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空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)


空间向量与立体几何
【知识要点】 1.空间向量及其运算: (1)空间向量的线性运算: ①空间向量的加法、减法和数乘向量运算:平面向量加、减法的三角形法则和平行四边 形法则拓广到空间依然成立. ②空间向量的线性运算的运算律: 加法交换律:a+b=b+a; 加法结合律:(a+b+c)=a+(b+c); 分配律:(??+??)a=??a+??a;??(a+b)=??a+??b. (2)空间向量的基本定理: ①共线(平行)向量定理:对空间两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在实数??, 使得 a∥??b. ②共面向量定理:如果两个向量 a,b 不共线,则向量 c 与向量 a,b 共面的充要条件是 存在惟一一对实数??,??,使得 c=??a+??b. ③空间向量分解定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在惟 一的有序实数组??1,??2,??3,使得 p=??1a+??2b+??3c. (3)空间向量的数量积运算: ①空间向量的数量积的定义:a·b=|a||b|cos〈a,b〉 ; ②空间向量的数量积的性质: a·e=|a|cos<a,e>;a⊥b ? a·b=0; |a|2=a·a;|a·b|≤|a||b|. ③空间向量的数量积的运算律: (??a)·b=??(a·b); 交换律:a·b=b·a; 分配律:(a+b)·c=a·c+b·c. (4)空间向量运算的坐标表示: ①空间向量的正交分解:建立空间直角坐标系 Oxyz,分别沿 x 轴,y 轴,z 轴的正方向 引单位向量 i,j,k,则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i,j,k} ,由 空间向量分解定理,对于空间任一向量 a,存在惟一数组(a1,a2,a3),使 a=a1i+a2j+a3k, 那么有序数组(a1,a2,a3)就叫做空间向量 a 的坐标,即 a=(a1,a2,a3). ②空间向量线性运算及数量积的坐标表示: 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3); ??a=(??a1,??a2,??a3);a·b=a1b1+a2b2+a3b3. ③空间向量平行和垂直的条件: a∥b(b≠0) ? a=??b ? a1=??b1,a2=??b2,a3=??b3(??∈R); a⊥b ? a·b=0 ? a1b1+a2b2+a3b3=0. ④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式: 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
2 2 2 | a |? a ? a ? a12 ? a2 ? a3 , | b |? b ? b ? b12 ? b2 ? b32 ;

1

cos ? a, b ??

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? ; 2 2 2 2 | a || b | a1 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

在空间直角坐标系中,点 A(a1,a 2,a 3 ),B(b 1, b2,b 3),则 A,B 两点间的距离是

| AB |? (a1 ? b1 ) 2 ? (a2 ? b2 ) 2 ? (a3 ? b3 ) 2 .
2.空间向量在立体几何中的应用: (1)直线的方向向量与平面的法向量: ①如图,l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,对空间任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t, 使得 OP ? OA ? ta , 其中向量 a 叫做直线的方向向量.

由此可知,空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定. ②如果直线 l⊥平面??,取直线 l 的方向向量 a,则向量 a 叫做平面??的法向量. 由此可知, 给定一点 A 及一个向量 a, 那么经过点 A 以向量 a 为法向量的平面惟一确定. (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系: 设直线 l,m 的方向向量分别是 a,b,平面??,??的法向量分别是 u,v,则 ①l∥m ? a∥b ? a=kb,k∈R; ②l⊥m ? a⊥b ? a·b=0; ③l∥?? ? a⊥u ? a·u=0; ④l⊥?? ? a∥u ? a=ku,k∈R; ⑤??∥ ? u∥v ? u=kv,k∈R; ⑥??⊥?? ? u⊥v ? u·v=0. (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题: ①异面直线所成的角:设 a,b 是两条异面直线,过空间任意一点 O 作直线 a′∥a,b′∥ b,则 a′与 b′所夹的锐角或直角叫做异面直线 a 与 b 所成的角. 设异面直线 a 与 b 的方向向量分别是 v1,v2,a 与 b 的夹角为??,显然 ? ? (0, ], 则

π 2

| cos ? v1 , v 2 ?|?

| v1 ? v 2 | ? | v1 || v 2 |

②直线和平面所成的角: 直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的 角. 设直线 a 的方向向量是 u,平面??的法向量是 v,直线 a 与平面??的夹角为??,显然

? ? [0, ] ,则 | cos ? u, v ?|?

π 2

| u?v | ? | u || v |
2

③二面角及其度量:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.记作?? -l-??在二面角的棱上任取一点 O,在两个半平面内分别作射线 OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB 叫做二面角??-l-??的平面角. 利用向量求二面角的平面角有两种方法: 方法一: 如图,若 AB,CD 分别是二面角??-l-??的两个面内与棱 l 垂直的异面直线,则二面角

??-l-??的大小就是向量 AB 与CD 的夹角的大小.

方法二: 如图,m1,m2 分别是二面角的两个半平面??,??的法向量,则〈m1,m2〉与该二面角 的大小相等或互补.

(4)根据题目特点,同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立 体几何问题. 【复习要求】 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示; 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 4.理解直线的方向向量与平面的法向量. 5.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系. 6.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题. 【例题分析】 例 1 如图,在长方体 OAEB-O1A1E1B1 中,OA=3,OB=4,OO1=2,点 P 在棱 AA1 上,且 AP=2PA1,点 S 在棱 BB1 上,且 B1S=2SB,点 Q,R 分别是 O1B1,AE 的中点,求 证:PQ∥RS.

3

【分析】建立空间直角坐标系,设法证明存在实数 k,使得 PQ ? k RS. 解:如图建立空间直角坐标系,则 O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0, 2),A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0). ∵AP=2PA1, ∴ AP ? ∴ P (3,0, ) ? 同理可得:Q(0,2,2),R(3,2,0), S (0,4, ) ?

2 2 4 AA1 ? (0,0,2) ? (0,0, ), 3 3 3

4 3

2 3

2 ? PQ ? (?3,2, ) ? RS , 3

? PQ // RS ,又 R ? PQ,
∴PQ∥RS. 【评述】1、证明线线平行的步骤: (1)证明两向量共线; (2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可. 2、本体还可采用综合法证明,连接 PR,QS,证明 PQRS 是平行四边形即可,请完成 这个证明. 例 2 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,E,F 分别是棱 A1D1,A1B1,D1C1,B1C1 的中点,求证:平面 AMN∥平面 EFBD.

【分析】要证明面面平行,可以通过线线平行来证明,也可以证明这两个平面的法向量 平行. 解法一:设正方体的棱长为 4,如图建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0),A(4,0,0), M(2,0,4),N(4,2,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4). 取 MN 的中点 K,EF 的中点 G,BD 的中点 O,则 O(2,2,0),K(3,1,4),G(1,3, 4).

MN =(2,2,0), EF =(2,2,0), AK =(-1,1,4), OG =(-1,1,4),
4

∴ MN ∥ EF , AK ? OG ,∴MN//EF,AK//OG, ∴MN∥平面 EFBD,AK∥平面 EFBD, ∴平面 AMN∥平面 EFBD. 解法二:设平面 AMN 的法向量是 a=(a1,a2,a3),平面 EFBD 的法向量是 b=(b1,b2,b3). 由 a ? AM ? 0, a ? AN ? 0, 得?

?? 2a1 ? 4a3 ? 0, 取 a3=1,得 a=(2,-2,1). 2 a ? 4 a ? 0 , 2 3 ?

由 b ? DE ? 0, b ? BF ? 0, 得?

?2b2 ? 4b3 ? 0, 取 b3=1,得 b=(2,-2,1). ?? 2b1 ? 4b3 ? 0,

∵a∥b,∴平面 AMN∥平面 EFBD. 注:本题还可以不建立空间直角坐标系,通过综合法加以证明,请试一试. 例 3 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 是棱 A1B1,B1B 的中点,求异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦值.

解法一:设正方体的棱长为 2,如图建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0),A(2,0,0), M(2,1,2),C(0,2,0),N(2,2,1).

? AM ? (0,1,2),CN ? (2,0,1),
设 AM 和 CN 所成的角为??,则 cos ? ?

AM ? CN | AM || CN |
2 ? 5

?

2 , 5

∴异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦值是

解法二:取 AB 的中点 P,CC1 的中点 Q,连接 B1P,B1Q,PQ,PC. 易证明:B1P∥MA,B1Q∥NC, ∴∠PB1Q 是异面直线 AM 和 CN 所成的角. 设正方体的棱长为 2,易知 B1P ? B1Q ?

5 , PQ ?

PC 2 ? QC 2 ? 6 ,

5

∴ cos PB1Q ?

B1P 2 ? B1Q 2 ? PQ2 2 ? , 2B1P ? B1Q 5
2 ? 5

∴异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦值是

【评述】空间两条直线所成的角是不超过 90°的角,因此按向量的夹角公式计算时, 分子的数量积如果是负数,则应取其绝对值,使之成为正数,这样才能得到异面直线所成的 角(锐角). 例 4 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为 2a ,求直线 AC1 与平 面 ABB1A1 所成角的大小.

【分析】利用正三棱柱的性质,适当建立空间直角坐标系,写出有关点的坐标.求角时 有两种思路:一是由定义找出线面角,再用向量方法计算;二是利用平面 ABB1A1 的法向量 求解. 解法一:如图建立空间直角坐标系,则 A (0 , 0 , 0) , B (0 , a , 0) , A 1 (0,0, 2a),

C1 (?

a 3a a , , 2a) ? 取 A1B1 的中点 D,则 D(0, , 2a) ,连接 AD,C1D. 2 2 2

则 DC ? (?

3a ,0,0), AB ? (0, a,0), AA 1 ? (0,0, 2a), 2

DC1 ? AB ? 0, DC1 ? AA 1 ? 0,
∴DC1⊥平面 ABB1A1, ∴∠C1AD 是直线 AC1 与平面 ABB1A1 所或的角.

6

? AC1 ? (?

3a a a , , 2a), AD ? (0, , 2a), 2 2 2
AC1 ? AD | AC1 || AD | ? 3 , 2

? cosC1 AD ?

∴直线 AC1 与平面 ABB1A1 所成角的大小是 30°. 解法二:如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0, 2a ),

C1 (?

3a a 3a a , , 2a) ,从而 AB ? (0, a,0), AA , , 2a ) ? 1 ? (0,0, 2a), AC 1 ? (? 2 2 2 2

设平面 ABB1A1 的法向量是 a=(p,q,r), 由 a ? AB ? 0, a ? AA 1 ? 0, 得?

?aq ? 0, ? 2ar ? 0,

取 p=1,得 a=(1,0,0).

设直线 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角为 ? , ? ? [0, ],

π 2

sin ? ?| ?cos AC1 , a? |?

| AC1 ? a | | AC1 || a |

?

1 ,? ? 30?. 2

【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系,再利用向量的知识求解线面角;解 法二给出了一般的方法,即先求平面的法向量与斜线的夹角,再利用两角互余转换. 例 5 如图,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC ? 求二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值.

2,

解法一:取 PB 的中点 D,连接 CD,作 AE⊥PB 于 E. ∵PA=AC=1,PA⊥AC, ∴PC=BC= 2 ,∴CD⊥PB. ∵EA⊥PB, ∴向量 EA 和 DC 夹角的大小就是二面角 A-PB-C 的大小.

7

如图建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0),A(1,0,0),B(0, 2 ,0),P(1,0,1), 由 D 是 PB 的中点,得 D ( ,

1 2 1 , )? 2 2 2



PE AP2 1 3 2 3 ? ? , 得 E 是 PD 的中点,从而 E ( , , )? 2 EB AB 3 4 4 4

1 2 3 1 2 1 ,? ), DC ? (? ,? ,? ) ? EA ? ( ,? 4 2 4 4 2 2

? cos ? EA, DC ??

EA ? DC | EA || DC |

?

3 ? 3
3 ? 3

即二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值是

解法二:如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0), B( 2 ,1,0) ,C(0,1,0),P(0, 0, 1),

AP ? (0,0,1), AB ? ( 2,1,0),CB ? ( 2,0,0),CP ? (0,?1,1).
设平面 PAB 的法向量是 a=(a1,a2,a3), 平面 PBC 的法向量是 b=(b1,b2,b3). 由 a ? AP ? 0, a ? AB ? 0, 得?

? ?a3 ? 0, 取 a1=1,得 a ? (1,? 2 ,0). ? ? 2a1 ? a2 ? 0, ? ? 2b1 ? 0, 取 b3=1,得 b=(0,1,1). ? ? b ? b ? 0 , ? 2 3

由 b ? CB ? 0, b ? CP ? 0 得 ?

? cos ? a, b ??

a ?b 3 ?? ? 3 | a || b |

∵二面角 A-PB-C 为锐二面角,
8

∴二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值是 | ?

3 3 |? ? 3 3

【评述】1、求二面角的大小,可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为 这两个向量的夹角;应注意两个向量的始点应在二面角的棱上. 2、当用法向量的方法求二面角时,有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平 面角还是其补角, 但我们可以借助观察图形而得到结论, 这是因为二面角是锐二面角还是钝 二面角一般是明显的. 例 6 如图,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA= 90°,点 D,E 分别在棱 PB,PC 上,且 DE∥BC. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 PAC; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成角的余弦值; (Ⅲ)试问在棱 PC 上是否存在点 E,使得二面角 A-DE-P 为直二面角?若存在,求出 PE∶EC 的值;若不存在,说明理由.

解:如图建立空间直角坐标系. 设 PA=a,由已知可得 A(0,0,0), B(? a, (Ⅰ)∵ AP ? (0,0, a ), BC ? ( a,0,0), ∴ AP ? BC ? 0, ∴BC⊥AP.又∠BCA=90°,∴BC⊥AC. ∴BC⊥平面 PAC. (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE∥BC,∴E 为 PC 的中点. ∴ D ( ? a,

1 2

3 3 a,0),C (0, a,0), P(0,0, a). 2 2

1 2

1 4

3 1 3 1 a, a), E (0, a, a ) ? 4 2 4 2

由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC, ∴∠DAE 是直线 AD 与平面 PAC 所成的角. ∴ AD ? (? a,

1 4

3 1 3 1 a, a), AE ? (0, a, a), 4 2 4 2
AD ? AE | AD || AE | ? 14 , 4

∴ cos ?DAE ?

9

即直线 AD 与平面 PAC 所成角的余弦值是

14 ? 4

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,DE⊥平面 PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 是二面角 A-DE-P 的平面角. ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AC,∠PAC=90°. ∴在棱 PC 上存在一点 E,使得 AE⊥PC, 这时,∠AEP=90°,且

PE PA2 4 ? ? ? EC AC 2 3

故存在点 E 使得二面角 A-DE-P 是直二面角,此时 PE∶EC=4∶3. 注:本题还可以不建立空间直角坐标系,通过综合法加以证明,请试一试. 练习 1-3 一、选择题: 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BB1 的中点,则二面角 E-A1D1-D 的平面角的正 切值是( ) (A) 2 (B)2 (C) 5 (D) 2 2

2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 AD1 与平面 A1ACC1 所成角的大小是( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 3.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)

1 3

(B)

2 3

(C)

3 3

(D)

2 3

4.如图,??⊥??,??∩??=l,A∈??,B∈??,A,B 到 l 的距离分别是 a 和 b,AB 与??,?? 所成的角分别是??和 ? ,AB 在??,??内的射影分别是 m 和 n,若 a>b,则下列结论正确 的是( )

(A)??> ? ,m>n (C)??< ? ,m<n

(B)??> ? ,m<n (D)??< ? ,m>n

二、填空题: 5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为 AA1,AB,BB1,B1C1 的中点,则 异面直线 EF 与 GH 所成角的大小是______. 6.已知正四棱柱的对角线的长为 6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为 棱柱的体积等于______.
10

3 ,则该正四 3

7.如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦 值为______.

8.四棱锥 P-ABCD 的底面是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC, AB ? BC ?

1 AD , 2

PA⊥底面 ABCD, PD 与底面 ABCD 所成的角是 30°. 设 AE 与 CD 所成的角为??, 则 cos?? =______. 三、解答题: 9.如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4,点 E 在 CC1 上,且 C1E=3EC.

(Ⅰ)证明:A1C⊥平面 BED; (Ⅱ)求二面角 A1-DE-B 平面角的余弦值.

10.如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?ABC ? 面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点.

π ,OA⊥底 4

(Ⅰ)证明:直线 MN∥平面 OCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小.

11

11.如图,已知直二面角??-PQ-??,A∈PQ,B∈??,C∈??,CA=CB,∠BAP=45°, 直线 CA 和平面??所成的角为 30°.

(Ⅰ)证明:BC⊥PQ; (Ⅱ)求二面角 B-AC-P 平面角的余弦值.

习题 1 一、选择题: 1.关于空间两条直线 a、b 和平面??,下列命题正确的是( ) (A)若 a∥b,b ? ??,则 a∥?? (B)若 a∥??,b ? ??,则 a∥b (C)若 a∥??,b∥??,则 a∥b (D)若 a⊥??,b⊥??,则 a∥b 2.正四棱锥的侧棱长为 2 3 ,底面边长为 2,则该棱锥的体积为( (A)8 (B) ) (D)2

8 3

(C)6

3.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则直线 AB1 与侧面 ACC1A1 所成 角的正弦值等于( ) (A)

6 4

(B)

10 4

(C)

2 2

(D)

3 2

4.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何 体的体积是( )

(A)

4000 cm 3 3

(B)

8000 cm 3 3

(C)2000cm3 (D)4000cm3 5.若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为 60° 的菱形,则该棱柱的体积等于( ) (A) 2 (B) 2 2
12

(C) 3 2

(D) 4 2

13

二、填空题: 6.已知正方体的内切球的体积是 4 3π ,则这个正方体的体积是______. 7.若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1,AB1 与底面 ABCD 成 60°角,则直线 AB1 和 BC1 所成角的余弦值是______. 8.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是______. 9.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分别等于

2 7、 4 3 ,每条弦的两端都在球面上运动,则两弦中点之间距离的最大值为______.
10.已知 AABC 是等腰直角三角形,AB=AC=a,AD 是斜边 BC 上的高,以 AD 为折痕使 ∠BDC 成直角.在折起后形成的三棱锥 A-BCD 中,有如下三个结论: ①直线 AD⊥平面 BCD; ②侧面 ABC 是等边三角形; ③三棱锥 A-BCD 的体积是

2 3 a. 24

其中正确结论的序号是____________.(写出全部正确结论的序号) 三、解答题: 11.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AB=AA1.

(Ⅰ)求证:AD⊥B1D; (Ⅱ)求证:A1C∥平面 A1BD; (Ⅲ)求二面角 B-AB1-D 平面角的余弦值.

12.如图,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥AB,PA⊥AC,AB⊥AC,PA=AC=2,AB=1,M 为 PC 的中点.

(Ⅰ)求证:平面 PCB⊥平面 MAB;
14

(Ⅱ)求三棱锥 P-ABC 的表面积.

13.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90°,AB=BC=AA1=2,M、N 分别是 A1C1、BC1 的中点.

(Ⅰ)求证:BC1⊥平面 A1B1C; (Ⅱ)求证:MN∥平面 A1ABB1; (Ⅲ)求三棱锥 M-BC1B1 的体积.

14.在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,SD⊥底面 ABCD, AD ? =2.点 M 在侧棱 SC 上,∠ABM=60°.

2 ,DC=SD

(Ⅰ)证明:M 是侧棱 SC 的中点;? (Ⅱ)求二面角 S-AM-B 的平面角的余弦值.

练习 1-3 一、选择题: 1.B 2.A 二、填空题: 5.60° 6.2 3.B 4.D

7.

4 5

8.

2 4

三、解答题: 9.以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系 D-xyz.
15

依题设,B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4).

DE ? (0,2,1), DB ? (2,2,0), A1C ? (?2,2,?4), DA 1 ? (2,0,4).
(Ⅰ)∵ A 1C ? DB ? 0, A 1C ? DE ? 0, ∴A1C⊥BD,A1C⊥DE. 又 DB∩DE=D,∴A1C⊥平面 DBE. (Ⅱ)设向量 n=(x,y,z)是平面 DA1E 的法向量,则 n ? DE, n ? DA 1. ∴?

?2 y ? z ? 0, 令 y=1,得 n=(4,1,-2). ?2 x ? 4 z ? 0.

cos(n, A1C ) ?

n ? A1C | n || A1C |

?

14 14 ? ∴二面角 A1-DE-B 平面角的余弦值为 42 ? 42

10.作 AP⊥CD 于点 P.如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x,y,z 轴建立坐标系.

则 A(0,0,0),B(1,0,0), P(0,

2 2 2 ,0), D(? , ,0) ,O(0,0,2),M(0,0,1), 2 2 2

2 2 , ,0) ? 4 4 2 2 2 2 2 , ,?1), OP ? (0, ,?2), OD ? (? , ,?2) ? (Ⅰ) MN ? (1 ? 4 4 2 2 2 N (1 ?
设平面 OCD 的法向量为 n=(x,y,z),则 n ? OP ? 0, n ? OD ? 0,

16

? 2 ? ? 2 y ? 2 z ? 0, 即? 取 z ? 2 , ,得 n ? (0,4, 2 ). ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ? 2 2 ?
∵ MN ? n ? 0, ∴MN∥平面 OCD. (Ⅱ)设 AB 与 MD 所成的角为??,

AB ? (1,0,0), MD ? (?

2 2 | AB? MD | 1 π , ,?1),? cos ? ? ? ,?? ? , 2 2 3 | AB || MD | 2
π ? 3

即直线 AB 与 MD 所成角的大小为

11.(Ⅰ)证明:在平面??内过点 C 作 CO⊥PQ 于点 O,连结 OB. ∵??⊥??,??∩??=PQ,∴CO⊥??. 又∵CA=CB,∴OA=OB. ∵∠BAO=45°,∴∠ABO=45°,∠AOB=90°,∴BO⊥PQ,又 CO⊥PQ, ∴PQ⊥平面 OBC,∴PQ⊥BC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,OC⊥OA,OC⊥OB,OA⊥OB,故以 O 为原点,分别以直线 OB,OA, OC 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图).

∵CO⊥??,∴∠CAO 是 CA 和平面??所成的角,则∠CAO=30°. 不妨设 AC=2,则 AO ? 3 ,CO=1. 在 Rt△OAB 中,∠ABO=∠BAO=45°,∴ BO ? AO ? ∴ O(0,0,0), B( 3,0,0), A(0, 3,0),C(0,0,1).

3.

AB ? ( 3,? 3,0), AC ? (0,? 3,1).
设 n1=(x,y,z)是平面 ABC 的一个法向量, 由?

? ?n ? AB ? 0, ? ?n ? AC ? 0,

得?

? ? 3x ? 3 y ? 0, 取 x=1,得 n1 ? (1,1, 3) . ? ? 3 y ? z ? 0 , ?

易知 n2=(1,0,0)是平面??的一个法向量.
17

设二面角 B-AC-P 的平面角为??,∴ cos? ?

n1 ? n2 5 ? , |n1|?|n2| 5

即二面角 B-AC-P 平面角的余弦值是 习题 1 一、选择题: 1.D 2.B 二、填空题: 6. 24 3 7. 3.A 4.B 8.9? 5.B

5 ? 5

3 4

9. 5

10.①、②、③

三、解答题: 11.(Ⅰ)证明:∵ABC-A1B1C1 是正三棱柱,∴BB1⊥平面 ABC, ∴平面 BB1C1C⊥平面 ABC. ∵正△ABC 中,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC,∴AD⊥平面 BB1C1C, ∴AD⊥B1D.

(Ⅱ)解:连接 A1B,设 A1B∩AB1=E,连接 DE. ∵AB=AA1, ∴ 四边形 A1ABB1 是正方形, ∴E 是 A1B 的中点,又 D 是 BC 的中点,∴DE∥A1C. ∵DE ? 平面 A1BD,A1C ? 平面 A1BD,∴A1C∥平面 A1BD.

(Ⅲ)解:建立空间直角坐标系,设 AB=AA1=1, 则 D(0,0,0), A(0,

3 1 ,0), B1 (? ,0,1) ? 2 2

设 n1=(p,q,r)是平面 A1BD 的一个法向量, 则 n1 ? AD ? 0, 且 n1 ? B1D ? 0, 故?

3 1 q ? 0, P ? r ? 0. 取 r=1,得 n1=(2,0,1). 2 2
18

同理,可求得平面 AB1B 的法向量是 n2 ? ( 3,?1,0). 设二面角 B-AB1-D 大小为??,∵ cos? ?

n1 ? n2 15 ? , 5 |n1||n2|

∴二面角 B-AB1-D 的平面角余弦值为

15 ? 5

12.(Ⅰ)∵PA⊥AB,AB⊥AC,∴AB⊥平面 PAC,故 AB⊥PC. ∵PA=AC=2,M 为 PC 的中点,∴MA⊥PC.∴PC⊥平面 MAB, 又 PC ? 平面 PCB,∴平面 PCB⊥平面 MAB. (Ⅱ)Rt△PAB 的面积 S1 ?

1 1 PA ? AB ? 1 .Rt△PAC 的面积 S 2 ? PA ? AC ? 2. 2 2

Rt△ABC 的面积 S3=S1=1. ∵△PAB≌△CAB,∵PB=CB,

1 1 PC ? MB ? ? 2 2 ? 3 ? 6 . 2 2 ∴三棱锥 P-ABC 的表面积为 S=S1+S2+S3+S4= 4 ? 6 .
∴△PCB 的面积 S 4 ?

13.(Ⅰ)∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱,∴BB1⊥平面 A1B1C1,∴B1B⊥A1B1. 又 B1C1⊥A1B1,∴A1B1⊥平面 BCC1B1,∴BC1⊥A1B1. ∵BB1=CB=2,∴BC1⊥B1C,∴BC1⊥平面 A1B1C. (Ⅱ)连接 A1B,由 M、N 分别为 A1C1、BC1 的中点,得 MN∥A1B, 又 A1B ? 平面 A1ABB1,MN ? 平面 A1ABB1,∴MN∥平面 A1ABB1.

(Ⅲ)取 C1B1 中点 H,连结 MH. ∵M 是 A1C1 的中点,∴MH∥A1B1, 又 A1B1⊥平面 BCC1B1,∴MH⊥平面 BCC1B1,∴MH 是三棱锥 M-BC1B1 的高, ∴三棱锥 M-BC1B1 的体积 V ?

1 ? S ?BC1B1 ? MH ? 1 ? 1 ? 4 ?1 ? 2 ? 3 3 2 3

14.如图建立空间直角坐标系,设 A( 2 ,0,0),则 B( 2 ,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).
19

(Ⅰ)设 SM ? ? MC (? ? 0) , 则 M (0,

2? 2 ?2 2 , ), BM ? (? 2 , , ), 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?

又 BA ? (0,?2,0),? BA, BM ?? 60?. 故 BM.BA ?| BM || BA | cos60? , 即

4 ?2 2 2 2 ? (? 2 ) 2 ? ( ) ?( ) , 解得??=1. 1? ? 1? ? 1? ?

∴M 是侧棱 SC 的中点. (Ⅱ)由 M(0,1,1),A( 2 ,0,0)得 AM 的中点 G (

2 1 1 , , )? 2 2 2

又 GB ? (

2 3 1 , ,? ), MS ? (0,?1,1), AM ? (? 2 ,1,1), 2 2 2

? GB ? AM ? 0, MS ? AM ? 0,?GB ? AM, MS ? AM, ? cos 〈 GB, MS 〉 等于二面角 S-AM-B 的平面角.
? cos( GB , MS ) ?
GB ? MS | GB || MS | ?? 6 , 3

即二面角 S-AM-B 的平面角的余弦值是-

6 . 3

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