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方程的根与函数的零点练习题及答案解析


方程的根与函数的零点练习题及答案解析
王学忠 山东省临沂市沂水县第一中学 教材版本: 《普通高中课程标准实验教科书· 数学 1· 必修· 版》 A ,人民教育出版社,2007 年 1 月 第二版 课 题:§ 3.1.1 方程的根与函数的零点 教学目标: 【知识与技能】了解函数零点的概念,理解方程的根与函数的零点的关系;理解图象连 续的函数存在零点的判定方法,并能进行简单

的应用。 【过程与方法】 在探究方程的根与函数的零点的关系, 图象连续的函数存在零点的判定 方法中体会数形结合、函数与方程的数学思想,从特殊到一般的归纳思想。 【情感态度与价值观】 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值; 在 教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣,培养学生的辨证思维。 教学重点: 方程的根与函数的零点的关系; 图象连续的函数存在零点的判定方法及应用。 教学难点:图象连续的函数存在零点的判定方法的理解。 教具准备:直尺 Powerpoint 2003 课件 几何画板 4.07 课件 学具准备:计算器 教学方法:问题探究法 教学过程设计: 一、创设情境: 问题引入: 求方程 3x 2 ? 5x ? 1 ? 0 的实数根。 变式: 求方程 3x 5 ? 5 x ? 1 ? 0 的实数根。 数学史上, 人们曾希望得到一般的五次以上代数方程的根式解, 但经过长期的努力仍无 结果,1824 年挪威年仅 22 岁的数学家阿贝尔(N.H.Abel,1802-1829)成功地证明了五次以 上一般方程没有根式解。 五次以上的高次方程不能用代数运算来求解, 我们就必须寻求新的 角度——函数来解决这个方程的问题。 设计意图: 从学生的认知冲突中, 引发学生的好奇心和求知欲, 推动问题进一步的探究。 通过对数学史的讲解, 培养学生学习数学的兴趣, 开门见山地提出利用函数思想解决方程根 的问题。 二、新知探究: 1.零点的概念: 问题 1:求方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的实数根,并画出函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象。

?1,3 具有多重角色,它能够使这个方程成立,也能够使这个函数的函数值为 0,它又 是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标。这样 ?1, 3 就把函数与方程联系到一起了,在方程 里, ?1,3 叫做方程的实数根,在函数里,它能够使得函数值为 0,我们就称它为函数的零
点。 对 于 函 数 y ? f (x) , 我们 把 使 f ( x) ? 0 的 实 数 x 叫 做 函数 y ? f (x) 的 零 点 ( zero point) 。 设计意图: 以学生熟悉一元二次方程和二次函数图象为平台, 观察方程和函数形式上的 联系,得出函数零点的概念。 问题 2:求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1 和函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的零点。 结论:函数 y ? f (x) 的零点是个实数,是方程 f ( x) ? 0 实数根,是函数 y ? f (x) 的图 象与 x 轴交点的横坐标(学生可能认为零点是个点,在这里要强调) 。 问 题 3 : 探 究 一 元 二 次 方 程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的 实 数 根 和 对 应 的 二 次 函 数 (填下面表格) f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的零点及图象与 x 轴交点的关系。

1

? ? b 2 ? 4ac
方程的实数根 函数图象与 x 轴的交点 函数的零点
x1 ?

??0
? b ? b 2 ? 4ac 2a
x2 ? ? b ? b 2 ? 4ac 2a

??0
x1 ? x2 ? ? b 2a

??0

无实数根 无交点 无零点

( x1 ,0) , ( x2 ,0)

(?

b ,0) 2a
? b 2a

x1 , x2

结论:方程 f ( x) ? 0 有实数根 x0 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ( x0 ,0) ? 函数

y ? f (x) 有零点 x0 。 设计意图: 通过对一般形式一元二次方程和对应的二次函数的研究, 进一步理解方程的 根与函数的零点的关系。 练习: 1.求下列函数的零点:
(1) y ? 2 x ? 3 (2) y ? 2 x ? 1 (3) y ? x 3 ? 8 2.已知函数 y ? f (x) 的图象如下图所示,则函数 y ? f (x) 的零点为______。
y
?2 O 1 3

x

答案:1. (1) ?

3 2

(2) 0

(3) 2

2. ? 2,1,3 。

设计意图:通过练习,使学生进一步理解函数零点的概念,强调求函数的零点可转化为 求方程的根或求函数图象与 x 轴的交点。 2.函数零点的判定: 问题 4:观察下列两组画面,请你推断一下在他的徒步行程中是否一定趟过这条小溪?

(1)

(2)

第(1)组说明他的徒步行程中一定趟过这条小溪,第(2)组中不一定趟过这条小溪。 问题 5: 满足什么条件, 才能使函数 y ? f (x) 在 A(a, f (a)), B(b, f (b)) 间的图象与 x 轴一 定有交点? 将小溪抽象成 x 轴,将前后的两个位置视为 A 、 B 两点。请问当 A 、 B 与 x 轴怎样的位 置关系时, AB 间的一段函数图象与 x 轴一定会有交点?

A 、 B 两点在 x 轴的两侧。如何用数学符号(式子)来表示?
2

f (a) ? f (b) ? 0 。

并且函数图象必须是一条连续不断的曲线。 设计意图:从现实生活中的问题,让学生体会动与静的关系,整体与局部的关系。将现 实生活中的问题抽象成数学模型, 由图形语言转化为数学语言, 培养学生的观察能力和提取 有效信息的能力。 问题 6: 观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象, 在区间 [?2,1] 上, 函数值 f (?2) 和 f (1) 的积与 0 的大小关系如何?函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 在 (?2,1) 是否存在零点? 在区间 [?2,1] 上, f (?2) ? f (1) ? 0 ,函数在区间 (?2,1) 上存在零点 ?1 。 问题 7: 观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象, 在区间 [1,4] 上, 函数值 f (1) 和 f (4) 的 积与 0 的大小关系如何?函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 在 (1,4) 是否存在零点? 在区间 [1,4] 上, f (1) ? f (4) ? 0 ,函数在区间 (1,4) 上存在零点 3 。 设计意图: 通过对二次函数图象的分析, 进一步探究函数在某个区间上存在零点的条件。 通过以上探究, 让学生自己概括出对于一般的函数 y ? f (x) 在区间 [ a, b] 上满足什么条 件就存在零点? 零点存在性定理: 如果函数 y ? f (x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线, 并 且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么函数 y ? f (x) 在区间 ( a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。 (1)函数图象连续不断,端点函数值异号,函数一定存在(至少有一个)零点。 问题 9:若函数 y ? f (x) 在区间 ( a, b) 内有零点,一定有 f (a) ? f (b) ? 0 吗? 不一定, f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 , 如 可以发现在区间 [?2,4] 上有零点, f (?2) ? f (4) ? 0 。 但 (2)函数存在零点,端点函数值不一定异号。 设计意图:使学生准确理解零点存在性定理,强调结论不能随便改动。 三、新知应用与深化: 例1 观察下表,分析函数 f ( x) ? 3x 5 ? 5x ? 1在定义域内是否存在零点? x -2 -1 0 1 2 f (x) -107 -9 -1 7 105

分析:函数 f ( x) ? 3x 5 ? 5x ? 1图象是连续不断的,又因为 f (0) ? f (1) ? 0 ,所以在区间

(0,1) 上必存在零点。我们还可以通过几何画板作图帮助了解零点大致的情况。 设计意图: 初步应用定理来判断函数零点存在问题。 引导学生探索判断函数零点的方法, 通过作出 x, f ( x) 的对应值表,来寻找函数值异号的区间;还可以借助几何画板作出函数的
图象分析零点问题, 并对函数有一个零点形成直观认识, 为例 2 判断函数零点的个数作好准 备。 例 2 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数。 分析:用计算器或计算机作出 x, f ( x) 的对应值表和图象。 由表可知, f (2) ? 0, f (3) ? 0 , f (2) ? f (3) ? 0 , 则 说明函数 f (x) 在区间 (2,3) 内有零点。 结合函数 f (x) 的单调性,进而说明 f (x) 的零点仅有一个。 结论:图象连续的单调函数若存在零点,则零点唯一。 设计意图: 学生应用例题 1 方法来解决例题 2 的零点存在性问题, 并结合函数的单调性 判断零点的个数问题。 四、达标检测: 1.已知函数 f (x) 图像是连续不断的,且有如下对应值表: 13.1 15.15 则函数至少有零点( ) A.1 个 B.2 个

x f (x)

-2

-1

0 -2.69

1 6.75

2 -32.7

3 -23.6

C.3 个

D.4 个

3

2.设 x0 是方程 ln x ? x ? 4 ? 0 的根,则 x0 在下列哪个区间内 ( ) A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5) 3.已知函数 f ( x) ? 3ax ? 1 在 (0,1) 上有零点,则 a 的取值范围是___________。 4.若函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b 的两个零点是2和3,则 loga 25 ? b 2 ? ___________。 5.方程 e x ?1 ? x ? 4 ? 0 的根有_______个。 答案:1.C 2.B 3. a ? ?

1 3

4.38

5.1

五、课堂小结: 通引导让学生回顾零点概念,方程的根与函数零点的关系,以及零点存在性判断,鼓励 学生积极回答,然后老师从数学思想方面进行总结。 六、课后作业: 课本 P88 练习 1、2 P92 习题 3.1 A 组 1、2 七、下节预告: 我们已经可以利用求根公式来求一些方程的根, 对于没有公式解的方程, 我们借助函数 的零点能估计方程的根所处的大体区间, 能不能求出方程的根呢?这就是我们下节课学习的 内容――用二分法求方程的近似解。 教学反思: 本节课在新课标理念的指导下,本着“教师的主导地位与学生的主体地位相统一”的教 学原则下组织本节教学。 采用问题探究式的教学方法并配以多媒体辅助教学, 通过教师的点 拨,启发学生主动思考、动手操作来达到对知识的发现和接受,并形成初步的应用技能。在 教学过程中充分遵循学生的认知规律,在生活事例的引领下,进入新知识的学习,直观情境 又在学生积极思考的过程中激发学生的学习热情和探究欲望。通过学生自主、合作、探究, 在探索与交流中解决问题,形成自己对本节课重难点的理解和掌握。课堂练习和例题,由浅 入深,承上启下,各有侧重,不但突出了本节课的重点内容,而且让学生体会运用函数性质 及其图像来解题的重要数学思想。教学环节层层深入,环环相扣,充分体现了师生的交流互 动,在教师的整体调控下,学生通过动手操作、动眼观察、动脑思考、层层递进,亲历了知 识的形成和发展过程。 教学过程中的出现的几个问题: 1.在探求函数零点存在性定理时,学生提出满足条件也不一定存在零点,如图所示:
y x a O b

注意:这不是函数图象。 2.例 2 还可以看作是两个函数的交点问题。如:函数 y ? ln x 与 y ? ?2 x ? 6 。因为联

? y ? ln x 立方程组 ? , 消 去 y , 得 到 ln x ? ?2 x ? 6 即 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 , 故 函 数 ? y ? ?2 x ? 6 y ? ln x ? 2 x ? 6 的零点也是两函数图象交点的横坐标。这样将未知函数图象转化为已知函
数图象问题,进一步加强数形结合思想的应用意识。 3.在目前高考不允许使用计算器的情况下,可提醒学生学会利用估算来确定函数值的 大小。如例 2 中计算: f (2) ? ln 2 ? 2 ? ln e ? 2 ? ?1 ? 0 , f (3) ? ln 3 ? ln e ? 1 ? 0 。 4.为了说明“图象连续的单调函数若存在零点,则零点唯一”,给出的两个例题中函数 都只有一个零点, 但防止给学生一种“函数至多有一个零点”的错误认识。 课本练习 P88 2 如: (4)就有三个零点。

4


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