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1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 (一上课用)


呼和浩特第一中学

1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 (一)
E1

A1

B1

C1

D1

E A H B

C

D

http://www.hhyz.net

r /> 呼和浩特第一中学

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从航空测绘到土木建筑以至家居装潢,——空间图形 与我们的生活息息相关.

空间几何体是由哪些基本几何体组成的? 构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系?

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一、多面体
由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。 围成多面体的各个多边形称为多面体的面,两个 面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫 做多面体的顶点。

食盐

明矾

石膏

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凸多面体:把多面体的任何一个面伸展为平面,如 果所有其他各面都在这个平面的同侧,这样的多面 体叫做凸多面体。 V

C D A B

E 问:以上多面体,哪个为凸多面体?

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正多面体有且仅有五种:正四面体、 正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体

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三棱镜

魔方

一 、棱柱的概念

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一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移形成的 空间几何体叫做棱柱(prism).

结构特征

有两个面互相平行,其余各面都是 四边形,并且每相邻两个面的公共 边都平行。

二 、棱柱的元素 两个互相平行的平面叫做棱柱的底面, 其余各面叫做棱柱的侧面. 两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱. 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点, 两个底面的距离叫做棱柱的高.
A H B A1

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E1 B1
C1 D1

E D C

不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线,

三、棱柱的表示

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1.用平行的两底面多边形 的字母表示棱柱,如图:记作

E1 A1

B1 C1

D1

棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1
2 .用表示一条对角线端点 的两个字母表示,如图:
E
A B C D

记作棱柱A C1

四、棱柱的分类

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按底面多边形的边数 分类标准1:

它们的底面 分别是什么平面图形?

三角形 三棱柱

四边形 四棱柱

五棱柱 五边形

六棱柱 六边形

四、棱柱的分类

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分类标准2:按侧棱与底面的关系分为:
侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

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思考题1:
1、侧棱不垂直于底面且底面为三角形的棱 斜三棱柱 柱叫做___________;
2、侧棱垂直于底面且底面为四边形的棱柱 叫做____________; 直四棱柱 3、侧棱垂直于底面且底面为正五边形的棱 正五棱柱 柱叫做____________。

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思考题2 :斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、 侧面各有什么特点?

1. 斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。正棱 柱的底面为正多边形。 2. 斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱的侧面 为矩 形。正棱柱的各个侧面为全等的矩形。

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思考3:棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、正棱 柱集合之间存在怎样的包含关系?

斜棱柱
棱 柱 直棱柱 正棱柱

五、棱柱的性质

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观察下列几何体,回答

①两个底面多边形间的关系? 全等 ②侧面是什么平面图形? 平行四边形

两底面是全等的多边形 各侧面都是平行四边形

六、几种四棱柱的关系

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底面变为 平行四边形

侧棱与底面 垂直

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是 矩形

底面为 正方形

侧棱与底面
边长相等

长方体

正四棱柱

正方体

?正方体 ? ? ?长方体 ? ? ?直平行六面体 ? ? ?平行六面体 ?

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理解棱柱的定义
问题1: 倾斜后的几何体还是柱体吗?
E1 F1 A 1 D1 B1 C1

E

D

F
A B

C

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问题2:过BC的截面截去长方体的一 角,截去的几何体是不是棱柱,余下 的几何体是不是棱柱?
答:都是棱柱. 问题3:有两个面互相平行,其余各面都是 四边形的几何体是棱柱吗?

答:不一定是.如右图所示,不是棱柱.

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问题4: 有两个面互相平行,其余各面都是 平行四边形的几何体是棱柱吗?
答:不一定是.如右图所示,不是棱柱. 问题5:

观察长方体,共有多少对平行平面? 能作为棱柱的底面的有几对? 答:三对平行平面;这三对都可 以作为棱柱的底面.

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问题6:观察右边的棱柱,共有 多少对平行平面?能作为棱柱的底面 的有几对?
答:四对平行平面;只有一对可以作为棱柱的底面. 问题7:棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱 柱的底面吗? 答:不是.

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思考.下图中不可能围成正方体的是 ( B )

A

B

C

D

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再见!

正方体展开图的对面

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11

正方体展开图规律总结 正方体展开平面图形分类:

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四个正方形连成一排(一四一):有六种; 三个正方形连成一排(一三二):有三种;
两个正方形连成一排(二二二):有一种;

两排三个正方形相连( 三三 ) :有一种。

练一练

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1、如图不是正方体的平面展开图是( A )

A

B

C

D

方法总结:
“田”字型、“凹”字型的不是正方体的平面展开 图;

练一练
什么立体图形?

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2.如图所示的四个平面图形,分别能折成

(1)

(2)

(3)

(4)

练一练

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3、下面哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱?

(1)

(2)

(3)

(4) (1)(2)(4)

(5)

练一练

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4.将下图中上边的图形折叠起来围成 一个正方体,应该得到右图中( D ),

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1、如果“你”在前面,那么谁在后面?
了 太 棒 !





KEY: 棒

3、 有一个正方体,在它的各个面上分别涂 了白、红、黄、兰、绿、黑六种颜色。甲、乙、 丙三位同学从三个不同的角度去观察此正方体, 结果如下图,问这个正方体各个面的对面的颜 色是什么?

红 兰

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黄 乙


绿
兰 丙




红---绿(甲`乙) 黄---黑(乙`丙) 兰---白(甲`丙)

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4、有一正方体木块,它的六个面分别标上 数字1——6,下图是这个正方体木块从不同 面所观察到的数字情况。请问数字1和5对面 的数字各是多少?
1 4 1 2 4 1 6

2

5

5----4

1----3

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2、“坚”在下,“就”在后,“胜”、 “利”在哪里?





胜 利



应用拓展

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如图,一只蚂蚁,在正方体箱子的一个顶 点A,它发现相距它最远的另一个顶点B处有它 感兴趣的食物,这只蚂蚁想尽快得到食物,哪 条路径最短?试在图中将路线画出来。

.
一只蚂蚁 在点A处

B

.B

1

在点B 发现食物

.
A

B2

A

.

.

二 、棱柱的元素

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底面 侧面 侧棱

①底面 平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面(base). ②侧面 多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面

(lateral face). ③侧棱 相邻两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.

六、几种四棱柱的关系
底面变为 平行四边形 侧棱与底面 垂直

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四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是 矩形

底面为
正方形

侧棱与底面

边长相等

长方体

正四棱柱

正方体

?正方体 ? ? ?长方体 ? ? ?直平行六面体 ? ? ?平行六面体 ?

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1、按侧棱与底面是否垂直可分为: 1) 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。

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2)侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。

3) 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

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四、棱柱的分类

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按底面多边形的边数 分类标准1:

它们的底面 分别是什么平面图形? 三角形 三棱柱 四边形 四棱柱
五棱柱 五边形

六边形 六棱柱


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