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福建省厦门市2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年福建省厦门市高二(下)期末数学试卷(理科)

一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.已知复数 z=(1+i) (a+2i) (i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 等于( A.﹣2 B.﹣1 C.0 2.双曲线 x2﹣ D.2 ) )

=1 的一个顶点

到一条渐近线的距离是(

A.

B.

C.

D.

3.已知随机变量 X 服从正态分布 N(1,4) ,P(﹣1<X<3)=0.6826,则下列结论正确的是 ( ) B.P(X>3)=0.1587 D.P(1<X<3)=0.1826 )

A.P(X<﹣1)=0.6587

C.P(﹣1<X<1)=0.3174

4.已知函数 f(x)的导函数是 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(e)﹣lnx,则 f′(e)等于( A.1 B.﹣1 C.e D. )

5.由曲线 y= ,直线 y=x 及 x=3 所围成的图形的面积是( A.4﹣ln3 B.8﹣ln3 C.4+ln3 D.8+ln3

6.三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,△ ABC 是等边三角形,AA1⊥底面 ABC,AB=2,AA1= 异面直线 AC1 与 B1C 所成的角的大小是( )

,则

A.30° B.60° C.90° D.120° 7.假设有两个分类变量 X 和 Y 的 2× 2 列联表为: Y X x1 x2 y1 a c y2 10 50 总计 a+10 c+50
-1-

总计

40

60

100 )

对同一样本,以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组是( A.a=10,c=30 B.a=15,c=25 C.a=20,c=20 D.a=30,c=10

8.甲、乙、丙、丁四个人去旅游,可供选择的景点有 3 个,每人只能选择一个景点且甲、乙 不能同去一个景点,则不同的选择方案的种数是( A.54 B.36 C.27 D.24 ) )

9.“m<1”是“函数 y=x2+ 在[1,+∞)单调递增”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.甲、乙、丙三人,一人在看书,一人在画画,一人在听音乐.已知:①甲不看书;②若 丙不画画,则乙不听音乐;③若乙在看书,则丙不听音乐.则( A.甲一定在画画 B.甲一定在听音乐 C.乙一定不看书 D.丙一定不画画 11.函数 f(x)=e|x|cosx 的图象大致是( ) )

A.

B.

C.

D.

12.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别是 F1、F2,这两条 曲线在第一象限的交点为 P,△ PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若|PF1|=8,椭圆与双曲 线的离心率分别为 e1,e2,则 + 的取值范围是( )

A. (1,+∞)B. (1,4) C. (2,4) D. (4,8)

二、填空题:每小题 5 分,共 20 分.
n 3 13. (2x+ ) 的二项式系数的和是 32,则该二项展开式中 x 的系数是

(用数字

填写答案) .

-2-

14.已知 m∈R,p:方程

+

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;q:在复平面内,复数 z=1+ .

(m﹣3)i 对应的点在第四象限.若 p∧q 为真,则 m 的取值范围是

15.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,A 为抛物线上在第一象限内的一点,以点 F 为圆心,1 为半径 的圆与线段 AF 的交点为 B,点 A 在 y 轴上的射影为点 N,且|ON|=2 是 . ,则线段 NB 的长度

16.设函数 f(x)在 R 上的导函数是 f′(x) ,对? x∈R,f′(x)<x.若 f(1﹣a)﹣f(a)≤ ﹣a,则实数 a 的取值范围是 .

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某工厂为了增加其产品的销售量,调查了该产品投入的广告费用 x 与销售量 y 的数据, 如表: 广告费用 x (万元) 2 销售量 y(万件) 5 3 7 4 8 = x+ 5 9 x+ ;
2

6 11 来近似刻画它们之间的关系.

由散点图知可以用回归直线 (Ⅰ)求回归直线方程 =

(Ⅱ)在(Ⅰ)的回归方程模型中,请用相关指数 R 说明,广告费用解释了百分之多少的销 售量变化?

参考公式:

=



= ﹣

2 ;R =1﹣



18.函数 f(x)= x3+ax2+bx﹣ 在 x=2 处的切线方程为 x+y﹣2=0. (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值. 19.如图,已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60° ,AB=PC=2,AP=BP= (Ⅰ)求证:平面 PAB⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 A﹣PC﹣D 的平面角的余弦值. .

-3-

20.某工厂有甲乙两个车间,每个车间各有 3 台机器.甲车间每台机器每天发生故障的概率 均为 ,乙车间 3 台机器每天发生故障的概率分别为 , , .若一天内同一车间的机器都 不发生故障可获利 2 万元,恰有一台机器发生故障仍可获利 1 万元,恰有两台机器发生故障 的利润为 0 万元,三台机器发生故障要亏损 3 万元. (Ⅰ)求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列; (Ⅱ)由于节能减排,甲乙两个车间必须停产一个.以工厂获得利润的期望值为决策依据, 你认为哪个车间停产比较合理. 21.已知圆 C1:x2+y2=4 与 x 轴左右交点分别为 A1、A2,过点 A1 的直线 l1 与过点 A2 的直线 l2 相交于点 D,且 l1 与 l2 斜率的乘积为﹣ . (Ⅰ)求点 D 的轨迹 C2 方程; (Ⅱ)若直线 l:y=kx+m 不过 A1、A2 且与轨迹 C2 仅有一个公共点,且直线 l 与圆 C1 交于 P、 Q 两点.求△ POA1 与△ QOA2 的面积之和的最大值. 22.已知函数 f(x)=lnx﹣cx2(c∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的零点个数; (Ⅱ)当函数 f(x)有两个零点 x1,x2 时,求证:x1?x2>e.

-4-

2015-2016 学年福建省厦门市高二(下)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.已知复数 z=(1+i) (a+2i) (i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 等于( A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2 )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数 z,又已知复数 z 是纯虚数,得到 ,求解即可得答案. 【解答】解:复数 z=(1+i) (a+2i)=(a﹣2)+(a+2)i, 又∵复数 z 是纯虚数, ∴ 解得 a=2. 故选:D. ,

2.双曲线 x2﹣

=1 的一个顶点到一条渐近线的距离是(



A.

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线的方程求出一个顶点和渐近线,利用点到直线的距离公式进行求解即可. 【解答】解:由双曲线的方程得 a=1,b= ,双曲线的渐近线为 y= x,即 x﹣y=0, = , x,

设双曲线的一个顶点为 A(1,0) ,渐近线为 y= 则顶点到一条渐近线的距离 d= 故选:C.

-5-

3.已知随机变量 X 服从正态分布 N(1,4) ,P(﹣1<X<3)=0.6826,则下列结论正确的是 ( ) B.P(X>3)=0.1587 D.P(1<X<3)=0.1826

A.P(X<﹣1)=0.6587

C.P(﹣1<X<1)=0.3174

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】根据对称性,由 P(﹣1<X<3)可求出 P(X>3) . 【解答】解:∵随机变量 X 服从正态分布 N(1,4) , ∴曲线关于 x=1 对称, ∵P(﹣1<X<3)=0.6826, ∴P(X>3)=0.5﹣0.3413=0.1587. 故选:B.

4.已知函数 f(x)的导函数是 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(e)﹣lnx,则 f′(e)等于( A.1 B.﹣1 C.e D.



【考点】导数的运算. 【分析】求函数的导数,直接令 x=e 进行求解即可. 【解答】解:∵f(x)=2xf′(e)﹣lnx, ∴函数的导数 f′(x)=2f′(e)﹣ 令 x=e, 则 f′(e)=2f′(e)﹣ 即 f′(e)= 故选:D , , ,

5.由曲线 y= A.4﹣ln3

,直线 y=x 及 x=3 所围成的图形的面积是( B.8﹣ln3 C.4+ln3 D.8+ln3



【考点】定积分在求面积中的应用. 【分析】作出对应的图象,确定积分的上限和下限,利用积分的应用求面积即可. 【解答】解:作出对应的图象,
-6-



得 x=1, x2﹣lnx)|

则阴影部分的面积 S=∫ ln1)=4﹣ln3, 故选:A

(x﹣

)dx=(

=(

﹣ln3)﹣(



6.三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,△ ABC 是等边三角形,AA1⊥底面 ABC,AB=2,AA1= 则异面直线 AC1 与 B1C 所成的角的大小是( )



A.30° B.60° C.90° D.120° 【考点】异面直线及其所成的角. 【分析】取中点连接,由异面直线所成角的概念得到异面直线 AC1 与 B1C 所成的角,求解直 角三角形得到三角形边长,再由余弦定理得答案. 【解答】解:如图, 分别取 AC、B1C1、CC1、BC 的中点 E、F、G、K, 连接 EF、EG、FG、EK、FK,

-7-

EK= EG=

,FK=

,则 EF=

, , .

在△ EFG 中,cos∠EGF=



∴异面直线 AC1 与 B1C 所成的角的大小是 90° . 故选:C.

7.假设有两个分类变量 X 和 Y 的 2× 2 列联表为: Y X x1 x2 总计 y1 a c 40 y2 10 50 60 总计 a+10 c+50 100 )

对同一样本,以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组是( A.a=10,c=30 B.a=15,c=25 C.a=20,c=20 D.a=30,c=10

【考点】独立性检验的应用. 【分析】当 ad 与 bc 差距越大,两个变量有关的可能性就越大,检验四个选项中所给的 ad 与 bc 的差距,前三个选项都一样,只有第四个选项差距大,得到结果. 【解答】解:根据观测值求解的公式可以知道, 当 ad 与 bc 差距越大,两个变量有关的可能性就越大, 选项 A,|ad﹣bc|=200,选项 B,|ad﹣bc|=500, 选项 C,|ad﹣bc|=800,选项 D,|ad﹣bc|=1400, 故选 D

-8-

8.甲、乙、丙、丁四个人去旅游,可供选择的景点有 3 个,每人只能选择一个景点且甲、乙 不能同去一个景点,则不同的选择方案的种数是( A.54 B.36 C.27 D.24 )

【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】间接法:先求所有可能分派方法,先求所有可能的分派方法,甲、乙、丙、丁四个
4 3 人去旅游,可供选择的景点有 3 个,共有 3 =81 种情况,甲、 乙同去一个景点有 3 =27 种情况,

相减可得结论. 【解答】解:间接法:先求所有可能的分派方法,甲、乙、丙、丁四个人去旅游,可供选择
4 3 的景点有 3 个,共有 3 =81 种情况,甲、乙同去一个景点有 3 =27 种情况,

∴不同的选择方案的种数是 81﹣27=54. 故选:A

9.“m<1”是“函数 y=x2+ A.充分不必要条件

在[1,+∞)单调递增”的(



B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】充要条件;函数的单调性与导数的关系.
2 【分析】若函数 y=x +

在[1,+∞)单调递增,则 y′=2x﹣

≥0 在[1,+∞)上恒成立,

求出 m 的范围,进而根据充要条件的定义,可得答案.
2 【解答】解:∵函数 y=x +

在[1,+∞)单调递增,

∴y′=2x﹣ 即 m≤2,

≥0 在[1,+∞)上恒成立,

2 故“m<1”是“函数 y=x +

在[1,+∞)单调递增”的充分不必要条件,

故选:A.

10.甲、乙、丙三人,一人在看书,一人在画画,一人在听音乐.已知:①甲不看书;②若 丙不画画,则乙不听音乐;③若乙在看书,则丙不听音乐.则( A.甲一定在画画 B.甲一定在听音乐 C.乙一定不看书 D.丙一定不画画
-9-



【考点】进行简单的合情推理. 【分析】由①开始,进行逐个判断,采用排除法,即可得到答案. 【解答】解:由①可知:甲可能在画画或在听音乐,由③可知,乙在看书,丙在画画,甲只 能在听音乐,由②丙可以听音乐或看书,乙只能看书或画画,结合①③可知:甲听音乐,乙 画画,丙看书,所以甲一定在听音乐, 故选:B.

11.函数 f(x)=e|x|cosx 的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】根据函数的奇偶性,排除 B;根据函数在(0, ) 上, 为减函数, 排除 A; 再根据在 ( >f( ) ,排除 C,可得结论. , )上,为增函数,在( f ) 上, 为增函数, ( , )

|x| 【解答】解:由于函数函数 f(x)=e cosx 为偶函数,它的图象关于 y 轴对称,故排除 B. x x x x 当 x>0 时,f(x)=e ?cosx,f′(x)=e ?cosx﹣e ?sinx=2 (cosx﹣sinx) ,

故函数在(0,

)上,f′(x)>0,f(x)为增函数;在(



)上,f′(x)

<0,f(x)为减函数,故排除 A.

- 10 -

在(



)上,f′(x)>0,f(x)为增函数,且 f(

)>f(

) ,

故排除 C,只有 D 满足条件, 故选:D.

12.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别是 F1、F2,这两条 曲线在第一象限的交点为 P,△ PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若|PF1|=8,椭圆与双曲 线的离心率分别为 e1,e2,则 + 的取值范围是( )

A. (1,+∞)B. (1,4) C. (2,4) D. (4,8) 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用待定系数法设出双曲线和椭圆的方程,根据双曲线和椭圆的定义得到 a1=4+c, a2=4﹣c,然后利用离心率的公式进行转化求解即可. 【解答】解:设椭圆与双曲线的标准方程分别为: ,

. (a1,a2,b1,b2>0,a1>b1) ∵△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,|PF1|=8, ∴8+2c=2a1,8﹣2c=2a2, 即有 a1=4+c,a2=4﹣c, (c<4) , 再由三角形的两边之和大于第三边,可得 2c+2c>8, 可得 c>2,即有 2<c<4. 由离心率公式可得 + ∵2<c<4, ∴ 则 2< 即 2< 故 + < < <4, + <4, 的取值范围是(2,4) , , = = = = ,

- 11 -

故选:C

二、填空题:每小题 5 分,共 20 分. 13. (2x+ 答案) . 【考点】二项式系数的性质.
n 【分析】由题意可得:2 =32,解得 n.再利用其通项公式即可得出. n 【解答】解:由题意可得:2 =32,解得 n=5. n 3 ) 的二项式系数的和是 32,则该二项展开式中 x 的系数是 80 (用数字填写

∴ 令 5﹣2r=3,解得 r=1.

的通项公式 Tr+1=

(2x)

5﹣r

=25﹣r

x5﹣2r,

∴该二项展开式中 x3 的系数=24 故答案为:80.

=80.

14.已知 m∈R,p:方程

+

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;q:在复平面内,复数

z=1+(m﹣3)i 对应的点在第四象限.若 p∧q 为真,则 m 的取值范围是 (2,3) . 【考点】复合命题的真假. 【分析】利用椭圆的标准方程、复数的几何意义、复合命题的真假的判定方法即可得出. 【解答】解:p:方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m>2;

q:在复平面内,复数 z=1+(m﹣3)i 对应的点在第四象限,∴m﹣3<0,解得 m<3. ∵p∧q 为真,∴p 与 q 都为真命题.
- 12 -

∴2<m<3. 则 m 的取值范围是(2,3) . 故答案为: (2,3) .

15.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,A 为抛物线上在第一象限内的一点,以点 F 为圆心,1 为半径 的圆与线段 AF 的交点为 B,点 A 在 y 轴上的射影为点 N,且|ON|=2 度是 3 . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求出 N,B 的坐标,利用两点间的距离公式,即可得出结论. 【解答】解:由题意,A(3,2 ) ,N(0,2 ) , (x﹣1) ,则线段 NB 的长

2 2 以点 F 为圆心,1 为半径的圆的方程为(x﹣1) +y =1,直线 AF 的方程为 y= 2 联立直线与圆的方程可得(x﹣1) =



∴x= ∴B( ∴|NB|=

或 ,

, ) , =3

故答案为:3.

16.设函数 f(x)在 R 上的导函数是 f′(x) ,对? x∈R,f′(x)<x.若 f(1﹣a)﹣f(a)≤ ﹣a,则实数 a 的取值范围是 a≤ .

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】令 g(x)=f(x)﹣
2 ﹣a) ≤f(a)﹣

x2,求出 g(x)的单调性,问题等价于 f(1﹣a)﹣

(1

a2,根据函数的单调性得到关于 a 的不等式,解出即可. x2,则 g′(x)=f′(x)﹣x,而 f′(x)<x,

【解答】解:令 g(x)=f(x)﹣ ∴g′(x)=f′(x)﹣x<0, 故函数 g(x)在 R 递减, ∴f(1﹣a)﹣f(a)≤

﹣a 等价于 f(1﹣a)﹣

2 (1﹣a) ≤f(a)﹣

a2,

- 13 -

即 g(1﹣a)≤g(a) ,∴1﹣a≥a,解得 a≤ 故答案为:a≤ .



三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某工厂为了增加其产品的销售量,调查了该产品投入的广告费用 x 与销售量 y 的数据, 如表: 广告费用 x (万元) 2 销售量 y(万件) 5 3 7 4 8 5 9 = = x+ 6 11 x+ ;
2

由散点图知可以用回归直线 (Ⅰ)求回归直线方程

来近似刻画它们之间的关系.

(Ⅱ)在(Ⅰ)的回归方程模型中,请用相关指数 R 说明,广告费用解释了百分之多少的销 售量变化?

参考公式:

=



=



2 ;R =1﹣



【考点】线性回归方程. 【分析】 (Ⅰ)由数据求得样本中心点,利用最小二乘法求得系数 本中心点,代入即可求得 (Ⅱ)分别求得
1,

,由线性回归方程过样

,即可求得回归直线方程;
2…, 5,根据相关指数公式求得相关指数

R2,即可求得广告

费用解释了百分之多少的销售量变化. 【解答】解: (Ⅰ) = × (2+3+4+5+6)=5, = × (5+7+8+9+11)=11,

- 14 -

=

=1.4,

=



=8﹣1.4× 4=2.4, =1.4x+2.4;

∴回归直线方程

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: 2+2.4=5.2; 1=1.4× 3+2.4=6.6; 2=1.4× 4+2.4=8; 3=1.4× 5+2.4=9.4; 4=1.4× 6+2.4=10.8; 5=1.4×

R2=1﹣

=0.98,

∴广告费用解释了 98%的销售量变化.

18.函数 f(x)=

x3+ax2+bx﹣

在 x=2 处的切线方程为 x+y﹣2=0.

(Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
2 【分析】 (Ⅰ)求导数得到 f′(x)=x +2ax+b,这样根据函数在切点处导数和切线斜率的关系

以及切点在函数图象上便可得出关于 a,b 的方程组,解出 a,b 即可; (Ⅱ)上面已求出 a,b,从而可以得出导函数 f′(x) ,这样判断导数的符号,从而便可得出 函数 f(x)的极值.
2 【解答】解: (Ⅰ)f′(x)=x +2ax+b;

由题意可得,切点为(2,0) ,切线斜率为 k=﹣1;
- 15 -





解得



2 (Ⅱ)由上面得,f′(x)=x ﹣4x+3=(x﹣1) (x﹣3) ;

∴x<1 时,f′(x)>0,1<x<3 时,f′(x)<0,x>3 时,f′(x)>0; ∴x=1 时,f(x)取极大值 ,x=3 时,f(x)取极小值 .

19.如图,已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60° ,AB=PC=2,AP=BP= (Ⅰ)求证:平面 PAB⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 A﹣PC﹣D 的平面角的余弦值.



【考点】用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 【分析】 (I)取 AB 中点 E,连 PE、CE,由等腰三角形的性质可得 PE⊥AB.再利用勾股定 理的逆定理可得 PE⊥CE.利用线面垂直的判定定理可得 PE⊥平面 ABCD.再利用面面垂直 的判定定理即可证明. (II)建立如图所示的空间直角坐标系.利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角. 【解答】 (Ⅰ)证明:如图 1 所示,取 AB 中点 E,连 PE、CE. 则 PE 是等腰△ PAB 的底边上的中线,∴PE⊥AB. ∵PE=1,CE=
2 2 2 ,PC=2,即 PE +CE =PC .

由勾股定理的逆定理可得,PE⊥CE. 又∵AB?平面 ABCD,CE?平面 ABCD,且 AB∩CE=E, ∴PE⊥平面 ABCD. 而 PE?平面 PAB, ∴平面 PAB⊥平面 ABCD.
- 16 -

(Ⅱ)以 AB 中点 E 为坐标原点,EC 所在直线为 x 轴,EB 所在直线为 y 轴,EP 所在直线为 z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系. 则 A(0,﹣1,0) ,C( =( 设 ,1,0) , ,0,0) ,D( =( ,﹣2,0) ,P(0,0,1) , =(0,2,0) .

,0,﹣1) ,

是平面 PAC 的一个法向量,



,即



取 x1=1,可得 . 设



是平面 PCD 的一个法向量,



,即



取 x2=1,可得









即二面角 A﹣PC﹣D 的平面角的余弦值是



20.某工厂有甲乙两个车间,每个车间各有 3 台机器.甲车间每台机器每天发生故障的概率 均为 ,乙车间 3 台机器每天发生故障的概率分别为
- 17 -





.若一天内同一车间

的机器都不发生故障可获利 2 万元,恰有一台机器发生故障仍可获利 1 万元,恰有两台机器 发生故障的利润为 0 万元,三台机器发生故障要亏损 3 万元. (Ⅰ)求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列; (Ⅱ)由于节能减排,甲乙两个车间必须停产一个.以工厂获得利润的期望值为决策依据, 你认为哪个车间停产比较合理. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (Ⅰ)乙车间每天机器发生故障的台数 ξ,可以取 0,1,2,3,求出相应的概率,即 可求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列; (Ⅱ)设甲车间每台机器每天发生故障的台数 η,获得的利润为 X,则 η~B(3, 甲乙的期望,比较,即可得出结论. 【解答】解: (Ⅰ)乙车间每天机器发生故障的台数 ξ,可以取 0,1,2,3, P(ξ=0)=(1﹣ × (1﹣ )× (1﹣ )× )× (1﹣ = )× +( )= ,
2 )× (1﹣ 1 ,P(ξ=1)=C2 ×

) ,求出

× ( (1﹣



2 ) +(1﹣

P(ξ=2)=C21× = × × =

× ( (1﹣ ,

)=

,P(ξ=3)

∴乙车间每天机器发生故障的台数 ξ 的分布列; ξ 0 1 2 3

P

(Ⅱ)设甲车间每台机器每天发生故障的台数 η,获得的利润为 X,则 η~B(3, P(η=k)= ∴EX=2P(η=0)+1× P(η=1)+0× P(η=2)﹣3× P(η=3)= P(ξ=1)+0× P(ξ=2)﹣3× P(ξ=3)= 由(Ⅰ)得 EY=2P(ξ=0)+1× ∵EX<EY, ∴甲车间停产比较合理. (k=0,1,2,3) , , ,

) ,

- 18 -

21.已知圆 C1:x2+y2=4 与 x 轴左右交点分别为 A1、A2,过点 A1 的直线 l1 与过点 A2 的直线 l2 相交于点 D,且 l1 与 l2 斜率的乘积为﹣ (Ⅰ)求点 D 的轨迹 C2 方程; (Ⅱ)若直线 l:y=kx+m 不过 A1、A2 且与轨迹 C2 仅有一个公共点,且直线 l 与圆 C1 交于 P、 Q 两点.求△ POA1 与△ QOA2 的面积之和的最大值. 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】 (Ⅰ)设点 D 的坐标为(x,y) ,求出 A1、A2 的坐标,由题意和斜率公式列出方程化 简,可得点 D 的轨迹 C2 的方程; (Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,联立直线方程和 C2 的方程消去 y,由条件可得△ =0 并化 简,联立直线 l 与圆 C1 的方程消去 x,利用韦达定理写出表达式,由图象和三角形的面积公式 表示出 的面积之和的最大值. 【解答】解: (Ⅰ)设点 D 的坐标为(x,y) , ∵圆 C1:x2+y2=4 与 x 轴左右交点分别为点 A1(﹣2,0) ,A2(2,0) , 且 l1 与 l2 斜率的乘积为﹣ ∴ ∴点 D 的轨迹 C2 方程是 (Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , , ,化简得 ; , ,化简后利用基本不等式求出△ POA1 与△ QOA2 .

联立

2 2 2 得, (1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0,

2 2 由题意得,△ =64k +16﹣16m =0, 2 2 化简得,m =4k +1,

联立

2 2 消去 x 得, (1+k )y ﹣2my+1=0,

∴△=4m2﹣4(1+k2)=12k2>0, y1+y2= , >0,则 y1,y2 同号,

- 19 -

由 r=2 得, + = + =

=

=

=



=
2



当且仅当 3=1+4k ,即 k= ∴

时取等号, 的最大值是 .

22.已知函数 f(x)=lnx﹣cx2(c∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的零点个数; (Ⅱ)当函数 f(x)有两个零点 x1,x2 时,求证:x1?x2>e. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的定义域,函数的导数,通过 a≤0 时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞) 上单调递增;a>0 时,求出极值点,然后通过导数的符号,判断函数的单调性,从而求出函 数的零点的个数; (Ⅱ)设 x1>x2,求出关于 c 的表达式,利用分析法证明 x1x2>e,转化为证明 ln >

(x1>x2>0) ,令

=t,则 t>1,设 g(t)=lnt﹣

- 20 -

=lnt+ 证明即可.

﹣1(t>1) ,利用函数的导数求解函数的最小值利用单调性

【解答】解: (Ⅰ)定义域为(0,+∞) ,f′(x)=

﹣2cx=



当 c≤0 时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增, x→0 时,f(x)→﹣∞,x→+∞时,f(x)→+∞, f(x)有且只有 1 个零点; 当 c>0 时,由 f'(x)=0,得 x= 当 0<x< 当 x> ,

时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 时,f'(x)<0,f(x)单调递减, )=ln >0,解得:c> ﹣ , ,

∴f(x)最大值=f( 令 ln ∴c> c= 0<c< ﹣

时,f(x)有 2 个零点, 时,f(x)有 1 个零点, 时,f(x)没有零点, 时,f(x)有 1 个零点,

综上:c≤0 或 c= 0<c< c>

时,f(x)没有零点, 时,f(x)有 2 个零点.

1 2 2 (Ⅱ)证明:设 x1>x2,∵lnx ﹣cx1 =0,lnx2﹣cx2 =0,

∴lnx1+lnx2=cx12+cx22,lnx1﹣lnx2=cx12﹣cx22, 则 c= ,

欲证明 x1x2>e,即证 lnx1+lnx2>1,
2 2 因为 lnx1+lnx2=c(x1 +x2 ) ,

- 21 -

∴即证 c>



∴原命题等价于证明





即证:ln



(x1>x2>0) ,



=t,则 t>1,

设 g(t)=lnt﹣

=lnt+

﹣1(t>1) ,

∴g′(t)=

≥0,

∴g(t)在(1,+∞)单调递增,又因为 g(1)=0, ∴g(t)>g(1)=0, ∴lnt> ,所以 x1x2>e.

- 22 -

2016 年 8 月 10 日

- 23 -


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