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高一数学必修1第二章基本初等函数知识点整理


必修 1 第二章基本初等函数(Ⅰ)知识点整理
〖2.1〗指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算
(1)根式的概念 ①如果 xn ? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N ? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用 符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a

表示,负的 n 次方根用符号 ? n a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为偶数 时, a ? 0 . ③根式的性质: ( n a )n ? a ;当 n 为奇数时, a ? a ;当 n 为偶数时,
n n
n

(a ? 0) ?a . a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

(2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a ? n a m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于 0.②正 数的负分数指数幂的意义是:a
? m n
m n

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的负分数指数幂没有意 a a

义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ①

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R)



(ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R)



(ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R)
2.1.2 指数函数及其性质 (4)指数函数 函数名称 定义
x

指数函数 函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax

y
图象

y ? ax

y

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义域 值域

1

x 0
R
(0,+∞)
1

O

1

x 0

过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况

图象过定点(0,1) ,即当 x=0 时,y=1. 非奇非偶 在 R 上是增函数 y>1(x>0), y=1(x=0), 0<y<1(x<0) 在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越大图象越低,越靠近 x 轴. 在 R 上是减函数 y>1(x<0), y=1(x=0), 0<y<1(x>0) 在第一象限内, a 越小图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越小图象越低,越靠近 x 轴.

a 变化对
图象的影 响

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 (1)对数的定义 ①若 a ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? log a N ,其中 a 叫做底数, N 叫
x

做真数. ②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化: x ? loga N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . (2)几个重要的对数恒等式:

loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , log a ab ? b .
e

ln N , (3) 常用对数与自然对数: 常用对数: 即 log10 N ; 自然对数: 即o lg N , lg
(4)对数的运算性质 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ②减法: log a

. N(其中 e ? 2.71828 …)

①加法: loga M ? loga N ? loga (MN ) ③数乘: n loga ⑤ log ab M ?
n

M ? log a N ? log a

M N

M ? loga M n (n ? R)



a loga N ? N
N? logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

n log a M (b ? 0, n ? R) b

⑥换底公式: log a

【2.2.2】对数函数及其性质 (5)对数函数 函数名称 定义 图象 对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

2

y

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)
R

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)
在第一象限内, a 越小图象越靠低,越靠 近x轴 在第四象限内, a 越小图象越靠高,越靠 近y轴

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)
在第一象限内, a 越大图象越靠低,越靠 近x轴 在第四象限内, a 越大图象越靠高,越靠 近y轴

a 变化对 图
象的影响 (6)反函数的概念

设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x) 中解出 x ,得式子 x ? ? ( y ) .如果对于

y 在 C 中的任何一个值, 通过式子 x ? ? ( y ) ,x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子 x ? ? ( y ) 表
示 x 是 y 的函数, 函数 x ? ? ( y ) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数, 记作 x ? f (7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 y ? f ( x) 中反解出 x ? f ③将 x ? f
?1 ?1 ?1 ?1 习惯上改写成 y ? f ( x) . ( y) ,

( y) ;

( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质 ①原函数 y ? f ( x) 与反函数 y ? f
?1

( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.
?1

②函数 y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f
'

( x) 的值域、定义域.
?1

③若 P (a, b) 在原函数 y ? f ( x) 的图象上,则 P (b, a) 在反函数 y ? f

( x) 的图象上.

3

④一般地,函数 y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数.

〖2.3〗幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数. (2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第 一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非 偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数的图 象在 (0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴. ④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ? ?
q

q (其中 p, q 互 p
q

质, p 和 q ? Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x p 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x p 是偶
q

函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x p 是非奇非偶函数.
? ⑤图象特征:幂函数 y ? x , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方,若 x ? 1 ,

其图象在直线 y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方.

4


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