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专题四中档大题(四)


中档大题(四) 1.(2013· 高考陕西卷)在一场娱乐晚会上,有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱,由现场 数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手, 其中观众 甲是 1 号歌手的歌迷,他必选 1 号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名.观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱,因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求 X 的分布列及数学期望. 2.(2013· 河南省洛阳市高三年级统一考试)如图,在四棱锥 PABCD 中,平面 PAB⊥平 面 ABCD,AD∥BC,∠ABC=90° ,PA=PB=3,BC=1,AB=2,AD=3,O 是 AB 的中点. (1)证明:CD⊥平面 POC; (2)求二面角 CPDO 的余弦值. 3. (2013· 河北省普通高中高三教学质量检测)已知正项数列{an}, {bn}满足 a1=3, a2=6, {bn}是等差数列,且对任意正整数 n,都有 bn, an,bn+1 成等比数列. (1)求数列{bn}的通项公式; b2 1 1 1 n+1 (2)设 Sn= + +?+ ,试比较 2Sn 与 2- 的大小. a1 a2 an an+1 4.(2013· 安徽省“江南十校”高三联考)如图 1,直角梯形 ABCD 中,∠A=∠B=90° , AD=AB=2,BC=3,E,F 分别是 AD,BC 上的点,且 AE=BF=1,G 为 AB 的中点,将 四边形 ABFE 沿 EF 折起到图 2 所示的位置,使得 EG⊥GC,连接 AD,BC,AC,得图 2 所 示的六面体. (1)求证:EG⊥平面 CFG; (2)求二面角 ACDE 的余弦值. 5. (2013· 湖北省八市高三 3 月联考)如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”. 图中竖直线 段和斜线段都表示通道,并且在交点处相遇,若竖直线段有一条的为第一层,有二条的为第 二层,?,依次类推.现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动,若在通道的分叉处,小 弹子以相同的概率落入每个通道. 记小弹子落入第 n 层第 m 个竖直通道(从左至右)的概率为 P(n,m),某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第 n 层的第 m 个通道的次数服从二项分 布,请你解决下列问题. (1)试求 P(2,1),P(3,2)及 P(4,2)的值,并猜想 P(n,m)的表达式;(不必证明) ?4-m?1≤m≤3? ? (2)设小弹子落入第 6 层第 m 个竖直通道得到分数为 ξ,其中 ξ=? , ? ?m-3?4≤m≤6? 试求 ξ 的分布列及数学期望. 6. (2013· 湖北省八校高三第二次联考)如图, 四边形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, DB=2, DC=1,BC= 5,AB=AD= 2.将左图沿直线 BD 折起,使得二面角 A-BD-C 为 60° ,如 右图. (1)求证:AE⊥平面 BDC. (2)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值. 中档大题(四) 1. 【解】(1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”,B 表示事件“观众乙选中 3 号歌 手”, C1 2 C2 3 2 4 则 P(A)= 2= ,P(B)= 3= . C3 3 C5 5 ∵事件 A 与 B 相互独立, - - ∴观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 P(A B

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