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三次函数性质总结


三次函数的图像及性质
形如 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 的函数叫做三次函数, 其中 x 是 自变量, a, b, c, d 是常数。它具有以下性质: 1、图像、单调区间与极值 三次函数求导以后是二次函数, f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,它的零点 个数决定了三次函数的极值情况与单调区间, 下面是三次函数及其对 应的导函数全部共六种图像:
f ?( x) f ?( x) f ?( x)

x

x

x

f ( x)

f ( x)

f ( x)

a?0 a?0
f ( x) f ( x) f ( x)

x

x
f ?( x)

x

f ?( x)

f ?( x)

2、零点个数 若方程 f ?( x) ? 0 的判别式 ? ? 0 , 则 f ( x) 在 R 上是单调函数, 无极 值,值域为 (??, ??) ,故有唯一的零点。 若方程 f ?( x) ? 0 的判别式 ? ? 0 ,方程有两个不等的实根 x1 、 x2 , 它们是函数 f ( x) 的极值点,则:

(i)当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 时, f ( x) 有一个零点;
f ( x)
x

f ( x)

x

f ( x)
x

f ( x)

x

(ii)当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 时, f ( x) 有两个零点;
f ( x)
x

f ( x)

x

f ( x)
x

f ( x)

x

(iii)当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 时, f ( x) 有三个零点。
f ( x)
x

f ( x)
x

3、对称中心 三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 一定有对称中心。其对称 中心的横坐标为 x ? ?

b 。 3a

4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数
2条 3条 1条 1条 1条 3条 2条


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