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北京市东城区2010-2011学年上学期期末统一检测数学试题(文)


北京东城区 2010—2011 学年度第一学期期末教学统一检测

数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分,考试时长 120 分钟,考生务必将答案答在 答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40

分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 1}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) ? B A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} 2.在复平面内,复数 i (i ? 1) 对应的点在 A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ( D.2 ) B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | 0 ? x ? 1} ( ) ( )

3.在等差数列 {an } , 若a4 ? a5 ? 15, a7 ? 15, 则a2 的值为 中 A.—3 B.0 C. 1

4.直线 l 过点(— 4,0)且与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 交于 A、B 两点,如果|AB|=8,那 么直线 l 的方程为 A. 5 x ? 12 y ? 20 ? 0 C. 5 x ? 12 y ? 20 ? 0 B. 5 x ? 12 y ? 20 ? 0 或 x ? 4 ? 0 D. 5 x ? 12 y ? 20 ? 0 x ? 4 ? 0 ) ( )

5.已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 6.若 a ? log 1 2, b ? log 1 3, c ? ( ) ,则
0.3 3 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 2

( B. a ? c ? b D. b ? a ? c



A. a ? b ? c C. b ? c ? a

7.已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2 ? ax 的焦点 F,且与 y 轴相交于点 A,若 ?O AF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为
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A. y2 ? 4x C. y2 ? 4x或y2 ? ?4x

B. y2 ? 8x D. y2 ? 8x或y2 ? ?8x

8.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R,若存在常数 m ? 0, 对任意x ? R, 有 | f ( x) |? m | x | ,则

s o s 称 f ( x ) 为 F 函数 , 给出下列函数: f ( x ) ? 0 ; f ( x) ? x2 ; f x) n x ? x ① ② ③ ( i? c
④ f ( x) ?
2



x ;⑤ f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且满足对一切实数 x1 , x2 均有 x ? x ?1
( D.①②⑤ )

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 | x1 ? x2 | . 其中是 F 函数的序号为
A.①②④ B.②③④ C.①④⑤

第Ⅱ卷(共 10 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9.已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ?

1 , 那么 sin 2? = 3



10.已知向量 a,b 满足: | a |? 1,| b |? 6, a ? (b ? a) ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 。 11.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的 体积为 。
[来源:Zxxk.Com]

? x ? y ? 1 ? 0, ? 12.如果实数 x,y 满足条件 ? y ? 1 ? 0, 那么 2x ? y 的最大值为 ? x ? y ? 1 ? 0, ?



13.设椭圆的两个焦 点分别为 F1,F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若 ?F PF2 为 1 等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 。

?? x2 ? 6 x ? e2 ? 5e ? 2, x ? e, 14.已知函数 f ( x) ? ? (其中 e 为自然对数的底数,且 ? x ? 2ln x, x ? e
e ? 2.718 )若 f (6 ? a2 ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是


三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15.(本小题共 13 分)
2 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1.

(I)求 f ( ) 的值及 f ( x ) 的最小正周期;

?

6

2/8

(II)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f ( x) 的最大值和最小值。

16.(本小题共 13 分) 在公差不为 0 的等差数列 {an } 中, a4 ? 10, 且a3 , a6 , a10 成等比数列。 (I)求 {an } 的通项公式; (II)设 bn ? 2 n (n ? N *) ,求数列 {bn } 的前 n 项和公式。
a

17.(本小题共 14 分) 如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所 在的平面互相垂直, AD ? CD, AB//CD, AB=AD=2,CD=4,M 为 CE 的中点。 (I)求证:BM//平面 ADEF; (I I)求证:平面 BDE ? 平面 BEC;

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? x. (I)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值; (II)若对于任意 x ? (0, ??), f ( x) ? ax2 恒成立,求实数 a 的取值范围。
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19.(本小题共 13 分) 已知椭圆

[来源:学科网]

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴为 4,且点 (1, ) 在该椭圆上。 2 a b 2

(I)求椭圆的方程; (II) 过椭圆右焦点的直线 l 交椭圆于 A, 两点, B 若以 AB 为直径的圆径的圆经过原点, 求直线 l 的方程。

[来源:Zxxk.Com]

20.(本小题共 14 分) 已知集合 A ? {a1, a2 ,?, an} 中的元素都是正整数,且 a1 ? a2 ? ? ? an ,集合 A 具有 性质 P:对任意的 x, y ? A ,且 x ? y, 有 | x ? y |? (I)判断集合{1,2,3,4}是否具有性质 P; (II)求证:

xy . 25

1 1 n ?1 ? ? ; a1 an 25

(III)求证: n ? 9;

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