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矩形学案Microsoft Word 文档 (2)


18.2.1 矩形的性质 导学案 【学习目标】1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系. 2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题. 【导学重点】矩形的性质. 【导学难点】矩形的性质的灵活应用. 【自主学习】一、温故知新:回顾平行四边形有哪些性质?然后填空。 1、平行四边形的对边__________相等。表示方法:若四边形 ABCD 是 平行四边形,则___________; 2、平行四边形的对角__________相等。表示方法:若四边形 ABCD 是平行四边形,则 ___________; 3、平行四边形的对角线________。 表示方法: 在□ ABCD 中,AC 与 BD 相交于 O, 则______________ 4、平行四边形的对称性:平行四边形是___对称图形,而不是______对称图形,对角线的 交点是平行四边形的_________. 二、学习新知: 1.思考:拿一个活动的平行四边形,轻轻拉动一个顶点,观察不管怎么拉,它还是一个平 行四边形吗?为什么?当平行四边形移动到一个角是直角时,这时的图形是________形。 归纳:矩形定义:__________________________________叫做矩形(通常也叫_________).

2、矩形的性质:矩形是一个特殊的平行四边形,它除了具有四边形和平行四边形所有的性 质,还有:矩形的四个角______;矩形的对角线______;矩形是轴对称图形,它的对称轴 是____________. 【合作探究】1、 如图,矩形 ABCD,对角线相交于 O,观察对角线所分成的三角形,你 有什么发现? 将目光锁定在 Rt△ ABC 中,你能发现它有什么特殊的性质吗?
A

D

如图,在矩形 ABCD 中,AC、BD 相交于点 O,由性质 2 有 AO=BO=CO=DO=

O B C

1 1 AC= BD.因此可以得到直角三角形的一个性质: 2 2

直角三角形斜边上的中线等于_____________的一半. 2、例:在矩形 ABCD 中,两条对角线 AC、BD 相交于 O,∠ACD=30°,AB=4. (1)判断△AOD 的形状; (2)求对角线 AC、BD 的长.

A

B O

D

C

【巩固练习】 1.填空: (1)矩形的定义中有两个条件:一是 ,二是 . (2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30°,则矩形两条对角线相交所得的四个角的 度数分别为 、 、 、 . 1页

2.下列说法错误的是( ) . A、矩形的对角线互相平分 B、矩形的对角线相等 C、有一个角是直角的四边形是矩形 D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有( ) . A、2 对 B、4 对 C、6 对 D、8 对 4.已知矩形的一条对角线长为 10cm,两条对角线的一个交角为 120°,则矩形的边长分别 为 __________cm, cm, cm, cm. 5、 已知: 如图 , 矩形 ABCD 中, AB 长 8 cm , 对角线比 AD 边长 4 cm. 求 AD 的长及点 A 到 BD 的距离 AE 的长.

【课堂检测】 1.矩形的两条对角线的夹角为 60°,对角线长为 15cm,较短边的长为( ) . (A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm 2.已知:如图,矩形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O,∠BOC=120° ,AB=4cm。 求矩形对角线的长。
A D O B C

3、已知:如图,E 为矩形 ABCD 内一点,且 EB=EC。求证:EA=ED.
A E D

B

C

2页

18.2.。1 矩形的判定 导学案 【学习目标】1.理解并掌握矩形的判定方法. 2.能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,培养分析能 力, 【导学重点】矩形的判定. 【导学难点】矩形的判定及性质的综合应用. 【自主学习】 1.矩形是轴对称图形,它有______条对称轴. 2.在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,若对角线 AC=10cm,?边 BC=?8cm,? 则△ABO 的周长为________. 3.想一想:矩形有哪些性质?在这些性质中那些是平行四边形所没有的?列表进行比较. 平行四边形 矩形 边 角 对角线 【合作探究】1、矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形不具有的性质是: 2、怎样判定一个平行四边形是矩形呢? 总结:矩形的判定方法. 矩形判定方法 1:______________________________ 矩形判定方法 2:_______________________________ 3、例:已知□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,△AOB 是等边三角形,AB=4 cm,求 这个平行四边形的面积.
A O B C D

【巩固练习】.1、 下列各句判定矩形的说法是否正确?为什么? (1)有一个角是直角的四边形是矩形; ( ) (2)有四个角是直角的四边形是矩形; ( ) (3)四个角都相等的四边形是矩形; ( ) (4)对角线相等的四边形是矩形; ( ) (5)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形; ( ) (6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形; ( ) (7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形; ( ) (8)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形; ( ) (9)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形. ( ) 【课堂检测】 1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行: ⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①) ,使 AB=CD,EF=GH; ⑵ 摆放成如图②的四边形, 则这时窗框的形状是 形, 根据的数学道理是: ; ⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③) ,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗 3页

框无缝隙时(如图④) ,说明窗框合格,这时窗框是

形,根据的数学道理是:



2、已知:如图,□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E、F、G、H.求证:四边形 EFGH 是矩形. A D G H F E B C

3、 已知: 如图 , 在△ABC 中, ∠C=90° , CD 为中线, 延长 CD 到点 E, 使得 DE=CD. 连 结 AE,BE,则四边形 ACBE 为矩形.

4、已知:如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 CD 中点,三角形 ABE 是等边三角形,求 证:四边形 ABCD 是矩形。

A

E

D

B

C

4页

18.2.2 菱形的性质 导学案 【学习目标】1.掌握菱形概念,知道菱形与平行四边形的关系. 2. 理解并掌握菱形的定义及性质 1、 2; 会用这些性质进行有关的论证和计算, 会计算菱形的面积. 【导学重点】 :菱形的性质 1、2. 【导学难点】菱形的性质及菱形知识的综合应用. 【自主学习】自学课本的内容,完成下列问题: 1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来

的 四 边 形 叫 做 菱 形 , 生 活 中 的 菱 形 有 。 2. 按探究步骤剪下一个四边形。 ①所得四边形为什么一定是菱形? ②菱形是 图形? 有 对称轴。 图中相等的线段有: 图中相等的角有: 【小组互议互评】 小组长: 完成情况: 【合作探究】 1、你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗?自己完成证明。 菱形的性质 1: 菱形的性质 2: 证明:
C B A

D

5页

2、比较菱形的对角线和一般平行四边形的对角线你会发现什么?你能利用菱形的对角线求 菱形的面积吗?如果菱形的两条对角线长分别是 a 和 b,计算菱形的面积 S。 例.如图,菱形花坛 ABCD 的边长为 20cm,∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路 AC 和 BD,求两条小路的长和花坛的面积。

A

【课堂检测】1.______________的平行四边形叫做菱形. 2.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,则 B AB=AD=_______=_______,即菱形的_______________相等, 图中 的等腰三角形有__________________,直角三角形有 C ______________,△AOD≌____________≌____________ A ≌_____________,由此可以得出菱形的对角线__________________,每 一条对角线________________. B 3.按图示的虚线折纸,然后连接 ABCD 可得菱形,由此可以得 到_____________的四边形是菱形. C 4.木工做菱形窗棂时总要保持四条边框一样长,道理是 __________________________________ . 5.菱形的对角线长分别为 6 和 8,则这个菱形的周长是_______,面积是______. 6.下面性质中,菱形不一定具有的是( ) A.对角线相等 B.是中心对称图形 C.是轴对称图形 D.对角线互 相平分 7.菱形的周长为 20 cm,两邻角的比为 1:2,则较短对角线的长是_____________;一组 对边的距离是____________. 8.如图,四边形 ABCD 是边长为 13cm 的菱形,其中对角线 AC 长 10cm。 求(1)对角线 BD 的长度; (2)菱形 ABCD 的面积.
A

D

D

9.已知:如图,菱形 ABCD 中,E、F 分别是 CB、CD 上的点,且 BE=DF.求证:∠AEF=∠AFE.

B

D

C

6页

18.2.2 菱形的判定 【学习目标】1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;会用这些判定方法进行有关的 论证和计算;2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养观察能力、动手能力及逻 辑思维能力. 【导学重点】菱形的两个判定方法. 【导学难点】判定方法的证明方法及运用. 【自主学习】温故知新:1.菱形的定义: 2.菱形的性质:边:__________________________;______________________________ 角:__________________________;______________________________ 对角线:______________________________________________________ 对称性: . 【合作探究】 二、学习新知: 探究一: 如图,四边形是菱形吗?为什么? 归纳:菱形判定方法 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 探究二:用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十 字, 四周围上一根橡皮筋, 做成一个四边形. 转动木条, 这个四边形什么时候变成菱形? 通过探究,菱形判定方法 2 对角线 的平行四边形是菱形 证明上述结论:

菱形判定方法 3: 的四边形是菱形 例 1. 如图, ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O,AB= 5 ,AC=8,DB=6 求证:四边形 ABCD 是菱形.

【巩固练习】1.填空: (1)对角线互相平分的四边形是 (2)对角线互相垂直平分的四边形是________; (3)对角线相等且互相平分的四边形是________; (4)两组对边分别平行,且对角线



的四边形是菱形.

7页

2.画一个菱形,使它的两条对角线长分别为 6cm、8cm.

3.如图,O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,DE 和 CE 相交于 E, 求证:四边形 OCED 是菱形。

【课堂检测】
1.下列条件中,能判定四边形是菱形的是 ( ) . (A)两条对角线相等 (B)两条对角线互相垂直 (C)两条对角线相等且互相垂直 (D)两条对角线互相垂直平分 2.已知:如图 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F. 求证:四边形 AFCE 是菱形. 证明:

3、如图,在□ABCD 中,E,F 分别为边 AB,CD 的中点,连结 DE,BF,BD. (1)求证:△ADE≌△CBF. (2)若 AD⊥BD,则四边形 BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论.

4、已知:如图,M 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的中点,DM⊥AB,EF⊥AB,ME⊥AC, DG⊥AC.求证:四边形 MEND 是菱形.

8页

18.2.3 正方形

导学案

【学习目标】1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算. 2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。 【导学重点】正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系. 【导学难点】正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用. 【自主学习】1.矩形的定义: 2.菱形的定义: 3.通过你以前学到的知识说说什么样的图形叫正方形?

【合作探究】 一、探究: 1.正方形定义:有一组邻边相等 并且有一个角是直角 的平行四边形 叫做正方形. ...... ....... ..... 2.试用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形来. 3.通过折纸你认为具备什么条件的矩形是正方形? 4.你再想想,具备什么条件的菱形是正方形? 5.通过 1、3、4 我们发现:正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两 层意: (1)有一组邻边相等的平行四边形 (菱形) (2)有一个角是直角的平行四边形 (矩形)

二、 试一试 1. 通过上图, 我们发现: 正方形具有

的性质, 同时又具有



性质. 2.归纳正方形的所有性质:
性质 正 方形 边: 角 对角线: 对称性: 判定方法

【巩固练习】 1.正方形的定义:有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形,因 此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______,又是一个特殊的有一个角是直角的 ______. 2.正方形的性质:正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质,正方形的四 个角都______;四条边都______且__________________;正方形的两条对角线______, 并且互相______,每条对角线平分______对角.它有______条对称轴.9 页

3.正方形的判定: (1)____________________________________的平行四边形是正方形; (2)____________________________________的矩形是正方形; (3)____________________________________的菱形是正方形; 4.对角线________________________________的四边形是正方形 如图 6,已知点 E 为正方形 ABCD 的边 BC 上一点,连结 AE,过点 D 作 DG⊥AE,垂足为 G,延长 DG 交 AB 于点 F. 求证:BF=CE.
D C

G A F 图6

E B

【课堂检测】 2.已知:如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点,点 F 是 CB 的延长线上一点, 且 DE=BF. 求证: EA⊥ AF.

3.已知:如图,△ ABC 中,∠C=90° ,CD 平分∠ACB,DE⊥BC 于 E,DF⊥AC 于 F.求 证:四边形 CFDE 是正方形.

7.如图,E 为正方形 ABCD 内一点,且△EBC 是等边三角形, 求∠EAD 与∠ECD 的度数.

10 页

特殊的平行四边形的运用
【学习目标】1、掌握并能区分矩形、菱形、正方形的性质与判定

2、矩形、菱形、正方形的性质与判定综合运用.
【导学重点】掌握并能区分矩形、菱形、正方形的性质与判定 【导学难点】矩形、菱形、正方形的性质与判定综合运用. 【自主学习】正方形、平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下:

平行四边 形 对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分一组对 角

矩 形

菱 形

正 方形

(凡是图形所具有的性质,在表中相应的空格中填上“√” ,没有的性质不要填写) 【合作探究】 典型例题: 例 1 、 如 图 , E,F 是 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 AC 上 两 点 , AF ? CE,DF ? BE,DF ∥ BE .求证: (1) △ AFD ≌△CEB . (2)四边形 ABCD 是平行四边形.
D E C

A

F

B

例 2、如图所示,△ABC 中,点 O 是 AC 边上一个动点,过点 O 作直线 MN∥BC,设 MN 交∠BCA 的平分线于 E,交∠BCA 的外角平分线于点 F. 11 页

(1)求证:EO=FO (2)当点 O 运动到何处时, 四边形 AECF 是矩形?并证明你的 结论.

例 3、如图.矩形 ABCD 的对角线相交于点 0.DE∥AC, CE∥BD.求证:四边形 OCED 是菱形;

例 4、 已知如下图, 正方形 ABCD 中, E 是 CD 边上的一点, F 为 BC 延长线上一点, CE=CF. (1)求证:△BEC≌△DFC; (2)若∠BEC=60°,求∠EFD 的度数.

12 页

【巩固练习】 一、填空选择题 1. 已知: AD∥BC, 要使四边形 ABCD 为平行四边形, 需要增加条件是___________________. 2.若四边形 ABCD 为平行四边形,请补充条件 形. 3.如图 1, 矩形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O, ∠AOB=2∠BOC, 若对角线 AC=6cm, 则周长= ,面积= 。 ,BD= ,面积 使得四边形 ABCD 为菱

4.如图 2,菱形 ABCD 的边长为 8cm,∠BAD=120°,则 AC= = 。

5.如图3,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点 (点P不与点A、C重合)且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F, 则阴影部分的面积是 A
O

B

A B 图2 C

D

D 图1

C

图3 D

A 6.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( ) A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 7.如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,下列结论中不正确的是( ) A.当 AB=BC 时,它是菱形 B.当 AC⊥BD 时,它是菱形 B 0 C.当∠ABC=90 时,它是矩形 D.当 AC=BD 时,它是正方形 8.如图, 四边形 ABCD 为矩形纸片. 把纸片 ABCD 折叠, 使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处,折痕为 AF .若 CD ? 6 ,则 AF 等于( ) A. 4 3 B. 3 3 C. 4 2 D. 8

C




D


O 9.已知如图,菱形 ABCD 中,∠ADC=120°,AC= 12 3 ㎝, (1)求 BD 的长; (2)求菱形 ABCD 的面积, (3)写出 A、B、C、D 的坐标.







A B

C

13 页

11、已知:如图 ,矩形 ABCD,AB 长 8 cm ,对角线比 AD 边长 4 cm.求 AD 的长及点
A 到 BD 的距离 AE 的长.

12、已知:如图,四边形 ABCD 是正方形,分别过点 A、C 两点作 l1∥l2,作 BM⊥l1 于 M, DN⊥l1 于 N,直线 MB、DN 分别交 l2 于 Q、P 点. 求证:四边形 PQMN 是正方形.

14 页

13、如图,矩形 ABCD 中, O 是 AC 与 BD 的交点,过 O 点的直线 EF 与 AB,CD 的延 长线分别交于 E,F . (1)求证: △BOE ≌△DOF ; (2)当 EF 与 AC 满足什么关系时,以 A,E,C,F 为顶点的四边形是菱形?证明你的 结论. F A O B E 第 13 题图 C D

14、如图,矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,过点 D 作 DP∥OC,且 DP=OC,连 结 CP,试判断四边形 CODP 的形状.并证明。 A O D P C B

15 页


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