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《新学案》2015年春高中数学苏教版必修二名师导学:第二章 平面解析几何初步(含解析)




2



平面解析几何初步

第 1 课时
教学过程
一、 问题情境 1. 情境:

直线的斜率(1)

多媒体投影现实世界中的一些美妙曲线,这些曲线都和方程息息相关,在数学中,我们可以通过研究这些曲线的方 程来认识这些曲线. 2. 问题: 在平面直角坐标系中,用一对有序实数(x, y)可确定点的位置,那么用什么来确定直线的位置呢? 两点可以确定一条直线.还有什么样的条件可以确定一条直线?

二、 数学建构
(一) 生成概念 1. 探究活动 学生进行思考、联想、讨论. 学生回答并演示(①过两点;②过一点及确定的方向) 观察:直线的方向与直线在坐标系倾斜度的关系. 问题 1 我们熟悉的坡度是怎样确定的? 利用木板进行演示,让学生有一个感性认识,体验坡度是由什么来确定的. 问题 2 2. 数学概念 直线斜率的定义:已知两点 P(x1, y1), Q(x2, y2),如果 x1≠x2,那么直线 PQ 的斜率为: 如果给你直线上两点,你能用它们的坐标来刻画其倾斜度吗?

由学生讨论引出课题:直线的斜率.

k=错误!未找到引用源。 (x1≠x2).
(二) 理解概念 1. 因为 k=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(x1≠x2),所以斜率公式与 P, Q 两点的顺序无关. 2. 如果 x1=x2,直线 PQ 与 x 轴垂直,公式中分母为 0,那么直线 PQ 的斜率不存在.所以,在坐标系中,不是所有的直线 都有斜率. 3. 对于与 x 轴不垂直的直线 PQ,斜率可看作:k=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。.
*

问题 3

对于不垂直于 x 轴的直线的斜率与直线上所选两点的位置是否有关?为什么?

设直线 l 不与 x 轴垂直.在直线 l 上有 P(x1, y1), Q(x2, y2),其斜率为 k=错误!未找到引用源。,在直线 l 上再 取两点 M(x3, y3), N(x4, y4),根据定义,直线 l 斜率应为 k'=错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。≠0,因 为错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。共线,所以错误!未找到引用源。=λ 错误!未找到引用源。,

即(x4-x3, y4-y3)=λ (x2-x1, y2-y1), x4-x3=λ (x2-x1), y4-y3=λ (y2-y1), k'=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。=k. 这表明,对于一条与 x 轴不垂直的定直线而言,它的斜率是一个定值.[ ]
4

(三) 巩固概念 问题 4 解答 一次函数 y=-2x+1 的图象是一条直线,它的斜率是多少? 在直线上取两点(0, 1)与错误!未找到引用源。,根据斜率公式知,其斜率为-2. (教材 P78 例 1)如图 1,直线 l1, l2, l3 都经过点 P(3, 2),又 l1, l2, l3 分别经过点 Q1(-2, -1), Q2(4, 5

三、 数学运用
【例 1】 2), Q3(-3, 2),试计算直线 l1, l2, l3 的斜率.[ ]

(图 1)



根据斜率的定义,直线 l1 的斜率为 k1=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,直线 l2 的斜率为 若点 Q1 的坐标变为(m, -1),(1)求直线 l1 的斜率.(2)若此时 l1 的斜率为 2,求 m 的值.[ ]
6

k2=错误!未找到引用源。=-4,直线 l3 的斜率为 k3=错误!未找到引用源。=0.
变式 1 解 用源。. (2) 若直线 l1 的斜率为 2=错误!未找到引用源。,则 m=错误!未找到引用源。. 变式 2 解 在例 1 的坐标系中画出经过点(3, 2),斜率不存在的直线 l4,并比较这些直线相对于 x 轴的倾斜程度
7

(1) 当 m=3 时,l1 的斜率不存在;当 m≠3 时,直线 l1 的斜率为 k1=错误!未找到引用源。=错误!未找到引

与斜率的关系.[ ] 从图中可以看出当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜(l1); 当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜(l2); 当直线的斜率为 0 时,直线与 x 轴平行或重合(与 y 轴垂直)(l3); 当直线的斜率不存在时,直线与 x 轴垂直(l4). 【例 2】 (教材 P78 例 2)经过点(3, 2)画直线,使直线的斜率分别为:(1)错误!未找到引用源。; (2)-错误!
8

未找到引用源。.[ ] [处理建议] 让学生板演,在出现困难时作适当的提示:画直线需要两点,如何找另一点呢. 解 (1) 根据斜率=错误!未找到引用源。,斜率为错误!未找到引用源。表示直线上的任一点沿 x 轴方向向 右平移 4 个单位,再沿 y 轴方向向上平移 3 个单位后仍在此直线上,将点(3, 2)沿 x 轴方向向右平移 4 个单位,再沿

y 轴方向向上平移 3 个单位后得点(7, 5),因此经过点(7, 5)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图 2 所示.

(图 2)

(图 3)

(2) ∵ -错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,∴ 将点(3, 2)沿 x 轴方向向右平移 5 个单位,再沿 y 轴方向向下平移 4 个单位后得点(8, -2),因此经过点(8, -2)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图 3 所示. [题后反思] 画一条直线,关键先找出两点,此题结合画图,让学生如何找点. 【例 3】 解 已知三点 A(a, 2), B(3, 7), C(-2, -9a)在一条直线上,求实数 a 的值.[ ]
9

因为 3≠-2,所以直线 BC 的斜率存在,据题意可知直线 AB 与直线 BC 的斜率相等,即错误!未找到引用

源。=错误!未找到引用源。,解得 a=2 或错误!未找到引用源。.

[题后反思] 利用斜率构造等式,先要分析斜率是否存在,防止犯以偏概全的错误,对斜率不能确定是否存在, 要进行分类讨论. 问题 5 两个点可以确定一条直线,一个点及直线的斜率也可以确定一条直线,斜率既能反映直线的倾斜程度, 也能反映直线的方向,方向还可以用什么来描述? 让学生分组讨论.通过讨论认为:选用直线的上方与 x 轴正方向所形成的角 α 能最自然、最简单的刻画直线 的方向,从而引出倾斜角的概念.

四、 数学概念 1. 直线的倾斜角的定义:
在平面直角坐标系中,对于与 x 轴相交的直线,把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时 所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 0°. 巩固概念 指出下列图中直线的倾斜角:[
10]

(1)

(2)

(3) (图 4)

(4)

问题 6

直线的倾斜角能不能是锐角?能不能是直角?能不能是钝角?能不能是平角?能否大于平角?倾斜角的取值

范围如何? 引导学生观察,当直线从 x 轴位置旋转 180°后又回到 x 轴位置的过程中,直线的倾斜角如何变化,从而得出结 论. 2. 直线的倾斜角的范围是: 0°≤α <180°.[
11]

五、 课堂练习 1. 分别求经过下列两点的直线的斜率. (1) (3, 2), (5, 4). (2) (-1, 2), (3, 0). (3) (-2, -2), (3, -2). (4) (-2, 6), (2 错误!未找到引用源。, -2 错误!未找到引用源。).
2. 根据下列条件,分别画出经过点 P,且斜率为 k 的直线. (1) P(1, 2), k=错误!未找到引用源。; (2) P(2, 4), k=-2; (3) P(-1, 3),斜率不存在; (4) P(-2, 0), k=0. 3. 分别判断下列三点是否在同一条直线上. (1) (1, 0), (3, 3), (4, 5). (2) (0, 2), (3, -1), (-1, 3). 解答 1. (1) 1; (2) -错误!未找到引用源。; (3) 0; (4) -错误!未找到引用源。. 2. 略. 3. (1) 不在同一条直线上;(2) 在同一条直线上.

六、 课堂小结 1. 在本节课中,你学到了哪些新的概念? 2. 怎样求出已知两点的直线的斜率?

3. 斜率与倾斜角在刻画直线倾斜程度方面有什么区别? (直线的倾斜角侧重于几何直观形象,而直线的斜率侧重于用数来刻画直线的方向)[
12]

第 2 课时
教学过程

直线的斜率(2)

一、 问题情境 1. 经过点原点(1, 0)与 B(2, 错误!未找到引用源。)两点的直线斜率为 错误!未找到引用源。 ,倾斜角为
60° . 2. 已知两点 P(x1, y1), Q(x1, y1),如果 x1≠x2,那么直线 PQ 的斜率与倾斜角有什么关系?

二、 数学建构
(一) 生成概念 1. 分直线的倾斜角为锐角(见图①)和直线的倾斜角为钝角(见图②)启发学生利用斜率的定义发 现:k=tanα (注:tan(180°-α )=-tanα ).


(图 1)



2. 用几何画板演示,引导学生观察,当直线绕一定点旋转时,斜率与倾斜角的变化关系. (二) 理解概念 (1) ① 当 α ≠90°时,k=tanα ;② 当 α =90°时,k 不存在;③ 当 α =0°时,k=0;④ 当 α 为锐角时,k>0;⑤ 当 α 为钝角时,k<0. (2) 当倾斜角 α =90°时,斜率 k 不存在,这就是说任何直线都有倾斜角,但不是任何直线都有斜率,与 x 轴垂直的直 线就没有斜率.

(图 2)

(三) 巩固概念 判断下列命题的真假: (1) 若两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等; (2) 若两条直线的斜率相等,则它们的倾斜角也一定相等; (3) 若两条直线的倾斜角不等,则它们中倾斜角大的,其斜率不一定大; (4) 若两条直线的斜率不等,则它们中斜率大的,其倾斜角不一定大. 答 (1)假;(2)真;(3)真;(4)真. (1) 直线 l1, l2, l3 如图 2 所示,则 l1, l2, l3 的斜率 k1, k2, k3 的大小关系为 ,倾斜角 α 1, α 2,

三、 数学运用
【例 1】 α 3 的大小关系为 (2) 填写下表[ ]
2

.
直 线 平行于 x轴 从左向 右上升 垂直于 x轴 从左向 右下降

倾斜角 α 的大小 斜率 k 的 范围 斜率 k 的

增减性

[处理建议] 可以利用几何画板动态地显示斜率与倾斜角的关系. 解答 (1) k1>k2>k3, α 3>α 1>α 2.
直 线 平行于 x轴 0° 0 从左向 右上升 0°<α < 90° 垂直于 x轴 90° 不存在 从左向 右下降 90°<α < 180°

(2) 填写下表
倾斜角 α 的大小 斜率 k 的 范围 斜率 k 的 增减性

k>0 k 随 α 的增
大 而增大

k<0 k 随 α 的增
大 而增大

[题后反思] 这道题阐明倾斜角与斜率在变化过程中的关系,讲解中注意用从特殊到一般的方法.如果学过必 修 4 课本,可以从正切函数的单调性上去分析. 【例 2】 已知直线过点 A(2m, 3), B(2, -1),根据下列条件,求实数 m 的值(或范围): (1) 直线的倾斜角为 135°. (2) 直线的倾斜角为 90°. (3) 直线倾斜角为锐角. (4) 直线倾斜角为钝角.[ ]
3

[处理建议] 此题让四个学生板演. 解 (1) 斜率为 k=tan135°=错误!未找到引用源。=-1,解得 m=-1. (2) 因为 AB⊥x 轴,所以 2m=2,解得 m=1. (3) 据题意,k=错误!未找到引用源。>0,解得 m>1. (4) 据题意,k=错误!未找到引用源。<0,解得 m<1. 【例 3】 题. 解 已知直线 l 的斜率的取值范围为[-1, 1],求其倾斜角的取值范围.[ ]
4

[处理建议] 可以利用数形结合的思想(如图 3)及例 1 的结果,分两段直接写出,也可利用正切函数的性质解

① 当斜率 k∈[-1, 0)时,倾斜角 α 为钝角,且-1≤tanα <0,所以 135°≤α <180°;

② 当斜率 k∈[0, 1]时,倾斜角 α 为 0°或锐角,且 0≤tanα ≤1,所以 0°≤α ≤45°.
综上所述:倾斜率的取值范围是{α |0°≤α ≤45°或 135°≤α <180°}. [题后反思] 此题需要分类讨论,注意倾斜角的固定范围是 0°≤α <180°,如果学过必修 4,可以从正切函数 的单调性或从图象上观察分析,如果没学过必修 4,此题可以不讲.

(图 3)
*

(图 4)

【例 4】

若过原点的直线 l 与连结 P(2, 2), Q(-6, 2 错误!未找到引用源。)两点的线段相交,求直线 l 的
5

斜率和倾斜角的取值范围.[ ] [处理建议] 首先要带领学生认真审题,注意跟线段相交与跟直线相交的区别,然后结合例 3 的方法,引导学生 用数形结合的方法去处理. 解 如图 4, OP 的斜率 k1=错误!未找到引用源。=1, OQ 的斜率 k2=错误!未找到引用源。=-错误!未找到 引用源。. 当直线 l 由 OP 位置逆时针旋转到 y 轴位置时,直线 l 与线段 PQ 相交,倾斜角 α 由 45°增大到 90°,斜率 k 由 1 增大到正无穷.当直线 l 由 y 轴位置逆时针旋转到 OQ 位置时,直线 l 与线段 PQ 相交,倾斜角 α 由 90°增大

到 150°,斜率 k 由负无穷增大到-错误!未找到引用源。,因此,直线 l 斜率的取值范围为错误!未找到引用源。 ∪[1, +∞),倾斜角的取值范围是{α |45°≤α ≤150°}. [题后反思] 此题利用数形结合方法较好,直线的旋转,引起直线的斜率、倾斜角的变化:在不同的两段上,都 是随直线的逆时针旋转而增大的.

四、 课堂练习 1. 已知 y 轴上的点 B 与点 A(-错误!未找到引用源。, 2)连线所成直线的倾斜角为 60°,则点 B 的坐标是 (0,
5) . 2. 已知直线 l1 的倾斜角 α 1=30°,直线 l2 垂直于 l1,则 l2 的斜率为

-错误!未找到引用源。 .

3. 直线 l 的倾斜角的正弦值为错误!未找到引用源。,求直线 l 的斜率. 4. 已知 A(4, 2), B(-8, 2), C(0, -2),求直线 AB, BC, CA 的斜率,并判断这些直线的倾斜角是什么角? 解答 3. 设直线 l 的倾斜角为 α ,则 sinα =错误!未找到引用源。.当 α 为锐角时,cosα =错误!未找到引用 源。=错误!未找到引用源。,斜率为 k=tanα =错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。;当 α 为钝角 时,cosα =-错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,斜率为 k=tanα =错误!未找到引用源。=-错误!未 找到引用源。.综上所述,直线 l 的斜率为错误!未找到引用源。或-错误!未找到引用源。. 4. 直线 AB 的斜率为 kAB=错误!未找到引用源。=0,直线 AB 的倾斜角为 0°;直线 BC 的斜率为 kBC=错误!未找到 引用源。=-错误!未找到引用源。,直线 BC 的倾斜角是钝角;直线 CA 的斜率为 kCA=错误!未找到引用源。=1,直线

CA 的倾斜角是 45°.

五、 课堂小结 1. 直线的倾斜角和斜率之间的关系是什么? 2. 倾斜角为特殊角时与直线斜率的对应关系.
倾斜角 斜率 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°

3. 为什么不用直线的倾斜角的正弦来作直线的斜率呢? 解答: 1. 当倾斜角 α ≠90°时,斜率 k=tanα ,此时倾斜角与斜率一一对应;当倾斜角 α =90°时,斜率不存在. 2.
倾斜角 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°

-错

-错

误!
斜率 1 不存在

误!
-1

未找 到引 用 源。

未找 到引 用 源。

3. 倾斜角的正弦与倾斜角不能一一对应,互补的两个倾斜角的正弦相等.

第 3 课时
教学过程
一、 问题情境
问题 1 问题 2

直线的方程(1)

确定一条直线需要几个独立条件?请举例说明. 给出直线 l 上一点及斜率两个条件:经过点 A(-1, 3),斜率为-2, (1)你能在直线 l 上再找一点,并写出
1

归纳得出:1.直线上的两个点;2.直线上的一个点及直线的斜率. 它的坐标吗?(2)这条直线 l 上的任意一点 P(x, y)的横坐标 x 和纵坐标 y 满足什么关系呢?[ ]

二、 数学建构
(一) 生成概念 1. 探究问题情境中的问题.

2. 直线 l 经过点 P1(x1, y1),且斜率为 k.设点 P(x, y)是直线 l 上的任意一点,请建立 x, y 与 k, x1, y1 之间的关系.

(图 1)

学生根据斜率公式,可以得到,当 x≠x1 时,

k=错误!未找到引用源。,


y-y1=k(x-x1)①[2]
问题 3 答 过点 P1(x1, y1),斜率是 k 的直线 l 上的点(包括点 P1),其坐标都满足方程①吗?坐标满足方程①的点都 在经过 P1(x1, y1),斜率为 k 的直线 l 上吗? 过点 P1(x1, y1),斜率是 k 的直线 l 上的点,其坐标都满足方程①,且坐标满足方程①的点都在经过 P1(x1,

y1),斜率为 k 的直线 l 上.[3]
3. 直线的点斜式方程. 我们把方程 y-y1=k(x-x1)叫做直线的点斜式方程. 问题 4 答 直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢? 因为垂直于 x 轴的直线斜率不存在,所以直线的点斜式方程不能表示垂直于 x 轴的直线.不垂直于 x 轴 经过点 P1(x1, y1)且垂直于 x 轴的直线方程是什么?经过点 P1(x1, y1)且垂直于 y 轴的直线方程又是什

的直线,都能用点斜式方程表示. 问题 5 么? 4. 两种特殊的直线方程. 经过点 P1(x1, y1)且垂直于 x 轴的直线方程是 x=x1; 经过点 P1(x1, y1)且垂直于 y 轴的直线方程是错误!未找到引用源。 (二) 理解概念 1. 为什么方程错误!未找到引用源。=k 不称为直线 l 的点斜式方程? 因为直线 l 上的点 P1(x1, y1)不满足方程错误!未找到引用源。=k. 2. 把直线方程 y=kx+6k-5 写成点斜式方程,并说明此直线过哪个定点? 方程 y=kx+6k-5 可变形为 y-(-5)=k[x-(-6)],这即为点斜式方程,此直线恒过定点(-6, -5).

三、 数学运用
【例 1】 解 解 【例 2】 数学概念 (1) 直线 l 与 x 轴交点(a, 0),与 y 轴交点(0, b),称 a 为直线 l 在 x 轴上的截距,称 b 为直线 l 在 y 轴上的截距 (截距可 以大于 ,也可以等于或小于 ). ... ...0 . . ........0 . (一定要讲清楚截距的概念,“第一印象”非常重要) (2) 方程 y=kx+b 由直线 l 斜率 k 和它在 y 轴上的截距 b 确定,叫做直线的斜截式方程. 问题 6 问题 7 答 你如何从直线方程的角度认识一次函数 y=kx+b?一次函数中 k 和 b 的几何意义是什么? 直线的斜截式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢? 一次函数 y=kx+b 中,常数 k 是直线的斜率,常数 b 为直线在 y 轴上的截距. 因为垂直于 x 轴的直线斜率不存在,所以直线的斜截式方程不能表示垂直于 x 轴的直线.不垂直于 x 轴 在同一坐标系中作出下列直线,分别说出这两组直线有什么共同特征? 一条直线经过点 P1(-2, 3),斜率为 2,求这条直线方程.[ ]
5

根据点斜式方程的形式,这条直线的方程为 y-3=2(x+2)即 2x-y+7=0. 直线 l 斜率为 k,与 y 轴的交点是 P(0, b),求直线 l 的方程.[ ]
6

根据点斜式方程形式,直线 l 的方程为 y-b=k(x-0),即 y=kx+b.

的直线,都能用斜截式方程表示. 【例 3】 (1) y=2, y=x+2, y=-x+2, y=3x+2, y=-3x+2.

(2) y=2x, y=2x+1, y=2x-1, y=2x+4, y=2x-4.[ ]
7



(1)图略,这组直线的共同特征是都过点(0, 2),斜率不同.

(2) 图略,这组直线的共同特征是斜率都相同,截距互不相同,它们是一组平行直线. [题后反思] 画直线关键是找出两点,常常找直线与坐标轴的交点,此题意在说明共点直线或平行直线在方程 形式上的联系(相同点). 【例 4】 解 (1) 求直线 y=-错误!未找到引用源。(x-2)的倾斜角.
8

(2) 求直线 y=-错误!未找到引用源。(x-2)绕点(2, 0)按顺时针方向旋转 30°所得的直线方程.[ ] (1) 设直线的倾斜角为 α ,从方程可知,直线的斜率是-错误!未找到引用源。,所以 tanα =-错误!未找 到引用源。,又因为 0°≤α <180°,所以直线 y=-错误!未找到引用源。(x-2)的倾斜角为 120°. (2) 所求的直线的倾斜角为 120°-30°=90°,且经过点(2, 0),所以,所求的直线方程为 x=2. [题后反思] 方程为 y=k(x+a)+b 的直线的斜率为 k,第(2)题注意直线的旋转的方向.
*

【例 5】

已知直线 l 经过点 P(4, 1),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为 8,求直线 l 的点斜式

9 方程.[ ]

[处理建议] 引导学生分析,要求出方程,先求出斜率,如何把“面积为 8”用上,能否转化为关于斜率 k 的方程, 用点斜式方程要注意哪些呢? 解 根据题意,直线 l 不垂直于 x 轴,其斜率存在且为负数,故可设直线 l 的方程为 y-1=k(x-4), (k<0),在方程 中令 y=0 得 x=4-错误!未找到引用源。,令 x=0 得 y=1-4k,故直线 l 与两坐标轴交于点错误!未找到引用源。与 (0, 1-4k),与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为 S=错误!未找到引用源。(1-4k)=8,解得 k=-错误!未找 到引用源。,故直线 l 的点斜式方程为 y-1=-错误!未找到引用源。(x-4). [题后反思] 还要注意取舍. 利用点斜式或斜截式设直线方程,首先要分析直线的斜率是否存在,如不能确定,一般要分类讨论, 此题不仅分析了斜率是存在的,而且还挖掘出隐含条件:斜率小于 0,为下面的求解避免了分类讨论,如果解出两解,

四、 课堂练习 1. 经过点(3, -1),斜率为 3 的直线的点斜式方程为 y+1=3(x-3) . 2. 经过点(2, 2),斜率为错误!未找到引用源。的直线的点斜式方程为 y-2=错误!未找到引用源。(x-2) .
3. 斜率为-3,在 y 轴上的截距为-4 的直线的斜截式方程为 y=-3x-4 . 4. 斜率为错误!未找到引用源。,在 x 轴上的截距为 6 的直线的方程为 5. 直线 x=m(y+1)的图象恒过定点 (0, -1) .

y=错误!未找到引用源。(x-6) .

五、 课堂小结 1. 本节课我们学了哪些知识? 2. 直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么? 3. 求一条直线的方程,要知道多少个条件? 4. 如何根据直线方程求出直线的斜率及 y 轴上的截距?

第 4 课时
教学过程

直线的方程(2)

一、 问题情境 1. 情境:能否根据我们已经学过的直线的点斜式、斜截式方程求出符合下列条件的直线方程(学生活动): (1) 直线经过点(1, 2), 错误!未找到引用源。.
(2) 直线经过点(1, 2), (-1, 2). (3) 直线经过点(0, 2), (1, 0). (4) 直线经过点(x1, y1), (x2, y2),其中 x1≠x2. 2. 问题:如果已知直线经过的两个点,或已知直线在 x 轴上的截距和在 y 轴上的截距,如何求直线方程?[ ]
1

二、 数学建构
(一) 生成概念 1. 引导学生研究上面的问题.

根据直线的点斜式方程,经过两点(x1, y1), (x2, y2)(x1≠x2)直线 l 的方程为:y-y1=错误!未找到引用源。(x-x1). 2. 直线的两点式方程. 若 x1≠x2, y1≠y2,经过两点 P1(x1, x2), P2(x2, y2)的直线 l 的方程为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 我们把方程错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。叫做直线的两点式方程. (二) 理解概念 1. 方程错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。的左右两边各具有怎样的几何意义?它表示什么图形? 答 左边是动点和一个定点的连线的斜率,右边是两个定点的连线的斜率,这两者始终相等,因而方程表示除去点 (x1, y1)的一条直线. 2. 方程错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。和方程错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。表 示同一图形吗? 前者表示经过两定点(x1, x2), (x2, y2)但除去点(x1, y1)的一条直线,后者表示经过两定点(x1, x2), (x2, y2)完整的一条 直线.所以才把后者称为两点式方程. 3. 若两点 P1(x1, x2), P2(x2, y2)中有 x1=x2 或 y1=y2,此时直线 P1P2 方程能否用两点式方程表示?如果不能,应该如何表 示?这说明了什么? 答 因为有分母为 0,所以不能用两点式方程表示,若 x1=x2,直线 P1P2 方程为 x=x1,若 y1=y2,直线 P1P2 方程为 y=y1,这说 明两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线. (三) 巩固概念 已知直线分别经过下面两点,求直线的两点式方程.

①A(3, 1), B(2, -3);②A(2, 1), B(0, -3);③A(0, 5), B(4, 0). 解答 ① 直线的两点式方程为:错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。; ② 直线的两点式方程为:错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。; ③ 直线的两点式方程为:错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

三、 数学运用
【例 1】 (教材 P84 例 1)已知直线 l 经过两点 A(a, 0), B(0, b),其中 ab≠0,求直线 l 的方程(如图 1).[ ]
2

(图 1)



根据两点式方程形式,直线 l 的方程为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即错误!未找到

引用源。+错误!未找到引用源。=1. 数学概念 直线的截距式方程及适用范围: 我们把方程错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 叫做直线的截距式方程.因为 ab≠0,所以截距 式方程不能表示过原点的直线,因为纵、横截距必须存在,所以截距式方程也不能表示与坐标轴垂直的直线. 【例 2】 (教材 P84 例 2)已知三角形的顶点是 A(-5, 0), B(3, -3), C(0, 2)(图 2),试求这个

(图 2)
3 三角形三边所在直线的方程.[ ]



根据两点式方程,直线 AB 的方程为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即 3x+8y+15=0;

直线 BC 的方程为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即 5x+3y-6=0; 根据截距式方程,直线 CA 的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,即 2x-5y+10=0.

[题后反思] 用直线的两点式或截距式写直线方程只需一步到两步,但要先分析两点式或截距式的使用条件 是否满足. 【例 3】 求过点(3, -4)且在坐标轴上的截距相等的直线方程.[ ]
4

[处理建议] 在做此题之前,画一条通过原点的直线,问问学生:直线在 x, y 轴上的截距是什么?相等吗?横截 距是纵截距的几倍?根据以往经验,采取先错后纠正的方法不理想,以后还会错,所以截距的概念“第一印象”非常 重要. 解

①当截距不为 0 时,设所求直线的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,将坐标(3, -

4)代入这个方程得错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 解得 a=-1,此时所求直线的方程为错误!未 找到引用源。+错误!未找到引用源。=1;②当截距为 0 时,直线过原点(0, 0),根据两点式方程,此时所求直线的方 程为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即 y=-错误!未找到引用源。x. 综上,所求直线的方程为 x+y+1=0 或 y=-错误!未找到引用源。x. [题后反思] 要准确理解截距的概念,直线过原点时,它在 x, y 轴上截距都为 0,当然相等,当直线斜率为 1 且 不过原点时,截距互为相反数,当然不等. 【例 4】 解 求过点 P(2, -1),在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a, b,且满足 a=3b 的直线方程.[ ]
5

[处理建议] 先引导学生分析,此题会有几解?

① 当 a=0 时,b=0,此时直线方程为 y=-错误!未找到引用源。x;

② 当 a≠0 时,b≠0,根据截距式方程,此时直线方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,把 P(2, -1)代入方程得错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,解得 b=-错误!未找到引用源。,此时 a=-1.
综上,所求直线方程为 x+3y+1=0 或 y=-错误!未找到引用源。x. [题后反思] 当截距不能确定是否为 0 时,使用截距式方程,要注意分类讨论.

四、 课堂练习 1. 过两点(2, 2), (-1, 3)的直线的两点式方程为 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 .
2. 过两点(0, 3), (-1, 0)的直线的截距式方程为 3. 已知两点 A(5, 1), B(10, 11). (1) 求出直线 AB 的方程. (2) 若点 C(-2, a)在直线 AB 上,求实数 a 的值. 解 (1) 根据两点式方程,直线 AB 的方程为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即 2x-y-9=0. (2) 因为点 C(-2, a)在直线 AB 上,所以 2?(-2)-a-9=0,因此实数 a 的值为-13. 4. (1) 如果两条直线有相同的斜率,但在 x 轴上的截距不同,那么它们在 y 轴上的截距可能相同吗? (2) 如果两条直线在 y 轴上的截距相同,但是斜率不同,那么它们在 x 轴上的截距可能相同吗? 解答 (1) 假设它们在 y 轴上的截距也相同.则它们的方程都可写成 y=kx+b,而这只表示一条直线,与前提矛盾,所 以假设不成立.因此它们在 y 轴上的截距不相同. (2) 它们在 x 轴上的截距可能相同,如:直线 y=2x 与直线 y=x.

-x+错误!未找到引用源。=1 .

五、 课堂小结 1. 任何一条直线都有 x 轴上的截距和 y 轴上的截距吗? 2. 什么样的直线不能用两点式、截距式方程?

第 5 课时
教学过程
一、 问题情境
问题 1 问题 2

直线的方程(3)

直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程是关于 x, y 的什么方程? 关于 x, y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(A, B 不全为 0)是否一定表示一条直线?

二、 数学建构
(一) 生成概念 1. 引导学生研究上面的问题. (1) 直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程都是关于 x, y 的二元一次方程.

(2) 关于 x, y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(A, B 不全为 0)是否一定表示一条直线呢? 这个方程是否表示直线,就看此方程能否转化为点斜式、斜截式、截距式、两点式、x=x1 这五种形式之一. (1) 当 B≠0 时,方程 Ax+By+C=0 可化为 y=-错误!未找到引用源。x-错误!未找到引用源。,它表示斜率-错误! 未找到引用源。,在 y 轴上的截距为-错误!未找到引用源。的直线. (2) 当 B=0 时,方程 Ax+By+C=0 可化为 x=-错误!未找到引用源。,它表示垂直于 x 轴的直线. 综上:关于 x, y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(A, B 不全为 0)都表示一条直线. 问题 3 平面直角坐标系内的任意一条直线是否都可以用二元一次方程 Ax+By+C=0(A, B 不全为 0)表示呢? 平面直角坐标系内的直线可分为两类,第一类是与 x 轴垂直的直线,第二类是与 x 轴不垂直的直线. 与 x 轴垂直的直线的方程为 x=x1,可化为 x+0?y-x1=0,(1 与 0 不全为 0) 与 x 轴不垂直的直线可用斜截式方程表示,而 y=kx+b 可化为 kx-y+b=0,(k 与-1 不全为 0) 所以平面直角坐标系内的任意一条直线都可以用二元一次方程 Ax+By+C=0(A, B 不全为 0)表示. 2. 数学概念 直线的一般式方程 方程 Ax+By+C=0(A, B 不全为 0)叫做直线的一般式方程. (二) 理解概念 1. 直线方程的一般式 Ax+By+C=0 中,A, B 满足条件 当 A=0, B≠0 时,方程表示垂直于 不全为 0 ;

y 轴 的直线; 当 B=0, A≠0 时,方程表示垂直于 x 轴 的直线. 2. 直线方程的一般式 Ax+By+C=0(A, B 不全为 0)没有局限性,它能表示平面内任何一条直线. 3. 直线方程的一般式 Ax+By+C=0 中,因为 A, B 不全为 0,总可以两边同除以 A, B 之一,从而转化为只有两个参量的 方程:mx+y+n=0 或 x+my+n=0.不与 y 轴垂直的直线方程可设为 x=py+t. 4. 因为方程 Ax+By+C=0(A, B 不全为 0)表示一条直线,所以它也称为线性方程.
(三) 巩固概念 1. 把方程 y-y1=k(x-x1)化为一般式为

kx-y+y1-kx1=0 .
2

2. 把方程错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(ab≠0)化为一般式为 bx+ay-ab=0. 3. 把方程错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。化为一般式为(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0.[ ]

三、 数学运用
【例 1】 解 (教材 P86 例 1)求直线 l:3x+5y-15=0 的斜率及它在 x 轴、y 轴上的截距,并作图.[ ]
3

[处理建议] 可以把例 1、例 2 放在一起让学生板演. 直线 l 的方程可化为 y=-错误!未找到引用源。x+3,也可化为错误!未找到引用源。+错误!未找到引 用源。=1,直线的斜率为-错误!未找到引用源。,它在 x 轴、y 轴上的截距分别为 5 和 3.(图略) [题后反思] 根据方程求斜率,可把方程化斜截式. 【例 2】 (教材 P86 例 2)设直线 l 的方程为 x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定 m 的值:
4

(1) 直线 l 在 x 轴上的截距为-3. (2) 直线 l 的斜率为 1.[ ] 解 源。. (2) 据题意,直线 l 的斜率存在,所以 m≠0,直线 l 的方程可化为 y=-错误!未找到引用源。x+2-错误!未找到 引用源。,所以-错误!未找到引用源。=1,解得 m=-1. 【例 3】 注意什么? 解法一 据题意可设所求直线的方程为 y=错误!未找到引用源。x+m,(m≠0),在方程中令 y=0 得 x=-错误! 未找到引用源。m,直线与两坐标轴交于 A 错误!未找到引用源。与 B(0, m)两点,△AOB 的面积为错误!未找到引 用源。|m|=6. 解得 m=3 或 m=-3.因此,所求直线的方程为 y=错误!未找到引用源。x+3 或 y=错误!未找到引用源。x-3,即 3x-4y+12=0 或 3x-4y-12=0. 求斜率为错误!未找到引用源。,且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6 的直线方程.[ ]
5

(1) 据题意直线 l 过点(-3, 0),把坐标(-3, 0)代入直线 l 的方程得-3-2m+6=0,解得 m=错误!未找到引用

[处理建议] 引导学生分析,求直线方程,差什么量?如何构造此量的方程,如何设出直线方程,设直线方程需要

解法二 到引用源。

据题意可设所求直线的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(ab≠0),此方程可

化为 y=-错误!未找到引用源。x+b,据题意可知错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。或错误!未找 因此,所求直线的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 或错误!未找到引用源。+错误!未找 到引用源。=1,即 3x-4y+12=0 或 3x-4y-12=0. [题后反思] 根据条件,恰当选择方程的形式,可简化解题,最后形式常化为一般式方程,解法二对解方程组的 要求较高.
*

【例 4】

已知直线 l: 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1.
6

(1) 如果直线 l 的斜率为 2,求 m 的值. (2) 如果直线 l 与两坐标轴的正半轴相交,求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线 l 的方程.[ ] [处理建议] 引导学生审题:“正半轴相交”是什么意思?“三角形面积最大时”是什么意思,为什么三角形 面积会有最大值? 解 (1) 直线 l 的方程可化为 y=错误!未找到引用源。x+m,所以错误!未找到引用源。=2,解得 m=4.
2

(2) 直线 l 与两坐标轴的交点为(2-m, 0), (0, m),据题意错误!未找到引用源。直线 l 与两坐标轴围成三角形 面积为 S=错误!未找到引用源。m(2-m)=-错误!未找到引用源。(m-1) +错误!未找到引用源。,因为 0<m<2,所以

m=1 时,S 取到最大值,故所求的直线 l 的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,即 x+y-1=0.
[题后反思] 注意挖掘条件错误!未找到引用源。此题可变为“已知直线 l 与两坐标轴的正半轴相交,在两 坐标轴上的截距之和为 2,求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线 l 的方程.”这样解法就多了,可以设斜截式 方程,利用基本不等式求解.

四、 课堂练习 1. 直线 3x+4y=6 的斜率为 -错误!未找到引用源。 ,在 y 轴上截距为 错误!未找到引用源。 .
2. 直线 4x-3y-12=0 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 3. 填写下表
直线 l:Ax+By+C=0( A, B 不全为 0)与坐标轴 的关系 A, B, C 满足 的关系 直线过 原点 直线 l 垂 直于 x 轴 直线 l 垂 直于 y 轴 直线 l 与 两坐标 轴 都相交

3

,

-4 .

C=0

B=0

A=0

AB≠0

4. 过两点(-4, 0)和(0, 2)的直线的一般式方程为 5. 过两点(3, 0)和(0, -1)的直线的一般式方程为

x-2y+4=0 . x-3y-3=0 .

五、 课堂小结 1. 到目前为止研究了直线方程的五种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式,要掌握五种形式的适用 范围,并能在直线方程的各种形式之间熟练转化. 2. 学会根据条件选用恰当的形式求直线的方程,用一般式设方程,往往并不简单,因为一般式中有三个参量 A, B, C.

第 6 课时
教学过程
一、 问题情境
问题 1 问题 2

两条直线的平行与垂直(1)

平面内两条不重合直线的位置关系有几种?如何判断这种关系? 初中学习过平面内两条直线的位置关系,学习过两条直线的平行的判定,如同位角相等得到两条直线

平行,这种方法是将一个几何问题转化为另外一个几何问题来解决它,我们能否用代数方法(代数量)来判定两条直 线的平行与垂直(几何量)呢?

二、 数学建构
(一) 生成概念 1. 引导学生探究两直线平行的判定条件

问题 3 问题 4

直线有哪些代数量? 当 l1∥l2 时,它们的代数量满足什么关系?

直线的倾斜角、斜率、在 x 轴、y 轴上的截距.

l1∥l2,首先想到平行线的判定方法:同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,三角形中位线平行于第三边.在直
线的代数量中,直线的倾斜角是同位角,所以得到:若 l1∥l2,则它们的倾斜角相等,如果倾斜角不是直角,根据斜率与 倾斜角的关系得到,它们的斜率相等;再来考察它们在 x 轴、y 轴上的截距,如果倾斜角不是 0°也不是直角,因为 l1,

l2 不重合,所以,它们在 x 轴上的截距不等,在 y 轴上的截距也不等.于是 l1∥l2 时有如下表格:
倾斜角 零 角 垂直于 y 轴 α 1=α 2=0°

l1, l2 的图象 分类(l1∥l2)
倾斜角 α 1 与 α 2 的关 系 斜率 k1 与 k2 的关系 在 x 轴、y 轴上的截距 的关系

锐角或钝角 不垂直于坐 标轴 α 1=α
2

直 角 垂直于 x 轴 α 1=α 2=90° 斜率都不存 在 横截距不等

k1=k2=0
纵截距不等

k1=k2
横截距不 等,纵截距 不等

问题 5

如何用代数量判断 l1∥l2;

当它们斜率都存在时,若斜率 k1=k2,且纵截距不等,则倾斜角正切 tanα 1=tanα 2,又 0°≤α 1, α 2<180°,所以 α 1=α 2,从而 l1∥l2; 当它们斜率都不存在时,它们倾斜角相等,若横截距不等,则 l1∥l2; 当它们斜率有一个存在,另一个不存在时,因为倾斜角不等,即同位角不等,所以 l1, l2 不平行.[ ]
1

2. 两直线平行的判定条件 当 l1, l2 斜率都存在时,l1∥l2?k1=k2 且纵截距不等; 当 l1, l2 斜率不存在时,l1∥l2?横截距不等. (二) 理解概念 1. 仅有 k1=k2 能推出 l1∥l2 吗?平面内有 A, B, C, D 四点,若 KAB=KCD 能得到 AB∥CD 吗? 不能,还要看两直线是否重合,若再加条件“纵截距不等”,即直线不重合,这时才有 l1∥l2. 2. 对于不能确定斜率是否存在时,就要分类讨论. 3. 由此可得:k1=k2? l1∥l2 或 l1, l2 重合.

三、 数学运用
【例 1】 证明 已知直线方程 l1: 2x-4y+7=0, l2: x-2y+5=0,证明:l1∥l2.[ ]
2

设直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2,纵截距分别为 b1, b2,直线 l1, l2 方程可分别化为 y=错误!未找到引

用源。x+错误!未找到引用源。和 y=错误!未找到引用源。x+错误!未找到引用源。,因此错误!未找到引用 源。所以 l1∥l2. [题后反思] 注意一定要交代截距不等.

(图 1)

【例 2】 证明

(教材 P89 例 1)求证:顺次连结 A(2, -3), B 错误!未找到引用源。, C(2, 3), D(-4, 4)四点所得的四
3

边形是梯形(如图 1).[ ] 直线 AB 的方程为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即 y=-错误!未找到引用源。x-错 误!未找到引用源。,直线 CD 的方程为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即 y=-错误!未找到引用 源。x+错误!未找到引用源。,因此,直线 AB 与直线 CD 的斜率相等,纵截距不等,所以 AB∥CD.

直线 BC 的斜率为 kBC=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,直线 AD 的斜率为 kAD=错误!未找到 引用源。=-错误!未找到引用源。, kBC≠kAD,因此 BC 不平行于 AD. 综上,四边形 ABCD 为梯形. [题后反思] 本题也可用向量方法证明:错误!未找到引用源。=(3, -错误!未找到引用源。), 错误!未找 到引用源。=(6, -1), 错误!未找到引用源。=(-3, 错误!未找到引用源。), 错误!未找到引用源。=(-6, 7),所以 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。平行且同向. 又知错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。不平行,所以 ABCD 是梯形. 【例 3】 解法一 解法二 变式 解法一 解法二 (教材 P90 例 2)求过点 A(2, -3),且与直线 2x+y-5=0 平行的直线方程.[ ]
4

直线 2x+y-5=0 的斜率为-2,据题意,所求直线的方程为 y+3=-2(x-2)即 2x+y-1=0. 据题意,可设所求直线的方程为 2x+y+C=0 (C≠-5),把 A 的坐标代入方程得 4-3+C=0,解得 C=-1,故所 求与直线 2x+y-5=0 平行,在两坐标轴上的截距之和为错误!未找到引用源。的直线 l 的方程. 直线 2x+y-5=0 的斜率为-2,故可设所求直线的方程为 y=-2x+m.令 y=0 可得横截距为错误!未找到 据题意可设所求直线 l 的方程为 2x+y+C=0 (C≠-5).在此方程中分别令 y=0 及 x=0 可得横、纵截距

求直线的方程为 2x+y-1=0.

引用源。,由题意错误!未找到引用源。+m=错误!未找到引用源。,解得 m=1.故所求直线的方程为 y=-2x+1. 分别为-错误!未找到引用源。, -C,由题意-错误!未找到引用源。-C=错误!未找到引用源。,解得 C=-1.故所求 直线的方程为 2x+y-1=0. [题后反思] 这两种解法本质是一样的,都是待定系数法. 【例 4】 (1) 两直线 2x-y+k=0 和 4x-2y+1=0 的位置关系是

. . . [ 5]

(2) 若直线 l1: ax+3y+1=0 与 l2: 2x+(a+1)y+1=0 互相平行,则 a 的值为 (3) 若直线 x-2ay=1 和 2x-2ay=1 平行,则实数 a 的取值为 解 [处理建议] 先分析,直线平行的条件是什么?斜率存在吗?不存在怎么办?

(1) 平行或重合.(2)因为直线 l1 的斜率存在,所以 l2 的斜率也存在,l1∥l2 的条件是错误!未找到引用

源。解得 a=-3.(3) 当直线 x-2ay=1 的斜率不存在时,即 a=0 时,两条直线平行;当直线 x-2ay=1 的斜率存在时,即

a≠0 时,两条直线的纵截距相等,都为-错误!未找到引用源。,此时两条直线不平行.综上, a 的取值为 0.
[题后反思] 这种带参数的问题往往是学生的难点,要注意对斜率是否存在的讨论,不能仅利用 k1=k2,还要检 验两条直线是否重合.讲解时一定注意条理性.

四、 课堂练习 1. 分别判断下列直线 AB 与 CD 是否平行: (1) A(2, 1), B(-2, 3); C(-4, 7), D(4, 3). (2) A(1, -2), B(-错误!未找到引用源。-1, -2); C(-1, 3), D(3, 3).
解 (1) kAB=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,直线 AB 方程为 y-3=-错误!未找到引用源。(x+2), 令 x=0 得直线 AB 的纵截距为 bAB=2; kCD=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,直线 CD 方程为 y-3=-错 误!未找到引用源。(x-4),令 x=0 得直线 CD 的纵截距为 bCD=5.所以 kAB=kCD, bAB≠bCD,所以 AB 与 CD 平行. (2) kAB=0,直线 AB 的纵截距为-2; kCD=0,直线 CD 的纵截距为 3.所以 kAB=kCD, bAB≠bCD,所以 AB 与 CD 平行. 2. 直线 mx+y-n=0 和 x+my+1=0 平行的条件是 错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。

五、 课堂小结 1. 如何用直线的斜率、截距判断两直线平行?判定的程序是什么? 当 l1, l2 斜率都存在时,l1∥l2?k1=k2 且纵截距不等; 当 l1, l2 斜率不存在时,l1∥l2?横截距不等.
判定程序:(1)分析(讨论)斜率存在的情况;(2)直线斜率不存在的情况. 2. 本节课是如何研究“数”和“形”的等价性的? 从问题正反两个方面去研究:平行→条件,条件→平行.

第 7 课时

两条直线的平行与垂直(2)

教学过程
一、 问题情境
问题 1 我们能否用代数方法(代数量关系)来判定两直线的垂直(几何关系)呢?

二、 数学建构
(一) 生成概念 1. 引导学生探究两直线垂直的判定条件 问题 2

l1⊥l2 时,它们的代数量满足什么关系? 设 l1, l2 的倾斜角分别 α 1, α 2,若 l1⊥l2,首先想到垂直的定义,它们所成的角为 90°,所以 α 1=α 2+90°(或
α 2=α 1+90°),如果它们倾斜角都不是直角,根据斜率与倾斜角的关系得到 k1=tanα 1=tan(α 2+90°)=-错误!未找 到引用源。=-错误!未找到引用源。(或 k2=tanα 2=tan(α 1+90°)=-错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用 源。),所以 k1k2=-1. 问题 3 如何用代数量判断 l1⊥l2? 当它们斜率都存在时,若斜率 k1k2=-1, tanα 1tanα 2=-1,又 0°≤α 1, α 2<180°,所以 tanα 1=-错误!未找到 引用源。=tan(90°+α 2)=tan(α 2-90°).当 0°<α 2<90°时,因为 0°≤α 1, α 2+90°<180°,所以 α 1=α 2+90°;当 90°<α 2<180°时,因为 0°≤α 1, α 2-90°<180°,所以 α 1=α 2-90°.综上,α 1=α 2+90°或 α 1=α 2-90°,所以

l1⊥l2.
当它们斜率有一个不存在时,若另一条的斜率为 0,则它们倾斜角一个是 90°,一个是 0°,此时错误!未找到 引用源。 2. 两直线垂直的判定条件 当 l1, l2 斜率都存在时,l1⊥l2?k1k2=-1; 当 l1, l2 斜率中有一个不存在时,l1⊥l2?另一个斜率为 0. (二) 理解概念 1. 由 l1⊥l2 能否推出 k1k2=-1? 不能,由 l1⊥l2 推出 k1k2=-1 或一个斜率不存在,另一个为 0. 2. 判断两直线垂直时,如果利用 k1k2=-1,则要先讨论斜率是否存在. 3. 对于不能确定斜率是否存在时,就要分类讨论. (三) 巩固概念 下列说法中不正确的是

② (填序号).

①斜率均不存在的两条直线可能重合;②若两条直线垂直,则两条直线的斜率互为负倒数;③若两条直线的斜
率互为负倒数,则这两条直线垂直;④若两条直线中,有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则这两条直 线垂直.

三、 数学运用
【例 1】 值.[ ]
2

(教材 P91 例 3)(1) 已知四点 A(5, 3), B(10, 6), C(3, -4), D(-6, 11),求证:AB⊥CD.
2

(2) 已知直线 l1 的斜率为 k1=错误!未找到引用源。,直线 l2 经过点 A(3a,-2), B(0, a +1),且 l1⊥l2,求实数 a 的 [处理建议] 例 1、例 2 可以同时让学生板演. 解 (1) 直线 AB 的斜率为 kAB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,直线 CD 的斜率为 kCD=错误! 未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,所以 kABkCD=-1,因此 AB⊥CD. (2) 设直线 l2 的斜率为 k2,因为 l1⊥l2,所以 k2=-错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。,解得 a=1 或 3.故实数 a 的值为 1 或 3. [题后反思] 这两道题中,直线的斜率都存在,虽不必讨论,但要跟学生交代清楚不讨论的理由. 【例 2】 (教材 P91 例 4)已知三角形的三个顶点为 A(2, 4), B(1, -2), C(-2, 3),

(图 2)

求 BC 边上的高 AD 所在的直线方程.[ ]
3



直线 BC 的斜率为 kBC=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,据题意 AD⊥BC, kAD=-错误!未找 若直线 l1: (a+2)x+(1-a)y-3=0 与直线 l2: (a-1)x+(2a+3)y+2=0 互相垂直,求实数 a 的值.[ ]
4

到引用源。=错误!未找到引用源。,故 AD 所在的直线方程为 y-4=错误!未找到引用源。(x-2),即 3x-5y+14=0. 【例 3】 [处理建议] 此题有两种解法,第一种,利用斜率关系,需分类讨论,重点讲解,第二种利用 A1A2+B1B2=0,可以暂时 不讲,但以后最好讲一下,如果有时间讲例 5,讲完后,再回到此题讲解法二. 解法一

① 当直线 l1 的斜率不存在时,1-a=0,即 a=1,此时直线 l2 的斜率为 0,所以此时 l1⊥l2; ② 当直线 l2 的斜率不存在时,2a+3=0, a=-错误!未找到引用源。,此时直线 l1 的斜率为错误!未找到引用
源。=-错误!未找到引用源。,此时 l1 不垂直于 l2;

③ 当直线 l1 和 l2 的斜率都存在时,即 a≠1 且 a≠-错误!未找到引用源。时,l1 和 l2 的斜率分别为错误!未
找到引用源。, 错误!未找到引用源。,因为 l1⊥l2,所以错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。=-1,解 得 a=-1. 综上,实数 a 的值为 1 或-1. 解法二 【例 4】

l1⊥l2?(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得 a=-1 或 1.
(教材 P92 例 5)在路边安装路灯,路宽 23m,灯杆长 2.5m,且与灯柱成 120°角,路灯采用锥形灯罩,灯
5

[题后反思] 一定要引导学生有条理地分类讨论,说清楚如何确定讨论的标准. 罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高 h 为多少米时,灯罩轴线正好通过道路路面的中线?(精确到 0.01m)[ ] [处理建议] 引导学生认真审题,分析其中直线与直线的垂直关系,垂直关系对应着等式 k1k2=-1,要知道 k1, k2, 就需要知道点的坐标,这样就需要建立坐标系,学会思考很重要. 解 以灯柱与地面的交点为原点,以灯柱所在的铅垂线为 y 轴,垂直于路面中线的直线为 x 轴,建立如图所示 的平面直角坐标系.

(图 3)

灯柱上端点即为点 B,灯杆端点记为点 A,路面中线与 x 轴的交点记为点 C,据题意,∠OBA=120°, AB=2.5,

AB⊥AC. A 距 y 轴的距离为 ABcos(120°-90°)=错误!未找到引用源。,A 距 x 轴的距离为 h+ABsin(120°-90°)=h+
错误!未找到引用源。,直线 AB 的斜率为 kAB=tan(120°-90°)=错误!未找到引用源。,点 A, C 的坐标分别为错 误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。,直线 AC 的斜率为 kAC=-错误!未找到引用源。=-错误!未找到引 用源。=错误!未找到引用源。,解得 h≈14.92(m). 答 当灯柱高 h 约为 14.92m 时,灯罩轴线正好通过道路路面的中线. [题后反思] 本题也可以用相似三角形来解,参考图形如下:

(图 4)

由 Rt△EOB∽Rt△CAB,可得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。,即可求得 h 的值,这种方法虽巧,但不是通法,解析味很淡,不能很好地体现解析几何的思想.
*

【例 5】

(据教材 P97 第 12(2)题改编)直线 l1 和 l2 的方程分别是 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2=0,其中 A1, B1 不
6

全为 0, A2, B2 也不全为 0,试探求 l1 和 l2 垂直的条件.[ ] 解

① 当 B1, B2 都不为 0 时,l1, l2 的斜率分别为-错误!未找到引用源。, -错误!未找到引用源。.若

l1⊥l2,则-错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。=-1,从而 A1A2+B1B2=0;反之,若 A1A2+B1B2=0,则-错误!未
找到引用源。?错误!未找到引用源。=-1,从而 l1⊥l2.因此此时:l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.

② 当 B1, B2 有一个为 0 时,不妨设 B1=0,则 A1≠0,此时 l1 垂直于 x 轴.若 l1⊥l2,则 l2 垂直于 y 轴,从而 A2=0,所
以仍有 A1A2+B1B2=0;反之,若 A1A2+B1B2=0,因为 B1=0, A1≠0,所以 A2=0, l2 垂直于 y 轴,所以仍有 l1⊥l2.因此此 时:l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 综上,l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. [题后反思] 此题较难,对分类讨论的要求较高,但结论要求学生记住.

四、 课堂练习 1. 过点 A(2, 1),且与直线 2x+y-10=0 垂直的直线 l 的方程是 x-2y=0 . 2. 以 A(1, 2), B(4, 0), C(3, 5)为顶点
(A) 构成锐角三角形 (B) 构成直角三角形 (C) 构成钝角三角形 (D) 不构成三角形 3. 过原点作直线 l 的垂线,若垂足为(-2, 3),则直线 l 的方程是 2x-3y+13=0

(B)

.

五、 课堂小结
如何从代数量上去判断两条直线垂直呢? 当 l1, l2 斜率都存在时,l1⊥l2?k1k2=-1; 当 l1, l2 斜率中有一个不存在时,l1⊥l2?另一个斜率为 0.

第 8 课时 两条直线的交点
教学过程
一、 问题情境
由直线方程的概念,我们知道直线上的一点坐标与二元一次方程的解的关系,那么,如果两直线相交于一点,这 一点坐标与这两条直线的方程有何关系?你能求出它们的交点坐标吗?

二、 数学建构
(一) 生成概念 1. 探究问题情境中的问题: 设两条直线 l1, l2 的方程分别是 A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0.如果它们有交点 P(x0, y0),则 P 的坐标应同时满足两直 线的方程,即 A1x0+B1y0+C1=0, A2x0+B2y0+C2=0,所以(x0, y0)是方程组错误!未找到引用源。的解; 反之,若方程组错误!未找到引用源。有唯一一个解(x0, y0),即 P(x0, y0)同时满足两直线的方程,所以 P(x0, y0)是两 直线的唯一公共点,即交点. 2. 两直线方程与两直线位置关系的对应关系为: 设两条直线的方程分别是 l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0.
方程组 一组 的解 无数组 无解

两条直线 l1, l2 的公共点 直线 l1, l2 的位置关系

一个 相交

无数个 重合

零个 平行

(二) 理解概念 根据上面结论可知:研究两条直线 l1, l2 的位置关系(相交、重合、平行)可以转化为两条直线方程所得的方 程组错误!未找到引用源。的解的个数问题,这样就把研究“形”问题转化为“数”的问题.

三、 数学运用
【例 1】 (教材 P93 例 1)分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点: (1) l1: 2x-y=7, l2: 3x+2y-7=0. (2) l1: 2x-6y+4=0, l2: 4x-12y+8=0. (3) l1: 4x+2y+4=0, l2: y=-2x+3.[ ]
1

解 为(3, -1).

(1) 因为方程组错误!未找到引用源。的解为错误!未找到引用源。所以直线 l1 与 l2 相交,交点坐标

(2) 因为方程组错误!未找到引用源。有无数组解,所以直线 l1 和 l2 重合. (3) 因为方程组错误!未找到引用源。无解,所以直线 l1 和 l2 没有公共点,故 l1∥l2. 【例 2】 程.[ ]
2

(教材 P94 例 2)直线 l 经过原点,且经过另外两条直线 2x+3y+8=0, x-y-1=0 的交点,求直线 l 的方 因为方程组错误!未找到引用源。的解错误!未找到引用源。所以两直线的交点坐标为(-1, -2),

解法一

又直线 l 经过原点(0, 0),由两点式可得直线 l 的方程为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即 2x-

y=0.
[题后反思] 设两条直线 2x+3y+8=0, x-y-1=0 交点为 P(x0, y0),则 P(x0, y0)满足方程(2x+3y+8)+λ (x-y-1)=0, 而方程(2x+3y+8)+λ (x-y-1)=0 即为(2+λ )x+(3-λ )y+8-λ =0,且 2+λ , 3-λ 不全为 0,所以(2x+3y+8)+λ (x-y-1)=0 表示一条通过两条直线 2x+3y+8=0, x-y-1=0 交点的直线.但它不能表示直线 x-y-1=0.更一般地有直线系的结论: 已知直线 l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0 相交,那么过两直线的交点的直线(不含 l2)方程可设 为:(A1x+B1y+C1)+λ (A2x+B2y+C2)=0(λ ∈R). 于是有: 解法二 设经过两条直线 2x+3y+8=0, x-y-1=0 交点的直线 l 方程为(2x+3y+8)+λ (x-y-1)=0,又直线 l 过原点, 由(0, 0)代入,可得 λ =8. 故直线 l 方程为(2x+3y+8)+8(x-y-1)=0,即 2x-y=0. 【例 3】 (教材 P94 例 3)某商品的市场需求量 y1(万件)、市场供求量 y2(万件)、市场价格 x(元/件)分别近似 地满足下列关系:y1=-x+70, y2=2x-20.当 y1=y2 时的市场价格称为市场平衡价格,此时的需求量称为平衡需求量. (1) 求平衡价格和平衡需求量. (2) 若要使平衡需求量增加 4 万件,政府对每件商品应给予多少元补贴?[ ]
3

[处理建议] 对于问题(2)引导学生分析,政府对每件商品给予补贴,补给谁了?补给供货者了. 解 万件. (2) 设政府给予 t 元/件补贴,此时的市场平衡价格(即消费者支付价格)为 x 元/件,则供货者实际每件得到 (x+t)元.依题意得方程组错误!未找到引用源。解得 x=26, t=6. 因此,政府对每件商品应给予 6 元补贴. 【例 4】 已知直线 l1: 3x+my-1=0, l2: 3x-2y-5=0, l3: 6x+y-5=0,
4

(1) 解方程组错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。故平衡价格为 30 元/件,平衡需求量为 40

(1) 若这三条直线交于一点,求 m 的值. (2) 若三条直线能构成三角形,求 m 满足的条件.[ ] [处理建议] 引导学生先画草图,考虑各种可能情况. 解 (1) 由错误!未找到引用源。? 错误!未找到引用源。代入 l1 方程得,m=2. [题后反思] 先对两个不含参数的方程联立求解,再将所得的点的坐标代入另一个方程.从几何方面理解,就 是要求其中两条直线的交点也在另一条直线上. (2) 当三直线交于一点或其中两条互相平行时,它们不能构成三角形.

① 由(1)得,当 m=2 时,三线共点,不能构成三角形; ② 当 l1∥l2 时,m=-2,当 l1∥l3 时,m=错误!未找到引用源。,此时它们不能构成三角形.

综上,当 m≠2 且 m≠-2 且 m≠错误!未找到引用源。时,三条直线能构成三角形. [题后反思] 注意最后答案中的“且”不能省略.
*

【例 5】

求证:不论 m 为何实数,直线 l: (m-1)x+(2m-1)y=m-5 恒过一定点,并求出此定点的坐标.[ ]
5

[处理建议] 先引导学生思考“恒过定点”的含义,能否从特殊化入手,从而发现解法一,再引导学生反思例 2 的解法二,从而发现解法二. 解法一 解法二 令 m=1 得 y=-4, m=错误!未找到引用源。得 x=9,两条直线 y=-4 和 x=9 交点为(9, -4). 将直线 l 方程(m-1)x+(2m-1)y=m-5 整理为(x+2y-1)m-x-y+5=0,该方程表示过直线 x+2y-1=0 和-x将(9, -4)代入直线方程得 9m-9-8m+4=m-5 恒成立,所以,直线 l 过定点(9, -4).

y+5=0 交点的直线,
由错误!未找到引用源。得交点(9, -4),∴ 直线 l 过定点(9, -4). [题后反思] 以上两种方法是处理直线过定点问题的常用方法.因为直线上点的坐标就是对应方程的解,所以 两直线是否有交点,取决于它们对应方程组成的方程组是否有唯一解.体验“形”的问题怎样通过“数”的运算 来解决,从而感悟到解析几何的本质(即用代数的方法来研究或解决几何问题).

四、 课堂练习 1. 与直线 2x+y-4=0 相交的直线的方程是(D). A. 4x+2y-8=0 B. y=-2x C. y=-2x+5 D. y=2x+4 2. 若三条直线 2x+3y+8=0, x-y-1=0 和 x+ky+k+错误!未找到引用源。=0 相交于一点,则 k 的值为 -错误!未找
到引用源。 . 3. 已知直线 l 经过两条直线 2x-y+4=0 和 x-y-3=0 的交点,且与直线 3x+y-1=0 平行,求直线 l 的方程. 解 由 2x-y+4=0 和 x-y-3=0 联立解得 x=-7, y=-10,故所求直线 l 的方程为 y+10=-3(x+7),即 3x+y+31=0.

五、 课堂小结 1. 研究两条直线 l1, l2 的位置关系(相交、重合、平行)可以转化为两条直线方程所得的方程组的解的个数问题. 2. 求两直线交点坐标,即求两条直线方程所得的方程组的解.

第 9 课时
教学过程
一、 问题情境
问题 1

平面上两点间的距离

教材 P96 习题第 5 题是:“已知点 A(-1, 3), B(3, -2), C(6, -1), D(2, 4),求证:四边形 ABCD 是为平行

四边形”,除了用两组对边分别平行,还可以用两组对边分别相等来判断.那么如何求各边的长呢?

二、 数学建构
(一) 生成概念 1. 引导学生探究问题 1 可以从特殊情况入手. 问题 2 问题 3 已知 A(x0, y1), B(x0, y2),如何求 A, B 间的距离? 已知 A(x1, y0), B(x2, y0),如何求 A, B 间的距离? 直线 AB 垂直于 x 轴,所以 AB=|y2-y1|. 直线 AB 垂直于 y 轴,所以 AB=|x2-x1|.

(图 1)

问题 4

已知 A(x1, y1), B(x2, y2) (x1≠x2, y1≠y2)如何求 A, B 间的距离?

设过 A 点且垂直于 y 轴的直线与过 B 点且垂直于 x 轴的直线相交于 C,则 C 的坐标为(x2, y1),

所以 AC=|x2-x1|, BC=|y2-y1|, 在 Rt△ABC 中,有 AB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(*) 不难验证当 x1=x2 或 y1=y2 时(*)仍然成立. 2. 数学概念 平面上两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2)之间的距离公式为 P1P2=错误!未找到引用源。. (二) 理解概念 1. 公式可写成 P1P2=错误!未找到引用源。. 2. 注意公式中是对应横坐标减横坐标,纵坐标减纵坐标. 3. 即使 P1, P2 重合,公式仍成立. 问题 5 问题 6 已知 A(3, 0), B(8, 0),如何求线段 AB 中点的坐标? 已知 P1(x1, y1), P2(x2, y2),请猜想线段 P1P2 中点的坐标,并证明.
1

画图可知线段 AB 中点的坐标为错误!未找到引用源。. 设线段 P1P2 中点为 M(x0, y0),猜想错误!未找到引用源。证明略.[ ]

三、 数学运用
【例 1】 解 (教材 P98 例 1)(1) 求 A(-1, 3), B(2, 5)两点之间的距离.
2

(2) 已知 A(0, 10), B(a, -5)两点之间的距离为 17,求实数 a 的值.[ ] (1) 由两点间距离公式得

AB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
(2) 由两点间距离公式得 错误!未找到引用源。=17, 解得 a=±8. 故所求实数 a 的值为 8 或-8. 【例 2】 (教材 P100 例 2)已知△ABC 的顶点坐标为 A(-1, 5), B(-2, -1), C(4, 7),求 BC 边上的中线 AM 的长 和 AM 所在的直线方程. [处理建议] 由中点公式可求出 BC 中点坐标,分别用距离公式、两点式就可求出 AM 的长和 AM 所在的直线方 程.

(图 2)



如图 2,设点 M 的坐标是(x, y).

∵ 点 M 是线段 BC 的中点,∴ x=错误!未找到引用源。=1, y=错误!未找到引用源。=3,即 M 的坐标为(1, 3).
由两点间的距离公式得 AM=错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。. 因此,BC 边上的中线 AM 的长为 2 错误!未找到引用源。. 由两点式得中线 AM 所在的直线方程为 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即 x+y-4=0. [题后反思] 本题是中点坐标公式、距离公式的简单应用. 【例 3】 (教材 P101 例 3)已知△ABC 是直角三角形,斜边 BC 的中点为 M,建立适当的直角坐标系,证明:AM=错
3

误!未找到引用源。BC.[ ] [处理建议] 先引导学生怎样建立坐标系,可使运算简单.

(图 3)

证明

如图 3,以 Rt△ABC 的直角边 AB, AC 所在直线为坐标轴,建立直角坐标系.

设 B, C 两点的坐标分别为(b, 0), (0, c).

∵ M 是 BC 的中点,

∴ 点 M 的坐标为
错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。. 由两点间的距离公式得

AM=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,
所以,AM=错误!未找到引用源。BC. [题后反思] 建立坐标系时,要尽量利用对称性,使特殊点的坐标含 0.
*

【例 4】

已知直线 l: y=错误!未找到引用源。x-1,(1)求点 P(3, 4)关于 l 对称的点 Q;(2)求 l 关于点(2, 3)
4

对称的直线方程.[ ] 解 (1) 设 Q(x0, y0),由于 PQ⊥l,且 PQ 中点在 l 上,有 错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。

∴ Q 错误!未找到引用源。.
(2) 在 l 上任取一点,如 M(0, -1),则 M 关于点(2, 3)对称的点为 N(4, 7).

∵ 所求直线过点 N 且与 l 平行,∴ 方程为 y-7=错误!未找到引用源。(x-4),即 x-2y+10=0.
[题后反思] 本题所用方法是处理对称问题的基本方法,要求掌握.

四、 课堂练习 1. 求线段 AB 的长及其中点的坐标. (1) A(4, 6), B(-2, 2). (2) A(-3, 错误!未找到引用源。), B(-错误!未找到引用源。, 3).
解 (1) AB=错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。, AB 的中点为 M(1, 4). (2) AB=错误!未找到引用源。=3 错误!未找到引用源。-2, AB 的中点为 M 错误!未找到引用源。. 2. 已知△ABC 的顶点 A(5, 3), B(1, 1), C(7, -1),求 AB 边上的中线 CM 的长. 解 AB 的中点为 M(3, 2),

CM=错误!未找到引用源。=5.
3. 已知两点 P(2, -1), A(3, 4),求点 A 关于 P 的对称点 B 的坐标. 解 设 B 的坐标为(x, y),则 2=错误!未找到引用源。, -1=错误!未找到引用源。,解得 x=1, y=-6. 所以点 B 的坐标为(1, -6).

五、 课堂小结 1. 平面上两点距离公式是什么?有什么使用条件吗? 2. 线段的中点坐标公式是什么? 3. 这节课你学到了哪些思维方法? 从特殊到一般的思维方法,先猜后证的思维方法.

第 10 课时 点到直线的距离公式(1)

教学过程
一、 问题情境
问题 1 问题 2 已知点 P(2, 4)和直线 l: x-2y=0,求 P 点到直线直线 l 的距离. 已知点 P(x, y)和直线 l: Ax+By+C=0,求点 P 到直线 l 的距离.

二、 数学建构
(一) 生成概念 1. 引导学生分组讨论,合作交流,探讨出多种方法研究上面的问题 1. 第一种思路:求出过点 P 且垂直于直线 l 的直线 PQ(Q 为垂足)的方程,将此方程与直线 l 方程联立解得 Q 的坐 标,然后求 PQ 距离即为所求. 第二种思路:过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线,与直线 l 的交点分别为 M, N,求出 PM, PN 的长,再在 Rt△PMN 中,求出 P 到斜边 MN 的距离即为所求. 2. 类比问题 1 的两种解法,解决问题 2. 解法一 解法二 先让学生计算几分钟,让学生感觉用求垂足坐标的方法较繁. 先考虑 A, B 均不为 0 的情形.过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线,与直线 l 的交点分别为 M, N, PN=

错误!未找到引用源。, PM=错误!未找到引用源。,记 t=|Ax0+By0+C|,P 到直线 Ax+By+C=0 的距离为

d=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(*).
当 A=0, B≠0 时,直线方程 Ax+By+C=0 即为 y=-错误!未找到引用源。,点 P 到直线 l 的距离为错误!未找到引用 源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。也适合(*); 当 B=0, A≠0 时,直线方程 Ax+By+C=0 即为 x=-错误!未找到引用源。,点 P 到直线 l 的距离为错误!未找到 引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。也适合(*). 综上,点 P(x0, y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离为 d=错误!未找到引用源。. 3. 有没有其他解法? 解法三 过点 P 分别作直线 l, y 轴的垂线,与直线 l 的交点分别为 Q, M, PM=错误!未找到引用源。,在 Rt△PQM 中,tan∠PMQ=错误!未找到引用源。, sin∠PMQ=错误!未找到引用源。,P 到斜边 MQ 的距离为

PQ=PMsin∠PMQ=错误!未找到引用源。,这即为所求.
问题 3 解法一繁的原因是什么?有没有优化的办法? 反思解法一繁的原因,一是解方程组错误!未找到引用源。较繁(先考虑 A≠0 时),二是解出的垂足 A 的坐标 较繁,从而用两点间距离公式较繁,但若将方程①变形为

A(x-x0)+B(y-y0)=-(Ax0+By0+C),再与方程②联立,把 x-x0, y-y0 作为整体,解得 x-x0=错误!未找到引用源。,点 P(x0, y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离为 d=PA=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。|x-x0| =错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。.
再验证 A=0 时,结果也适合. (解法一比其他两种方法,更强化了解析法的思想,用坐标与方程来解决问题是解析几何的基本方法) 4. 点到直线的距离公式 点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离为 d=错误!未找到引用源。. (二) 理解概念 (1) 公式中的直线方程必须化为一般式; (2) 分子带绝对值,分母是根式错误!未找到引用源。; (3) 当 A 与 B 有一个为零时,公式仍然成立; (4) 若点 P(x0, y0)在直线 l 上,则 P 到直线 l 的距离为 0,此时公式仍适用.

三、 数学运用

【例 1】

(教材 P104 例 1)求点 P(-1, 2)到下列直线的距离. (2) 3x=2.[ ]
2

(1) 2x+y-10=0. 解

[处理建议] 例 1、例 2 可同时让学生板演. (1) 根据点到直线的距离公式,点 P(-1, 2)到直线 2x+y-10=0 的距离为 错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。. (2) 点 P(-1, 2)到直线 3x=2 的距离为 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. [题后反思] 对于求点到直线 x=x1 或直线 y=y1 的距离问题,不必用点到直线的距离公式. 【例 2】 解 变式 解 (教材 P104 例 2)已知平行线 x+3y-4=0 与 2x+6y-9=0,求它们之间的距离.[ ]
3

在直线 2x+6y-9=0 上取一点 P 错误!未找到引用源。,点 P 到直线 x+3y-4=0 的距离为错误!未找到引 求两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离. 当 A≠0 时,在直线 l1 上取一点 P 错误!未找到引用源。,P 到直线 l2 的距离为 d=错误!未找到引用源。

用源。=错误!未找到引用源。.

=错误!未找到引用源。;当 A=0 时,B≠0,在直线 l1 上取一点 P 错误!未找到引用源。,P 到直线 l2 的距离为 d=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
综上所述,两条平行直线 l1, l2 间的距离为错误!未找到引用源。. 重要结论 【例 3】 两条平行直线 l1: Ax+By+C1=0, l2: Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离为 d=错误!未找到引用源。.两 (2013 南通中学期末考试)已知两直线 l1: x+2=0, l2: 4x+3y+5=0,定点 A(-1, -2).若直线 l 过 l1 与 条平行线方程中,x, y 的系数一定要化为对应相同.

l2 的交点且与点 A 的距离等于 1,求直线 l 的方程.[4]
[处理建议] 引导学生讨论:求直线的方程需要几个条件?本题中是否具备这些条件? 解

l1, l2 的交点为(-2, 1),若所求直线斜率存在,设所求的直线方程为 y-1=k(x+2)即 kx-y+(2k+1)=0 因为所求的直线与点 A(-1, -2)的距离为 1,所以错误!未找到引用源。=1,得 k=-错误!未找到引用源。
所以所求的直线 l 的方程为 4x+3y+5=0 若所求直线斜率不存在时,即 l 为 x+2=0, 因为点 A(-1, -2)到直线 l 为 x+2=0 的距离为 1,所以直线 x+2=0 也满足题意 所以所求的直线 l 的方程为 4x+3y+5=0 或 x+2=0 【题后反思】 过一点求直线的方程,一般会用“点斜式”设直线方程,但使用时一定要注意“点斜式”适用 的前提是斜率存在,千万不要忽略对斜率不存在情形的讨论.

四、 课堂练习 1. 求下列点 P 到直线 l 的距离: (1) P(2, -1), l: 4x+3y-25=0. (2) P(1, -3), l: 4x+3=0. 答案 (1) 4. (2) 错误!未找到引用源。.
2. 求下列两条平行直线之间的距离: (1) 12x+5y-3=0 与 12x+5y+13=0. (2) 4x-6y+7=0 与 y=错误!未找到引用源。x. 答案 (1) 错误!未找到引用源。. (2) 错误!未找到引用源。.

五、 课堂小结 1. 这节课我们学到了什么?有何体会?
这节课我们学习了平面内点到直线的距离公式和两条平行直线之间的距离公式,体会到了数形结合、算法、转 化、函数等数学思想方法. 2. 使用点到直线的距离与两条平行直线间的距离公式要注意些什么? (1) 公式中的直线方程必须化为一般式;(2)使用两条平行直线间的距离公式时应该注意:两条平行直线 l1 与 l2 的 形式必须是一般式,同时 x 和 y 前面的系数必须化为一致.

第 11 课时 点到直线的距离公式(2)

教学过程
一、 数学运用
【例 1】 解 (教材 P106 第 17 题改编)在直线 x+3y=0 上找一点,使它到原点与到直线 x+3y-2=0 的距离相等.[ ]
1

[处理建议] 引导学生先画图,寻找解题思路. 直线 x+3y=0 与 x+3y-2=0 之间的距离为:错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 设直线 x+3y=0 上的点 P(x0, y0)满足题意,则错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。或错误!未找 到引用源。∴ 所求点的坐标为错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。. 【题后反思】 算出该点的坐标. 【例 2】 求直线 2x+11y+16=0 关于点 P(0, 1)对称的直线方程.[ ]
2

直线 x+3y=0 与直线 x+3y-2=0 平行,即可算出它们之间的距离,然后利用两点之间的距离公式

【处理建议】

引导学生先画图,寻找解题方法,解法一:利用点到两直线的距离相等;解法二:已知直线与所求

直线显然平行,只要在所求直线上再找一个点,就可利用点斜式方程;解法三:在所求直线上找两点,再用两点式方程; 解法四:求轨迹方程常用的代入法,设所求直线任意一点 P(x, y), P 关于点(0, 1)对称的点 Q(-x, 2-2y)在已知直线 上.当然四种方法不必全讲. 解 设所求直线的方程为 2x+11y+C=0,由点到直线的距离公式可得 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴ C=16(舍去)或 C=-38,

∴ 所求直线的方程为 2x+11y-38=0.
【题后反思】 解题的关键是中心对称的两直线互相平行,并且两直线与对称中心的距离相等. 本题也可以利用点与点的对称.设直线 2x+11y+16=0 上任意一点 A0(x0, y0)(A0(x0, y0)在直线 2x+11y+16=0 上, 所以 2x0+11y0+16=0)与 P(0, 1)对称的点为 A(x, y),则错误!未找到引用源。=0, 错误!未找到引用源。=1,解得

x0=-x, y0=2-y,然后将 x0, y0 的值代入 2x0+11y0+16=0 求出所求直线.比较而言,此法注重轨迹的推导过程,而前面的
方法比较简便,是求直线关于点对称的直线方程的基本方法(直线关于点对称的问题). 【例 3】 已知直线 l1: x+y-1=0, l2: 2x-y+3=0,求直线 l2 关于直线 l1 对称的直线 l 的方程.[ ]
3

【处理建议】

直线关于直线对称,可以在 l2 上任意取两个点,再分别求出这两个点关于直线 l1 的对称点,最

后利用两点式求出所要求的方程.这里可以通过求出交点这个特殊点以简化计算. 解 由错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。 ∴ l 过点 P 错误!未找到引用源。. 又显然 Q(-1, 1)是直线 l2 上一点,设 Q 关于直线 l1 的对称点为 Q'(x0, y0), 则错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。 即 Q'(0, 2). 因为直线 l 经过点 P, Q',所以由两点式得它的方程为 x-2y+4=0. [题后反思] 本题为求直线关于第三条直线对称的直线方程的基本方法(两条直线关于第三条直线对称的问 题).注意:这里有一种特殊情况: 直线 Ax+By+C=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为 Ay+Bx+C=0. 【例 4】 一腰上的高.[ ]
1

(教材 P104 例 3)建立适当的直角坐标系,证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于

[处理建议] 要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离,故可考虑用点到直线的距离公式计算距离,因此必 须建立直角坐标系. 证明 设△ABC 是等腰三角形,以底边 CA 所在直线为 x 轴,过顶点 B 且垂

(图 1)

直与 CA 的直线为 y 轴,建立直角坐标系(如图 1).设 A(a, 0),B(0, b) (a>0, b>0),则 C(-a, 0). 直线 AB 的方程:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,即:bx+ay-ab=0. 直线 BC 的方程:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,即:bx-ay+ab=0.

设底边 AC 上任意一点为 P(x, 0)(-a≤x≤a), 则 P 到 AB 的距离 PE=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,

P 到 BC 的距离 PF=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, A 到 BC 的距离 h=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. PE+PF=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=h,故原命题得证.
【题后反思】 问题. 本题主要利用点到直线的距离公式进行简单的几何证明方面的运用,运用代数方法研究几何

四、 课堂练习 1. 点 P 在 x 轴上,若它到直线 4x-3y-3=0 的距离等于 1,则 P 的坐标是 (2, 0)或错误!未找到引用源。 .
2. 直线 y=3x-4 关于点 P(2, -1)对称的直线的方程为 3x-y-10=0 .

五、 课堂小结 1. 利用点到直线的距离公式进行简单的几何证明,充分说明了解析法在研究几何问题中的作用.建立坐标系要尽 量使点的坐标为 0,以简化计算. 2. 在遇到对称问题时关键是分析出是属于什么对称情况,这里大致可以分为:点关与点对称,点关于直线对称,直线 关于点对称,直线关于直线对称这四种情况,一旦确定为哪种情况后要灵活选择方法进行求解.

第 12 课时
教学过程
一、 数学应用
【例 1】 程.

直线复习课

设 A, B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且 PA=PB,若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,求直线 PB 的方

(图 1)

【处理建议】 [规范板书]

由学生分析题目,讨论并归纳出解决问题的方法,老师引导学生进行解题反思,总结经验. 解法一 由 x-y+1=0 得 A(-1, 0).

又由 PA=PB 知点 P 为 AB 中垂线上的点,故 B(5, 0),且所求直线的倾斜角与已知直线倾斜角互补,则斜率互为相 反数,故所求直线的斜率为-1, PB 直线方程:x+y-5=0. 解法二 y=0 代入 x-y+1=0,得 A(-1, 0). 由错误!未找到引用源。解得 P(2, 3). 设 B(xP, 0),由 PA=PB 解得 xP=5. 由两点式错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 整理得 PB 直线方程为 x+y-5=0. [题后反思] 求直线的方程,只需两个基本量,可以是点和斜率,也可以是两个点. 变式 在△ABC 中,已知点 A(5, -2), B(7, 3),且边 AC 的中点 M 在 y 轴上,边 BC 的中点 N 在 x 轴上. (2) 求直线 MN 的方程. 从 AC 的中点 M 在 y 轴上,BC 的中点 N 在 x 轴上,可以利用中点坐标公式表示出 M 点的横坐标 (1) 求点 C 的坐标. 【处理建议】 解 和 N 点的纵坐标,即得. (1) 设点 C(x, y),由题意得错误!未找到引用源。=0, 错误!未找到引用源。=0,得 x=-5, y=-3.故所求 点 C 的坐标是(-5, -3). (2) 点 M 的坐标是错误!未找到引用源。,点 N 的坐标是(1, 0),直线 MN 的方程是错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。,

即 5x-2y-5=0. [题后反思] 已知两点,可以用两点式建立方程,也可以先求出斜率,再用点斜式建立方程. 【例 2】 已知△ABC 的三个顶点是 A(3, -4), B(0, 3), C(-6, 0),求它的三条边所在的直线方程. 一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式.使用时,应 【处理建议】

根据题目所给的条件恰当选择某种形式,使得解法简便.由顶点 B 与 C 的坐标可知点 B 在 y 轴上,点 C 在 x 轴上,于 是 BC 边所在的直线方程用截距式表示,AB 所在的直线方程用斜截式的形式表示,AC 所在的直线方程利用两点式或 点斜式表示均可,最后为统一形式,均化为直线方程的一般式. 解 如图 2,因△ABC 的顶点 B 与 C 的坐标分别为(0, 3)和(-6, 0),故 B 点在 y 轴上,C 点在 x 轴上,

(图 2)

即直线 BC 在 x 轴上的截距为-6,在 y 轴上的截距为 3,利用截距式,直线 BC 的方程为错误!未找到引用源。+ 错误!未找到引用源。=1,化为一般式为 x-2y+6=0.由于 B 点的坐标为(0, 3),故直线 AB 在 y 轴上的截距为 3,利用 斜截式,得直线 AB 的方程为 y=kx+3. 又由顶点 A(3, -4)在其上,所以-4=3k+3.故 k=-错误!未找到引用源。. 于是直线 AB 的方程为 y=-错误!未找到引用源。x+3,化为一般式为 7x+3y-9=0. 由 A(3, -4)、 C(-6, 0),得直线 AC 的斜率 kAC=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。. 利用点斜式得直线 AC 的方程为 y-0=-错误!未找到引用源。(x+6),化为一般式为 4x+9y+24=0. 也可用两点式,得直线 AC 的方程为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,再化简即可. [题后反思] 本题考查了求直线方程的基本方法. 变式 方程. [处理建议] 倾斜角相等,斜率也相等,所以直线 l 的方程可以用 3x+4y+c=0 表示. 解 设直线 l 的方程为 3x+4y+c=0. 令 x=0,则 y=-错误!未找到引用源。;令 y=0,则 x=-错误!未找到引用源。. 由题意得错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。=24, 已知直线 l 与直线 3x+4y-7=0 的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 24,求直线 l 的

∴ c2=242, ∴ c=±24. ∴ 直线 l 的方程为 3x+4y±24=0.
[题后反思] 求直线与两坐标轴围成的三角形的面积,只需求出直线在两坐标轴上的截距,截距的绝对值即为 两直角边的长. 【例 3】 方程. [处理建议] 引导学生分析各式子的特点,画出图形.直线 l 过定点 A(3, -1),可设直线 l 的方程为点斜式,再 用另外条件求斜率 k 即可. 解 当 k 不存在时,B(3, 0), C(3, 6), BC=6, AB=1,不合题意. 设直线 l:y+1=k(x-3),由题意,k≠0 且 k≠2, ∴ B 错误!未找到引用源。. 由错误!未找到引用源。 得 C 错误!未找到引用源。.又 BC=2AB, 过点 A(3, -1)作直线 l 交 x 轴于 B 点,在第一象限内交直线 l1:y=2x 于 C 点,且 BC=2AB,求直线 l 的

∴ 错误!未找到引用源。=2,得 k=-错误!未找到引用源。. ∴ l 的方程为 3x+2y-7=0.
[题后反思] 已知点利用点斜式求直线时,要验证斜率 k 不存在的情况. 变式 数. 解法一 设所求直线 l 的方程为 y=kx+b. 已知直线 l 的斜率为 6,且被两坐标轴所截得的线段长为错误!未找到引用源。,求直线 l 的方程. [处理建议] 根据题目的条件,可以用斜截式,也可以用截距式来设直线 l 的方程,再利用其它条件求待定的参

∵ k=6, ∴ 方程为 y=6x+b. 令 x=0, ∴ y=b,与 y 轴的交点为(0, b); 令 y=0, ∴ x=-错误!未找到引用源。,与 x 轴的交点为错误!未找到引用源。.
根据勾股定理得错误!未找到引用源。+b =37,
2

∴ b=±6.因此直线 l 的方程为 y=6x±6.
解法二 0), (0, b). 由勾股定理知 a +b =37.
2 2

设所求直线为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,则与 x 轴、y 轴的交点分别为(a,

又 k=-错误!未找到引用源。=6,解得

a=1, b=-6 或 a=-1, b=6. 因此所求直线 l 的方程为 x+错误!未找到引用源。=1 或-x+错误!未找到引用源。=1,即 6x-y±6=0.
[题后反思] 求直线的方程,根据不同条件选取恰当的参数设直线的方程,可以简化计算. 【例 4】 已知点 P(2, -1). (1) 求过点 P 且与原点距离为 2 的直线 l 的方程. (2) 求过点 P 且与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? 2 (3) 是否存在过点 P 且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.[ ] [处理建议] 第(1)问在已知直线过定点的前提下,只需确定直线的倾斜程度即可;第(2)问对最值的理解可从 “代数”与“几何图形”两方面加以分析和描述;第(3)问在反思第(2)问的基础上加以解决. 解 件. 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. 由已知,得错误!未找到引用源。=2,解得 k=错误!未找到引用源。. 此时 l 的方程为 3x-4y-10=0. 综上,可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0. (2) 作图可得过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线, 由 l⊥OP,得 klkOP=-1, 所以 kl=-错误!未找到引用源。=2. 由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2), 即 2x-y-5=0. 即直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线,最大距离为错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。. (3) 由(2)可知,过 P 点不存在到原点距离超过错误!未找到引用源。的直线,因此不存在过 P 点且到原点距离 为 6 的直线. [题后反思] 解决直线的相关问题可从几何图形入手,利用作图确定分类的依据;利用图形间的特殊位置关系 分析代数式取最值时的情况. (1) 过 P 点的直线 l 与原点距离为 2,而 P 点坐标为(2, -1),可见,过 P(2, -1)且垂直于 x 轴的直线满足条

二、 课堂练习 1. 直线 xcosα +错误!未找到引用源。y+2=0 的倾斜角范围是 错误!未找到引用源。∪错误!未找到引用
源。 . 解析 设直线的倾斜角为 θ , 则 tanθ =-错误!未找到引用源。cosα .又-1≤cosα ≤1,

∴ -错误!未找到引用源。≤tanθ ≤错误!未找到引用源。. ∴ θ ∈错误!未找到引用源。∪错误!未找
到引用源。. 2. 下列四个命题:①经过定点 P0(x0, y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示;②经过任意两个不同的点 P1(x1, y1),

P2(x2, y2)的直线都可以用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示;③不经过原点的直线都可以用方程错误!未找到引
用源。+错误!未找到引用源。=1 表示;④经过定点 A(0, b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示.其中真命题的序号 为 ②

.

解析 对命题①④,方程不能表示倾斜角是 90°的直线;对命题③,当直线平行于一条坐标轴时,则直线在该坐标轴 上截距不存在,故不能用截距式表示直线.只有②正确. 3. 求过点 P(-5, -4)且与坐标轴围成的三角形面积为 5 的直线方程. 解析 设所求直线方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1.直线过点 P(-5,- 4),即错误!未找到 引用源。+错误!未找到引用源。=1. 又由已知可得, 错误!未找到引用源。|a||b|=5 即|ab|=10,联立方程解方程组得错误!未找到引用源。 解得,错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。故所求直线方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到 引用源。=1 或错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1. 即 8x-5y+20=0 或 2x-5y-10=0. 4. 过点 A(0, 1)做一直线 l,使它夹在直线 l1: x-3y+10=0 和 l2: 2x+y-8=0 间的线段被 A 点平分,试求直线 l 的方程. 解析 当 l 的斜率不存在时,方程为 x=0,容易验证不合题意.设所求的直线方程为 y=kx+1. 解方程组错误!未找到引用源。得 P 错误!未找到引用源。; 解方程组错误!未找到引用源。得 Q 错误!未找到引用源。.

∵ A 为 PQ 的中点, ∴ 错误!未找到引用源。=0.
解得 k=-错误!未找到引用源。.直线 l 的方程为 y-1=-错误!未找到引用源。x,即 x+4y-4=0.

三、 课堂小结
在解答有关直线的问题时,要注意: 1. 在确定直线的斜率、倾斜角时,首先要注意斜率存在的条件,其次是倾斜角的范围. 2. 在利用直线的截距式解题时,要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况. 3. 在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意检验斜率不存在的情况,防止丢解. 4. 要灵活运用中点坐标公式,在解决有关对称问题时可以简化运算. 5. 在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时,要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本 的数学思想方法.

第 13 课时
教学过程
一、 问题情境

圆的标准方程

(教材 P108 例 2)已知隧道的截面(如图 1)是半径为 4m 的半圆,车辆只能在道

(图 1)

路中心线一侧行驶,一辆宽为 2.7m,高为 3m 的货车能不能驶入这个隧道?

二、 数学建构
问题 1 问题 2 问题 3 如何判断货车能否驶入这个隧道? 要想求出离隧道中心线 2.7m 处隧道的高度,必须知道什么呢? 如何写出这个半径为 4m 的半圆所在的圆的方程呢? (根据生活经验,引导学生说出:在离隧道中心线 2.7m 处,求出隧道的高度,再与货车的高度相比较) (引导学生去建立圆的方程)

(图 2)

要求圆的方程,需要建立适当的直角坐标系,并求出圆上任意一点 P(x, y)所满足的关系式. 第一步 第二步
2 2

以截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径所在直线为 x 轴,建立直角坐标系. 根据圆的定义,圆上任意一点 P(x, y)到圆心的距离等于半径,得 错误!未找到引用源。=4,

即 x +y =16. 将 x=2.7 代入,得

y=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。<3,
即在离隧道中心线 2.7m 处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道. 问题 4 问题 5 在上面的问题中,如果半径为 r,那么这个圆的方程又是什么呢? 在上面的问题中,如果半径为 r,圆心坐标变成(a, b),那么这个圆的方程又是什么呢? (引导学生从特殊向一般过渡) (引导学生利用类比的思想推导圆的标准方程) 经过探究,得出圆的标准方程. 方程 (x-a) +(y-b) =r (r>0)
2 2 2

叫做以(a, b)为圆心,r 为半径的圆的标准方程. 特别地,当圆心为原点 O(0, 0)时,圆的方程为

x2+y2=r2(r>0).
问题 6 答 如果刚才不是以原点为圆心,以(1, 2)为圆心,那么圆的方程又是什么呢?
2 2

(x-1) +(y-2) =16

(进一步熟悉和巩固圆的标准方程)

三、 数学应用
【例 1】 (教材 P108 例 1)求圆心是 C(2, -3),且经过原点的圆的方程.[ ]
3

[处理建议] 根据圆的标准方程的形式,提问学生本题还缺少什么? [规范板书] 解 因此,所求圆的方程是 (x-2) +(y+3) =13.
2 2

因为圆 C 经过原点,所以圆 C 的半径是

r=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,

[题后反思] 求圆的标准方程,即寻找圆的圆心坐标和半径,要注意结果中等号的一边是 r ,在书写时可能会写成 r,
2

忘记平方. 变式 1 求以点 A(1, 2)为圆心,并且和 x 轴相切的圆的方程. [处理建议] 本题要求圆的方程,缺少的是半径,那么和 x 轴相切指的是什么意思呢?引导学生分析这句话,寻 找解题的突破口. 解

∵ 圆与 x 轴相切,
2 2

∴ 该圆的半径即为圆心 A(1, 2)到 x 轴的距离 2.
所以圆的标准方程为:(x-1) +(y-2) =4. 变式 2 已知两点 A(4, 9), B(6, 3),求以线段 AB 为直径的圆的方程. [处理建议] 先让学生思考,再问学生本题要求圆的方程,根据已经学过的知识,需要什么条件呢?引导学生求 出圆心和半径,对圆的标准方程有一个加深认识的作用. 解

∵ AB 为直径,

∴ AB 的中点 C 为该圆的圆心,即 C(5, 6), 又∵ AB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。, ∴ r=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴ 圆的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=10.
变式 3 变式 2 了. 解 直线 y=2x-4 与两坐标轴相较于 A, B 两点,O 为原点,求△AOB 的外接圆的方程. [处理建议] 这个问题是变式 2 的延续,引导学生发现△AOB 是直角三角形,AB 就是圆的直径,那么该问题就同

∵ ∠AOB=90°, ∴ AB 就是圆的直径,

∵ A, B 的坐标分别为(2, 0), (0,-4),

∴ AB 的中点 C 为该圆的圆心,即 C(1,-2), 又∵ AB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。, ∴ r=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴ 圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5.
【例 2】 圆心在直线 2x-3y-1=0 上的圆与 x 轴交于 A(0, 0), B(4, 0)两点,求该圆的方程.[ ]
4

[处理建议] 让学生讨论,再提问学生,由学生总结解题的思路.本题突出圆中非常重要的定理,即垂径定理的 应用,圆心在弦的垂直平分线上. [规范板书] 解

∵ 圆与 x 轴交于 A(0, 0), B(4, 0)两点,

∴ 线段 AB 的垂直平分线 x=2 过所求圆的圆心, ∵ 圆心在直线 2x-3y-1=0 上, ∴ 由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。即圆心坐标为 C(2, 1), ∵ r=AC=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴ 圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
[题后反思] 圆经过两个点,圆与直线相交于两点等问题,基本都会与垂径定理有关,一般都会利用圆心在弦的 垂直平分线上的结论,来确定圆心的位置,求出圆心的坐标. 变式 1 解 圆心在直线 2x-3y-1=0 上的圆与两坐标轴都相切,求该圆的方程. [处理建议] 让学生画图,感受圆与两坐标轴都相切的意义,从中寻找解题突破口. 因为圆与两坐标轴都相切,所以圆心的横坐标与纵坐标的绝对值相等,且半径为横坐标或纵坐标的绝对值. 不妨设圆心坐标为(a, a)或(a, -a),半径 r=|a|,

∵ 圆心在直线 2x-3y-1=0 上, ∴ 当圆心为(a, a)时,由 2a-3a-1=0 得 a=-1,则圆的标准方程为:(x+1)2+(y+1)2=1, 当圆心为(a, -a)时,由 2a+3a-1=0 得 a=错误!未找到引用源。,则圆的标准方程为:错误!未找到引用源。+错
误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 变式 2 已知圆与直线 x+y-3=0 相切于点(1, 2),且圆心在 y 轴上,求该圆的方程. [处理建议] 回顾初中平面几何中圆的切线的性质,利用圆心在过切点且与切线垂直的直线上的结论,确定圆 心的坐标,这是圆中的典型问题. 解 设与直线 x+y-3=0 垂直的直线为 x-y+m=0. 因为该直线过点(1, 2),所以 1-2+m=0,得 m=1,则该直线方程为 x-y+1=0, 由切线的性质,圆心在直线 x-y+1=0 上. 又因为圆心在 y 轴上,所以圆心为(0, 1),而半径 r=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,

∴ 圆的标准方程为 x2+(y-1)2=2. 【例 3】 已知以点 C 错误!未找到引用源。(a>0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A,与 y 轴交于点 O, B,其中 O
为原点. (1) 求证:△OAB 的面积为定值. (2) 若圆 C 上任意一点关于直线 y=-2x+4 的对称点仍然在圆 C 上,求圆 C 的方程.[ ]
5

[处理建议] 问题(1)抓住△OAB 是直角三角形,圆心是 AB 的中点;(2)引导学生理解“圆 C 上任意一点关于直 线 y=-2x+4 的对称点仍然在圆 C 上”的几何意义,即圆心在直线上. [规范板书] 解 (1) 因为∠AOB=90°,所以 AB 为圆 C 的直径,点 C 为 AB 的中点. 所以 OA=2a, OB=错误!未找到引用源。,从而 S△ABC=错误!未找到引用源。?2a?错误!未找到引用源。=4. (2) 由题意直线 y=-2x+4 经过点 C 错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。=-2a+4,得 a=1,及 C(1, 2), r=OC=错误!未找到引用源。, 所以圆 C 的方程为(x-1) +(y-2) =5.
2 2

[题后反思] 看到诸如“圆上任意一点的对称点仍然在圆上”、“一条直线平分圆的面积或周长”等语句, 即提供我们圆心在这条直线上的条件.

四、 课堂练习 1. 写出下列各圆的方程: (1) 圆心在原点,半径为 4. (2) 经过 P(-1, 3),圆心为 C(0, 2).

解 (1) x +y =16.
2 2

(2) x +(y-2) =2.
2 2

2. 求以点 C(-5, -1)为圆心,并且和 x 轴相切的圆的方程. 提示 (x+5) +(y+1) =1,半径等于纵坐标的绝对值.
2 2

3. 求以 C(3, -5)为圆心,且和直线 3x-4y-4=0 相切的圆的方程. 提示 (x-3) +(y+5) =25.半径为点到直线的距离,故 r=错误!未找到引用源。=5.
2 2

4. 已知圆 C: (x-1) +(y+1) =2,求过圆上的点 O(0, 0)且与该圆相切的直线方程.
2 2

提示 因为所求直线 l 是圆的切线,所以 kl?kOC=-1. 因为 C 点坐标为(1, -1),所以 kOC=-1,所以 kl=1,所以直线 l 的方程为 y=x.

五、 课堂小结 1. 根据圆的定义,按建系→设点→找等量关系→列等式的步骤求出圆的方程,这也是今后求点的轨迹的一般方法. 2. 确定圆的标准方程的思想方法,即抓住圆的两要素,求出圆心坐标和半径. 3. 求圆的方程常用的两种方法:(1)待定系数法;(2)定义法. 4. 本节课重点体现了数形结合的数学思想.

第 14 课时
教学过程
一、 问题情境

圆的一般方程

我们前面已经学过了二元一次方程 Ax+By+C=0(A, B 不全为 0),我们知道它表示的是一条直线,但在我们生活 中显然还会有其他方程,你能举一些例子吗? (这是一个开放问题,学生肯定会先想到圆的标准方程,教师要肯定,再追问还有其他的形式吗?学生一定会列 举出很多方程,会有椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程等等,教师应该进行分类,告诉学生在今后会去一 一研究,今天先研究其中相对较简单的二元二次方程.)

二、 数学建构
(一) 生成概念 问题 1
2 2 2 2 2 2

下列方程分别表示什么曲线?

(1) x +y -4x+6y-3=0. (2) x +y -4x+6y+13=0. (3) x +y -4x+6y+16=0. (该问题要灵活对待,如果学生在前面已经列举出很好的方程,就用学生列举的方程.学生不知道它表示什么曲 线,一定会用学过的知识来解决,必定想方设法转化为学过的方程,体现化归思想.) 问题 2 问题 3 问题 4 你觉得它们可能是什么曲线呢? 如果它们表示圆的话,根据我们上一节课所学的内容,它的左边应该是什么形式呢? 你会将上面的一组方程转化为圆的标准方程的形式吗? (引导学生明确研究的方向,向圆的标准方程靠拢) (引导学生回忆圆的标准方程的特征) (引导学生用配方法将上面方程进行转化) 将上面方程的左边配方为: (1) (x-2) +(y+3) =16.
2 2 2 2 2 2

(2) (x-2) +(y+3) =0. (3) (x-2) +(y+3) =-3. 问题 5 问题 6 你现在能分别说出它们表示的是什么曲线吗? 对于方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的又是什么曲线吗?
2 2 2 2

其中(1)表示的以(2, -3)为圆心,4 为半径的圆;(2)表示的是一个点(2, -3);(3)不成立,不能表示任何曲线. (引导学生从特殊向一般过渡) 把方程 x +y +Dx+Ey+F=0 配方得,错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. (1) 当 D +E -4F>0 时,方程表示以错误!未找到引用源。为圆心,错误!未找到引用源。为半径的圆;
2 2

(2) 当 D +E -4F=0 时,方程表示一个点错误!未找到引用源。;
2 2 2 2

(3) 当 D +E -4F<0 时,方程不表示任何图形. 经过探究,得出圆的一般方程. 方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
叫做圆的一般方程,其中圆心为错误!未找到引用源。,半径为错误!未找到引用源。. (二) 理解概念 问题 7 圆的一般方程有什么特点呢? (引导学生归纳)

① x2 和 y2 前面的系数相等,且都不为 0,没有 xy 这样的二次项; ② 圆的一般方程中有三个特定的系数 D, E, F,所以只要求出这三个系数,圆的方程就确定了; ③ 与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与
半径大小,几何特征较明显.

三、 数学应用
【例 1】 (教材 P109 例 3)已知△ABC 顶点坐标为 A(4 , 3), B(5, 2), C(1, 0),求△ABC 外接圆的方程.[ ]
3

[处理建议] 根据已经学过的知识,圆的方程有两种形式,让学生选择用哪一种方程?让学生在下面书写,教师 可以找出用不同方式解题的同学上黑板板演.教师对此都给予肯定.最后再由学生归纳解题心得. [规范板书] 解法一 设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0.
2 2

因为圆过点 A(4, 3), B(5, 2), C(1, 0),则有 错误!未找到引用源。,得错误!未找到引用源。 故所求圆的方程为 x +y -6x-2y+5=0.
2 2

解法二

设圆的方程为(x-a) +(y-b) =r (r>0).
2 2 2

因为圆过点 A(4, 3), B(5, 2), C(1, 0),则有 错误!未找到引用源。,得错误!未找到引用源。 故所求圆的方程为(x-3) +(y-1) =5.
2 2

解法三

线段 AC 的垂直平分线方程为 x+y-4=0.

线段 BC 的垂直平分线方程为 2x+y-7=0. 由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。即圆心为(3, 1), 所以 r=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 故所求圆的方程为:(x-3) +(y-1) =5.
2 2

[题后反思] 从解题过程来看,解法一更直接,计算更简单一点.圆的方程有两种,通常在求圆心坐标和半径方 便时用标准方程,在已知圆三个点时通常用一般方程求解. 问题 8 通过刚才的例 1,你能归纳用待定系数法求圆的方程的步骤吗? (1) 根据已知条件,选择标准方程或一般方程. (2) 根据条件列出关于 a, b, r 或 D, E, F 的方程组. (3) 解出 a, b, r 或 D, E, F,代入标准方程或一般方程. 变式 已知函数 y=x -2x-3 与 x 轴交于 A, B 两点,与 y 轴交于 C 点,求△ABC 外接圆的方程.
2

[处理建议] 本题和例 1 有相似的地方,都是已知三点的坐标求圆的方程,仍然要求学生尝试用两种方法解决 本题,并比较在本题中用哪一种方法更好. 解 函数 y=x -2x-3 与坐标轴的交点为 A(-1, 0), B(3, 0), C(0, -3).
2 2 2

方法一: 设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0. 因为圆过点 A(-1, 0), B(3, 0), C(0, -3),则有 错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 故所求圆的方程为 x +y -2x+2y-3=0.
2 2

方法二: AB 的垂直平分线为直线 x=1, BC 的垂直平分线为直线 y=-x, 则直线 x=1 与直线 y=-x 的交点就是圆心(1, -1), r=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以△ABC 外接圆的方程为(x-1) +(y+1) =5.
2 2

【例 2】

求圆 x +y -2x+2y+1=0 关于直线 x-y+3=0 对称的图形的方程.[ ]
2 2 4

[处理建议] 先要求学生分析方程是什么曲线?再问学生要求这样的曲线必须知道哪些条件?根据已知条件 能解决吗?本题目的是让学生根据圆的一般方程能熟练地写出它的圆心坐标和半径,进一步熟悉圆的一般方程与 圆的标准方程之间的联系. [规范板书] 解 由圆的方程 x +y -2x+2y+1=0 得圆心坐标为 O(1, -1),半径 r=1.
2 2

因为所求的图形也是圆,且它的圆心 O'(a, b)与 O(1, -1)关于直线 x-y+3=0 对称,半径 r'=r=1. 由错误!未找到引用源。 得错误!未找到引用源。即 O'(-4, 4). 所以圆的方程为(x+4) +(y-4) =1.
2 2

[题后反思] 在利用圆心横坐标为-错误!未找到引用源。,纵坐标为-错误!未找到引用源。的结论时,学生 经常会将符号遗漏,而半径为错误!未找到引用源。的结论也会记不清,所以可以让学生不去死记硬背,而是学会 用配方的方法将圆的一般方程转化为圆的标准方程,再得出圆心坐标和半径. 变式 (2010 年广东卷改编)若圆 O 的方程为 x +y +Dx+F=0,半径为错误!未找到引用源。,位于 y 轴右侧,且与
2 2

直线 x+2y=0 相切,求圆 O 的方程. [处理建议] 要解决本题,只需要求出其中待定的系数 D 和 F,而已知恰好是两个条件,只要根据这两个条件列 出 D 和 F 的方程组即可.本题还是让学生熟练运用“圆心为错误!未找到引用源。半径为错误!未找到引用 源。”的结论.本题还有另一个用意,要学生能透过现象看本质,“圆 O 的方程为 x +y +Dx+F=0”这句话的本质是
2 2

圆心为(a, 0),用标准方程更方便.如果学生想不到,老师可以引导. 解 方法一: 由题意,圆心为错误!未找到引用源。,半径为错误!未找到引用源。,则 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,得 D=10(正值舍去), F=20. 所以圆的方程为:x +y -10x+20=0.
2 2

方法二:由题意设圆心为(a, 0),因为与直线 x+2y=0 相切, 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,得 a=5(负值舍去), 所以圆的方程为:(x-5) +y =5.
2 2

*

【例 3】

(教材 P110 例 4)某圆拱梁的示意图如图 1,该圆拱的跨度 AB 是 36m,拱高 OP 是 6m,在建造时,每隔
5

3m 需用一个支柱支撑,求支柱 A2P2 的长度.(精确到 0.01m)[ ]

(图 1)

[处理建议] 若能够知道该圆拱所在的圆的方程,问题就变得很简单了,所以,我们联想到建立相应的直角坐标系, 将问题转化为求圆的方程. [规范板书] 解 以线段 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点 O 为坐标原点建立直角坐标系(图 2),那么点 A,
2 2

B, P 的坐标分别为 A(-18, 0), B(18, 0), P(0, 6).
设圆拱所在的圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0. 因为点 A, B, P 在所求的圆上,故有 错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 所以圆拱所在的圆的方程为 x +y +48y-324=0.
2 2

将点 P2 的横坐标 x=6 代入圆方程,解得 y=-24+12 错误!未找到引用源。≈5.39(舍去负值). 答 支柱 A2P2 的长约为 5.39m.

(图 2)

[题后反思] 本题的关键利用图形建立直角坐标系,求出圆拱所在圆的方程,用代数的方法研究几何问题,这里 体现了数形结合的思想. 变式 (教材 P112 第 11 题改编)河道上有一座圆拱桥,在正常水位时拱圈最高点距水面为 5m,拱圈内水面宽为 20m,一条船在水面以上部分高为 3m,船宽为 8m(如图 3,船近似地看成矩形),故通行无阻,近日水位涨了 1.5m,为此,必 须加重船载,降低船身,才能通过桥洞.试问:船身应该降低多少?(精确到 0.01m, 错误!未找到引用源。≈23.68)

[处理建议] 本题主要进一步强化用代数的方法研究几何问题的思想,即解析思想.

(图 3)

(图 4)

[规范板书] 解

建立直角坐标系如图 4,那么点 A, B, P 的坐标分别为 A(-10, 0), B(10, 0), P(0, 5).
2 2

设圆拱所在的圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0. 因为点 A, B, P 在所求的圆上,故有 错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 所以圆拱所在的圆的方程为:x +y +15y-100=0.
2 2

将点 P2 的横坐标 x=4 代入圆方程,解得 y=错误!未找到引用源。≈4.34(舍去负值). 故当水位涨了 1.5m 后,船身应该降低 3-(4.34-1.5)=0.16(m). 答 船身应降低 0.16m,才能通过桥洞.

四、 课堂练习 1. 下列方程各表示什么图形?若表示圆,则求出其圆心和半径: 2 2 (1) x +y -4y=0. 2 2 (2) x +y -2x-4y+5=0.
解 (1) 表示圆,圆心(0, 2),半径 5; (2) 因为(-4) +(-2) -4?5=0,所以不表示圆,表示点(1, 2).
2 2

2. 若圆 x +y -2x+4my+m =0 的圆心在直线 x+y+2=0 上,求该圆的半径.
2 2 2

解 圆心坐标为(1, -2m),因为圆心在直线 x+y+2=0 上, 所以 1-2m+2=0,得 m=错误!未找到引用源。, 所以半径=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 3. 若直线 x+y=0 将圆 C:x +y +2x+2ay+a =0 的面积两等分,求圆 C 的半径.
2 2 2

提示 “直线 x+y=0 将圆 C:x +y +2x+2ay+a =0 的面积两等分”即圆心在直线上,故可以求出 a 的值,再利用半径公
2 2 2

式求出半径.答案为 1. 4. 求经过点 A(6, 0), B(-4, 2), C(5, -1)的圆的方程. 提示 设圆的方程为:x +y +Dx+Ey+F=0.
2 2

因为圆经过点 A(6, 0), B(-4, 2), C(5, -1),将三个坐标代入圆的方程,列出方程组,解出其中的待定系数即可. 答案为 x +y -3x-7y-18=0.
2 2

五、 课堂小结 2 2 2 2 1. 对于方程 x +y +Dx+Ey+F=0,当 D +E -4F>0 时,方程表示以错误!未找到引用源。为圆心,错误!未找到引用源。
为半径的圆;当 D +E -4F=0 时,方程表示一个点错误!未找到引用源。;当 D +E -4F<0 时,方程不表示任何图形.
2 2 2 2

2. 利用配方法将圆的一般方程转化为圆的标准方程. 3. 在确定圆的方程时,应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点,灵活选用圆方程的形式,利用 待定系数法等方法求解.在解题时注意运用平面几何知识及数形结合的思想.

第 15 课时
教学过程
一、 问题情境

直线和圆的位置关系

在课桌中央放置一张白纸,用圆规在白纸上画一个圆,将一把直尺从桌子的一边平行于课桌边缘平移到桌子的 另一边.如果将直尺一条边看成一条直线,在这条直线移动过程中你看到了什么现象? (这是一个开放问题,没有准确答案,学生回答时可能都是“白话”, 学生可能会回答“直线先靠近圆,再远离 圆”、“直线先相离,再相切,然后相交,再相切,最后又远离”等.只要意思对,就应该给予肯定.让学生充分表达,为 后面一系列问题做准备)

二、 数学建构
问题 1 初中学过的平面几何中,直线和圆有哪几种位置关系? (该问题可能学生一开始已经回答了,在这里再次出现的目的是明确在数学中直线和圆位置关系的准确表述, 只能是“相离”、“相切”、“相交”,不能用其他意思相近的词语代替) 问题 2 在刚才的操作中,你能用数学符号来表示直线靠近(远离)圆吗?你会判断直线和圆的位置关系吗? (这实际上是直线和圆的位置关系的判定,学生在初中已经有一定的基础.在本节课中,再次出现这个判定,目 的在于说明这个判定揭示的是直线和圆位置关系的几何特征) 设圆心到直线的距离为 d,圆的半径为 r,则

d>r 时,直线和圆相离; d=r 时,直线和圆相切; d<r 时,直线和圆相交.
问题 3 当直线和圆分别“相离”、“相切”、“相交”时所表现出来的几何特征分别是什么? (启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知,即他们看到的直线和圆相离时没有公共点,相切 时只有一个公共点,相交时有两个公共点) 问题 4 你能用数学语言来解释直线和圆没有公共点、只有一个公共点、有两个公共点的含义吗? (引导学生用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系,即图象交点个数就是它们所构成方程组的解的个数) 设直线 l 和圆 C 的方程分别为:

Ax+By+C=0 (A, B 不全为 0), x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0).
由直线 l 和圆 C 的方程联立方程组 则方程组无解时,直线和圆相离;方程组仅有一组解时,直线和圆相切;方程组有两组不同的解时,直线和圆相交. 问题 5 系和发展) 几何法是平面几何的方法,是直线和圆的几何特征;而利用联立方程组的方法是解析法,是直线和圆的代数特 征.利用代数的方法解决几何问题就是解析的思想. 请总结一下到目前为止,判断直线和圆的位置关系有哪几种方法?它们有什么不同? (引导对学过的内容总结,由初中学过的平面几何过渡到解析几何,从“形”过渡到“数”,了解知识之间的联

三、 数学应用
【例 1】 (教材 P113 例 1)求直线 4x+3y=40 和圆 x +y =100 的公共点的坐标,并判断它们的位置关系.[ ]
2 2 3

[处理建议] 直线和圆的交点坐标就是它们联立的方程组的解,本题让学生板演. [规范板书] 解 的解. 解这个方程组,得 所以公共点坐标为(10, 0), 错误!未找到引用源。. 直线 4x+3y=40 和圆 x +y =100 有两个公共点,所以直线和圆相交.
2 2

直线 4x+3y=40 和圆 x +y =100 的公共点的坐标就是方程组
2 2

[题后反思] 求两曲线的交点坐标或交点的个数可以用联立方程组的方法,用方程组的解反映图形的情况,这 是一般的方法,是通解. 变式 已知直线 y=3x+m 和圆 x +y =2 相交于点(1, 1),求直线和圆的另一个交点的坐标.
2 2

[处理建议] 让学生比较和例 1 的区别,直线的方程未知,先根据条件求出直线的方程,再联立方程组求解.在 解方程时,实际上已经知道方程的一个根了,可以利用根与系数关系来解决,在上课时要引导学生注意这一点,这也 是近几年高考中有所体现的题型. 解 因为线 y=3x+m 过点(1, 1),所以 1=3+m,所以 m=-2, 将直线和圆的方程联立方程组 消去 y,得 10x -12x+2=0,
2

由题意方程一个根为 1,设另一个根为 x2, 则 1?x2=错误!未找到引用源。,得 x2=错误!未找到引用源。. 将 x2=错误!未找到引用源。代入直线的方程得 y2=-错误!未找到引用源。,

所以直线和圆的另一个交点的坐标为错误!未找到引用源。. 【例 2】 (教材 P113 例 2)自点 A(-1, 4)作圆(x-2) +(y-3) =1 的切线 l,求切线 l 的方程.[ ]
2 2 4

[处理建议] 要求直线的方程还需要知道什么?先引导学生找准解决问题的方向,即还需要知道直线的斜率. 再根据直线和圆相切的条件,列出关于斜率的方程,求出斜率.让学生在下面书写,教师可以找出用不同方式解题的 同学上黑板板演. [规范板书] 解 方法一:当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l: x=-1 与圆相离,不满足条件. 当直线 l 不垂直于 x 轴时,可设直线 l 的方程为 y-4=k(x+1),即 kx-y+(k+4)=0, 因为直线和圆相切,所以圆心(2, 3)到直线 l 的距离等于圆的半径,故 错误!未找到引用源。=1. 解得

k=0 或 k=-错误!未找到引用源。,

因此,所求直线 l 的方程为 y=4 或 3x+4y-13=0 方法二:当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l: x=-1 与圆相离,不满足条件. 当直线 l 不垂直于 x 轴时,可设直线 l 的方程为 y-4=k(x+1), 由于直线和圆相切,所以方程组 错误!未找到引用源。仅有一解. 由方程组消去 y,得关于 x 的一元二次方程 (1+k )x +(2k +2k-4)x+k +2k+4=0.
2 2 2 2

依题意,这个一元二次方程有两个相等实根,所以判别式 Δ =(2k +2k-4) -4(1+k )( k +2k+4)=0.
2 2 2 2

解得

k=0 或 k=-错误!未找到引用源。.

因此,所求直线 l 的方程为 y=4 或 3x+4y-13=0. [题后反思] 处理直线和圆相切时,一般有两种方法,一是用几何法,即 d=r;另一个是代数法,即通过方程组的 解来分析.特别要注意在设直线方程时,要关注直线方程适用的条件,往往要分情况讨论,这一点非常容易遗漏. 变式 (2010 年山东枣庄模拟改编)将圆 x +y =1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位后得圆 C,若过点(3, 0)的直线 l
2 2

和圆 C 相切,求直线 l 的方程. [处理建议] 本题仍然强调在设直线方程时,要分情况讨论. 解 将圆 x +y =1 向右平移 1 个单位后得圆的方程为(x-1) +y =1.
2 2 2 2

过点(3, 0)的直线 l 方程分为两种情况: 当斜率不存在时 x=3,与圆不相切; 当斜率存在时,设直线方程为 y=k(x-3),即 kx-y-3k=0, 因为直线和圆相切,所以圆心(1, 0)到直线 l 的距离等于圆的半径,故 错误!未找到引用源。=1.解得 k=±错误!未找到引用源。. 因此,所求直线 l 的方程为 y=±错误!未找到引用源。(x-3). 【例 3】 的弦长.[ ]
5

(教材 P114 例 3)求直线 x-错误!未找到引用源。y+2 错误!未找到引用源。=0 被圆 x +y =4 截得
2 2

[处理建议] 本题同样有两种方法,让学生先思考,再找用不同方式解题的同学上黑板板演.如果学生不能用 两种方法解决,教师可以引导,如用“弦长就是一条线段长,即两点之间的距离.”引导学生用代数法;用“在我们初 中平面几何中还学过关于弦长的问题吗?”引导学生用几何法,即用垂径定理来解决. [规范板书] 解法一 标就是方程组 错误!未找到引用源。的解. 解这个方程组,得 所以公共点坐标为(错误!未找到引用源。, 1), (0, 2),直线 x-错误!未找到引用源。y+2 错误!未找到引用 源。=0 被圆 x +y =4 截得的弦长为
2 2

直线 x-错误!未找到引用源。y+2 错误!未找到引用源。=0 和圆 x +y =4 的公共点坐
2 2

错误!未找到引用源。=2.

(图 2)

解法二 所以

如图 2,设直线 x-错误!未找到引用源。y+2 错误!未找到引用源。=0 和圆 x +y =4 交于 A, B 两点,
2 2

弦 AB 的中点为 M,则 OM⊥AB(O 为坐标原点),

AB=2AM=2 错误!未找到引用源。 =2 错误!未找到引用源。=2.
[题后反思] 弦的相关问题不外乎用代数法或几何法解决,几何法侧重于图形特征,代数法侧重于运算,当条件具备 几何图形的某些特征时,用几何法解答会更方便快捷. 圆的弦长的求法:

① 几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 L,则错误!未找到引用源。=r2-d2; ② 代数法:设直线与圆相交于 A(x1, y1), B(x2, y2)两点,解方程组
由方程组消去 y,得关于 x 的一元二次方程,求出 A, B 的坐标,再用两点之间的距离公式求出弦长 AB. 变式 1 已知点 A(1, 1),求过点 A 的圆 x +y -4y=0 的最长与最短的弦长.
2 2

[处理建议] 结合图象分析,找出过圆内一点作最长弦和最短弦的条件. [规范板书] 解 圆 x +y -4y=0 圆心为 C(0, 2), r=2,
2 2

因为点 A(1, 1)在该圆内, 所以过 A 最长的弦就是过 A 及圆心的直径,长为 4; 最短的弦就是与 AC 垂直的弦,因为 AC=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以弦长为 2 错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。. 变式 2 已知过点 M(-3, -3)的直线 l 被圆 x +y +4y-21=0 所截得的弦长为 8,求直线 l 的方程.
2 2

[处理建议] 把圆的方程化为标准式,求出圆心坐标和半径,求出弦心距的值.设出直线 l 的方程,由弦心距的 值求出直线的斜率,即得直线 l 的方程. [规范板书] 解 圆 x +y +4y-21=0 的圆心坐标为(0, -2),半径 r=5.
2 2

因为直线 l 被圆所截得的弦长是 8,所以弦心距为错误!未找到引用源。=3. 因为直线 l 过点 M(-3, -3), 所以,当斜率不存在时,直线方程为 x=-3,满足题意; 当斜率存在时,可设所求直线 l 的方程为 y+3=k(x+3),即 kx-y+3k-3=0. 则由圆心到直线的距离等于弦心距,得 错误!未找到引用源。=3,解得 k=-错误!未找到引用源。, 此时直线方程为 4x+3y+21=0. 故所求直线有两条,它们分别为 x=-3, 4x+3y+21=0.
*

【例 4】

已知点 P(0, 5)及圆:C: x +y +4x-12y+24=0.
2 2 6

(1) 若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 错误!未找到引用源。,求 l 的方程; (2) 求圆 C 内过点 P 的弦的中点的轨迹方程.[ ] [处理建议] 对于(1), 要求直线的方程只需要求出直线的斜率,利用垂径定理求出圆心到直线的距离,从而得 出关于斜率的等量关系,求出斜率;对于(2) 只需要列出关于弦中点 D(x, y)的等式即可. 解 (1) 如图,AB=4 错误!未找到引用源。,D 是 AB 的中点,则 AD=2 错误!未找到引用源。, AC=4,

(图 3)

在 Rt△ADC 中,可得 CD=2. 设所求直线的斜率为 k,则直线的方程为 y-5=kx,即 kx-y+5=0.由点 C 到直线的距离公式错误!未找到引用 源。=2, 得 k=错误!未找到引用源。,此时直线 l 的方程为 3x-4y+20=0. 又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时的方程为 x=0. 所以所求直线为 x=0 或 3x-4y+20=0. (2) 方法一: 设圆 C 上过点 P 的弦的中点为 D(x, y), 因为 CD⊥PD,所以错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。=0,即(x+2, y-6)?(x, y-5)=0, 化简得轨迹方程 x +y +2x-11y+30=0.
2 2

方法二:设弦的两个端点分别为 A(x1, y1), B(x2, y2),弦的中点为 D(x, y), 则 x1+x2=2x, y1+y2=2y. 将 A(x1, y1), B(x2, y2)代入圆的方程 得错误!未找到引用源。

①-②得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)+4(x1-x2)-12(y1-y2)=0,
同除以(x1-x2),得 x+kABy+2-6kAB=0, 因为 kAB=kPD=错误!未找到引用源。,所以 x+错误!未找到引用源。+2-错误!未找到引用源。=0, 整理得轨迹方程 x +y +2x-11y+30=0.
2 2

[题后反思] 在研究与弦的中点有关问题时,注意运用“平方差法”,即设弦 AB 两端点的坐标分别为 A(x1, y1),

B(x2, y2),中点为(x0, y0),
由错误!未找到引用源。 得 k=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。. 该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.

四、 课堂练习 2 2 1. 对任意实数 k,圆 C: x +y -6x-8y+12=0 与直线 l: kx-y-4k+3=0 的位置关系是 相交 . 提示 因为动直线 kx-y-4k+3=0 过定点(4, 3),而该点恰好在圆内部.所以直线和圆相交. 2 2 2. 若直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 相交,则点 P(a, b)与圆的位置关系是 在圆外 . 2 2 解 因为直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 相交,所以圆心到直线的距离小于半径,则错误!未找到引用源。<1,即错误!
未找到引用源。>1,所以点在圆外. 3. (1) 求过圆 x +y =4 上一点错误!未找到引用源。的圆的切线方程.
2 2

(2) 求过原点且与圆(x-3) +(y-1) =1 相切的直线方程.
2 2

答案 (1) -错误!未找到引用源。x+错误!未找到引用源。y-4=0. (2) y=错误!未找到引用源。x 和 y=0. 4. 求过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x +y -4y=0 所截得的弦长.
2 2

提示 本题有多种方法,用几何法,代数法都可以,都比较简单. 答案 2 错误!未找到引用源。.

五、 课堂小结 1. 在直线与圆的位置关系中,“直线与圆相切时求切线”和“相交时研究与弦长有关的问题”是两个重点内容;
求切线时,若知道切点,可直接利用公式;若过圆外一点求切线,一般运用圆心到直线的距离等于半径来求,但注意有 两条.

2. 解决与弦长有关的问题时,注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形,也可以运用弦长公式,就 是通常所说的“几何法”和“代数法”. 3. 解决直线与圆的位置关系问题,一般有两种方法,即几何法或代数法,从运算的合理、简明的要求选择,通常采用 几何法,但代数法具有一般性. 4. 数形结合法(如几何法)是解决直线与圆的位置关系的重要方法.

第 16 课时
教学过程
一、 问题情境

圆和圆的位置关系

在一张纸上画一个圆,用一个硬币从纸的一边移动到另一边,如果把这个硬币看成一个圆,这个动圆在移动过 程中,你观察到什么现象? (通过具体实例,让学生感受两个圆的各种位置的几何现象,为用其他数学语言表示这些现象作准备.通过对已 学过内容的复习自然过渡到新学的内容,让学生感受到即将要学的内容是和平面几何有区别的,是用不同的方式研 究同一个问题)

二、 数学建构
问题 1 初中学过的平面几何中,圆和圆有哪几种位置关系? 圆和圆的位置关系有:外离、外切、相交、内切、内含. 或者圆和圆的位置关系有:相离错误!未找到引用源。相交,相切错误!未找到引用源。 (该问题可能学生一开始已经回答了,在这里再次出现的目的是明确在数学中圆和圆位置关系的准确表述,不 能用其他意思相近的词语代替.特别要强调相切和相离包含两种情况) 问题 2 设两圆半径分别为 R 和 r,圆心距为 d,你能用 R, r 和 d 之间的数量关系表示这五种关系吗? 两圆外切 d=R+r; 两圆内切 d=R-r (R>r); 两圆外离 d>R+r; 两圆内含 d<R-r (R>r); 两圆相交 R-r<d<R+r. (利用图形演示,注重“数形结合”思想) 问题 3 若已知☉O1:(x-a1) +(y-b1) =错误!未找到引用源。, ☉O2:(x-a2) +(y-b2) =错误!未找到引用源。,那么
2 2 2 2

又如何表示这两个圆的五种关系呢? (体现出化归思想,只需要用两点之间的距离公式求出 d,其他同上) 问题 4 问题 5 若已知☉O1:x +y +D1x+E1y+F1=0, ☉O2:x +y +D2x+E2y+F2=0,那么又如何表示这两个圆的五种关系呢?
2 2 2 2

(仅仅根据圆的一般式,求出圆的圆心和半径,然后同上方法解决) 你还有别的方法判断圆与圆的五种关系吗? (引导学生用代数法求解,通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断) 由方程组错误!未找到引用源。消去一个未知数,得一个一元二次方程,求出 Δ . 当 Δ >0 时,相交;Δ =0 时,相切;Δ <0 时,相离. 几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距做比较,得到两圆的位置关系;代数法则是把两圆位置关系的判定完 全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题,从而进一步体现几何问题与代数问题之间的相互联系.但这种 代数判定方法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系,而不能像几何法那样能判定出外离、外切、相交、内 切、内含五种位置关系.因此,在一般情况下,使用几何法判定两圆的位置关系问题,只有在特定的情况下,才使用代 数法,比如,只要求判断两圆是否相交或相切或相离.

三、 数学应用
【例 1】
2 2 2

(教材 P115 例 1)判断下列两圆的位置关系:
2 2 2 2 2 3

(1) (x+2) +(y-2) =1 与(x-2) +(y-5) =16. (2) x +y +6x-7=0 与 x +y +6y-27=0.[ ] [处理建议] 例 1 是对刚学知识的巩固和应用,先根据已知条件求出 d, R, r,再判断它们之间的数量关系;(2) 则需将方程转化为(1)的形式即可.

[规范板书] 解 因为

(1) 根据题意得,两圆的半径分别为 r1=1 和 r2=4,两圆的圆心距

d=错误!未找到引用源。=5. d=r1+r2,
所以两圆外切. (2) 将两圆的方程化为标准方程,得 (x+3) +y =16, x +(y+3) =36.
2 2 2 2

故两圆的半径分别为 r1=4 和 r2=6,两圆的圆心距

d=错误!未找到引用源。=3 错误!未找到引用源。.
因为 |r1-r2|<d<r1+r2, 所以两圆相交. [题后反思] 判断两圆的位置关系,不仅仅要判断 d 与 r1+r2 的大小,有时还需要判断 d 与|r1-r2|的关系. 变式 已知两圆(x-3) +(y+2) =a , (x+1) +(y-1) =(a+1) (a>0),试求 a 为何值时,两圆:(1)有唯一公共点;(2)有两个
2 2 2 2 2 2

公共点;(3)无公共点. [处理建议] 让学生自己分析,然后再提问.考察学生对圆与圆位置关系的理解,特别要注意有唯一公共点是 指外切和内切两种情况,无公共点指外离和内含两种情况. 解 根据题意得,两圆的半径分别为 r1=a 和 r2=a+1,两圆的圆心距

d=错误!未找到引用源。=5
因为 r2-r1=1, 所以:(1) 有唯一公共点时,由 d=r1+r2,得 5=2a+1,则 a=2; (2) 有两个公共点时,由|r1-r2|<d<r1+r2,得 5<2a+1,则 a>2; (3) 无公共点时,由 d>r1+r2,得 5>2a+1,则 0<a<2. 例2 (教材 P116 例 2)求过点 A(0, 6)且与圆 C:x +y +10x+10y=0 切于原点的圆的方程.[ ]
2 2 4

[处理建议] 利用提问,启发学生抓住题目中“两圆相切”的条件.根据两圆相切的性质,所求圆经过原点和

A(0, 6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上,根据这三个条件可确定圆的方程.
[规范板书] 解法一 将圆 C 化为标准方程,得 (x+5) +(y+5) =50.
2 2

则圆心为 C(-5, -5),半径为 5 错误!未找到引用源。.所以经过此圆心和原点的直线方程为:

x-y=0.
设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =r .
2 2 2

由题意知,O(0, 0), A(0, 6)在此圆上,且圆心 M(a, b)在直线 x-y=0 上,则有 错误!未找到引用源。? 错误!未找到引用源。 因此,所求圆的方程是 (x-3) +(y-3) =18.
2 2

解法二

将圆 C 化为标准方程,得 (x+5) +(y+5) =50.
2 2

则圆心为 C(-5, -5),半径为 5 错误!未找到引用源。.所以经过此圆心和原点的直线方程为:

x-y=0.
因为 O(0, 0), A(0, 6)在此圆上,所以圆心在 OA 的垂直平分线上,即在直线 y=3 上. 由错误!未找到引用源。得圆心为(3, 3),半径为 3 错误!未找到引用源。, 因此,所求圆的方程是 (x-3) +(y-3) =18.
2 2

[题后反思] 圆与圆相切是两圆位置关系中最为特殊的情况,利用两圆相切的性质找出两个圆心和切点的位 置.学生在做这一类题目时,往往会误解为是外切,造成遗漏. 变式 求半径为 8 且与圆 C: x +y +10x+10y=0 切于原点的圆的方程.
2 2

[处理建议] 与例 2 相比,现在已经知道半径了,还缺少的是圆心.根据两圆相切的性质,圆心在已知圆的圆心 与原点的连线上,再根据半径为 8,确定出圆心的位置. 解 将圆 C 化为标准方程,得 (x+5) +(y+5) =50.
2 2

则圆心为 C(-5, -5),半径为 5 错误!未找到引用源。.所以经过此圆心和原点的直线方程为:

x-y=0.
设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =64.
2 2

由题意知,O(0, 0)在此圆上,且圆心 M(a, b)在直线 x-y=0 上,则有 错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 因此,所求圆的方程是 (x-4 错误!未找到引用源。) +(y-4 错误!未找到引用源。) =64
2 2

或 (x+4 错误!未找到引用源。) +(y+4 错误!未找到引用源。) =64.
2 2

*

【例 3】

若圆 x +y =4 与圆 x +y +2x+2y-2=0 相交于 A, B 两点,求两圆公共弦 AB 所在的直线方程.[ ]
2 2 2 2 5

[处理建议] 求过两点的直线方程,应该先求出两点坐标,再根据两点坐标求出过两点的直线方程.在解决问 题的过程中,引导学生反思解题的过程,总结求两圆公共弦所在直线方程的方法. [规范板书] 解 将方程 x +y =4 与 x +y +2x+2y-2=0 联立
2 2 2 2

两式相减得 x+y+1=0, 再由错误!未找到引用源。得 错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 即两交点分别为错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。, 由直线的两点式,得 AB 所在的直线方程为 x+y+1=0. 问题 6 回头看例 3 的解题过程,你发现什么? (引导学生所求的结论在解题过程中已经出现过.) [题后反思] 求两个圆公共弦所在直线的方程就是将两个圆的方程相减. 变式 1 若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2 错误!未找到引用源。,求实数 a 的值.
2 2 2 2

[处理建议] 根据垂径定理,已知半径和弦长可以求出弦心距,而弦心距就是圆心到直线的距离,从而求出实数

a 的值.

(图 1)

[规范板书] 解 变式 2

两圆方程作差易知弦所在直线方程为 y=错误!未找到引用源。.(如图 1)
2 2 2 2

由已知 AC=错误!未找到引用源。, OA=2,有 OC=错误!未找到引用源。=1, ∴ a=1. 已知圆 C1: x +y +2x+2y-8=0 与圆 C2: x +y -2x+10y-24=0 相交于 A, B 两点,求圆心在直线 y=-x 上,且 经过 A, B 两点的圆的方程. [处理建议] 根据垂径定理,圆心在弦的垂直平分线上,那么只需要求出弦所在的直线方程即可,进一步巩固公 共弦所在直线方程的求法. [规范板书] 解 由

得 AB 所在的直线方程为 x-2y+4=0. 设 AB 垂直平分线的直线方程为 2x+y+m=0. 因为圆 x +y +2x+2y-8=0 的圆心为(-1, -1),且在直线 2x+y+m=0 上,所以-2-1+m=0,即 m=3,得 AB 垂直平分线的
2 2

直线方程为 2x+y+3=0. 由错误!未找到引用源。得所求圆的圆心为 M(-3, 3). 由错误!未找到引用源。 解得错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。即 A(-4, 0), B(0, 2),

∴ r=AM=错误!未找到引用源。. ∴ 经过 A, B 两点的圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.
变式 3 解 过原点 O 作圆 C: x +y -6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P, Q,求线段 PQ 所在的直线方程.
2 2 2 2

[处理建议] 线段 PQ 所在的直线方程就是以 OC 为直径的圆与圆 C 的公共弦所在的直线方程. 圆 C:x +y -6x-8y+20=0 的圆心为 C(3, 4),
2 2

以 OC 为直径的圆的圆心为错误!未找到引用源。,半径为错误!未找到引用源。, 所以该圆的方程为 x +y -3x-4y=0, 用 x +y -3x-4y=0 减去 x +y -6x-8y+20=0 得 3x+4y-20=0.
2 2 2 2

所以线段 PQ 所在的直线方程为 3x+4y-20=0.

四、 课堂练习 1. 判断下列两个圆的位置关系: 2 2 2 2 (1) (x-1) +(y+1) =1 与(x-5) +(y-2) =36. 2 2 2 2 (2) 2x +2y -3x+2y=0 与 3x +3y -xy=0. 答案 (1) 内切,(2) 相交. 2 2 2 2 2. 若圆 x +y =m 与圆 x +y -8x+6y-11=0 相交,求实数 m 的取值范围. 答案 1<m<121. 2 2 2 2 3. 若☉O: x +y =5 与☉O1: (x-m) +y =20(m∈R)相交于 A, B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,求线段 AB 的长 度. 解 由题意☉O1 与☉O 在 A 处的切线互相垂直,则两切线分别过另一圆的圆心,所以 O1A⊥OA. 又∵ OA=错误!未找到引用源。, O1A=2 错误!未找到引用源。, ∴ OO1=5,而 A, B 关于 OO1 轴对称,所以 AB 为
Rt△OAO1 斜边上高的 2 倍,即 AB=2?错误!未找到引用源。=4. 4. 过点 P(2, 3)向圆 x +y =1 作两条切线 PA, PB,求弦 AB 的长.
2 2

解 以 PO 为直径的圆(x-1) +错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。与圆 x +y =1 的公共弦所在的直线方
2 2 2

程,即将两圆方程联立消去 x , y 得 2x+3y-1=0.
2 2

∴ AB 所在直线方程为 2x+3y-1=0. ∵ 圆心(0, 0)到直线 2x+3y-1=0 的距离 d=错误!未找到引用源。, ∴ AB=2 错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

五、 课堂小结 1. 圆和圆有五种关系,其中两圆相切时,两圆的连心线垂直于过切点的切线. 2. 判断两圆的位置关系,有“几何法”和“代数法”两种.但常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间 的关系,一般不采用代数法. 2 2 3. 若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x , y 项即可得到.具体为:圆 C1: 2 2 2 2 x +y +D1x+E1y+F1=0 与圆 C2: x +y +D2x+E2y+F2=0 相交有公共弦,其直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.

第 17 课时 圆 复 习 课
教学过程
一、 数学应用
例1 (1) 已知点 P(1, 1),圆 O: (x-3) +(y-4) =4,点 M 是圆 O 上一个动点,求 MP 的最大值与最小值.
2 2 2 2 2 2

(2) 已知直线 l: x+y+1=0,圆 O: (x-3) +(y-4) =4,若点 P 是直线 l 上的一个动点,求 OP 的最小值. (3) 已知直线 l: 3x+4y+8=0,圆 O: x +y -2x-2y+1=0,若点 P, Q 分别是圆 O 和直线 l 上的一个动点,求 PQ 的最 小值.[ ]
2

[处理建议] 由学生分析题目,讨论并归纳出解决问题的方法,老师引导学生进行解题反思,总结经验.这三个 问题是圆中最基本的题型,往往会用到本题的思想解决其他系列问题. [规范板书] 解 (1) 由题意,OP=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所以 MPmax=错误!未找到引 用源。+2, MPmin=错误!未找到引用源。-2.

(2) 所求的是圆心到直线上动点的最小值,即圆心到直线的距离. 所以,OPmin=错误!未找到引用源。=4 错误!未找到引用源。. (3) 圆 O: x +y -2x-2y+1=0 的圆心 O(1, 1),半径 r=1.
2 2

点 O 到直线 l: 3x+4y+8=0 的距离 d=错误!未找到引用源。=3, 所以,PQmin=d-r=2. [题后反思] 求圆与点、直线等图形的位置关系的题目,通常转化成点到点、直线的距离的问题. 变式 1 解 若圆 C: (x-h) +(y-1) =1 在不等式 x+y+1≥0 所表示的平面区域内,则 h 的最小值为
2 2

.

[处理建议] 要使得圆在这个区域内,只需要圆与直线 x+y+1=0 相离或相切,且在该直线上方. 圆心 C(h, 1)到直线 x+y+1=0 的距离为 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 由错误!未找到引用源。≥1,得

h≥错误!未找到引用源。-2 或 h≤-错误!未找到引用源。-2(舍).
所以 h 的最小值为错误!未找到引用源。-2. 变式 2 已知直线 l: x+y+1=0,圆 O: (x-3) +(y-4) =4,若点 P 是直线 l 上的一个动点,过点 P 作圆的切线,切圆
2 2

于点 T,求 PT 的最小值. [处理建议] 由于△POT 是直角三角形,则 PT=错误!未找到引用源。,则 PT 最小时,OP 最小,那么要求 PT 的最 小值只需要求出 OP 的最小值即可. 解

OP 的最小值是指圆心到直线上动点的最小值,即圆心到直线的距离. 所以 OPmin=错误!未找到引用源。=4 错误!未找到引用源。,
此时 PT=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。, 即 PT 的最小值为 2 错误!未找到引用源。. 变式 3 已知直线 l:x+y+1=0,圆 O:(x-3) +(y-4) =4,若点 P 是直线 l 上的一个动点,过点 P 作圆的两条切线,切
2 2

圆于点 T 和 S,求 TS 的最小值. [处理建议] TS 的值就是△POT 斜边上的高的 2 倍,TS=2OTsin∠POT,要使 TS 最小,则使∠POT 最小,则∠SPT 最大,则此时 OP 最小. 解 OP 的最小值是指圆心到直线上动点的最小值,即圆心到直线的距离. 所以 OPmin=错误!未找到引用源。=4 错误!未找到引用源。, 此时 PT=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。, sin∠POT=错误!未找 到引用源。, 所以 TS=2OTsin∠POT=2?2?错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 即 TS 的最小值为错误!未找到引用源。. 变式 4 已知直线 l:x+y+1=0,圆 O:(x-3) +(y-4) =4,若点 P 是直线 l 上的一个动点,过点 P 作圆的两条切线,切
2 2

圆于点 T 和 S,求四边形 PTOS 面积的最小值. [处理建议] 画图分析这样的四边形有怎样的特征,即由两个全等的直角三角形拼成,故只需求出一个直角三 角形面积即可,该方法可以由学生归纳得出. 解

OP 的最小值是指圆心到直线上动点的最小值,即圆心到直线的距离. 所以 OPmin=错误!未找到引用源。=4 错误!未找到引用源。, S 四边形 PTOS=2?S△PTO=PT?TO=2PT=2 错误!未找到引用源。=4 错误!未找到引用源。,
所以四边形 PTOS 面积的最小值为 4 错误!未找到引用源。. 【例 2】 已知 x, y 满足方程(x-2) +y =1,
2 2 2 2 3

求:(1) 错误!未找到引用源。的取值范围;(2) x +y 的取值范围;(3) x+y 的取值范围.[ ] [处理建议] 引导学生分析各式的特点,并联想与已学过的各种概念的联系.它们分别可以看成圆上一点到原 点所连直线的斜率、圆上一点到原点距离的平方、线性规划. 解 (1) 错误!未找到引用源。可以看成圆上一点到原点所连直线的斜率,设错误!未找到引用源。=k,则

y=kx,
由错误!未找到引用源。得 (1+k )x -4x+3=0,
2 2

∵ Δ =16-12(1+k2)≥0, ∴ -错误!未找到引用源。≤k≤错误!未找到引用源。,即-错误!未找到引用源。
≤错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。. (2) 因为圆(x-2) +y =1 的圆心到原点的距离为 2,
2 2

所以圆上任一点到原点距离的最小值为 2-1=1,最大值为 2+1=3, 所以 1≤x +y ≤9.
2 2

(3) 设 x+y=z,则 y=-x+z, 由错误!未找到引用源。得 2x -(4+2z)x+z +3=0,
2 2

∵ Δ =(4+2z)2-8(z2+3)=-4z2+16z-8≥0, ∴ 2-错误!未找到引用源。≤z≤2+错误!未找到引用源。.
[题后反思] 形如式子错误!未找到引用源。可以看成点(x, y)与点(a, b)连线的斜率; 形如式子(x-a) +(y-b) 可以看成点(x, y)到点(a, b)距离的平方;
2 2

求 ax+by 的取值范围,可以看成求目标函数 z=ax+by 的范围. 【例 3】 (1) 已知圆 C:(x-a) +(y-2) =4(a>0)及直线 l:x-y+3=0 当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 错误!未找
2 2 2 2 2 2

到引用源。时,求 a 的值. (2) 求以圆 C1: x +y -12x-2y-13=0 和圆 C2: x +y +12x+16y-25=0 的公共弦长. (3) 求直线错误!未找到引用源。x+y-2 错误!未找到引用源。=0 截圆 x +y =4 得的劣弧所对的圆心角.[ ]
2 2 4

[处理建议] 利用垂径定理解题,进一步熟悉它在直线和圆位置关系中的应用,同时让学生总结何时会用到这 个定理. [规范板书] 解
2 2

(1) 因为弦心距=错误!未找到引用源。=1,所以圆心(a, 2)到直线 l:x-y+3=0 得距离为 1,即
2 2

错误!未找到引用源。=1,所以 a=错误!未找到引用源。+1 或 a=-错误!未找到引用源。+1(舍). (2) 圆 C1: x +y -12x-2y-13=0 和圆 C2: x +y +12x+16y-25=0 的方程相减得两圆的公共弦方程为 4x+3y-2=0,圆

C1: x2+y2-12x-2y-13=0 的圆心为(6, 1),半径为 5 错误!未找到引用源。,圆心为(6, 1)到直线 4x+3y-2=0 的距离为
错误!未找到引用源。=5, 所以弦长为 2 错误!未找到引用源。=10. (3) 弦心距为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,则圆心角一半的余弦为错误!未找到引用源。, 即圆心角一半为错误!未找到引用源。,所以圆心角为错误!未找到引用源。. [题后反思] 凡是与弦长、圆心角、弧长等有关词语出现时,一般都会和垂径定理有关,即圆的半径 r,弦心距

d(圆心到直线的距离),弦长 l,满足关系 r2=d2+错误!未找到引用源。.
变式 1 已知方程:x +y -2x-4y+m=0.
2 2

(1) 若此方程表示圆,求 m 的取值范围. (2) 若(1)中的圆与直线 x+y-4=0 相交于 M, N 两点,且 CM⊥CN(C 为圆心),求 m. (3) 在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程. [处理建议] 抓住条件 CM⊥CN,画图感受图形的特殊性,找到解决问题的突破口. 解 (1) 由 2 +4 -4m>0,得 m<5.
2 2

(2) ∵ CM⊥CN, ∴ △CMN 为等腰直角三角形. 则 CM=CN=r, MN=错误!未找到引用源。r,圆心到 MN 的距离 d 为 MN 边上的高,即 d=错误!未找到引用源。r. 圆 x +y -2x-4y+m=0 的圆心为 C (1, 2),半径 r=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(m<5)
2 2

因为圆心(1, 2)到直线 x+y-4=0 的距离为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, m=4. (3) MN 为直径的圆的圆心为 MN 的中点,不妨设为 P(a, 4-a).

∵ CP⊥MN, ∴ kCP=1, ∴错误!未找到引用源。=1,得 a=错误!未找到引用源。, ∴ MN 为直径的圆的圆心为错误!未找到引用源。,半径为错误!未找到引用源。MN=错误!未找到引用源。 r=错误!未找到引用源。.
所以 MN 为直径的圆的方程为:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 变式 2 已知圆 C: x +(y-3) =4,一动直线 l 过 A(-1, 0)与圆 C 相交于 P, Q 两点,M 是 PQ 中点,l 与直线 m:
2 2

x+3y+6=0 相交于 N.
(1) 求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C.

(2) 当 PQ=2 错误!未找到引用源。时,求直线 l 的方程. (3) 探索错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。是否与直线 l 的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若 有关,请说明理由.

(图 1)

[处理建议] 这是一个综合题型,考察对弦长的应用,可以检验学生对这一知识的掌握情况,问题(3)主要突出 解析思想,考察学生的计算能力. 解 (1) 当 l 与 m 垂直时,l 的方程可设为 3x-y+n=0. 因为直线 l 过 A(-1, 0),所以 n=3,直线 l 的方程为 3x-y+3=0. 则圆 C 的圆心为 C (0, 3)满足方程 3x-y+3=0. 所以 l 必过圆心 C. (2) 当 PQ=2 错误!未找到引用源。时,弦心距为错误!未找到引用源。=1. 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=-1,满足题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),即 kx-y+k=0. 由错误!未找到引用源。=1,得 k=错误!未找到引用源。,此时直线 l 的方程为 4x-3y+4=0. 所以直线 l 的方程为:x=-1 或 4x-3y+4=0. (3) 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),即 kx-y+k=0, 由错误!未找到引用源。得 N 错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 直线 CM 的方程为 y=-错误!未找到引用源。x+3. 由错误!未找到引用源。得 M 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,

∴ 错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错
误!未找到引用源。=-5. 经检验,当直线 l 的斜率不存在时,错误!未找到引用源。? 错误!未找到引用源。=-5. 综上,错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。与直线 l 的倾斜角无关,错误!未找到引用源。?错 误!未找到引用源。=-5.
*

【例 4】

如图 2,已知圆 O: x +y =4 与 x 轴交于 A, B 两点,定直线 l:x=4,且直线 l⊥x 轴.点 P 是圆 O 上异于
2 2

A, B 的任意一点,直线 PA, PB 分别交 l 与 M, N 点.
(1) 若∠PAB=30°(点 P 在 x 轴上方),求以 MN 为直径的圆方程. (2) 当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点.[ ]
5

(图 2)

[处理建议] 解决以 MN 为直径的圆方程的关键在于求出 M, N 点的坐标,告诉学生通过构造方程组计算是解 决解析几何问题的一般方法. 解 由题意,A(-2, 0), B(2, 0). (1) 当∠PAB=30°时,kAP=错误!未找到引用源。, kBP=-错误!未找到引用源。, 则直线 AP 的方程为 y=错误!未找到引用源。(x+2),与 x=4 的交点 M(4, 2 错误!未找到引用源。); 直线 BP 的方程为 y=-错误!未找到引用源。(x-2),与 x=4 的交点 N(4, -2 错误!未找到引用源。).

∴ MN 的中点坐标为(4, 0), MN=4 错误!未找到引用源。. ∴ 以 MN 为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12.

(2) 设 kAP=k, kBP=-错误!未找到引用源。. 则直线 AP 的方程为 y=k(x+2),与 x=4 的交点 M(4, 6k); 直线 BP 的方程为 y=-错误!未找到引用源。(x-2),与 x=4 的交点 N 错误!未找到引用源。.

∴ MN 的中点坐标为错误!未找到引用源。, MN=2 错误!未找到引用源。. ∴ 以 MN 为直径的圆的方程为(x-4)2+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
即 x +y -8x-2 错误!未找到引用源。y+4=0.令 y=0,则 x -8x+4=0,得 x=4±2 错误!未找到引用源。,点(4+2
2 2 2

错误!未找到引用源。, 0)在圆外部, 所以以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点(4-2 错误!未找到引用源。, 0).

二、 课堂练习 2 1. 若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是 (x-2) +(y2 1) =1 . 解析 由题意,设圆心(x0, 1), ∴ 错误!未找到引用源。=1,
解得 x0=2 或 x0=-错误!未找到引用源。(舍),

∴ 所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
2. 已知圆 C1:(x+1) +(y-1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x-y-1=0 对称,则圆 C2 的方程为
2 2 2 2

(x-2) +(y+2) =1
2 2

.

解析 圆 C1: (x+1) +(y-1) =1 的圆心为(-1, 1).圆 C2 的圆心设为(a, b), C1 与 C2 关于直线 x-y-1=0 对称,

∴ 错误!未找到引用源。
解得错误!未找到引用源。又圆 C2 的半径为 1,

∴ 圆 C2 的方程为(x-2)2+(y+2)2=1. 3. 已知圆的半径为错误!未找到引用源。,圆心在直线 y=2x 上,圆被直线 x-y=0 截得的弦长为 4 错误!未找到引
用源。,求该圆的方程. 提示 可用待定系数法求解. 答案 (x-2) +(y-4) =10 或(x+2) +(y+4) =10.
2 2 2 2

4. 若直线 y=x+b 与曲线 y=3-错误!未找到引用源。有公共点,求 b 的取值范围. 提示 用数形结合的思想,直线是斜率为 1 的动直线,曲线是一个半圆. 答案 [1-2 错误!未找到引用源。, 3].

三、 课堂小结 1. 在直线与圆的位置关系中,当直线和圆相切时,利用圆心到直线的距离与半径相等这样的等量关系可以求某些 变量的值.利用切点和圆心的连线垂直于切线的性质,求切线的方程、确定圆心的位置等. 2. 求代数式的最值或取值范围时,通常分析代数式的几何意义,将问题转化为直线的某种特性或直线和圆的某种 关系来解题. 3. 用构造方程组的方法求交点是解析几何的基本思想,做题时要有耐心,更要细心. 4. 解题时画出直观的图象,分析图形之间的特殊关系,列出等式,做到“图象先行”的原则.

第 18 课时
教学过程
一、 问题情境

空间直角坐标系

之前我们学习了直线和圆,我们对解析几何的学习将告一段落.解析几何是根据坐标,利用代数处理几何的方 法科学.现在,请大家思考一个问题:黑板平面内停留着一只飞虫,问如何确定飞虫的位置?由此激发学生对平面坐 标系建立(定位)的意识, 在此讲明平面内的点与二元数组(x, y)的一一对应.具体到点坐标的确定(根据点在 x 轴、y 轴射影与原点之间的距离).设问:当飞虫飞离黑板所在平面,那飞虫的位置在现有的基础上如何确定?(引出 空间直角坐标系)

二、 数学建构
问题 1 如图 1,在房间(立体空间)内如何确定电灯位置?

(图 1)

在学生思考讨论的基础上,教师明确:确定点在直线上,通过数轴需要一个数;确定点在平面内,通过平面直角坐 标系需要两个数.那么,要确定点在空间内,应该需要几个数呢?通过类比联想,容易知道需要三个数.要确定电灯的 位置,知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可. 问题 2 如何用一组实数来表示电灯的位置? 在地面上建立直角坐标系 xOy,则地面上任一点的位置只须利用 x, y 就可确定.为了确定不在地面内的电灯 的位置,须要用第三个数表示物体离地面的高度,即需第三个坐标 z.因此,只要知道电灯到地面的距离、到相邻的 两个墙面的距离即可.例如,若这个电灯在平面 xOy 上的射影的两个坐

(图 2)

标分别为 4 和 5,到地面的距离为 3,则可以用有序数组(4, 5, 3)确定这个电灯的位置(如图 2). 这样,仿照初中平面直角坐标系,就引出了空间直角坐标系 O-xyz 的建立,从而确定了空间点的位置. 问题 3 空间直角坐标系是如何建立的? (引导学生从特殊向一般过渡) 在前面研究的基础上,先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括,然后由教师给出准确的定义.从空间某一个 定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,这样就建立了空间直角坐标系 O-xyz,点 O 叫作坐标原点,x 轴、

y 轴、z 轴叫作坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别称为 xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面.
教师进一步明确: (1) 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,若中指指向 z 轴的正方向, 则称这个坐标系为右手坐标系,课本中建立的坐标系都是右手坐标系. (2) 将空间直角坐标系 O-xyz 画在纸上时,x 轴与 y 轴、x 轴与 z 轴成 135°,而 y 轴垂直于 z 轴,y 轴和 z 轴的 单位长度相等,但 x 轴上的单位长度等于 y 轴和 z 轴上的单位长度的错误!未找到引用源。,这样,三条轴上的单 位长度直观上大致相等. 问题 4 在空间直角坐标系中,空间任意一点 A 与有序数组(x, y, z)有什么样的对应关系? (1) 过点 A 作三个平面分别垂直于 x 轴,y 轴,z 轴,它们与 x 轴、y 轴、z 轴分别交于点 P, Q, R,点 P, Q, R 在相 应数轴上的坐标依次为 x, y, z,这样,对空间任意点 A,就定义了一个有序数组(x, y, z). (2) 反之,对任意一个有序数组(x, y, z),按照刚才作图的相反顺序,在坐标轴上分别作出点 P, Q, R,使它们在 x 轴、y 轴、z 轴上的

(图 3)

坐标分别是 x, y, z,再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面,这三个平面的交点就是所求的点 A. 这样,在空间直角坐标系中,空间任意一点 A 与有序数组(x, y, z)之间就建立了一种一一对应关系:A (x,

y, z).

问题 5

空间直角坐标系 O-xyz 中任意点 A 的坐标?

对于空间任意点 A,作点 A 在三条坐标轴上的射影,即经过点 A 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴,它们 与 x 轴、y 轴、z 轴分别交于点 P, Q, R,点 P, Q, R 在相应数轴上的坐标依次为 x, y, z,我们把有序数组(x, y, z) 叫作点 A 的坐标,记为 A(x, y, z).(如图 3) 问题 6 答 (1) 在空间直角坐标系中,坐标平面 xOy, xOz, yOz 上点的坐标有什么特点? (2) 在空间直角坐标系中,x 轴、y 轴、z 轴上点的坐标有什么特点? (1) xOy 平面、xOz 平面、yOz 平面内的点的坐标分别形如(x, y, 0), (x, 0, z), (0, y, z). (2) x 轴、y 轴、z 轴上点的坐标分别形如(x, 0, 0), (0, y, 0), (0, 0, z). (进一步熟悉和巩固空间直角坐标系中点的坐标的特点)

三、 数学应用
【例 1】 (教材 P119 例 1)在空间直角坐标系 O-xyz 中,作出点 P(5, 4, 6). 可按下列步骤作出点 P, [处理建议] 分析

O
[规范板书] 解

P1
如图 4 所示.

P2

P

(图 4)

(图 5)

[题后反思] 在空间直角坐标系中作点应按照作图步骤进行. 变式 已知长方体 ABCD-A'B'C'D'的边长 AB=12, AD=8, AA'=5,以这个长方体的顶点 A 为坐标原点,射线 AB,

AD, AA'分别为 x 轴、y 轴和 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求这个长方体各个顶点的坐标.
[处理建议] 本题根据所建立的空间直角坐标系,找到各点在坐标系中的位置,确定其坐标. 解 因为 AB=12, AD=8, AA'=5,点 A 在坐标原点,即 A(0, 0, 0),且 B, D, A'分别在 x 轴、y 轴、z 轴上,所以它们 的坐标分别为 B(12, 0, 0), D(0, 8, 0), A'(0, 0, 5). 点 C, B', D'分别在 xOy 平面、zOx 平面和 yOz 平面内,坐标分别为 C(12, 8, 0), B'(12, 0, 5), D'(0, 8, 5). 点 C'在三条坐标轴上的射影分别是点 B, D, A',故点 C'的坐标为(12, 8, 5). 讨论 若以 C 点为原点,以射线 CB, CD, CC'方向分别为 x, y, z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,那么各顶点 建立不同的坐标系,所得的同一点的坐标也不同. 的坐标又是怎样的呢? 得出结论

(图 6)
*

【例 2】

结晶体的基本单位称为晶胞,如图 6 是食盐晶胞的示意图 可看成是八个棱长为错误!未找到引

用源。的小正方体堆积成的正方体 ,其中黑色圆点代表钠原子,小圆圈代表氯原子,如图,建立空间直角坐标系 O-

xyz 后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.
解 把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标. 下层原子全在 xOy 平面,它们所在位置的竖坐标全是 0,所以下层的五个钠原子所在位置的坐标分别为: (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), 错误!未找到引用源。. 中层的四个钠原子所在位置的坐标分别为:

错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。. 上层的五个钠原子所在位置的坐标分别为: (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1), 错误!未找到引用源。. [题后反思] 这个题目是以化学中的晶胞为情境,能引人入胜,一方面检验学生对空间直角坐标系的理解和对 确定空间点的坐标的掌握情况;另一方面能体现数学与其他学科的联系,体现数学对自然科学研究的工具性,表达 “学有用的数学”这一新课程的基本理念. 变式 在长方体 OABC-D'A'B'C'中,OA=3, OC=4, OD'=2,写出 D', C, A', B'四点关于平面 xOy 对称的坐标. 因为 D'在 z 轴上,且 OD'=2,它的竖坐标为 2,它的横坐标与纵坐标都是零,所以 D'点的坐标 [处理建议] 让学生讨论,再提问学生,由学生总结解题的思路,教师点评. [规范板书] 解 是(0, 0, 2),点 C 在 y 轴上,

(图 7)

且 OC=4,所以点 C 的坐标为(0, 4, 0),点 A'的坐标为(3, 0, 2), B'的坐标为(3, 4, 2).所以 D'点对称点的坐标是 (0, 0, -2),点 C 对称点的坐标为(0, 4, 0),点 A'对称点的坐标为(3, 0, -2), B'的对称点坐标为(3, 4, -2). [题后反思] 点关于平面 xOy 对称的点的坐标的特点是:横坐标和纵坐标不变,竖坐标相反.进而可以总结出 关于平面 yOz 对称的点的特点和关于平面 zOx 对称的点的特点. 【例 3】 (教材 P113 例 3)(1) 在空间直角坐标系 O-xyz 中,画出不共线的 3 个点 P, Q, R, 使得这 3 个点的坐标都满足 z=3 的图形. (2) 写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件.

(图 8)

[处理建议] 对于(1),师生经过交流达成共识:为简便起见,取三点为(0, 0, 3)、 (4, 0, 3)、 (0, 4, 3). 对于(2),让学生讨论,发表意见后师生一起交流探讨,得出结论. [规范板书] 解 (1) 取三个点 P(0, 0, 3), Q(4, 0, 3), R(0, 4, 3). (2) P, Q, R 三点不共线,可以确定一个平面,又因为这三点在 xOy 平面的同侧,且到 xOy 平面的距离相等,所以 平面 PQR 平行于 xOy 平面,而且平面 PQR 内的每一个点在 z 轴上的射影到原点的距离都等于 3,即该平面上的点的 坐标都满足 z=3. [题后反思] 通过本例教学,培养了学生对空间问题的分析处理能力,向学生渗透了空间“点的集合(轨迹)问 题”的处理方法,为本节第 2 课时所要介绍的类似问题做铺垫. 变式 设 z 为任意实数,相应的所有点 P(1, 2, z)的集合是什么图形? [处理建议] 通过对三维空间的感受,将平面中此类问题类比到空间,再总结出一般的规律. [规范板书] 解

P(1, 2, z)在 xOy 平面上的射影为 P'(1, 2, 0),所以当横坐标、纵坐标不变,竖坐标变化时相

应的图形是过 P'点且垂直于 xOy 平面的一条直线. [题后反思] 一般的,当一个点的 2 个坐标确定,1 个坐标可取任意值时,这样的点的集合是垂直于坐标平面的 一条直线.

四、 课堂练习 1. 在空间直角坐标系中,画出下列各点: A (0, 0, 3), B (1, 2, 3),

C (2, 0, 4), D(-1, 2, -2).
解 略. 2. 已知长方体 ABCD-A'B'C'D'的边长为 AB=6, AD=4, AA'=7.以这个长方体的顶点 B 为坐标原点,射线 BA, BC, BB' 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标. 解 A (6, 0, 0), B (0, 0, 0), C (0, 4, 0), D(6, 4, 0), A' (6, 0, 7), B' (0, 0, 7), C'(0, 4, 7), D'(6, 4, 7). 3. (1) 在空间直角坐标系中,在 Ox 轴上的点的坐标可写成 (x, 0, 0) ; (2) 在空间直角坐标系中,在 yOz 平面上的点的坐标可写成 (3) 在空间直角坐标系中,在 Oz 轴上的点的坐标可写成 (4) 在空间直角坐标系中,在 xOz 平面上的点的坐标可写成 (0, y, z) ; (x, 0, z) . (0, 0, z) ;

五、 课堂小结 1. 本节课所学知识有:空间直角坐标系、空间点的坐标的确定、空间点对称. 2. 领会类比的思想方法在探索新知识过程中的作用,实现了从线到平面、再从平面到空间的变化.

第 19 课时
教学过程
一、 问题情境

空间两点间的距离

建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式,你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗?

二、 数学建构
问题 1 样呢? 问题 2 空间中任意两点 A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2)之间的距离的公式会是怎样?你能猜想吗? (引导学生去进行类比猜想,充分发挥学生的联想能力) 在平面上任意两点 A (x1, y1), B (x2, y2)之间的距离的公式是什么? AB=错误!未找到引用源。,那么对于空间中任意两点 A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2)之间的距离的公式会是怎

(图 1)

问题 3

空间中任意一点 P (x, y, z)到原点之间的距离公式会是怎样呢?如何证明?

(为了验证一下同学们的猜想,我们来看比较特殊的情况,引导学生用勾股定理来完成)

OP=错误!未找到引用源。.
问题 4 在上面的问题中,如果 OP 是定长 r,那么 x + y + z = r 表示什么图形?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(注意引导类比平面直角坐标系中,方程 x + y = r 表示的图形,让学生有种回归感) 在平面直角坐标系中,方程 x +y =r 表示以原点为圆心,半径为 r 的圆,将此推广到空间,得出 x +y +z =r 表示以 原点为球心,半径为 r 的球面.

(图 2)

问题 5

空间中任意两点 P1 (x1, y1, z1)、 P2 (x2, y2, z2)之间的距离公式怎样证明呢?

(引导学生利用由特殊到一般的思想方法推到空间两点之间的距离) 经过探究,得出空间两点之间的距离公式:

P1P2=错误!未找到引用源。
空间两点 P1(x1, y1, z1)、 P2(x2, y2, z2)间的距离反映在立体几何中,实质上是以 P1、 P2 作为长方体的一条体 对角线的端点的所在体对角线的长,其中此长方体的长为错误!未找到引用源。,宽为错误!未找到引用源。,高 为错误!未找到引用源。. 问题 6 空间中两点 P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2)的线段 P1P2 的中点坐标是什么? 平面直角坐标系中两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2)的线段 P1P2 的中点坐标是什么? 类似地不难将平面直角坐标系中的中点公式推广到空间直角坐标系中.即如果 P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2),则 两点的中点 P 的坐标为 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。 .

三、 数学应用
【例 1】 (教材 P121 例 1)求空间两点 P1(3, -2, 5), P2(6, 0, -1)间的距离 P1P2. [处理建议] 根据空间两点间的距离公式,直接带入公式计算即可. [规范板书] 解

P1P2=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=7.
[题后反思] 求空间两点间的距离时,正确地带入公式,特别注意各个坐标的符号. 变式 已知 A(x, 2, 3)、 B(5, 4, 7),且 AB=6,求 x 的值. [处理建议] 本题已知 AB 两点之间的距离,要求 A 点坐标中未知的横坐标,只需带入空间两点间距离公式,寻 找关于 x 的方程,解方程即得. 解

AB=6, ∴ 错误!未找到引用源。=6,
即(x-5) =16.解得 x=1 或 x=9.
2

∴ x=1 或 x=9.
[题后反思] 求字母的值,常利用方程的思想,通过解方程或方程组求解. 【例 2】 已知三点 A(1, 3, 2), B(-2, 0, 4), C(-8, -6, 8),证明:A, B, C 三点在同一直线上. [处理建议] 让学生讨论,再提问学生,由学生总结解题的思路.本题只需利用空间两点间距离公式算出 AB ,

BC, AC,证明 AB+BC=AC 即可.
[规范板书] 解 所以 AB+BC=AC, 所以 A, B, C 三点在同一直线上. [题后反思] 利用平面中常用的证明方法是证明三点共线的有效手段. 变式 解 试判断以 A(4, 1, 9), B(10, -1, 6), C(2, 4, 3)为顶点的三角形 ABC 的几何特性. 要判断三角形的形状,可以从三角形的边上入手,通过计算三角形的三边长,从中寻找解题突破口. [处理建议] 利用两点间距离公式,得

AB=错误!未找到引用源。, BC=2 错误!未找到引用源。, AC=3 错误!未找到引用源。,

∵ AB=错误!未找到引用源。

=7, BC=错误!未找到引用源。 =7 错误!未找到引用源。, AC=错误!未找到引用源。=7, ∴ AB2+AC2=BC2 且 AB=AC. ∴ 三角形 ABC 是等腰直角三角形.
【例 3】 讨论方程(x+2) +(y-6) +(z-1) =16 的几何意义.
2 2 2

[处理建议] 方程的左边可看作空间两点间距离的平方,构造点 P(x, y, z),定点 M(-2, 6, 1),和平面解析几何 中的圆的方程进行类比即得. [规范板书] 解 因为(x+2) +(y-6) +(z-1) =16,
2 2 2

所以错误!未找到引用源。=4. 即动点 P(x, y, z)到定点 M(-2, 6, 1)的距离等于 4, 所以(x+2) +(y-6) +(z-1) =16
2 2 2

表示动点 P 的轨迹:一个半径为 4,球心为 M(-2, 6, 1)的球面. [题后反思] 几何图形能代数化,用方程表示;代数方程也有一定的几何意义,在解题时要注意数形结合. 变式 点 P 在坐标平面 xOy 内,A 点的坐标为(-1, 2, 4),问满足条件 PA=5 的点 P 的轨迹是什么? [处理建议] 因点 P 一方面在坐标平面 xOy 内,另一方面满足条件 PA=5,即点 P 在球面上,故点 P 的轨迹是坐 标平面 xOy 与球面的交线. 解 设点 P 的坐标为(x, y, z).

∵ 点 P 在坐标平面 xOy 内,∴ z=0, ∵ PA=5, ∴ 错误!未找到引用源。=5,即(x+1)2+(y-2)2+(z-4)2=25, ∴ 点 P 在以点 A 为球心,半径为 5 的球面上, ∴ 点 P 的轨迹是坐标平面 xOy 与以点 A 为球心,半径为 5 的球面的交线,即在坐标平面 xOy 内的圆,且此圆的
圆心即为 A 点在坐标平面 xOy 上射影 A'(-1, 2, 0).

∵ 点 A 到坐标平面 xOy 的距离为 4,球面半径为 5, ∴ 在坐标平面 xOy 内的圆 A'的半径为 3. ∴ 点 P 的轨迹是圆(x+1)2+(y-2)2=9, z=0.
[题后反思] 对于空间直角坐标系中的轨迹问题,可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决.

四、 课堂练习 1. 已知点 A(-2, 4, -1), B(4, -6, 7),求 AB 的距离和 AB 中点的坐标. 答案 AB=10 错误!未找到引用源。,中点的坐标为(1, -1, 3).
2. 已知 A(2, 5, -6),在 y 轴上求一点 B,使得 提示 注意 y 轴上点的坐标的特点. 答案 B(0, 2, 0)或 B(0, 8, 0). 3. 试解释方程(x-8) +(y+4) +(z-3) =36 的几何意义.
2 2 2

AB=7.

答案 方程表示点 P(x, y, z)与点 C(8, -4, 3)的距离为 6,即点 P 在以点 C 为球心,半径为 6 的球面上. 4. 点 P 在坐标平面 xOz 内,A 点的坐标为(1, 3, -2),问满足条件 PA=5 的点 P 的轨迹方程. 提示 因点 P 一方面在坐标平面 xOz 内,另一方面满足条件 PA=5,即点 P 在球面上,故点 P 的轨迹是坐标平面 xOz 与球面的交线. 答案 点 P 的轨迹方程是(x-1) +(z+2) =16, y=0.
2 2

五、 课堂小结 1. 空间中两点间的距离公式及其推导. 2. 球面方程. 3. 空间中两点间距离公式的简单应用. 4. 数学思想与方法:
培养学生类比的方法和养成严谨论证的思维习惯;体会由特殊到一般解决问题的思维方法.


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