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错位相减


一、错位相减法
差比数列: 错位相减较常用在数列的通项表现为一个等差数列与一个等比数列的乘积,

设数列 ?a n ?的等比数列, 数列 ?bn ?是等差数列, 则数列 ?a n bn ? 的前 n 项和 S n 求解, 均可用错位相减法。 3n ? 2 练习:an ? , 求Sn . 4n

练习: an ? n ? 2 , 求

Sn
n

练习:求数列 {n ?

1 } 前 n 项和 2n

练习: an ? (2n ? 1) ? 2

n

2 n 练习:an ? (2n ? 1)( ? ) , 求Sn . 3

1 、 设 {an } 是 等 差 数 列 , {bn } 是 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 , 且 a1 ? b1 ? 1 ,
a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13

(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式;

?a ? (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 S n . ? bn ?

2、已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;w_w w. k#s5_u.c o* (Ⅱ)设 bn ? (4 ? an )q
n ?1

(q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n

3、设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 S n . ? bn ?

4、 (本小题满分 12 分)等比数列{ an }的前 n 项和为 S n , 已知对任意的 n ? N

?

,点

( n, S n ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

二、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中 的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
an ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1)

Sn ?

n 2n ? 1

常见的拆项公式有:

1.

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ) n( n ? k ) k n n ? k

2.

3.

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
( 2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

an ?

4.

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 ? ( a ? b) a ? b a ?b

5.

练习: ? 4 ? S n ?

1 1 1 1 ? ? ???? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? n ? 1?

练习:求和

1 1 1 1 ? ? ?? ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1)

练习:若数列{ a n }的通项公式是 a n ?

1 n ? n ?1

,求数列{ a n }的前 n 项和;

1、已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 an 及 S n ; (Ⅱ)令 bn ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

2、已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的
'
? 前 n 项和为 S n ,点 (n, Sn )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ?

1 m , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都成立的 an an ?1 20

最小正整数 m;

五、分组求和法 所谓分组法求和就是:对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若 将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再

将其合并。
练习:若 an ? 2n ?

1 ,求前 n 项和 2n

练习: (1).Sn ? 1 ? 4

1 2

1 1 1 ? 7 ? ? ? [(3n ? 2) ? n ] 4 8 2

练习: ()求 1 Sn ? ? a ? 1? ? ? a 2 ? 2 ? ? ? ? ? a n ? n ?

1、数列{an}的前 n 项和 S n ? 2a n ? 1 ,数列{bn}满 b1 ? 3, bn ?1 ? a n ? bn (n ? N ? ) . (Ⅰ)证明数列{an}为等比数列; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Tn 。 ( ? 2n ? 2n ? 1. )


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