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圆的标准方程课件


4.1.1 圆的标准方程
y O

A

x

r

郑 仁 涧 高一(8)班 2015年5月11日

复习引入 两点 确定一条直 1.在平面直角坐标系中,________
线;_________ 一点 和_________ 倾斜角 也可确定一条直线。 2.圆

的定义:

平面内,到定点的距离等于定长的点的集 _______________________________________ 合.
3.平面直角坐标系中,如何确定一个圆?
圆心坐标:确定圆的位置 半径大小:确定圆的大小

探究新知 在直角坐标系中,圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程 是什么? 设点M (x,y)为圆C上任一点,则 y MC = r M(x,y)

( x - a ) + ( y - b) = r
(x-a)2+(y-b)2=r2

2

2

O

C

x

想一想?

问题:是否在圆上的点都适合这个方程?是否 适合这个方程的坐标的点都在圆上?

圆的标准方程

标准方程

y

M(x,y)

( x - a) + ( y - b) = r
圆心C(a,b),半径r

2

2

2

O

C

x

2 2 2 x + y = r 1.若圆心为原点,半径为r,则圆的方程为:

2.若圆心为原点,半径为1,则圆的方程为: x + y = 1

2

2

( x - a) 2 + ( y - b) 2 = r 2 巩固练习 1.说出下列圆的方程:

(1) 圆心在点C(-3, 4), 半径等于 5 .

(x + 3) + (y - 4) = 5
(2) 圆心在点C(8,-5),且经过点M(5,1).
r= ( 8 - 5) + ( - 5 - 1) = 45
2 2

2

2

(x - 8) + (y + 5) = 45
2

2

2

(3)已知A(2,5),B(0,-1),线段AB为圆的直径.
2 2 (x - 1) +( y - 2) = 10 3, - 2) ,半径 2.圆(x - 3) + (y + 2) = 13 的圆心为 (

2 - 1) + ( 5 - 2) = 10 圆心( 1,2) r = (
2 2

2



13



典型例题

( x - a) 2 + ( y - b) 2 = r 2

例1 写出圆心为 A( 2,-3) ,半径长等于5的圆的方 程,并判断点 M 1 (5,-7) , M 2 (- 5,-1)是否在这个圆上。

解:圆心是 A( 2,-3) ,半径长等于5,圆的标准方程是: 把 M 1 (5,-7) 的坐标代入方程( x - 2) 2 + ( y + 3) 2 = 25 左右两边相等,点M 1 的坐标适合圆的方程,所以点 M 1在这个圆上; 把点 M 2 (- 5,-1) 的坐标代入此方程,左右两边 不相等,点M 2的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2 不在这个圆上.
M2在圆内还是圆外?

( x - 2) + ( y + 3) = 25

2

2

( x - a) 2 + ( y - b) 2 = r 2
例1 写出圆心为 A( 2,-3) ,半径长等于5的圆的方 程,并判断点 M 1 (5,-7) , M 2 (- 5,-1)是否在这个圆上。

判断点是在圆上、圆内、还是圆外,只需 判断点到圆心的距离与半径的大小。

? M 2 A ? (- 5 - 2) ? (-1 ? 3) ? 13 ? 4 5 ? 5 ? r ∴ M 2 在圆内 2 2 变式训练1.若点 A(3, a) 在圆 x + y = 16 的 内部,则a的取值范围是 2 ______________ 解:由 AO ? 9 ? a ? 4知 - 7 ? a ? 7
2 2

点与圆的位置关系

( x - a) 2 + ( y - b) 2 = r 2

探究:在平面直角坐标系中,如何确定点P(x0,y0) 2 2 2 ( x a ) + ( y b ) = r 与圆C: 的位置关系?

P
C C

P

P

C 点在圆外
|CP|>r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2;

点在圆内
|CP|<r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2

点在圆上
|CP|=r
(x0-a)2+(y0-b)2=r2

点与圆的位置关系

点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点M在圆C外; 点M在圆C上;

(x0-a)2+(y0-b)2<r2

点M在圆C内.

典型例题 例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。 解:设所求圆的方程为: 待定系数法

( x - a) + ( y - b) = r
?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ( 7 ? a ) ? ( ? 3 ? b ) ? r ? ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?

2

2

2

因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上

?a ? 2, ? ?b ? -3, ? r ? 5. ?

所求圆的方程为 ( x - 2) 2 + ( y + 3) 2 = 25

典型例题
例3 求圆心C在直线l:x+y-2=0上,且经过点P(1,0)和 Q(-1,2)两点的圆的方程.

解1:设圆C的方程为 ( x - a) + ( y - b) = r ∵圆心在直线l:x+y-2=0上 且圆经过P(1,0),Q(-1,2)
?a ? b ? 2 ? 0 ? 2 2 2 ( 1 ? a ) ? ( 0 ? b ) ? r ? ?(?1 ? a ) 2 ? (2 ? b) 2 ? r 2 ?

2

2

2
y

所求圆的方程为 ( x - ) + ( y - ) =

1 2 2

?a ? , ? 3 b ? ? 2 ? 10 O r ? 2 . ?
1 2
3 2 2 5 2

Q

C

P

x

典型例题
例3 求圆心C在直线l:x+y-2=0上,且经过点P(1,0)和 Q(-1,2)两点的圆的方程.
? 线段 PQ中点 D?0, 1?,K PQ ? 解2:? P(1,0)和Q(-1,2) 2?0 ? ?1 ?1 ?1

∴线段PQ的中垂线CD的方程为: y = x+1

1 ? ?x ? 2 ?x ? y ? 2 ? 0 联立直线l、CD的方程, ,解得? ? 3 ? x ? y ?1 ? 0 ?y ? 2 ? ? 1 ,3 ? ∴圆心C的坐标为? , ? ?2 2?
10 ?1 ? ?3 ? ? r ? PC ? ? ? 1? ? ? ? 0 ? ? 2 ?2 ? ?2 ?
2 3 2 ∴圆的标准方程是: (x - 1 ) + ( y 2 2) = 5 2
2 2

即: x - y + 1= 0

达标检测 1.求满足下列条件的圆的方程 (1)经过直线 x + 3 y 与 ,圆 3x - 2 y -P 12 =0 + 7 = 0 的交点 心为点C(-1,1); (x + 1)2 + (y - 1)2 = 25 (2)已知ΔAOB 的顶点坐标分别是 , ,) ,B 求 (0, A( 4, 0 O( 0, 0) 3) 外 ΔAOB 接圆的方程; 2 3 2 25

(x - 2) + (y - 2 ) = 4

(3)经过点C(-1,1)和D(1,3),圆心M在x轴上;
2 ( x - 2) + y 2 = 10

2.点P(m,5)与圆 x 2 + y 2 = 24 的的位置关系是(A)
A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定

思考题
3.以点 C (2,-1) 为圆心且与直线 3x - 4 y + 5 = 0 相切的圆 的方程为______________________

(x - 2)2 + (y + 1)2 = 9
4.已知圆的圆心C 在直线 2 x + y = 0 上,且与直线 - 1) ,求圆的标准方程. x + y - 1 = 0 切于点 A(2,

(x - 1) + (y + 2) = 2
5.下列方程表示什么图形? (1) x 2 + y 2 = 0 (2) y = 1 - x 2

2

2

(3) x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 4 = 0
以(-1,2)为圆心, 3为半径的圆

点(0,0)

单位圆的 上半圆

反思小结
1.方法归纳
⑴圆的标准方程:( x - a) 2 + ( y - b) 2 = r 2 (圆心C(a,b),半径r) ⑵利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径. ⑶比较点到圆心的距离与半径的大小,能得出点与圆 的位置关系. 2.圆的标准方程的两种求法: ⑴根据题设条件,列出关于 a, b, r 的方程组,解方程 组得到得 a, b, r 值,写出圆的标准方程. ⑵根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心 坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程.


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