=0, 即为 sin(B+C)=acosC, 即有 sinA=acosC, ∵ = =sinC,

∴sinC=cosC,即 tanC=1, ∴C= ;
2 2 2

(2)∵a +b ﹣c =2abcosC, ∴a +b =c +2abcos ∵ab≤ ②,
2 2 2 2 2

=1+

ab,①,

∴②代入①可得:a +b ≤1+ ∴a +b ≤2+
2 2

(a +b ) ,

2

2



当且仅当 a=b 时取到等号, 即取到最大值 2+ 时,A=B= .

点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式的应用,综合性较强,属于基本知 识的考查. 19.(1)证明略 (2)取 AD 中点 M,连结 CM, ∵△ACD 为等边三角形,则 CM⊥AD, ∵DE⊥平面 ACD,且 DE? 平面 ABED, ∴平面 ACD⊥平面 ABED, 又平面 ACD∩平面 ABED=AD,∴CM⊥平面 ABED, ∴CM 为四棱锥 C-ADEB 的高, 1 1 ∴V= CM·SABED= AF·SABED= 3. 3 3 20.解: (Ⅰ)由点 P(1,1) 到直线 l: y ? 3x ? b(b ? 0) 的距离为

2 10 ,得 5

| 3 ?1 ? b | 3 ?1
2 2

?

2 10 ,解得 b=2 5

3分

(Ⅱ)数列{an}满足 an?1 ? 3an ? 2 ,即 an?1 ?1 ? 3? an ?1? ,故 {an ? 1} 是以 2 为首项,公比 为 3 的等比数列,故 an ? 1 ? 2 ? 3n?1 ,即 an ? 2 ? 3n?1 ?1 8分

(III)数列 ?nan ? 的通项 cn ? 2n ? 3n?1 ? n ,故由分组求和,错位相减求和得

Sn ? n ? 3n ?

3n ? 1 n(n ? 1) ? 2 2

14 分


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