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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件:1-1-1 任意角


幻灯片 1 成才之路·数学 人教 A 版 · 必修 4 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 幻灯片 2 错误!未找到引用源。 幻灯片 3 错误!未找到引用源。 幻灯片 4

1. 1

任意角和弧度制

第一章
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1.1.1
课前自主预习 课堂典例讲练

任意角

课后强化作业 幻灯片 6

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[答案]

由两条具有公共端点的射线组成的图形

2.角按大小进行分类,可分为锐角、钝角和直

的范围为________,钝角的范围为________,直角 ________.

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新课引入

在花样滑冰比赛中,运动员的动作是那么优美! 地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止.

幻灯片 11

运动员在原地转身的动作中,仅仅几秒内就能

圈,甚至二十几圈,因此,花样滑冰美丽而危险.

我们利用以前学的角的范围是0° ≤α≤180° ,你

他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗?

幻灯片 12

自主预习 认真阅读教材P2-4,回答下列问题: 1.角

顶点
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端点 终边

始边

(2)分类:如下表. 任意角 正角 负角 零角 按 按 定义 时针方向旋转形成的角 时针方向旋转形成的角

一条射线没有作任何

形成的

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旋转
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[破疑点](1)确定任意角的大小要明确其旋转方

量;(2)零角的始边和终边重合,但始边和终边重合

定是零角,如周角等;(3)角的范围由0° ~360° 推广

后,角的加减运算类似于实数的加减运算.(4)画图

时,应注意箭头的方向不可丢掉,箭头方向代表角

将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120° 所得 ( ) A.120° C.60° B.-120° D.240°

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[答案]

A

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坐标轴

象限角

终边

-30° 是(

) B.第二象限角 D.第四象限角

A.第一象限角 C.第三象限角

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[答案]

D

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α+k· 360°
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[破疑点]理解集合S={β|β=α+k· 360° ,k∈Z}要 几点: (1)式中角α为任意角; (2)k∈Z这一条件必不可少;

(3)k· 360° 与α之间是“+”,如k· 360° -30° 应看 (-30° ),即与-30° 角终边相同;

(4)当α与β的终边相同时,α-β=k· 360° (k∈Z). 然.

(1)与95° 角终边相同的角是( A.-5° C.395° B.85° D.-265°

)

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(2)与210° 角的终边相同的角连同210° 角在内组 集合是________.

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[答案]

{β|β=210° +k· 360° ,k∈Z}

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[拓展]1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角 示 (1)象限角: 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 集合表示

{α|k· 360° <α<k· 360° +90° ,k∈

{α|k· 360° +90° <α<k· 360° +180° ,

{α|k· 360° +180° <α<k· 360° +270°

{α|k· 360° +270° <α<k· 360° +360°

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(2)轴线角: 角的终边的位置 终边落在x轴的非负半轴上

集合表示

{α|α=k· 360° ,k

终边落在x轴的非正半轴上 {α|α=k· 360° +180° 终边落在y轴的非负半轴上

{α|α=k· 360° +90°

终边落在y轴的非正半轴上 {α|α=k· 360° +270° 终边落在y轴上 终边落在x轴上 终边落在坐标轴上

{α|α=k· 180° +90°

{α|α=k· 180° ,k

{α|α=k· 90° ,k

(1)已知角 2α 的终边在 x 轴上方, 那么角 α 的范 A.第一象限角的集合 B.第一或第二象限角的集合 C.第一或第三象限角的集合 D.第一或第四象限角的集合

α (2)已知角 α 是第二象限角,2是第______象限角

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[解析] 的范围.

(1)根据 2α 终边的位置确定 2α 的范围

(2)可用不等式来表示第二象限角,然后对式中

论.讨论时分奇数和偶数两类进行;也可采用几何

一象限分成两等份,从第一象限开始按逆时针方向

域依次标上 1,2,3,4,循环标注,则标有 2 的区域即

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(2)锐角、0° ~90° 的角、小于90° 的角、第一象限 用Venn图表示,如图所示.

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[答案]

(2)
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[解析]

终边落在第一象限的角不一定是锐角,

角是第一象限角,但不是锐角,故(1)的说法是错误

第二象限角也不一定是钝角,故(3)的说法也是错误

90° 的角不一定为锐角,如负角,故(4)的说法是错误 上,只有(2)的说法是正确的.

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[警误区]注意锐角、钝角、直角、平角、周角的

限角、正角、负角、零角等概念的区别以及它们之 系.

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命题方向 1
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任意角

写出图(1)、(2)中的角 α、β、γ 的度数.

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[分析]

弄清角的始边与终边,并结合图形明确

始边到终边转过了多少度.注意逆时针旋转的一个 360° ,顺时针旋转的一个周角是-360° .

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(1)时钟走了 3 小时 20 分,则时针所转过的角 ________,分针转过的角的度数为________.

(2)如图,射线 OA 绕顶点 O 逆时针旋转 45° 到

并在此基础上顺时针旋转 120° 到达 OC 位置,则 ________.

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[解析]

(1)从时针和分针每小时或每分钟转过

入, 时针每小时转 30° , 分针每小时转 360° , 每分钟

分针都按顺时针方向旋转,故转过的角度数都是负

1 1 20 分即 33小时,故时针转过的角度数为-33×30° 1 分针转过的角度数为-3 ×360° =-1200° . 3

(2) 由角的定义可得∠ AOC =∠ AOB +∠ BOC 120° )=-75° .

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[分析]

解答本题(1)用α除以360° ,使余数为正

数在[0° ,360° )即可;(2)根据终边相同角的定义,用 k· 360° 列不等式求解.

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97 25 即-36≤k<-36 ∵k∈Z,∴k=-1或-2. 即250° +(-1)· 360° =-110° , 250° +(-2)· 360° =-470° .

幻灯片 45

规律总结:(1)借助于{α|α=β+k· 360° ,k∈Z 整k的值,使β落在[0° ,360° )即可.

(2)利用不等式求解此类题型是常见方法,另也

探取k=1,0,-1,-2等值,看是否能使 θ∈[-72

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(2)已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小 角},那么 A、B、C 的关系是( A.B=A∩C C.A C )

B.B∪C=C D.A=B=C

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[解析] (1)∵405° =360° +45° ,是与 45° 终边相 即与 405° 终边相同的角是 k· 360° +45° ,故选 C.

(2)A={第一象限角}={θ|k· 360° <θ<90° +k· 360°

={锐角}={θ|0<θ<90° },C={小于 90° 的角}={θ| 选 B.

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[解析]

由于 y=-x 的图象是第二、四象限的

在 0° ~360° 范围内所对应的两个角分别为 135° 及3

α 的集合为 S={α|α=k· 360° +135° 或 α=k· 360° +3

={α|α=2k· 180° +135° 或 α=(2k+1)· 180° +135° ,R ={α|α=k· 180° +135° ,k∈Z}.

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规律总结:写出终边落在某条过原点的直线

有两种方法:一是分别写出每条终边所代表的角的

并集;二是在其中一条终边上找出一个角,然后再 的整数倍.

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已知角β的终边在直线 3x-y=0上.

(1)写出角β的集合S;(2)写出S中适合不等式- 360° <β<720° 的元素.

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[解析]

(1)如图,直线 3 x-y=0过原点,倾斜

在0° ~360° 范围内,终边落在射线OA上的角是60° ,

射线OB上的角是240° ,所以以射线OA、OB为终边的 为:

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S1={β|β=60° +k· 360° ,k∈Z},S2={β|β=240 k· 360° ,k∈Z}, 所以,角β的集合S=S1∪S2

={β|β=60° +k· 360° ,k∈Z}∪{β|β=60° +180° k∈Z}

={β|β=60° +2k· 180° ,k∈Z}∪{β|β=60° +(2k 1)· 180° ,k∈Z} ={β|β=60° +n· 180° ,n∈Z}

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(2)由于-360° <β<720° ,即-360° <60° + n· 180°

7 11 解得- <n< ,n∈Z,所以n=-2,-1,0,1,2, 3 3 所以S中适合不等式-360° <β<720° 的元素为: 60° -2×180° =-300° ; 60° -1×180° =-120° ; 60° -0×180° =60° ; 60° +1×180° =240° ; 60° +2×180° =420; 60° +3×180° =600° .

命题方向 3
幻灯片 56

区间角的表示

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若角 α 的终边在下图中阴影所表示的范 α 角组成的集合为________.

[解析] 在 0° ~360° 范围内,终边落在阴影范围

60° ≤α≤150°, 故 满 足 条 件 的 角 的 集 合 为 { 60° ≤α≤k· 360° +150° ,k∈Z}.

幻灯片 58

[答案] {α|k· 360° +60° ≤α≤k· 360° +150° ,k∈

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写出图中区域所表示角α的集合(包括边界).

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[解析]

(1){α|k· 360° +30° ≤α≤k· 360° +90° ,k

{α|k· 360° +210° ≤α≤k· 360° +270° ,k∈Z}或写成{ 30° ≤α≤k· 180° +90° ,k∈Z}也可以. (2){α|k· 360° -45° ≤α≤k· 360° +45° ,k∈Z}.

探索延拓创新

命题方向 4
幻灯片 61

判断角所在的象限

α 已知角 α 是第二象限角,试确定 2α、2 的象限. [分析]

由角 α 为第二象限角, 可求出 α 的范围

α 2α 和 的范围, 然后讨论角所在的象限. 讨论依据是 2 的整数倍的角的终边相同.
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[解析]

∵α是第二象限角,

∴k· 360° +90° <α<k· 360° +180° ,k∈Z. (1)∵2k· 360° +180° <2α<2k· 360° +360°

∴2α是第三或第四象限的角或终边在y轴的非正

幻灯片 63

α (2)∵k· 180° +45° < <k· 180° +90° 2

α ∴当k=2n,n∈Z时,n· 360° +45° < <n· 360° + 2 第一象限角;

α 当k=2n+1,n∈Z时,n· 360° +225° < 2 <n· 360° α 是第三象限角. 2 α ∴2是第一或第三象限角.
幻灯片 64 [答案] B 幻灯片 65 幻灯片 66

[ 解析 ]

∵ φ 是第二象限角,∴ k· 360° + 90° <

φ 180° ,k∈Z,∴k· 180° +45° < <k· 180° +90° ,k∈Z, 2

第一或第三象限角,而-φ 显然是第三象限角,∴9 四象限角,故选 B.

幻灯片 67

集合概念理解错误

已知集合 A={α|α=k· 180° ± 45° ,k∈Z}

{β|β=k· 90° +45° ,k∈Z},则 A 与 B 的关系正确的是 A.A B C.A=B B.B A D.A B且B A

幻灯片 68

[错解]

∵k=0时,集合A中角α=± 45° ,集合B

45° ,∴B A,故选B. [辨析]

错解对集合概念理解错误.应从集合中

所在位置随k的变化入手解决,或用列举法解决.

幻灯片 69 幻灯片 70

[点评]

(1)可直接用列举法 A={??-225° ,

45° ,45° ,135° ,225° ,??},B={??-135° ,- 135° ,225° ,??},∴A=B.

(2)可从分析两集合中相等的角入手解决.由 k

n· 90° +45° 得,n=2k 或 n=2k-1,∵k∈Z,n∈Z,

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