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专题一第5讲导数及其应用(作业)


专题一

第五讲

导数及其应用

班级_________________姓名____________________ 一、填空题: 1.如图所示,有一圆锥形容器,其底面半径等于圆锥的高,若以

9?cm3 / s 的速度向该容器注水,则水深 10cm 时水面上升的速
度为 cm / s. 2.等比数列 {an } 中, a1 ? 2 , a8 ? 4 , 函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 )? ( x ? a8 ) ,则 f '(0) =_________. 3.已知函数 f ? x ? , g ? x ? 满足 f (5) ? 5, f '(5) ? 3, g (5) ? 4, g '(5) ? 1, 则函数 y ? 的图象在 x ? 5 处的切线方程为 4.已知曲线 y ? .

f ( x) ? 2 g ( x)

1 3 8 . x 上的一点 P (2, ), 则过点 P 的切线方程为 3 3 1 1 ? ? ? ? 5.若曲线 y ? x 2 在点 ? a , a 2 ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 ? ? a ? _________. 1 3 1 2 6.若函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间 (1,4) 上为减函数,在区间 ? 6, ?? ? 上为 3 2
增函数,则实数 a 的取值范围为
3 2

. .

7.关于 x 的方程 x ? 3x ? a ? 0 有三个不同的实数解,则 a 的取值范围是 8.设函数 f ( x) ? x ? 3x, x ? R, 若 f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0(0 ? ? ?
3

?
2

) 恒成立,则实数

m 的取值范围是



9. 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) , 若不等式 f ( x) ? a 在 x ? [0,??) 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是 .

10.已知函数 f ( x) ? x ln x, 直线 l : x ? 2 y ? c ? 0. 若当 x ? [ e ,2] 时,函数 y ? f (x) 的图 象在直线 l 的下方,则实数 c 的取值范围为 .

11 . 函 数 f (x) 在 定 义 域 R 内 可 导 , 若 f (1 ? x) ? f (1 ? x) , 且 当 x ? (??,1) 时 ,

1 设 则 ( x ? 1) f ?( x) ? 0 , a ? f (0) , ? f ( ) , ? f (3) , a, b, c 的大小关系为_________. c b 2
12. 设函数 f n ( x) ? n x (1 ? x) (n 为正整数), f n ( x) 在 则 [0,1] 上的最大值为
2 2 n



1

二、解答题: 13.已知函数 f (x) 的导数 f
'

? x ? ? 3x 2 ? 3ax, f (0) ? b, a, b 为实数,1 ? a ? 2.

(1)若 f (x) 在区间 [?1,1] 上的最小值、最大值分别为 ? 2,1,求 a, b 的值; (2)在(1)的条件下,求经过点 P(2,1) 且与曲线 f (x) 相切的直线 l 的方程.

k 2 x ( k ≥0). 2 , (1)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程;
14.已知函数 f ( x )=ln(1+ x )- x + (2)求 f ( x )的单调区间.

2

15.已知 f ? x ? ? x ln x, g ? x ? ? ? x ? ax ? 3 .
2

(1)求函数 f ? x ? 在 ?t , t ? 2? ? t ? 0 ? 上的最小值; (2)对一切 x ? ? 0, ?? ? , 2 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明对一切 x ? ? 0, ?? ? ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

3

16.已知 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) ,点 A(s,f(s)), B(t,f(t)) (1)若 a ? b ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2) 若函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 满足: 当|x|≤1 时, 有| f ?( x) |≤ 的解析表达式 ; (3)若 0<a<b, 函数 f ( x) 在 x ? s 和 x ? t 处取得极值,且 a ? b ? 2 3 ,证明: OA 与 OB 不可能垂直.

3 恒成立, 求函数 f ( x) 2

4


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