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充要条件


集 合 1.2.1 充要条件

集合 集合

判断命题的真假:
(1)如果 x=y,则 x2 = y2;( 真 ) (2)在△ABC 中,如果 AB=AC,则 ?B=?C ;( 真 )

(3)如果(x-2)(x-3)=0,则 x-2=0. ( 假 )

“如果 p,则 q” 是真命题.

我们就说由 p 可推出 q,
记作 p ? q,读作“p 推出 q”.

p 推出 q ,通常还表述为
p 是 q 的充分条件;

或 q 是 p 的必要条件.
即 如果 p,则 q(真); p ? q; p 是 q 的充分条件; q 是 p 的必要条件. 这四句话表达的是同一逻辑关系.

例如 (1)“如果 x=y,则 x2=y2 ” 是真命题,这个命题

还可表述为哪几种形式?
解 还可以表述为 (1) x=y ? x2=y2; (2) x=y 是 x2=y2 的充分条件; (3) x2=y2 是 x=y 的必要条件.

(1)“在△ABC 中,如果 AB=AC,则?B=?C”, 这个命题还可表述为哪几种形式?



还可以表述为

(1)在 △ABC 中,AB=AC ? ?B= ?C;

?

你发现了 什么?

(2)在 △ABC 中,AB=AC 是?B=?C 的充分条件; (必要条件) (3)在 △ABC 中,?B=?C 是 AB=AC 的必要条件. (充分条件) 反过来, “在△ABC 中,如果 ?B=?C ,则AB=AC”,

是否正确? 它还可表述为哪几种形式?

一般地,如果 p 是 q 的充分条件(p ? q ),

p 是 q 的必要条件( p ? q ),则称 p 是 q 的充分
必要条件,简称充要条件. 记作 p ? q. 显然,如果 p 是 q 的充要条件, 那么 q 也是 p 的充要条件. 又常说成 q 当且仅当 p ,或 p 与 q 等价.

练习 1

用“充分条件”“必要条件”“充要条件”填空:
(1) p: x 是整数是 q: x 是有理数的 充分条件 ;

(2) p: x=3 是 q: x2=9 的

充分条件


充要条件 必要条件 ; .

(3) p:同位角相等是 q:两直线平行的 (4) p:(x-2)(x-3)=0 是 q: x-2=0 的

例 已知 p 是 q 的充分条件,s 是 r 的必要条 件, p 是 s 的充要条件,求 q 与 r 关系.

解 根据已知可得

p ? q,r ? s, p ? s .
所以 所以 即 r ? s ? p ? q. r ? q.

r 是 q 的充分条件,q 是 r 的必要条件.

练习2

用“充分而不必要条件”“必要而不充分条件” “充要条件” “既不充分也不必要条件”填空.

(1)a=b 是 a c=b c 的(

); );

(2)两个三角形全等是两个三角形相似的(

(3)四边形的对角线相等是四边形是矩形的(
(4)a+5 是无理数是 a 是无理数的( ).

);

本节课学习的内容:

(1)前推后充分;
(2)后推前必要; (3)互推充要; (4)不能推,既不充分又不必要.

教材 P 25 ,习题第 1、2题 .

集 合 1.2.2 子集与推出的关系

集合 集合

1. 口答: (1) 什么情况下 p 是 q 的充要条件? (2) 什么情况下 p 是 q 的充分条件? (3) 什么情况下 p 是 q 的必要条件?

2. 用“充分条件”“必要条件”“充要条件”填空: (1) x 是整数是 x 是有理数的 (2) x>5 是 x>3 的 分析 (1) 从推出观点看: x 是整数 ? x 是有理数; 从两个集合关系看:{x | x是整数} 是 {x | x是有理数} 的子集. (2) 从推出观点看:x>5 ? x>3; 从两个集合关系看: {x | x>5 } 是 {x | x>3} 的子集. ; .

1. 集合 Q=? x ? x 是有理数?,R=? x ? x 是实数? .

R

Q

Q 是 R 的子集;

命题“如果 x 是有理数,则 x 是实数”正确;
即 x 是有理数 ? x 是实数.

2. 集合 A=? x ? x 是山东省公民?,
集合 B=? x ? x 中国公民?.

A 是 B 的子集; 命题“如果我是山东省公民,则我是中国公民”正确.

一般的,集合 A=? x | p(x) ?,B=? x ? q(x) ?,
且 A ? B, 则 x?A? x?B,

于是 x 具有性质 p ? x 具有性质 q ,即 p ? q.
反之,如果 A 中的所有元素 x 都具有性质 q(x) , 则 A 一定是 B 的子集,即 A ? B .

B

x

A

例1 判断下列集合 A 与 B 的关系.
(1) A={ x | x 是 12 的约数},B={ x | x 是 36 的约数}; (2) A={ x | x>3 },B={ x | x>5 };

(3) A={ x | x 是矩形},
B={ x | x 是有一个角为直角的平行四边形}. 解 (1) 因为 x 是 12 的约数 ? x 是 36 的约数,

所以 A ? B;
(2) 因为 x>5 ? x>3, 所以 B ? A;

(3) 因为 x 是矩形 ? x 是有一个角为直角的平行四边形,
所以 A=B.

例2 已知 A={ x | x 是等腰三角形},B={ x | p ( x )}, 试确定一个集合 B,使 A ? B. 解 A ? B, 则 x 是等腰三角形 ? x 是 p ( x ), p ( x )= x 是三角形, 所以 B={ x | x 是三角形}.

本节课学习了以下内容:

我们可以通过判断两个集合之间的关系来判断它
们的特征性质之间的关系.

设 A={ x | p },B={ x | q }.
若 p ? q ,则 A ? B. 反之亦然.

教材 P 26,习题第 4 题.


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