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3.2.1立体几何中的向量方法二:空间角


3.2.4 立体几何中的向量方法 ——夹角问题 ——夹角问题

线线角: 线线角:
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v ,则

(1) l , m的夹角为θ, cos θ = cos < a, b >

l

l

a

θ

b

m

b

a

θ

m

线面角: 线面角:
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v ,则

(2) l , α的夹角为θ, sin θ = cos < a, u >

l

l

a u
α
cos(

a
θ α
π cos( + θ) = cos < a, u > 2

θ

π - θ) = cos < a, u > 2

u

面面角: 面面角:
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v ,则

(3) α , β 的夹角为θ, θ = ±cos < u, v > cosθ cos

u

β

v
θ

α

夹角问题: 夹角问题:
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v ,则

(3) α , β 的夹角为θ, 则cosθ = ±cos < u, v > cosθ cos

u v
α

β

θ

例1:

的棱长为 1.

求 B 1 C 1与 平 面 A B 1 C 所 成 的 角 的 正 弦 值 .
解1

z
D1 C1
D B1 E

A1

F
x

A y B

C

例1:
建立直角坐标系. 解2 建立直角坐标系
则B1C1 = (0,-1, 0),

的棱长为 1.

求 B 1 C 1与 平 面 A B 1 C 所 成 的 角 的 正 弦 值 .
z
D1 C1
D B1 E

A1

平面AB1C的一个法向量为 D1B = (1,1, 1) ?

0 ?1+ 0 3 =? cos BD1,1C1 = B 3 1? 3

F
x

A y B

C

3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面 例2 如图,在四棱锥 中 底面ABCD是 是 正方形,侧棱 ⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 正方形,侧棱PD⊥底面 , 是 的 中点, 于点F. 中点,作EF⊥PB交PB于点 ⊥ 交 于点 (1)求证:PA//平面 求证: 平面EDB 求证 平面 (2)求证:PB 求证: 求证

P F
D A B

⊥平面 平面EFD

(3)求二面角 求二面角C-PB-D的大小。 的大小。 求二面角 的大小

E

C

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面 例2 如图,在四棱锥 中 底面ABCD是 是 正方形,侧棱 ⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 正方形,侧棱PD⊥底面 , 是 的 中点, 于点F. 中点,作EF⊥PB交PB于点 ⊥ 交 于点 (1)求证:PA//平面 求证: 平面EDB 求证 平面 (2)求证:PB 求证: 求证

P F
D A B

⊥平面 平面EFD

(3)求二面角 求二面角C-PB-D的大小。 的大小。 求二面角 的大小

E

解1

设DC=1.
C

已知PB ⊥ EF , 由(2) 可知PB ⊥ DF , 故∠EFD是二 面角C ? PB ? D的平面角。

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面 例2 如图,在四棱锥 中 底面ABCD是 是 正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 正方形,侧棱 ⊥底面 , 是 的 中点, 于点F. (3) 求二面角 求二面角C-PB-D 中点,作EF⊥PB交PB于点 ⊥ 交 于点 Z 的大小。 的大小。 解2 如图所示建立 P 空间直角坐标系,设DC=1. 平面PBC的一个法向量为 的一个法向量为 平面
1 1 DE = (0, , ) 2 2

F
D G

E

平面PBD的一个法向量为 的一个法向量为 平面
1 1 CG = ( , ? , 0) 2 2
A X

C B

Y

cos < DE1 , GC >= ?1/ 2

cos θ = 1/ 2, θ = 60

即x = k , y = k , z = 1 ? k
因为PB ? DF = 0

解3 建立空间直角坐标系,设DC=1. 已知PB ⊥ EF ,由(2)可知PB ⊥ DF , 故∠EFD是 二面角C ? PB ? D的平面角。 设点F的坐标为( x, y, z ), 则PF = ( x, y, z ? 1) Z 因为PF = k PB P 所以( x , y , z ? 1) = k (1,1, ?1) = (k , k , ? k )

F
D

E

所以(1,1,?1) ? (k , k ,1 ? k ) = k + k ? 1 + k = 3k ? 1 = 0A 1 1 2 X 1 F ( ,, ) 所以k = 3 3 3 3

C B

Y

1 1 2 1 1 点F的坐标为( , , ) 又点E的坐标为(0, , ) 3 3 3 2 2 1 1 1 1 1 2 所以FE = (? , ,? ) FD = (? , ? , ? ) 3 6 6 3 3 3
因为 cos ∠EFD = FE ? FD FE FD

1 1 1 1 1 2 1 ( ? , ,? ) ? ( ? ,? ,? ) 3 6 6 3 3 3 =6=1 = 1 2 6 6 ? 3 6 3

所以∠EFD = 60 ,即二面角 C ? PB ? D的大小为 60 .

例3、在底面是直角梯形的 四棱锥S ? ABCD中, ∠ABC = 90 , SA ⊥ 平面ABCD, SA = AB = BC = 1, 1 AD = .求平面SCD与平面SBA所成的二面角的 2 z 正切值. y
S C B

°

A

D

x

练1.在长方体ABCD ? A1B1C1D1 中,AD = AA1 = 1, AB = 2,点E在AB上,且AE = 2 ? 3,求二面角 D1 ? CE ? D的余弦值
A1
D

z
D1
B1

C1

x

A

·
E

C y B

练2如图,棱长为2的正方体ABCD ? AB1C1D1 . 中, 1 E、F分别是BB、DD的中点,求平面AEC1F与平面ABCD 1 1 所成角的余弦值
B1
E

z
A1
C1

D1

·
B

·F
D y

A

C

x

3
求 二 面 角 A - B D1 -C 的 大 小 .
解1

的棱长为 1.

D1 C1
D B1

A1

A B

C

练3:

的棱长为 1.

求 二 面 角 A - B D1 -C 的 大 小 .
建立直角坐标系. 解2 建立直角坐标系

z
D1 C1
D B1

平面ABD1的一个法向量为 平面
DA1 = (0,1,1)

A1

平面CBD 平面CBD1的一个法向量为
DC1 = (1, 0,1)

cos < DA1 , DC1 >= 1/ 2
cos θ = ?1/ 2, θ = 120

A y B

x

C

二 面 角 A - B D1 -C 的 大 小 为 1 2 0 .


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