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复数讲义


考试要求: (1)了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义. (2)掌握复数代数形式的运算法则, 能进行复数代数形式的加法、 减法、 乘法、除法运算. (3)了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.

【知识梳理】
一、复数基本概念 1.虚数单位:复数的单位为 i ,它的平方等于 ? 1 ,即 i 2 ? ?1 . 2.复数:形如 a ?

bi 的数( a , b ? R ) ,复数通常有小写字母 z 表示,即 z ? a ? bi ,其中 a 叫做复数的实部、 b 叫做复数的虚部, i 称做虚数单位. 3.复数相等:如果两个复数 a ? bi 与 c ? di 的实部与虚部分别相等,即 a ? c, b ? d ,那么 这两个复数相等,记作: a ? bi = c ? di .一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比 较大小. 4.共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,也

z ? a ? bi . a ? a, 称这两个复数互相共轭. 复数 z 的共轭复数用 z , 也就是当 z ? a ? b i 时, b i ? ?b i .
5.分类:复数 a ? bi ( a , b ? R )中,当 b ? 0 时,就是实数;除了实数以外的数,即当 b ? 0 时, a ? bi 叫做虚数;当 a ? 0 , b ? 0 时,叫做纯虚数. 正整数 有理数 Q ? ? 实数 R: (b ? 0) 复数 C 无理数

?q ? p, q ? Z? ?p ?

零( a ? b ? 0 ) 负整数

z ? a ? bi ( a, b ? R )
纯虚数( a ? 0 ) 虚数( b ? 0 ) 非纯虚数( a ? 0 ) 6.复平面: 在直角坐标系里, 点 Z 的横坐标是 a , 纵坐标是 b , 复数 z ? a ? b i 可用点 Z (a, b) 来表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴为实轴, y 轴出去原点

的部分称为虚轴. 7.复数的坐标表示:一个复数 z ? a ? b i 对应了一个有序实数对 ( a, b) ;反之一个有序实数 对 ( a, b) 对应了一个复数 a ? b i .在复平面内,复数 z ? a ? b i 与复平面内的点 Z (a, b) 是一 一对应的.我们常把复数 a ? b i 看作点 Z (a, b) . 8.复数的向量表示:在复平面内,复数 z ? a ? b i 与点 Z (a, b) 是一一对应的,而点 Z (a, b) 与向量 OZ (O 为原点)又成一一对应,因此复数 z ? a ? b i 与向量 OZ 也是一一对应的, 即复数 a ? b i 可由向量 OZ 表示,并且规定相等的向量表示同一个复数.我们也把复数

a ? b i 看作向量 OZ .
9.复数的模:在复平面内,复数 z ? a ? b i 对应点 Z (a, b) ,点 Z 到原点的距离 OZ 叫做复 数 z 的模,记作 z .由定义知, z ?

a 2 ? b2 .

特别地,如果 b ? 0 ,则 z ? a 就是一个实数,它的模就等于 a ,故模是实数中绝对值概念 在复数中的推广.

二、复数的运算: 1.加法:设 z1 ? a ? b i , z2 ? c ? d i 是任意两个复数,则它们的和是

(a ? b i) ? (c ? d i) ? (a ? c) ? (b ? d )i .
注: (1) z1 ? z2 ? z2 ? z1 (交换律) , ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) (结合律) ; (2) 设 z1 ? a ? b i 对应向量 OZ1 ? (a, b) ,z2 ? c ? d i 对应向量 OZ2 ? (c, d ) , 则 z1 ? z2 对 应的向量为 OZ1 ? OZ2 ? (a ? c, b ? d ) . 因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解 释. 2.减法:设 z1 ? a ? b i , z2 ? c ? d i 是任意两个复数,则它们的差是

(a ? b i) ? (c ? d i) ? (a ? c) ? (b ? d )i .
注:设 z1 ? a ? b i 对应向量 OZ1 ? (a, b) , z2 ? c ? d i 对应向量 OZ2 ? (c, d ) ,则 z1 ? z2 对 应的向量为 OZ1 ? OZ2 ? Z2 Z1 ? (a ? c, b ? d ) .

z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 表示 Z1 、 Z 2 两点之间的距离,也
等于向量 Z1Z 2 的模. 3.乘法: (a ? b i)(c ? d i) ? ac ? bc i? ad i? bd i2 ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i . 注:z1 ? z2 ? z2 ? z1(交换律) ,( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 )(结合律) ,z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1z2 ? z1 z3 (分配律) ;z ?z ? z
m n m? n

n n ; ( z m )n ? z mn ; ( z1 ? z2 )n ? z1 . ? z2

4.除法:

a ? bi (a ? bi)(c ? di) ac ? adi ? bci ? bdi2 ac ? bd ? (bc ? ad)i ac ? bd bc ? ad ? ? ? ? 2 ? i c ? di (c ? di)(c ? di) c 2 ? d 2i 2 c2 ? d 2 c ? d 2 c2 ? d 2
. 一般通过“分母实数化”进行除法运算,即

z1 z1 ? z2 z1 ? z2 ? ? ( z2 ? 0) . 2 z2 z2 ? z2 z2

【精讲精练】
[例 1]两个共扼复数的差是( C .零 A .实数 B .纯虚数 )

D .零或纯虚数

错解:当得到 z ? z ? 2bi 时就错误的选 B,忽略了 b 可以为零的条件. 正解:设互为共扼的两复数分别为 z ? a ? bi 及 z ? a ? bi(a, b ? R) 则 z ? z ? 2bi 或

z ? z ? 2bi
当 b ? 0 时, z ? z , z ? z 为纯虚数 当 b ? 0 时, z ? z ? 0 , z ? z ? 0 ,因此应选 D. 注:要认真审题,看清题设条件,结论. 学会全面辩证的思考问题,准确记 忆有关概念性质.

a2 ? a ? 6 ? (a 2 ? 2a ? 15)i 是: [例 2]实数 a 分别取什么值时,复数 z ? a?3
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

解:实部

a 2 ? a ? 6 (a ? 2)(a ? 3) 2 ? ,虚部 a ? 2a ? 15 ? (a ? 3)(a ? 5) . a?3 a?3
时, z 是实数;

(1)当

(2)当 (3) 当

,且 或

时, z 是虚数; 时是纯虚数.

[例 3] 设 z1 ? (m 2 ? 2m ? 3) ? (m 2 ? 4m ? 3)i(m ? R), z 2 ? 5 ? 3i ,当 m 取何值时: (1) z1 ? z 2 ;(2) z1 ? 0 . 分析:复数相等的充要条件,提供了将复数问题转化为实数问题的依据,这是解复数问题常 用的思想方法,这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程,求出 的值.
2 ? ?m ? 2 m ? 3 ? 5 解:(1)由可得: ? 2 解之得 m ? 4 , ? ?m ? 4 m ? 3 ? 3

即:当 (2)当

时 可得: 时 z1 ? 0 . ) D.圆

或 [例 4] 满足条件 z ? 2i ? z ? 1 ? A.椭圆 错解:选 A 或 B. B.直线

,即

5 的点的轨迹是(
C.线段

错因:如果把 z ? 2i 看作动点 Z 到定点(0,2)的距离,由上式表示到两个定点(0,2) 与(-1,0)的距离之和为常数 5

? 动点的轨迹符合椭圆的定义,但是,有一定的前提的就是两点间的距离小于定常
数. 正解:? 点(0,2)与(-1,0)间的距离为 5 ,

? 动点在两定点(0,-2)与(-1,0)之间,选 C
评注:加强对概念的理解加深,认真审题. [例 5] 求值: (1 ? i) ? (1 ? i)
n
6 错解:原式= (1 ? i ) (

6? n

.

1? i n ) ? (?2i ) 3 ? i n ? 8i n ?1 1? i

当n ? 2时,原式 ? ?8 当n ? 3时,原式 ? 8

错因: 上面的解答错在没有真正理解 n ? Z 的含义, 只是用了三个特殊整数代替了所有 整数,犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位 i 的整数幂的运算不熟 悉,没有掌握虚数单位 i 整数幂的运算结果的周期性.
6 正解:原式= (1 ? i ) (

1? i n ) 1? i

= (?2i) 3 ? i n ? 8i n?1
(n ? 4k ? 1), ?? 8 ? (n ? 4k ? 2), (k为非负整数) ?? 8i =? (n ? 4k ? 3) , ?8 ? (n ? 4k ). ?8i

评注:虚数单位 i 整数幂的值具有以 4 为周期的特点,根据 n求i 时, 必须按被 4 整除 余数为 0、1、2、3 四种情况进行分类讨论. [例 6]已知 z ? ?

n

2 1 ? 3i

,求 1 ? z ? z ? ? z
2

2000

的值.

分析:结论是等比数列的求和问题,所以应联想到求和公式 S n ? 将条件代入求和公式,则显得较为麻烦,不妨先将条件化简.

a1 (1 ? q n ) ,若直接 1? q

z??

2 1 ? 3i

??

2(1 ? 3i) 1 3 ?? ? i ?? 4 2 2

1 ? z 2001 1 ? ? 3*667 1 ? 1 ? ? ?0 原式= 1? z 1?? 1??
评注:由于数列中的数可以是复数,所以数列的诸性质在复数集中仍成立.

【随堂练习】
1.z= (m ? 3m ? 2) ? (m ? m ? 2)i 是纯虚数,实数 m 的值是(
2 2

)

(A)1 (B)2 (C)-2 (D)1 和 2 2. 当 m ? 1时,复数 z ? 2 ? (m ? 1)i 在复平面上对应的点位于( (A)第一象限 3. 如果复数 (B)第二象限 (C)第三象限

)

(D)第四象限 )

2 ? bi (其中 i 为虚数单位, b 为实数)的实部和虚部互为相反数,则 b=( 1? i
(C)2 (D)3

(A)0 (B)1 4. 下列四个命题: ①满足 z ?

1 的复数有 ? 1,?i ; z

②若 a,b 是两个相等的实数,则 (a ? b) ? (a ? b)i 是纯虚数; ③复数 z ? R 的充要条件是 z ? z ; ④复平面内 x 轴即实轴,y 轴即虚轴. 其中正确的有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 5. 设复数 z 满足关系 z ? | z |? 2 ? i ,那么 z 等于( A. 6. 1 ? i ? 2i 2 ? 3i 3 ? (A) 51 ? 50i
2

). D.

B.

C. ) (D) 49 ? 50i

? 100i100 =(

(B) 50 ? 50i

(C) 50 ? 50i

7. ? 1 ? i ? 的值等于( ) ? ? ? 1? i ? (A)1 (B)-1 8. 复数 (?i ? 3) 2 的虚部是 .

(C)i

(D)-i

9. 在复平面内, O 是原点, OA , OC , AB 表示的复数分别为 ?2 ? i,3 ? 2i,1 ? 5i , 那么 BC 表示的复数为____________. 10. 已知复数 z 对应的点 ( a, b) 在圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 上移动,并且 的值为________. 11. (

i 是纯虚数,则复数 z z ?1

1 ? i 1993 ) ? ______ 1? i

12.计算 13. 实数 m 取何值时, 复数 的对应点位于第二象限. 14.已知 f ( z ) ? 1 ? z ? z 且 f (? z ) ? 10 ? 3i, 求复数 z . 15.计算 . 是(1)纯虚数; (2)在复平面上

【真题汇编】
(2010 湖南文数)复数 A. 1+I

2 等于 1? i
C. -1+i D. -1-i

B. 1-i

(2010 浙江理数)对任意复数 z ? x ? yi ? x, y ? R ? , i 为虚数单位,则下列结论正确的是 (A) z ? z ? 2 y (B) z ? x ? y
2 2 2

(C) z ? z ? 2 x

(D) z ? x ? y

(2010 全国卷 2 理数)复数 ? (A ) ?3 ? 4i

?3?i ? ? ? ? 1? i ?
(C) 3 ? 4i (D) 3 ? 4i [A] (D)第四象限

2

(B) ?3 ? 4i

(2010 陕西文数)复数 z= (A)第一象限

i 在复平面上对应的点位于 1? i
(C)第三象限

(B)第二象限

1+2i ? 1 ? i ,则 (2010 辽宁理数)设 a,b 为实数,若复数 a ? bi 3 1 1 3 (A) a ? , b ? (B) a ? 3, b ? 1 (C) a ? , b ? 2 2 2 2
(2010 江西理数)已知(x+i) (1-i)=y,则实数 x,y 分别为( A.x=-1,y=1 B. x=-1,y=2 C. x=1,y=1 )

(D) a ? 1, b ? 3

D. x=1,y=2

2 (2010 安徽文数)(2)已知 i ? ?1 ,则 i( 1 ? 3i )=

(A) 3 ? i

(B) 3 ? i

(C) ? 3 ? i

(D) ? 3 ? i

(2010 浙江文数)设 i 为虚数单位,则 (A)-2-3i (B)-2+3i ( C)2-3i

5?i ? 1? i
(D)2+3i

(2010 山东文数) (2)已知

a ? 2i ? b ? i ? a, b ? R ? ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? i

A. ?1 B. 1 C. 2 D. 3 (2010 北京文数)⑵在复平面内,复数 6+5i, -2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是 (A)4+8i (B)8+2i (C)2+4i (D)4+i 2 3 (2010 四川理数) (1)i 是虚数单位,计算 i+i +i = (A)-1 (B )1 (C) ?i (D) i (2010 天津文数)(1)i 是虚数单位,复数 (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i

3?i = 1? i ?1 ? 3i ? 1 ? 2i

(D)2-i

(2010 天津理数) (1)i 是虚数单位,复数 (A)1+i (B)5+5i (C)-5-5 i

(D)-1-i )

(2010 广东理数)2.若复数 z1=1+i,z2=3-i,则 z1·z2=( A.4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3 )

(2010 福建文数)4. i 是虚数单位, ( A.i B.-i

1? i 4 ) 等于 ( 1-i
C.1

D.-1

3 ? 2i ? 2 ? 3i (A)i (B) ?i (C)12-13 i (D) 12+13 i a ? 2i a ? 2i ? b ? i ( a, b) ? b ? i (a,b∈R) (2010 山东理数)(2) 已知 ,其中 i 为虚数单 i i
(2010 全国卷 1 理数)(1)复数 位,则 a+b= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)3

(2010 安徽理数)1、 i 是虚数单位,

i ? 3 ? 3i
C、
n

A、

1 3 ? i 4 12

B、

1 3 ? i 4 12

1 3 ? i 2 6

D、

1 3 ? i 2 6
( )

(2009 年广东卷文)下列 n 的取值中,使 i =1(i 是虚数单位)的是 A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5
n

( 20 09 广 东 卷 理 )设 z 是复数, a( z ) 表示满足 z ? 1 的最小正整数 n ,则对虚数单位

i , a(i) ?
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2





(2009 浙江卷理)设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. ?1 ? i B. ? 1 ? i C. 1 ? i

2 ? z2 ? z

(

)

D. 1 ? i

(2009 浙江卷文)设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 1 ? i B. ?1 ? i

2 ? z2 ? z
C. 1 ? i

( D. ?1 ? i (



5.(2009 北京卷理)在复平面内,复数 z ? i(1 ? 2i) 对应的点位于 A.第一象限 (2009 山东卷理)复数 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ( C. 2 ? i D. 2 ? i (



3?i 等于 1? i A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i 3?i (2009 山东卷文)复数 等于 1? i
A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i





C. 2 ? i

D. 2 ? i ( )

(2009 全国卷Ⅰ理)已知

Z =2+i,则复数 z= 1+i

(A)-1+3i

(B)1-3i

(C)3+i

(D)3-i )

(2009 安徽卷理)i 是虚数单位,若

1 ? 7i ? a ? bi (a, b ? R ) ,则乘积 ab 的值是( 2?i
(D)15 (

(A)-15 (B)-3 (C)3 (2009 安徽卷文)i 是虚数单位,i(1+i)等于 A.1+i B. -1-i C.1-i D. -1+i
2



(2009 江西卷理)若复数 z ? ( x ?1) ? ( x ?1)i 为纯虚数,则实数 A. ?1 (2009 全国卷Ⅱ理) A. -2+4i B. 0

x 的值为 (



C. 1

D. ?1 或 1 ( C. 2+4i D. 2-4i ( ) )

10i ? 2-i
B. -2-4i

(2009 辽宁卷理)已知复数 z ? 1 ? 2i ,那么

1 = z
(C)

(A)

5 2 5 ? i 5 5

(B)

5 2 5 ? i 5 5

1 2 ? i 5 5

(D)

1 2 ? i 5 5
( )

(2009 宁夏海南卷理)复数 (A)0 (B)2

3 ? 2i 3 ? 2i ? ? 2 ? 3i 2 ? 3i
(C)-2i (D)2

16.(2009 辽宁卷文)已知复数 z ? 1 ? 2i ,那么

1 = z 1 2 ? i 5 5
(D)





(A)

5 2 5 ? i 5 5

(B)

5 2 5 ? i 5 5

(C)

1 2 ? i 5 5
( )

5i = 2?i 1 ? 2i D ? 1 ? 2i A 1 ? 2i B ? 1 ? 2i C 3 ? 2i ? (2009 宁夏海南卷文)复数 2 ? 3i
(2009 天津卷文) i 是虚数单位, (A) 1 (B) ?1 (C) i (D) ?i ( (D)-1+2i ( C.- i D. i





(2009 天津卷理)i 是虚数单位, (A)1+2i (B)-1-2i

5i = 2?i
(C)1-2i



(2009 四川卷理)复数 A.-1

(1 ? 2i ) 2 的值是 3 ? 4i



B.1

(2009 重庆卷理)已知复数 z 的实部为 ?1 ,虚部为 2,则

5i = z





A. 2 ? i B. 2 ? i C. ?2 ? i D. ?2 ? i (2009 江苏卷)若复数 z1 ? 4 ? 29i, z2 ? 6 ? 9i, 其中 i 是虚数单位,则复数 ( z1 ? z2 )i 的实 部为 。
2

(2009 福建卷文)复数 i ?1+i ? 的实部是



(2009 年上海卷理)若复数 z 满足 z (1+i) =1-i (I 是虚数单位),则其共轭复数 z =___________ .

【课后练习】
1.已知 a 是实数, A. 1

a?i 是纯虚数,则 a ? ( 1? i
C. 2



B. ?1

D. ? 2

2.复数 z =1+ i , z 为 z 的共轭复数,则 z z - z -1= (A)-2 i 3.复数 (B)- i (C) i (D)2 i

2?i 的共轭复数是 1 ? 2i

(A) ? i

3 5

(B) i

3 5

(C) ?i

(D) i

4.若复数 z1 =1+ i , z2 =3- i ,则 z1 · z2 = A.4 + i 5. i 是虚数单位, B.2+ i C.2+ 2i D.3+ i

i 3 ? 3i

?
1 3 ? i 4 12 1 3 ? i 2 6


(A)

1 3 ? 4 12

(B)

(C)

(D)

1 3 ? i 2 6

6.在复平面内,复数

2i 对应的点的坐标为 1? i

7.若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复数 Z,则表示复 数

z 的点是 1? i
A.E B.F C.G D.H )

1.已知(x+i) (1-i)=y,则实数 x,y 分别为( A.x=-1,y=1 C. x=1,y=1 B. x=-1,y=2 D. x=1,y=2

8.设 a,b 为实数,若复数

1+2i ? 1 ? i ,则 a ? bi
(B) a ? 3, b ? 1 (C) a ?

3 1 ,b ? 2 2 3 ? 2i ? 9.复数 2 ? 3i
(A) a ? (A) i 10.已知 (B) ?i

1 3 ,b ? 2 2

(D) a ? 1, b ? 3

(C)12-13 i

(D) 12+13 i

a ? 2i ? b ? i (a, b ? R ) ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? i
(B)1 (C)2 (D)3

(A)-1

z?
11.复数

i 1 ? i 在复平面上对应的点位于 【A】

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.若复数 z ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z ? z ? z ? 13. i 是虚数单位,计算 i ? i 2 ? i 3 ? (A)-1 14. i 是虚数单位,复数 (A)1+i 15.已知复数 z ? (B)1 (C) ?i (D) i .

?1 ? 3i ? 1 ? 2i
(D)-1-i

(B)5+5i (C)-5-5i

3 ?i , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z = (1 ? 3i)2
B.

A.

1 4

1 2

C.1

D.2

16.对任意复数 z ? x ? yi( x, y ? R), i 为虚数单位,则下列结论正确的是 (A) | z ? z |? 2 y (B) z ? x ? y
2 2 2

(C) | z ? z |? 2x

(D) | z |?| x | ? | y |

17.设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为__________.


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