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高中数学导数专题复习


专题一

第5讲

导数及其应用

一、选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1) = A.-e C.1 解析 B.-1 D.e 1 f′(x)=2f′(1)+x ,令 x=1,得 f′(1)=2f′(1)+1,

∴f′(1)=-1.故选 B. 答案 B

x2 1 2.(2012· 泉州模拟)已知曲线 y= 4 -3ln x 的一条切线的斜率为2,则切点的 横坐标为 A.3 C.1 解析 设切点为(x0,y0). B.2 1 D.2

1 3 ∵y′=2x- x, 1 3 1 ∴2x0-x =2,
0

解得 x0=3(x0=-2 舍去). 答案 A

3.(2012· 聊城模拟)求曲线 y=x2 与 y=x 所围成图形的面积,其中正确的是 A.S=?1(x2-x)dx ?0 C.S=?1(y2-y)dy ?0 解析 B.S=?1(x-x2)dx ?0 D.S=?1(y- y)dy ?0

两函数图象的交点坐标是(0,1),(1,1),

故积分上限是 1,下限是 0, 由于在[ 0,1]上,x≥x2,故求曲线 y=x2 与 y=x 所围成图形的面 S=?1(x- ?0 x2)dx.

答案

B

?2 x3 ? 3 x 2 ? 1, x ? 0, ? 4.函数 f(x)= ? ax 在[-2,2]上的最大值为 2,则 a 的取值 x?0 ?e , ?
范围是 ?1 ? A.?2ln 2,+∞? ? ? C.(-∞,0] 解析 1 ? ? B.?0,2ln 2? ? ? 1 ? ? D.?-∞,2ln 2? ? ?

当 x≤0 时,f′(x)=6x2+6x,函数的极大值点是 x=-1,极小值点

是 x=0, x=-1 时,f(x)=2,故只要在(0,2]上 eax≤2 即可,即 ax≤ln 2 在(0,2] 当 上恒成立,即 a≤ 答案 D 1 ln 2 在(0,2]上恒成立,故 a≤2ln 2. x

5.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极 值点,则下列图象不可能为 y=f(x)图象的是

解析

设 h(x)=f(x)ex,则 h′(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=(ax2+2ax+

bx+b+c)ex.由 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,得当 x=-1 时,ax2+2ax+ bx+b+c=c-a=0, ∴c=a.∴f(x)=ax2+bx+a.若方程 ax2+bx+a=0 有两根 x1、 a x2,则 x1x2=a=1,D 中图象一定不满足该条件. 答案 D

6.设 a∈R,若函数 f(x)=eax+3x(x∈R)有大于零的极值点,则 a 的取值范 围是 A.(-3,2) C.(-∞,-3) B.(3,+∞) D.(-3,4)

解析

由已知得 f′(x)=3+aeax,若函数 f(x)在 x∈R 上有大于零的极值点,

1 则 f′(x)=3+aeax=0 有正根.当 3+aeax=0 成立时,显然有 a<0,此时 x=a ? 3? ln?-a?,由 x>0 得到参数 a 的取值范围为 a<-3. ? ? 答案 C

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.(2012· 济南三模)曲线 y=ex+x2 在点(0,1)处的切线方程为________. 解析 y′=ex+2x,∴所求切线的斜率为 e0+2×0=1,

∴切线方程为 y-1=1×(x-0),即 x-y+1=0. 答案 x-y+1=0

8.(2012· 枣庄市高三一模)?1 4-x2dx=________. ?0 解析
2 2 2 1 ? 4-x dx 表示圆 x +y =4 中阴影部分的面积的 ?0

π 大小,易知∠AOB=6,OC=1, ∴?1 4-x2dx=S△OBC+S 扇形 AOB ?0 1 1 π 3 π =2×1× 3+2×6×22= 2 +3. 答案 3 π 2 +3

9.(2012· 泉州模拟)若函数 f(x)=x-a x+ln x(a 为常数)在定义域上是增函 数,则实数 a 的取值范围是________. 解析 ∵f(x)=x-a x+ln x 在(0,+∞)上是增函数,

∴f′(x)=1-

a 2 x

?

1 2 ≥0 在(0,+∞)上恒成立,即 a≤2 x+ . x x

而 2 x+

2 2 ≥2 2 x ? =4, x x 1 , x

当且仅当 x=

即 x=1 时等号成立,∴a≤4. 答案 (-∞,4]

三、解答题(每小题 12 分,共 36 分) 10.(2012· 泉州模拟)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈R). (1)若函数 f(x)在 x=1 处有极值为 10,求 b 的值; (2)若对任意 a∈[-4,+∞),f(x)在 x∈[0,2]上单调递增,求 b 的最小值. 解析 (1)f′(x)=3x2+2ax+b,

?f′?1?=3+2a+b=0 ?a=4 ?a=-3 则? ?? 或? . 2 ?f?1?=1+a+b+a =10 ?b=-11 ?b=3 ?a=4 当? 时,f′(x)=3x2+8x-11, ?b=-11 Δ=64+132>0,所以函数有极值点; ?a=-3 当? 时,f′(x)=3(x-1)2≥0,所以函数无极值点. ?b=3 则 b 的值为-11. (2)解法一 立, 则 F(a)=2xa+3x2+b≥0 对任意的 a∈[-4,+∞),x∈[0,2]都成立. ∵x≥0,F(a)在 a∈[-4,+∞)单调递增或为常数函数, 所以得 F(a)min =F(-4)=-8x+3x2 +b≥0 对任意的 x∈[0,2]恒成立,即 b≥(-3x2+8x)max, ? 4? 16 16 又-3x2+8x=-3?x-3?2+ 3 ≤ 3 , ? ? 4 16 16 当 x=3时,(-3x2+8x)max= 3 ,得 b≥ 3 , 16 所以 b 的最小值为 3 . f′(x)=3x2+2ax+b≥0 对任意的 a∈[-4,+∞),x∈[0,2]都成

解法二

f′(x)=3x2+2ax+b≥0 对任意的 a∈[-4, +∞), x∈[0,2]都成立,

即 b≥-3x2-2ax 对任意的 a∈[-4,+∞),x∈[0,2]都成立,即 b≥(-3x2 -2ax)max,
2 ? a?2 a 令 F(x)=-3x -2ax=-3?x+3? + 3 . ? ? 2

①当 a≥0 时,F(x)max=0,∴b≥0; a2 a2 ②当-4≤a<0 时,F(x)max= 3 ,∴b≥ 3 .
2 16 16 ?a ? 又∵? 3 ?max= 3 ,∴b≥ 3 . ? ?

16 综上,b 的最小值为 3 . 11.已知函数 f(x)=exln x. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设 x>0,求证:f(x+1)>e2x-1; (3)设 n∈N+,求证:ln(1×2+1)+ln(2×3+1)+…+ln[n(n+1)+1]>2n- 3. 解析 (1)由题知,函数 f(x)的定义域为(0,+∞),

由 f′(x)=exln x(ln x+1). 1 令 f′(x)>0,解得 x>e ; 1 令 f′(x)<0,解得 0<x<e . 1? ?1 ? ? 故 f(x)的增区间为? e,+∞?,减区间为?0,e?. ? ? ? ? (2)证明 ?ln(x+1)- 要证 f(x+1)>e2x-1,即证(x+1)ln(x+1)>2x-1?ln(x+1)> 2x-1 >0. x+1 2x-1 , x+1 2x-1 x+1

令 g(x)=ln(x+1)- 则 g′(x)=

x-2 1 3 - , 2= x+1 ?x+1? ?x+1?2

令 g′(x)=0,得 x=2,

且 g(x)在(0,2)上单调递减, 在(2,+∞)上单调递增, 所以 g(x)min=g(2)=ln 3-1, 故当 x>0 时,有 g(x)≥g(2)=ln 3-1>0, 即 f(x+1)>e2x-1 得证. (3)证明 由(2)得 ln(x+1)> 3 , x+1 3 3 >2- , k?k+1?+1 k?k+1? 2x-1 , x+1

即 ln(x+1)>2-

所以 ln[k(k+1)+1]>2-

所以 ln(1×2+1)+ln(2×3+1)+…+ln[n(n+1)+1] 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? >?2-1×2?+?2-2×3?+…+?2-n?n+1??=2n-3+ >2n-3. n+1 ? ? ? ? ? ? 12.设函数 f(x)=-a x2+1+x+a,x∈(0,1],a∈R* (1)若 f(x)在(0,1]上是增函数,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)在(0,1]上的最大值. 解析 (1)当 x∈(0,1]时,f′(x)=-a· x +1. x +1
2

要使 f(x)在 x∈(0,1]上是增函数, 需使 f′(x)=- x2+1 即 a≤ x = 而 ax +1≥0 在(0,1]上恒成立. x2+1 1 1+x2在(0,1]上恒成立.

1 1+x2在(0,1]上的最小值为 2,

又 a∈R*,∴0<a≤ 2为所求. (2)由(1)知: ①当 0<a≤ 2时,f(x)在(0,1]上是增函数. ∴[f(x)]max=f(1)=(1- 2)a+1; ②当 a> 2时,令 f′(x)=0,得 x= 1 ∈(0,1]. a2-1

∵0<x< ∵

1 时,f′(x)>0; a -1
2

1 <x≤1 时,f′(x)<0. a -1
2

? ∴[f(x)]max=f? ?

1 ? ?=a- a2-1. a -1?
2

综上,当 0<a≤ 2时,[f(x)]max=(1- 2)a+1; 当 a> 2时,[f(x)]max=a- a2-1.


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