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宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学理试题 Word版含答案(1)


绝密★启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学
(银川一中第二次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选 考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意

事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合 A={x|x +3x+2≤0},B={y|y=2x-1,x∈R},则 A∩CRB=( A. ? 2.若复数 A.3
1 ? bi 2?i
2

)

B.{-1}

C.[-2,-1]

D.[-2,-1) )

的实部与虚部相等,则实数 b 等于( C.
1 3

B. 1

D. ?

1 2

3. 已知某随机变量 X 的概率密度函数为 P(x)= ? ? x ,则随机变量 X 落在区间(1,2)内的 理科数学试卷 第 1 页(共e 页) ? 0 ? 6 ,x 概率为( A.e +e
2

?0, x ? 0

) B.
e ?1 e
2

C.e -e

2

D.

e ?1 e
2

4.某校在模块考试中约有 1000 人参加考试,其数学考试成绩ξ~N(90,a )(a>0,试卷满分 150 分),统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的 次数学考试成绩不低于 110 分的学生人数约为( A.600 B.400 C.300 D.200 ) )
3 5

2

,则此

5. 已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q ) 是真命题 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q ) 是假命题

6. 若函数 f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0, a≠1)在 R 上既是奇函数, 且 又是减函数, g(x)=loga(x+k) 则 的图象是( )

A 7.已知 F 是双曲线
x a
2 2

B
? y b
2 2

C

D

? 1( a ? 0, b ? 0) 的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且

垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若ΔABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为( A.(1,+≦)
2

) B.(1,2) C.(1,1+ 2 )
?
4 , 则 sin(? ?

D.(2,1+ 2 )
?
4 ) 的值(

8.已知

2 sin ? ? sin 2? 1 ? tan ?

? k ,0 ? ? ?

)

A.随着 k 的增大而增大 B.有时随着 k 的增大而增大,有时随着 k 的增大而减小 C.随着 k 的增大而减小 D.是一个与 k 无关的常数 9.已知正数 x,y 满足 ? A.1
?2 x ? y ? 0 ?x ? 3 y ? 5 ? 0
13 4 2

,则 z ? 4 ? x ? ( ) y 的最小值为(
2

1

)

B.

C.

1 16
? a, ?b,

D.
a ? b ? 1, a ? b ? 1.

1 32

10.对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ” a ? b ? ? :
f

.设函数

? x? ? ? x

2

若函数 y ? f ? 2 ? ? ? x ? 1? ,x ? R .

? x ? ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,

则实数 c 的取值范围是( A. ? ?1,1? ? ? 2, ?? ? C. ? ??, ?2 ? ? ?1, 2?

) B. ? ?2, ?1? ? ?1, 2? D. ? ?2, ?1?

11.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,若任意 的 x,y∈R,不等式 f(x -6x+21)+f(y -8y)<0 恒成立, 则当 x>3 时, +y 的取值范围是( x A.(3,7) B. (9,25) C. (13,49) D. (9,49)
2 2 2 2

)

12. 已 知 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 的 各 棱 长 均 为 1 , 棱 BB1 所 在 直 线 上 的 动 点 M 满 足
? 2 BM ? ? BB1 ,AM 与侧面 BB1C1C 所成的角为 ? ,若 ? ? ? , ? 2 ? 2 ? ,则 ? 的取值范围 ?

是( A. ?
??

)
? ?12 6 ? ,

??

B. ?

?? ? ? , ? ?6 4?

C. ?

?? ? ? , ? ?4 3?

D. ?

??

5? ? ? ? 3 12 ? ,

理科数学试卷 第 3 页(共 6 页) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 已知 k 为如图所示的程序框图输出的结果,二项式
1? ? k ? x ? ? 的展开式中含有非零常数项,则正整数 x? ?
n

第Ⅱ卷

n 的最小值为_________. 14.把一个半径为 53 2 cm 的金属球熔成一个圆 锥,使圆锥的侧面积为底面积的 3 倍,则这

个圆锥的高为__________. 15.P 为抛物线 y 2 ? 4 x 上任意一点,P 在 y 轴上 的射影为 Q,点 M(4,5) ,则 PQ 与 PM 长度之和的最小值为 .

16.已知 AD 是ΔABC 的中线,若∠A=120°, AB ? AC ? ?2 ,则 | AD | 的最小值是______.

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分)
2 2 已知各项均为正数的数列{an}满足 a n ?1 ? a n ?1 a n ? 2a n ? 0, n ? N * ,且 a3+2 是 a2、a4

的等差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? a n log 1 a n , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求使 S n ? n ? 2 n ?1 ? 50 成立的 n 的最小
2

值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,一个几何体是由圆柱 OO'和三棱锥 E-ABC 组合而成,点 A、B、C 在圆 O 的圆周 上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为 10 和 12,EA⊥平面 ABC,AB⊥AC,AB=AC, AE=2 (Ⅰ)求证:AC⊥BD; (Ⅱ)求二面角 A-BD-C 的大小.

正(主)视图

侧(左)视图

19. (本小题满分 12 分) 某学校为了研究学情,从高三年级中抽取了 20 名学生三次测试的数学成绩和物理成绩, 计算出了他们三次成绩的平均名次如下表:

学生序号 数学平均名次 物理平均名次 学生序号 数学平均名次 物理平均名次

1
1.3 2.3

2
12.3 9.7

3
25.7 31.0

4
36.7 22.3

5
50.3 40.0

6
67.7 58.0

7
49.0 39.0

8
52.0 60.7

9
40.0 63.3

10
34.3 42.7

11
78.3 49.7

12
50.0 46.7

13
65.7 83.3

14
66.3 59.7

15
68.0 50.0

16
95.0 101.3

17
90.7 76.7

18
87.7 86.0

19
103.7 99.7

20
86.7 99.0

学校规定:平均名次小于或等于 40.0 者为优秀,大于 40.0 者为不优秀. (Ⅰ)对名次优秀赋分 2,对名次不优秀赋分 1.从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生,若用
? 表示这 2 名学生两科名次赋分的和,求 ? 的分布列和数学期望;

(Ⅱ)根据这次抽查数据,列出 2×2 列联表,能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下 认为物理成绩与数学成绩有关? 附: K ?
2

n( ad ? bc )

2

( a ? b)(c ? d )(a ? c )(b ? d )

,其中 n ? a ? b ? c ? d
0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P(K ≥k0) k0

2

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

理科数学试卷 第 5 页(共 6 页) 20. (本小题满分 12 分) 已知两点 F1 (?1,0) 及 F2 (1,0) ,点 P 在以 F1 、 F2 为焦点的椭圆 C 上,且 PF1 、 F1 F2 、 y l M PF2 构成等差数列. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如图,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅 有一个公共点,点 M , N 是直线 l 上的两点,且 F1 M ? l , F 1
F2 N ? l . 求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

N O F2 x

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 g ? x ? ?
x ln x , f

? x ? ? g ? x ? ? ax .

(Ⅰ)求函数 g ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是减函数,求实数 a 的最小值; (Ⅲ)若 ?x1 , x2 ? ?e, e 2 ? ,使 f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? a( a ? 0 )成立,求实数 a 的取值范围. ? ? 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲. 如图,在 RtΔABC 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC,交 AC 于点 E, 点 D 在 AB 上,DE⊥EB. (Ⅰ)求证:AC 是ΔBDE 的外接圆的切线;

(Ⅱ)若 AD= 2 3 ,AE=6,求 EC 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 0≤ ? < ? ). (Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状; (Ⅱ)若直线 l 经过点(1,0),求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 设函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R (Ⅰ)解不等式 f(x)≤5; (Ⅱ)若 g ( x) ?
1 f ( x) ? m
4 cos ? sin ?
2

, 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t cos ? ? y ? 1 ? t sin ?

(t 为参数,

的定义域为 R,求实数 m 的取值范围.

银川一中届高三第二次模拟数学(理科)试卷参考答答案
一、选择题: 题号 答案 13.5 1 C 2 A 14. 20 3 D 15. 4 D
34 ? 1

5 C

6 A 16. 1

7 B

8 A

9 C

10 B

11 C

12 B

二、填空题:

三、解答题: 17.

18.

.

19.

20.解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为
F PF ? PF1 、 1 F 、 2
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1.

构成等差数列,
? 2 F1 F2 ? 4 , a ? 2 .

? 2a ? PF1 ? PF

2

又? c ? 1 ,? b 2 ? 3 .
? 椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1 . …………………………………………………4 分
2 2

4

3

(2) 将 直 线 l 的 方 程 y ? kx ? m 代 入 椭 圆 C 的 方 程 3 x ? 4 y ? 12 中 , 得
( 4k
2

? 3) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 .
2 2
2 2

……………………5 分
2 2

由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知, ? ? 64k m ? 4(4k ? 3)(4m ? 12) ? 0 , 化简得: m 2 ? 4k 2 ? 3 . 设 d1 ? F1M ?
?k ? m k ?1
2

…………………………7 分
k ?m k ?1
2

, d 2 ? F2 M ?



…………………………9 分

(法一)当 k ? 0 时,设直线 l 的倾斜角为 ? ,则 d1 ? d 2 ? MN ? tan ? , y d1 ? d 2 l M , ? MN ?
k

S ?

1 d1 ? d 2 2 k

( d1 ? d 2 ) ?

d1 ? d 2
2

2

?

2m k ?1
2

H

N O F2 x

2k

F1

?

2m m ?3
2

? ?1

8 m ? 1 m

,……11 分

4
2 2

? m ? 4k ? 3 ,? 当 k ? 0 时, m ?

3,m ?

1 m

?

3?

1 3

?

4 3

3 ,S ? 2 3 .

当 k ? 0 时,四边形 F1MNF2 是矩形, S ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2 3 . (法二)? d1 ? d 2 ? (
2 2

…………………………13 分 ……………………………14 分

?k ? m k ?1
2

) ?(
2
2 2

k ?m k ?1
2

) ?
2

2( m ? k )
2 2

k ?1
2

?

2(5k ? 3)
2

k ?1
2



d1d 2 ?

?k ? m k ?1
2

?

k ?m k ?1
2

?

m ?k
2

k ?1
2

?

3k ? 3
2

k ?1
2
2 2

? 3.
2 k ?1
2

? MN ?

F1 F2 ? (d1 ? d 2 )
2

?

4 ? ( d1 ? d 2 ? 2d1d 2 ) ?

. ………11 分

四边形 F1MNF2 的面积 S ?
2

1 2

MN ( d1 ? d 2 ) ?

1 k
2

?1

(d1 ? d 2 ) ,

S

? k

1
2

?1

( d 1 ? d 2 ? 2d 1 d 2 ) ?
1 k
2

2

2

16k (k
2

2

? 12
2

? 1)

? 16 ? 4(

?1

? 2)

2

? 12 .

…………………………………………13 分

当且仅当 k ? 0 时, S 2 ? 12, S ? 2 3 ,故 S max ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值为 2 3 . 21.解:由已知函数 g ( x), f ( x) 的定义域均为 (0,1) ? (1,??) ,且 f ( x) ?
ln x ? x ? 1 x (ln x )
2

x ln x

? ax . …1 分

(Ⅰ)函数 g ?( x) ?

?

ln x ? 1 (ln x )
2

,

当 0 ? x ? e 且 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 . 所以函数 g ( x) 的单调减区间是 (0,1), (1, e) ,增区间是 (e,??) . (Ⅱ)因 f(x)在 (1, ??) 上为减函数,故 所以当 x ? (1, ??) 时, 又
f ?( x) max ? 0 .
ln x ? 1 f ?( x) ? ?a?0 2 (ln x)

………………3 分

在 (1, ??) 上恒成立.

ln x ? 1 1 f ?( x ) ? ?a?? 2 ln x (ln x )
1 1 ? ln x 2

?

?

2

?

1 1 1 ?a ?? ? ln x ln x 2

?

?

2

?

1 ?a, 4

故当

,即 x ? e2 时,
4

1 f ?( x ) max ? ? a . 4

所以 1 ? a ? 0, 于是 a ≥ 1 ,故 a 的最小值为 1 .
4 4

…………………………6 分

(Ⅲ)命题“若 ?x1 , x2 ? [e, e 2 ], 使 “当 x ? [e, e 2 ] 时,有

f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于
max

f ( x ) min ? f ? ? x ?

?a

” . .

由(Ⅱ) ,当 x ? [e, e 2 ] 时,

1 1 f ?( x ) max ? ? a ,? f ? ? x ? ?a? max 4 4

问题等价于: “当 x ? [e, e 2 ] 时,有
1
0

f ( x ) min ?
2

1 4

” .

………………………8 分

当 a ? 1 时,由(Ⅱ) ,
4

f ( x ) 在 [e, e ] 上为减函数,


2
0

f ( x) min

=

f (e ) ?
2

2 e 1 ? ae ? 2 4

2

,故 a ? 1 ?
2

1 4e
2



当 0< a ? 1 时,由于
4

f ?( x ) ? ?
2

? ln1x ? 1 ? 2

2

?

2 1 ? a 在 [e, e ] 上为增函数, 4

故 由

1 f ?( x ) 的值域为 [ f ?(e), f ?(e )] ,即 [ ? a, ? a ] . 4

f ?( x ) 的单调性和值域知,
2

? 唯一 x0 ? (e, e ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,且满足:

当 x ? (e, x0 ) 时, 所以,
f ( x) min

f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为减函数;当 x ? ( x0 , e )
2

时,

f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为增函数;

=

f ( x0 ) ?

x0 ln x0

? ax0 ?

1 4

, x0 ? (e, e 2 ) . ,与 0 ? a ? 1 矛盾,不合题意.
4

所以, a ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 ln x0 4 x0 4e 2 4 4 ln e

综上,得 a ? 1 ?
2

1 4e
2



…………………………13 分


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