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宁夏银川一中2013届上学期高三年级第三次月考数学试卷(理科)


宁夏银川一中2013届上学期高三年级第三次月考数学试卷(理科)
第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.集合 A. , B. ,则下列结论正确的是( )

C. D. 2.已知 S n 为等差数列 ?a n ? 的前 n 项的和, a 2 ? a 5 ? 4 , S 7 ? 2 1 ,则 a 7 的值为( A.6

)

B. 7 C. 8 D. 9 ? ? ? ? ? 3.已知向量 a ? (cos ? , ? 2), b ? (sin ? ,1), a // b 则 tan (? ? ) 等于( ) 4 1 1 A.3 B. ? 3 C. D. ? 3 3 ??? ? ?? ? ?? ? ? 4.已知平面向量 m , n 的夹角为 , 且 m ? 3 , n ? 2 ,在 ? ABC 中, A B ? 2 m ? 2 n , 6 ???? ?? ? ???? A C ? 2 m ? 6 n , D 为 BC 中点,则 A D ? ( ) A.2 5. a
?

B.4
2 1

C.6
x

D.8 )

?

3 x dx

2

,函数 f(x)= 2 e ? 3 x ? a 的零点所在的区间是( B. (-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

A. (-2,-1)

6.如图,设 A、B 两点在河的两岸, 一测量者在 A 的同侧所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50m, ∠ACB=45o,∠CAB=105o 后, 就可以计算出 A、 两点的距离为( B )

A. 5 0 2 m

B. 5 0 3m
1 2

B. 2 5 2 m
a 3 , 2 a 2 成等差数列,则

D.

25 2 2

m

7. 已知各项均为正数的等比数列 ? a n ? 中, 3a 1 , A. ? 1 或 3 B.3 C.27
3

a 11 ? a 13 a 8 ? a 10

?(

)

D.1 或 27
4?

8.如果函数 y= 3cos(2x+φ )的图像关于点( A.
?
6

,0)中心对称,那么|φ |的最小值为( D.
?? ?

)

B.

?
4
?? ?

C.
1 3

?
3

?
2
?? ? ?? ?

9. 如右图,在△ A B C 中, A N ?

?? ?

N C , P 是 B N 上的一点,若 A P ? m A B ?

2 9

A C ,则实数 m

1

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的值为(

)

A.

1 9

B

1 3

C. 1

D.

3

1 x ? 2 ? ( ) , x ? 0, ? ? 3 10. 已知直线 y ? m x 与 函 数 y ? f ( x ) ? ? 的图象恰好有 3 个不同的公共点, ? 1 x 2 ? 1, x ? 0 ?2 ?

则实数 m 的取值范围是( A. ( 3 , 4 )
a ? 1)

) C. ( 2 , 5) 满足
f ( x) ? g ( x) ? a
x

B. ( 2 , ? ? )
f ( x ) 和偶函数 g ( x ) a

D. ( 3 , 2 2 )
?a
?x

11.已知定义在 R 上的奇函数 ,若 g ( 2 ) ? ,则
17 4
0

? 2(a ? 0, 且

f (2)

=(

) C.
15 4

A. 2

B.

D. a

2

12.在三角形 ABC 中,B=60 ,AC= 3 , A.3 B.
3

则 AB+2BC 的最大值为( D. 2 7 第Ⅱ卷

)

C.

7

本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. ) 2? 13. 在△ ABC 中,若 b ? 1 , c ? 3 , ? C ? ,则 S ? ABC ? ______ .
3 ? ? 14.向量 a ? (3, 4 ) 在向量 b ? (1, 0 ) 方向上的投影为__________.

15. 已知向量 OA =(3,-4), OB =(6,-3), OC =(5-m,-3-m)若∠ABC为锐角,则实数 m 的取值范围是__________. 16. 设函数 f ( x ) ? x x ? bx ? c ,给出以下四个命题: ①当 c=0 时, f ( ? x ) ? ? f ( x ) 成立; 有 ②当 b=0,c>0 时, 方程 f ( x ) ? 0 , 只有一个实数根; ③函数 y ? f ( x ) 的图象关于点 (0,
c? b
2

c)对称 ④当 x>0 时;函数 f ( x ) ? x x ? bx ? c , f ( x ) 有最小值是 确的命题的序号是_________ 三、解答题(要求写出必要的计算步骤和思维过程。 ) 17. (本小题满分 12 分)

。其中正

2

n 在△ABC 中, 内角 A、 C 所对边的长分别为 a、 c, B、 b、 已知向量 m =(1,cosA -1), =(cosA,1)

且满足 m ⊥ n . (Ⅰ)求 A 的大小;
2

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(Ⅱ)若 a=

3

,b+c=3 求 b、c 的值.
π 2

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? A sin (? x ? ? ) 所示.
( A ? 0, ? ? 0, ? ? ) ( x ? R )的部分图像如图

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x ) ? f ( x ) ? 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a 1 ? (Ⅰ)问:数列 {
1 Sn

3 f (x ?

?
4

) ,且 tan ? ?

2 ,求 g (? ) 的值.

1 2

, a n + 2 S n S n ?1= 0 ( n ? 2 ) .

} 是否为等差数列?并证明你的结论;

(Ⅱ)求 S n 和 a n ; 20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)已知函数 f(x)=x2+lnx-ax 在(0,1)上是增函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设 g(x)=e2x-aex-1,x∈ ?0 , ln 3 ? ,求 g(x)的最小值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ax ? 1 ? ln x ( a ? R ) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,对 ? x ? ( 0 , ?? ) , f ( x ) ? bx ? 2 恒成立, 求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)当 0 ? x ? y ? e 且 x ? e 时,试比较
2

y x



1 ? ln y 1 ? ln x

的大小.

22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B.C,∠APC 的平分线分别交 AB.AC 于点 D.E.

3

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(Ⅰ)证明:∠ADE=∠AED; (Ⅱ)若 AC=AP,求
PC PA

的值.

23. (本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 已知某圆的极坐标方程是 ? 2 ? 4 2 ? cos( ? ?
?
4 ) ? 6 ? 0 ,求

(Ⅰ)求圆的普通方程和一个参数方程; (Ⅱ)圆上所有点 ( x , y ) 中 xy 的最大值和最小值. 24. (本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 设函数 f ( x ) ? | 2 x ? m | ? 4 x . (I)当 m=2 时,解不等式: f ( x ) ≤1; (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ? 2 的解集为{xlx≤—2},求 m 的值。

4

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银川一中 2013 届高三第三次月考数学(理科)参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答数 1 C
3 4

2 D

3 B

4 A
3 4
1 2

5 C
1 2

6 A
1 2

7 C

8 A

9 A

10 B

11 C

12 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分 13. 14. 3 15. (- , )∪( ,+∞) 16. 123

三、解答题 17.(1) m ? n (2)a=
2

? 0

,cosA=

,A 为△ABC 内角,∴A=60?

3
2

,A=60?,由余弦定理

a =b +c2-2bccosA 得 a2=(b+c)2-2bc-2bccosA ∵b+c=3, ∴3=9-3bc,bc=2 由? 18.
?b ? c ? 3 ? bc ? 2 ?b ? 1 ?b ? 2 或? ?c ? 2 ?c ? 1

得?

19.解析: (1)由已知有 S 1 ? a 1 ? 所以
1 Sn ? 1 S n ?1 ? 2 ,即 { 1 Sn

1 2



1 S1

? 2 ; n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ? 2 S n S n ?1

} 是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列.

(2)由(1)得:

1 Sn

? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n , S n ?

1 2n

当 n ? 2 时, a n ? ? 2 S n S n ?1 ? ?

1 2 n ( n ? 1)



当 n ? 1 时, a 1 ?

1 2

,所以 a n

?1 ? 2 ( n ? 1) ? . ? ? 1 ?? (n ? 2) ? 2 n ( n ? 1) ?
1 x

20.解:(1) f ? ( x ) ? 2 x ?

1 x

? a ,∵f(x) 在(0,1)上是增函数,∴2x+

-a≥0 在(0,1)

5

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上恒成立,即 a≤2x+ ∴只需 a≤(2x+ ∴2x+
1 x 1 x

1 x

恒成立,

)min 即可. …………4 分
2 2

≥ 2 2 (当且仅当 x=

时取等号) ,

∴a≤ 2 2 …………6 分 (2) 设 e ? t ,? x ? ?0 , ln 3 ?,? t ? ?1, 3 ?.
x

设 h (t ) ? t

2

? at ? 1 ? ( t ?
a

a 2

) ? (1 ?
2

a

2

)



4

其对称轴为 t= ∴t=
a 2

,由(1)得 a≤ 2 2 , …………8 分
a 2

≤ 2<
a 2

2 3 2

则当 1≤ 当
a 2

≤ 2 ,即 2≤a≤ 2 2 时,h(t)的最小值为 h(

)=-1-

a

2

,

4

<1,即 a<2 时,h(t)的最小值为 h(1)=-a …………10 分
a
2

当 2≤a≤ 2 2 时 g(x) 的最小值为-1-

,

4

当 a<2 时 g(x) 的最小值为-a. …………12 分 21 解: (Ⅰ) f
?( x ) ? a ? 1 x ? ax ? 1 x

, a 当

?0

时, f ?( x ) ? 0 在 ( 0 , ?? ) 上恒成立, 函数 f ( x ) 在

( 0 , ?? ) 单调递减,∴ f ( x )

在 ( 0 , ?? ) 上没有极值点;
1 a

当a

?0

时, f ?( x ) ? 0 得 0 ? x ?
1 a 1 a

, f ?( x ) ? 0 得 x ?

1 a


? 1 a

∴ f ( x ) 在 ( 0, ) 上递减,在 ( , ? ? ) 上递增,即 f ( x ) 在 x ∴当 a 当a
?0

处有极小值.

时 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上没有极值点,
? 1,

?0

时, f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上有一个极值点. ····················· 分 ··········· ·········· ·········· ·········· 3
1 x ln x x

(Ⅱ)∵函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,∴ a ∴
f ( x ) ? bx ? 2 ? 1 ? 1 x ? ln x x ? ?b

,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 分 ··········· ·········· ····· 5 ·········· ··········· ·····

令 g (x) ? 1 ?

,可得 g ( x ) 在 ?0 , e 2 ? 上递减,在 ?e 2 , ?? ? 上递增,
1 e
2

∴ g ( x ) min ? g ( e 2 ) ? 1 ?

,即 b ? 1 ?
1 ? ln x x

1 e
2

. ··········· ··········· · 分 ··········· ·········· · 7 ·········· ··········· ·

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 g ( x ) ? 1 ?

在(0,e2)上单调减

∴0<x<y<e2 时, g ( x ) ? 即
1 ? ln x x ? 1 ? ln y y

g ( y)

6

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当 0<x<e 时,1-lnx>0,∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴ 当 e<x<e 时,1-lnx<0,∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴
2

y x y x

? ?

1 ? ln y 1 ? ln x 1 ? ln y 1 ? ln x

1

∴ ∠C=∠APC=∠BAP= 3 ×90°=30°.
CA PC

………………………………9 分

在 Rt△ABC 中, AB = 3 , ∴ PA

?

CA AB = 3 .………………………………10 分

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