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专题6三解函数


专题

三角函数、三角恒等变换与解三角形

一、考试内容: 角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系 式.正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、 余弦函数的图像和性质.周期函数.函数 y=Asin(ω x+φ )的图像.正切函数的图像和性质.已知

三角函 数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法. 二、考试要求: (1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算. (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱 导公式;了解周期函数与最小正周期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函 数 y=Asin(ω x+φ )的简图,理解 A.ω 、φ 的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角, (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. (8) “同角三角函数基本关系式:sin2α +cos2α =1,sinα /cosα =tanα ,tanα ?cosα =1” . 三、命题热点 高考对给部分考查的主要内容为:任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的概念、诱导公式、 同角三角函数关系、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余 弦定理,并能步运用它们解斜三角形,并结合平面向量的概念和线性运算、平面向量的数量积、平面向 量的应用。高考对该部分的考查重基础,虽然该部分内容在试卷中试题数量多、占有的分值较多,但是 试题以考查基础为主,试题的难度一般是中等偏下。 在高考中重点考查:三角函数的图像和性质、正弦定理、余弦定理、平面向量的数量积、平面向量 的几何意义等。 四、知识回顾 1. ①与 ? (0°≤ ? <360° )终边相同的角的集合(角 ? 与角 ? 的终边重合) : ? | ? ? k ? 360? ? ? , k ? Z


?

?

②终边在 x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? , k ? Z

?

? ? ? ?
4 cosx cosx 1

y
2 sinx 1 cosx cosx

3 sinx

③终边在 y 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z ④终边在坐标轴上的角的集合: ? | ? ? k ? 90? , k ? Z

?

x

?

?

⑤终边在 y=x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

?

sinx 2

sinx 3

4

⑥终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180 ? 45 , k ? Z
? ?

?

SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域

2. 角度与弧度的互换关系:360° =2 ? 180° = ? 1° =0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?

1°= ? ≈0.01745(rad)
180

1

3、弧长公式: l

?| ? | ?r .
cos ? ? x; r

扇形面积公式: s扇形 ?

4、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r,则
sin ? ? y; r

1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2
y

tan ? ?

y; x

a的 终边
P( x,y) r

5、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦)
o

x

6、三角函数线 正弦线:MP;
y P T

余弦线:OM;

正切线: AT.

16. 几个重要结论 : (1)
y

(2)

y

|sinx|>|cosx| sinx>cosx
O x |cosx|>|sinx| O |cosx|>|sinx| x

O

M

Ax

cosx>sinx |sinx|>|cosx| ? (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

7. 三角函数的定义域: 三角函数 f ( x) ? sinx
f ( x) ? cosx f ( x) ? tanx

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?
cos ?
2 sin ? ?co2 s? ? 1

定义域

8、同角三角函数的基本关系式: sin ? ? tan ? 9、诱导公式:
把 k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 2

“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式: (一)基本关系
sin(2k? ? x) ? sin x sin(? x ) ? ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x cos(? x ) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x tan(? x ) ? ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x cot(? x ) ? ? cot x sin( ? ? x) ? ? sin x cos( ? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? tan x cot(? ? x) ? cot x sin 2? ( ? x) ? ? s i n x cos 2? ( ? x) ? c o s x tan 2? ( ? x) ? ? t a n x cot 2? ( ? x) ? ? c o x t sin ? (? x) ? s i n x cos ? (? x) ? ? c o s x tan ? (? x) ? ? t a n x co? t (? x) ? ? c o x t

(二)角与角之间的互换 公式组一 cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ?
cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ?

公式组二
sin 2? ? 2 s i n ?c o? s
2 co2 s? ? c o 2 s? ? s i 2 n? ? 2 c o 2 s ? ?1 ? 1 ? 2 s i n ?

2

sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?

tan 2? ?

2t a n ?
2 1? t a n ?

sin ?? 2 cos

?

1? c o ? s 2 1 ? cos? 2

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

?
2

??

tan(? ? ? ) ?

tan

?
2

??

1 ? cos? sin? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin?

sin 15? ? cos75? ?

6? 2, sin 75? ? cos15? ? 4

6 ? 2 , ,. 4

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

y ? A sin??x ? ? ?

(A、 ? >0) R

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?
R
?

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

奇函数

偶函数
[?2k ? 1?? , 2k? ]

奇函数
? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 ? 2 ?

奇函数

? 当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数
? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? 2 ??

[?

?
2

? 2k? ,

; ??

?k? , ?k ? 1?? ? 上为减函
数( k ? Z )

?

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 (k?Z )

上 为 增 函 数 (k?Z )

?

2 3? ? 2k? ] 2

? 2k? ,

上为增函数; ? ? ? 2k? ? ? ?
2

上为减函 数 (k ?Z )

? ? ( A), ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2k? ? 2 ? ? ? ? (? A)? ? ? ? ?

上 为 减 函 数 (k?Z ) 注意:① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相反.一般地, 若 y ? f ( x) 在 [a, b] 上递增(减) ,则 y ? ? f ( x) 在 [a, b] 上递减(增).


② y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? .
?x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ? ③ y ? sin(
y ? tan

y

2?

?

.
O

x

x 的周期为 2 ? ( ? T? ? T ? 2? ,如图,翻折无效). 2 ?

3

?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ? ④ y ? sin(

?
2

( c s (k?Z ) ,对称中心( k? ,0 ) ; y ?o

?x ? ? ) 的对称轴方程

是 x ? k? ( k ? Z ) ,对称中心( k? ? 1 ? ,0 ) ;y ?a n t(
2

?x ? ? ) 的对称中心(
?
2

k? ,0 ). 2

y ? cos2x ??? ?? y ? ? cos(?2x) ? ? cos2x
原点对称

tan ? ? 1, ? ? ? ? k? ? ⑤当 tan? ·

?
2

tan ? ? ?1, ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) ; tan? ·

(k ? Z ) .

? ? ⑥ y ? cos x 与 y ? sin? ? x ? ? 2k? ? 是同一函数, 2 ? ?
⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.(× ) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域, y ? tan x 为 增函数,同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是 f ( x) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原 点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? f ( x) ,奇函数: f (? x) ? ? f ( x) ) 1 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y ? tan x 是奇函数, y ? tan( x ? ? ) 是非奇非偶.(定义域不关于原 3 点对称) 奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f ( x) 一定有 f (0) ? 0 .( 0 ? x 的定义域,则无此性质)


⑨ y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 为周期函数( T ? ? ) ; ; y ? cos x 为周期函数( T ? ? ) ; y ? cos x 是周期函数(如图)

y



y

x

1/2 x

y=cos|x|图象

1 ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: y ? cos 2 x ? 的周期为 ? (如图) 2

y=|cos2x+1/2|图象

y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .

11、三角函数图象的作法: 1) 、几何法: 2) 、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线) ,三点二线作图法(正、余切曲线). 3) 、利用图象变换作三角函数图象. 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y=Asin(ω x+φ)的振幅|A|,周期 T ? 2? ,频率 f ? 1 ? | ? | ,相位 ? x ? ? ; 初相 ? (即当 x=
|? |
T 2?

0 时的相位) . (当 A>0,ω >0 时以上公式可去绝对值符号) , 由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A|<1)到原 来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换. (用 y/A 替换 y) 由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变, 横坐标伸长 (0<|ω |<1) 或缩短 (|ω |>1) 到原来的 | 1 |
?

倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用ω x 替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向左(当 φ>0)或向右(当 φ<0)平行移动|φ|个单位,得到 y= sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移.(用 x+φ 替换 x)
4

由 y=sinx 的图象上所有的点向上 (当 b>0) 或向下 (当 b<0) 平行移动|b|个单位, 得到 y=sinx +b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移. (用 y+(-b)替换 y) 由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ω x+φ) (A>0,ω >0) (x∈R)的图象,要特别 注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区别。 ⑵ 正弦、余弦、正切、解集: 解集 解集 a 的取值范围 a 的取值范围 ① sin x ? a 的解集 ②co s x ? a 的解集
?
a >1

a >1

?

a =1
a <1

?x | x ? 2k? ? arcsina, k ? Z ?

a =1

?x | x ? 2k? ? arccos a, k ? Z ?

?x | x ? k? ? ??1?

k

arcsina, k ? Z

?

a

<1

?x | x ? k? ? arccosa, k ? Z ?

③ tan x ? a 的解集: ?x | x ? k? ? arctan a, k ? Z ? 二、三角恒等式. 组一 sin 2 n ?1? cos? cos 2? cos 4? ... cos 2 n ? ? n ?1 2 sin? 组二
sin3? ? 3 sin? ? 4 sin3 ? cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos?

sin2 ? ? sin2 ? ? sin?? ? ? ? sin?? ? ? ? ? cos2 ? ? cos2 ?

? cos 2
k ?1

n

?
k

? cos

?
2

cos

?
4

cos

?
8

? cos

?
2
n

?

sin? 2 n sin

?
2n

tan( ? ? ? ?? ) ?

tan? ? tan ? ? tan ? ? tan? tan ? tan ? 1 ? tan? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan?

组三 三角函数不等式
sin x < x < tan x, x ? (0,

?
2

)

f ( x) ?

sin x 在 (0, ? ) 上是减函数 x

若 A ? B ? C ? ? ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 yz cos A ? 2 xz cos B ? 2 xy cos C 三、正、余弦定理: ⑴正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

( 2 R 是 ?ABC 外接圆直径 )

注:① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;② a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; ③

a b c a?b?c ? ? ? 。 sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C
2 2 2

⑵余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A 等三个; cos A ? 11.几个公式:⑴三角形面积公式:① S ?

b2 ? c2 ? a2 等三个。 2bc

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边 2 2 2 1 1 1 上的高);② S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2

5

⑵内切圆半径 r= 2 S ?ABC ; 外接圆直径 2R=
a?b?c

a b c ? ? ; sin A sin B sin C

五、典型例题 一.选择题
1. 如果角?的终边过点(2sin 30?, ?2cos30?), 则sin ?的值等于 (C



A.

1 2

B.-

1 2

C.-

3 2

D.-

3 3

2.函数 y ? 2 sin(2 x ? ? )cos[2( x ? ? )] 是(C )

? ? 的奇函数 B. 周期为 的偶函数 4 4 ? ? C.周期为 的奇函数 D. 周期为 的偶函数 2 2 ? 3 3.已知 sin( ? x) ? , 则 sin 2 x 的值为 (D ) 4 5 19 16 14 7 A. B. C. D. 25 25 25 25
A.周期为 4.设 a ?

1 3 2 tan13 1 ? cos50 cos 6 ? sin 6 , b ? ,c ? , 则有( C ) 2 2 2 1 ? tan 13 2
B. a ? b ? c
2 2

A. a ? b ? c

C. a ? c ? b

D. b ? c ? a

5.函数 f ( x) ? lg(sin x ? cos x) 的定义城是(D ) A. ? x 2k? ?

? ?

3? ? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z ? 4 4 ? ? x ? k? ?

B. ? x 2k? ?

? ?

?
4

? x ? 2k? ?

5? ? ,k ?Z? 4 ?

C. ? x k? ?

? ?

?
4

?

? ,k ?Z? 4 ?

D. ? x k? ?

? ?

?
4

? x ? k? ?

3? ? ,k ?Z? 4 ?


6. 如果函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(0 ? ? ? 2? ) 的最小正周期是 T ,且当 x ? 2 时取得最大值,那么 (A
A. T ? 2, ? ?

?
2

B. T ? 1,? ? ?
2

C. T ? 2,? ? ?

D. T ? 1, ? ?

?
2

7.若函数 y=(sin x-a) + 1在sinx=1时取最大值,在sinx=a时取得最小值, 则实数a满足( B ) A.0≤a≤1 B.-1≤a≤0

C.a≤-1

D.a≥1

8.已知 tanα 、tanβ 是方程 x2+3 3 x+4=0 的两个根,且α 、β ∈(( B ? A. 3 ) B.2? 3

? ? , ),则α +β 的值是 2 2

C.

? 2? 或3 3

D.-

? 2? 或 3 3
6

9. 2 ? sin 2 2 ? cos 4 的值等于 A.sin2 B.-cos2 C. 3 cos2

( D.- 3 cos2

D



10.将函数 y ? f ( x)sin x 的图象向右平移

? 个单位后,再作关于 x 轴的对称变换,得到 4

y ? 1 ? 2sin 2 x 的图象,则 f ( x) 可以是( B )
A. cos x B. 2 cos x

11.设 f ( x) ? x sin x, 若 x1 , x2 ? [? A. x1 ? x2 B. x1 ? x2 ? 0

? ?

C. sin x

D.

2sin x

, ], 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ), 则下列结论中必成立的是( D) 2 2
C. x1 ? x2
2

D. x12 ? x22

12. θ 是三角形中一个最小内角 , 且 a ? cos

?
2

? sin 2

?
2

? cos 2

?
2

? a ? sin 2

?
2

? a ? 1 , 则 a 的取

值范围为( C A. ?3 ? a ? ?1
二.填空题 13.已知 sin

) B. a ? ?3 C. a ? ?3 D. a ? ?3

?
2

? cos

?
2

?

1 2 3 , 那么 sin ? 的值为 3 3

, cos 2? 的值为

7 ; 9

14. 已知 sin?cos?=1,则 cos

?+?
2

??

2 . 2

15..圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数是 2 3 16.已知在 ?ABC 中, 3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1, 则角 C 的大小为 三.解答题

? 6

( 3 tan12? ? 3)
17.(1)求值:

1 sin12 2 4cos 12? ? 2

(
解:(1)原式=

3 sin 12? 1 1 3 ? 3) ? 2 3 ( sin 12? ? cos12?) 2 2 cos12? sin 12? ? 3 sin 12? ? 3 cos12? ? sin 24? ? cos 24? 2(2 cos2 12? ? 1) sin 24? ? (2 cos2 12? ? 1)

?

2 3 sin(12? ? 60?) ? ?4 3 1 sin 48? 2
2 2

(2)已知 6 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? ? 0, ? ? [

?
2

, ? ], 求 sin( 2? ?

?
3

) 的值.

解:(2)由已知得: (3 sin ? ? 2 cos? )(2 sin ? ? cos? ) ? 0
7

? 3 sin ? ? 2 cos ? ? 0或2 sin ? ? cos ? ? 0
由已知条件可知 cos ? ? 0, 所以 ? ?

?

? 2 ,即? ? ( , ? ). 于是 tan ? ? 0,? tan ? ? ? . 2 2 3
?
3

sin( 2? ?

?
3

) ? sin 2? cos

?
3

? cos 2? sin

? sin ? cos? ?

3 (cos2 ? ? sin 2 ? ) 2

?

sin ? cos? 3 cos2 ? ? sin 2 ? tan? 3 1 ? tan2 ? ? ? ? ? ? . 2 cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan2 ? 2 1 ? tan2 ? cos2 ? ? sin 2 ?

2 将 tan ? ? ? 代入上式得 3 2 2 (? ) 1 ? (? ) 2 ? 3 3 3 ? ? 6 ? 5 3.即为所求. sin(2? ? ) ? ? ? ? 2 2 3 2 13 26 1 ? (? ) 2 1 ? (? ) 2 3 3
3 ? ? ?3 ? sin ? ?? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? tan 2 (2? ? ? ) 2 ? ?2 ? (3)已知sinα 是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,求 ? 的值. ?? ? ?? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cot(? ? ? ) ?2 ? ?2 ?
2

2 解:(3),已知 sinα 是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,? sin a ?

3 或(舍去) 2 , 5

3 4 ? cosa ? ? 1 ? sin 2 a ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? 5 5 2 cosa ? (? cos a) ? tan a 1 3 又 ? 原式 ? ?? ?? sin a ? (? sin a) ? (? tana) tana 4 ? ? 3? ? 3 3? 5 18.已知 ? ? ? , 0 ? ? ? , cos( ? ?) ? ? , sin( ? ?) ? ,求sin(? + ?)的值. 4 4 4 4 5 4 13 ? 4 ? 3? ? ? ? 3 解:∵ ? ? ? ∴ ? ? ? ? ? 又 cos( ? ?) ? ? ∴ sin( ? ?) ? 4 5 4 4 2 4 4 5 ? 3? 3? 3? 5 3? 12 ? ? ? ? ? 又 sin( ? ?) ? ? ?) ? ? ∵0 ? ? ? ∴ ∴ cos( 4 4 4 4 13 4 13 ? 3? ? ?)] ∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] = ? sin[( ? ?) ? ( 4 4 ? 3? ? 3? 4 12 3 5 63 ? ?[sin( ? ?) cos( ? ?) ? cos( ? ?) sin( ? ?)] ? ?[ ? (? ) ? ? ] ? 4 4 4 4 5 13 5 13 65
19.关于 x 的方程 sin x ? 3 cos x ? a ? 0 在区间 [0, 2? ] 上有且只有两个不同的实根,
(1)求实数 a 的范围. 解 :(1) 原 方 程 可 化 为 sin( x ? (2)求这两个实根的和.

?
3

)??

a , 方 程 在 ?0, 2? ? 上 有 两 个 相 异 的 实 根 , 则 必 须 满 足 2

8

a ? ?1 ? ? ? 1 ? 2 ? ,解得 ?2 ? a ? ? 3, 或 ? 3 ? a ? 2 . ? ? ?a ? 3 ? ? 2 2
(2) 当 ?2 ? a ? ? 3时, 即

? 3 a ? ? ? 1 , 方 程 的 一 根 为 x1 ? ? b , 则 另 一 根 为 6 2 2

x2 ?

?
6

? b,? x1 ? x2 ?

?
3

;

当 ? 3 ? x ? 2 时 , 即 ?1 ? ?

7 a 3 , 方 程 的 一 根 为 x1 ? ? ? b , 另 一 根 为 ?? 6 2 2

7 7 x2 ? ? ? b,? x1 ? x2 ? ? . 6 3
20.已知函数 f ( x) ? a(cos2 x ? sin x cos x) ? b (1)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)当 a ? 0 且 x ? [0, 解: (1) f ( x) ? 由 2 k? ?

?
2

] 时, f ( x) 的值域是 [3, 4], 求 a , b 的值.

a 2a ? a (1 ? cos 2 x ? sin 2 x) ? b ? sin(2 x ? ) ? ? b, 2 2 4 2

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

( k ? Z ) 得 k? ?

? 当 a ? 0 时, f ( x) 的递增区间为 [k? ?
(2)由 0 ? x ?

3? ? , k? ? ](k ? Z ). 8 8

3? ? ? x ? k? ? (k ? Z ), 8 8

?
2



?
4

? 2x ?

?
4

?

5? 2 ? ,?? ? sin(2 x ? ) ? 1. 4 2 4

又a ? 0?

2 ?1 2a ? a a?b ? sin(2 x ? ) ? ? b ? b, 2 2 4 2

? 2 ?1 ?a ? 2 ? 2 2 a?b ? 3 ? ? 由题意知 ? 2 ?? . b?4 ? ? ? b?4 ?
21、一次机器人足球比赛中,甲队 1 号机器人由点 A 开始作匀 动,到达点 B 时,发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速度向 速 直 线 滚 动 . 如 图 所 示 , 已 知 速直线运 点 A 作匀

A ? B4

2

d

m A ? D ,

?1

7. B若忽略机器人原地旋转 d ? A mC ?, 4

5

所需的时

间,则该机器人最快可在何处截住足球?

9

解 设 该 机 器 人 最 快 可 在 点 C 处 截 住 足 球 , 点 C 在 线 段 AD 上 , 设 BC ? xdm , 由 题 意 , CD ? 2 xdm . AC ? AD ? CD ? (17 ? 2 x)(dm) . 在 △ ABC 中 , 由 余 弦 定 理 , 得

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB AC cos A . 即 x2 ? ( 4

22 ) ?

(? 1x 7

2

2? ) ? 2

? 4

解 2x? ( 1 7 . 2 ? )得 cos 45

37 23 . (dm) .∴ AC ? 17 ? 2 x ? 7(dm) ,或 AC ? ? (dm) (不合题意,舍去) 3 3 答 该机器人最快可在线段 AD 上离点 A 7dm 的点 C 处截住足球. x1 ? 5(dm), x2 ?
六、近年高考试题分析 17. (本小题满分 12 分) 在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos( B ?

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小. 4 解析: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C.
因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ? (II)由(I)知 B ?

?

?
4

3? ? A. 于是 4

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? 0? A? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3
2 sin( A ?

?

?

?
6

) 取最大值 2.

综上所述, 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? . 12

7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=1 20°,c= 2 a,则 A.a>b C. a=b B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

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16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin 2 x (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期。 (II) 求函数 f ( x ) 的最大值及 f ( x ) 取最大值时 x 的集合。

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