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1.4 1.4.2 导数应用(二)


第一章

导数及其应用

1.4 生活中的优化问题举例 1.4.2 导数应用(二)

1.会解决生活中的优化问题. 2.会利用导数解决某些实际问题.

基 础 梳 理
1.用导数解应用题的步骤: (1)根据实际问题写出函数关系; (2)正确确定函数的定义域; (3)利用导数法求出函数的最

值; (4)根据实际问题回答(注意反思结果是否符合实际). 2.在具体解题过程中,当得到函数解析式后,要正确选择 解题方法.看是否是最值问题,如果是,需要用导数法,或利 用不等式、利用函数单调性求最值等.注意选择恰当的方法, 不要盲目动手.

题型1

利润最大问题

例1 某产品生产 x 件时的总成本函数为 C(x)=300

1 3 2 + x -5x +170x,每件产品的价格是 134 元, 12 求产量为多少时利润最大.

解析: 由题意知, 生产 x 件时, 总 收入 R(x)=134x,设利润为 L(x),
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L(x) = R(x) - C(x) = 134x -

? ? 1 3 1 3 2 ? ? 2 ?300+12 x -5x + 170x ?=-12x +5x -36x-300, ? ?

1 2 1 L′(x)=- x +10x-36=- (x-36)(x-4). 4 4 令 L′(x)=0 得 x1=4,x2=36, 当 4<x<36 时, L′(x)>0;当 x>36 时,L′(x)<0. ∴L(36)=996 是 L(x)的最大值,

点评:(1)解决此类有关利润的实际应用题,应灵活 运用题设条件,建立利润的函数关系,常见的基本等量 关系有:①利润=收入-成本;②利润=每件产品的利 润×销售件数. (2)对于单峰函数来说极值点就是最值点.

1.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日 的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克) a 满足关系式 y= +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常 x-3 数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值;(2)若该商品的成本为 3 元/千克,试 确定销售价格 x 的值, 使商场每日销售该商品所获得的 利润最大.

a 解析:(1)因为 x=5 时,y=11,所以 +10=11,所以 a=2. 2

2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2, x-3

所 以商场 每日销 售该商 品所获 得的利 润: f(x) = (x -
? 2 2? ? +10?x-6? ?=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. 3)· ?x-3 ?

从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)· (x-6).

当 x∈(3,4)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;当 x ∈(4,6),f′(x)<0,f(x)是减函数. 所以 x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点, 也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大 值为 f(4)=42.

题型2

面积、容积的最值问题

例2 在边长为60的正方形铁皮的四角切去相等的正方 形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子, 箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大是多少?

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?60-x? 解析:设箱底边长为 x,则箱高 h= ,箱 2

?60x2- x3? 子容积 V(x)= .令 V′(x)=60x-1.5x2=0, 2 解得 x=0(舍去)或 x=40.并求得 V(40)=16 000.

由题意可知,当 x 过小、过大时,箱子容积很小, 因此 16 000 是最大值. 即箱底边长为 40 时,箱子容积最大,最大是 16 000.

点评:(1)解决有关面积、容积的最值问题, 要正确引入变量,将面积或容积表示为变量的函 数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数 的最值. (2)借助直角坐标系来沟通变量间的关系,是 处理几何问题的常用方法.

跟 踪 训 练

2.已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶 点位于抛物线 y=4-x 在 x 轴上方的曲线上,求这 个矩形面积最大时的边长.
解析:如图,
2

跟 踪 训 练

设矩形边长 AD = 2x(0<x<2) ,则 AB = y = 4 - x2(y>0), 则矩形的面积 S=2x(4-x2)(0<x<2), 即 S=8x-2x , S′=8-6x , 2 3 令 S′=0,解得 x1= , 3
2 3

跟 踪 训 练

2 3 x2=- (舍去). 3 2 3 2 3 当 0<x< 时,S′>0;当 <x<2 时,S′<0; 3 3

2 3 32 3 所以当 x= 时, S 取得最大值, 此时 S 最大值= , 3 9 4 3 8 即矩形边长分别为 , 时,矩形面积最大. 3 3

题型3

用料最省问题

例3 要设计一个容积为V的圆柱形水池(无盖), 已知底面的
单位面积造价是侧面的单位面积造价的2倍.如何设计水池的 底面半径和高, 才能使总造价最省?

解析:设高为 h,底面半径 R, 侧面单位造价为 a, 则表面积 S=2πRh+πR .所以, 总造价 P=2aπRh+ 2a 2aπRV 2 πR .由 V=πR h,则 P(R)= 2 +2aπR .令 P′(R) πR
2 2 2

-2aV = 2 +4aπR=0,

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3 V 3 V V 得 R= ,从而 h= 2 =2 ,即 h=2R. 2π πR 2π 因为 P(R)只有一个极值,所以它是最小值. 即当水池的高与底直径相等时,所用总造价最省.
点评:①建立函数后要写出定义域.②对于含参数的函数 模型,不但要注意参数的范围,而且若参数对最值 (实际上是 对单调性)有影响时,需对参数分类讨论.

3.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相 距 m 米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥 墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 + x )x 万 元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考 虑其他因素.记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米 时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

解析:(1)设需新建 n 个桥墩,则(n+1)x=m, m 即 n= -1(0<x<m), x 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x
? ? ?m ? m =256? -1?+ (2+ x ?x ?

x )x

256m = +m x+2m-256(0<x<m). x

256m 1 1 m 3 (2)由 (1)知,f′(x)=- 2 + mx- = 2x -512. x 2 2 2x 2 3 令 f′(x)=0,得 x =512,所以 x=64. 2 当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数; 当 64<x<640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增 函数,所以 f(x)在 x=64 处取得最小值, 此时
? 640 ?m ? ? n=? ?-1= -1=9. 64 ?x ?

故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小.


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