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圆锥曲线经典例题及总结


圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2a , 且此常数 2a 一定要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无 轨迹; 双曲线中, 与两定点 F 1 , 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a , F 且此常数 2a 一定要

小于|F 1 F 2 |, 定义中的“绝对值”与 2a <|F 1 F 2 |不可忽视。若 2a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射 线,若 2a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程) : (1) 椭圆: 焦点在 x 轴上时

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 a ? b ? 0 ) 焦点在 y 轴上时 2 ? 2 =1 a ? b ? 0 ) ( , ( 。 a2 b a b x2 y2 y2 x2 ? 2 =1,焦点在 y 轴上: 2 ? 2 =1( a ? 0, b ? 0 ) 。方程 a2 b a b

方程 Ax 2 ? By 2 ? C 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B) 。 (2)双曲线:焦点在 x 轴上:

。 Ax2 ? By 2 ? C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B 异号) 2 2 ( 3 ) 抛 物 线 : 开 口 向 右时 y ? 2 px( p ? 0) , 开 口 向 左 时 y ? ?2 px( p ? 0), 开 口 向 上 时 2 x ? 2 py( p? 0),开口向下时 x2 ? ?2 py( p ? 0) 。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由 x , y 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 (2)双曲线:由 x , y 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中, c 最大, c ? a ? b 。
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2

4.圆锥曲线的几何性质:

x2 y2 (1)椭圆(以 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )为例) :①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ;②焦点:两 a b 个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,四个顶点 (? a, 0), (0, ?b) ,
其中长轴长为 2 a , 短轴长为 2 b ; ④准线: 两条准线 x ? ?

c a2 ; ⑤离心率:e ? , 椭圆 ? 0 ? e ? 1 , a c

e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。 x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )为例) (2)双曲线(以 :①范围: x ? ?a 或 x ? a, y ? R ;②焦点: a 2 b2 两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,两个顶点 (? a, 0) ,其 中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 c a2 x2 ? y 2 ? k , k ? 0 ;④准线:两条准线 x ? ? ; ⑤离心率: e ? ,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 a c b ? e ? 2 , e 越小,开口越小, e 越大,开口越大;⑥两条渐近线: y ? ? x 。 a p 2 (3)抛物线(以 y ? 2 px( p ? 0) 为例) :①范围: x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦点 ( , 0) ,其中 p 2 的几何意义是: 焦点到准线的距离; ③对称性: 一条对称轴 y ? 0 , 没有对称中心, 只有一个顶点 (0,0) ;

c p ; ⑤离心率: e ? ,抛物线 ? e ? 1 。 a 2 2 2 2 2 x0 y0 x y 5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的关系: (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 ? 2 ? 2 ? 1 ; a b a b 2 2 2 2 x y x y (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? 0 ? 0 =1; (3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内 ? 0 ? 0 ? 1 2 2 2 a b2 a b
④准线:一条准线 x ? ? 6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一 定有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 是直线与 双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; ? ? 0 ? 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定 有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是直线 与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切; ? ? 0 ? 直线与抛物线相 切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离; ? ? 0 ? 直线与抛物线相 离。 提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果 直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点; 如果直线与抛物线的轴平行时,直线 与抛物线相交,也只有一个交点; (2)过双曲线

x2 y2 ? =1 外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个 a2 b2

公共点的情况如下:①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线 和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原 点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线; (3) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形) 问题: S ? b tan
2

?
2

? c | y0 | ,

当 | y0 |? b 即 P 为短轴端点时,S max 的最大值为 bc; 对于双曲线 S ?

b2 t an

?
2

。 如 (1)短轴长为 5 ,

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦点弦,A、B 在准线上的射影 分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; (4)若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴, 反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。 9、弦长公式: 若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、 且 x1 , x2 分别为 A、 的横坐标, AB B, B 则 = 1? k
2

x1 ? x2 ,若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB = 1 ?
2

1 y1 ? y 2 ,若弦 AB 所在直线 k2

方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k

y1 ? y2 。特别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计

算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 抛物线:

b2 x x2 y 2 ? 2 ? 1 中 , 以 P( x0 , y0 ) 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k= 2 0 ; 在 抛 物 线 a2 b a y0 p y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 y0 提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别 忘了检验 ? ? 0 !
在双曲线

11.了解下列结论 2 2 2 2 (1)双曲线 x ? y ? 1 的渐近线方程为 x ? y ? 0 ; a2 b2 a2 b2 2 2 2 2 b (2)以 y ? ? x 为渐近线(即与双曲线 x ? y ? 1 共渐近线)的双曲线方程为 x ? y ? ? (? 为 a a2 b2 a2 b2 参数, ? ≠0)。 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx ? ny ? 1 ;
2 2

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为

2b 2 ,焦准距(焦点到相应准线的距 a

b2 离)为 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; c
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则① | AB |? x1 ? x2 ? p ;
2

② x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 4
2

(7)若 OA、OB 是过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点

(2 p, 0)
12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: ? ? (1) 给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n? ; (2)给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点;

(3)给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; (4)给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线;

?

?

?

( 5 ) 给 出 以 下 情 形 之 一 : ① AB // AC ; ② 存 在 实 数 ?, 使AB ? ? AC ; ③ 若 存 在 实 数

?

?

? , ? , 且? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线.
(6) 给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA ? MB ,即 ?AMB 是直角,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已 知 ?AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是锐角,

??? ?

??? ?

??? ?

? ? ? MA MB ? (8)给出 ? ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ? (9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD 是菱形; ??? ???? ??? ???? ? ? (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形;
(11)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形外接圆的圆 心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (12) 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重心是 三角形三条中线的交点) ; (13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂心(三角形 的垂心是三角形三条高的交点) ;
2 2 2

??? ? ??? ? AB AC ? ? ? (14)在 ?ABC 中,给出 OP ? OA ? ? ( ??? ? ??? ) (? ? R ) 等于已知 AP 通过 ?ABC 的内 | AB | | AC |

心; (15)在 ?ABC 中,给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心(三角形内切 圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ;

? 1 ??? ???? AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线; 2 ??? ??? ? ? 2 (3)已知 A,B 为抛物线 x =2py(p>0)上异于原点的两点, OA ? OB ? 0 ,点 C 坐标为(0,2p)
(16) 在 ?ABC 中,给出 AD ?

????

?

?

(1)求证:A,B,C 三点共线;

(2)若 AM = ? BM ( ? ? R )且 OM ? AB ? 0 试求点 M 的轨迹方程。

???? ??? ? ?

??? ??? ? ? x12 x2 ), B( x2 , 2 ) ,由 OA ? OB ? 0 得 2p 2p 2 2 ???? ? x 2 ??? x 2 ? x12 x x ) x1 x2 ? 1 2 ? 0,? x1 x2 ? ?4 p 2 ,又? AC ? (? x1 , 2 p ? 1 ), AB ? ( x2 ? x1 , 2 2p 2p 2p 2p ??? ??? ? ? x 2 ? x12 x2 ?? x1 ? 2 ? (2 p ? 1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ,? AC // AB ,即 A,B,C 三点共线。 2p 2p ???? ??? ? ? (2)由(1)知直线 AB 过定点 C,又由 OM ? AB ? 0 及 AM = ? BM ( ? ? R )知 OM?AB,垂
(1)证明:设 A( x1 , 足为 M, 所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆, 除去坐标原点。 即点 M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x?0, y?0)。 13.圆锥曲线中线段的最值问题:

例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为 ______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现, 当 A、P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线 时,距离和最小。 解: (2, 2 ) ( (1) (2)
A Q H P F B



1 ,1 ) 4

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右 1、 已知椭圆 C1 的方程为 4
顶点分别是 C1 的左、右焦点。 (1) 求双曲线 C2 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。
2 2 解: (Ⅰ)设双曲线 C2 的方程为 x ? y ? 1 ,则 a 2 ? 4 ? 1 ? 3, 再由a 2 ? b 2 ? c 2 得b 2 ? 1. 2 2 a b

故 C2 的方程为

x2 x2 ? y 2 ? 1. ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0. (II) y ? kx ? 2代入 将 3 4
k2 ? 1 . 4

由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得

?1 ? (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0, 即
将y ? kx ? 2代入



x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 .由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不 3

?1 ? 3k 2 ? 0, 1 ? 即k 2 ? 且k 2 ? 1. 同的交点 A,B 得 ? 2 2 2 3 ?? 2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0. ?
6 2k ?9 设A( xA , y A ), B( xB , yB ), 则x A ? xB ? , x A ? xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ??? ??? ? ? 由OA ? OB ? 6得xA xB ? y A yB ? 6, 而 xA xB ? y A yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2)

? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2 ? (k 2 ? 1) ? ? 3k 2 ? 7 . 3k 2 ? 1


?9 6 2k ? 2k ? ?2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

于是

3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 13 1 ? 6,即 ? 0. 解此不等式得 k 2 ? 或k 2 ? . 2 2 15 3 3k ? 1 3k ? 1
1 1 13 ? k 2 ? 或 ? k 2 ? 1. 4 3 15

由①、②、③得

故 k 的取值范围为 (?1, ?

13 3 1 1 3 13 ) ? (? , ? ) ? ( , ) ?( ,1) 15 3 2 2 3 15

在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB//OA, MA?AB = MB?BA, M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再 由愿意得知( MA + MB )? AB =0,即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.

????

????

??? ?

???? ????

??? ?

1 2 1 2 ' 1 x -2. (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= x -2 上一点,因为 y = x,所 4 4 2 1 1 以 l 的斜率为 x 0 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x2 ? 0 。 2 2
所以曲线 C 的方程式为 y=

1 2 x0 ? 4 | 2 y0 ? x | 1 2 1 4 2 2 ? ( x0 ? 4 ? ) ? 2, 则 O 点到 l 的距离 d ? .又 y0 ? x0 ? 2 ,所以 d ? 2 2 2 4 x0 ? 4 x0 ? 4 2 x0 ? 4
2 0

2 当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

设双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心率等于( 2 a b

)

设双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线,则双曲线的离心率为( a2 b2

).

过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的 左 焦 点 F1 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 点 P , F2 为 右 焦 点 , 若 a 2 b2

?F1PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为
已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 2 b2
)0

P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF · PF2 =( 1

已 知 直 线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与 抛 物 线 C : y 2 ? 8 x 相 交 于 A、B 两 点 , F 为 C 的 焦 点 , 若

| FA |? 2 | FB | ,则 k ? (

)

已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 , 抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之 和的最小值是( )

设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的 中点为(2,2) ,则直线 l 的方程为_____________. 椭圆 小为

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |? 9 2
.

; ?F PF2 的大 1

过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的长为
2
?

8,则 p ? ________________
【解析】设切点

P( x0 , y0 ) , 则 切 线 的 斜 率 为 y |x ? x0 ? 2 x0
'

.由题意有

y0 ? 2 x0 又 y0 ? x02 ?1 解 得 : x0

b b x0 2 ? 1,? ? 2, e ? 1 ? ( )2 ? 5 a a
b ? b x2 y2 ? y? x 双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? x ,由方程组 ? a ,消去 a a b ? y ? x2 ? 1 ?
=(

y,得 x

2

?

b x ? 1 ? 0 有唯一解,所以△ a

b b 2 c a 2 ? b2 b ) ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 , e ? ? ? 1 ? ( )2 ? 5 a a a a a

由渐近线方程为

y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x 2 ? y 2 ? 2 ,于是两焦点坐标分别是(-2,0)和

( 2 , 0 ), 且

P( 3,1)



P( 3,?1)

.不妨去

P( 3,1)

,则

PF1 ? (?2 ? 3,?1) , PF2 ? (2 ? 3,?1) .


PF 1

·

PF2



(?2 ? 3,?1)(2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3)(2 ? 3) ? 1 ? 0
【解析】设抛物线 C :

y 2 ? 8x 的准线为 l : x ? ?2 直线
P

y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 恒过定点
AM ? l


? ?2,0?
N

.如图过

A、B 分

别作 , 则

M

,

BN ? l



, 由

| FA |? 2 | FB |

| AM |? 2 | BN | ,点 B 为 AP 的中点.连结 OB ,则 | OB |? ? OB |?| BF | |
点 B 的横坐标为 1 , 故点 B 的坐标为

1 | AF | , 2

(1, 2 2) ? k ?

2 2 ?0 2 2 , ? 1 ? (?2) 3

故选 D

? y12 ? 4 x1 ? A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则有x1 ? x2, 2 ? ? y2 ? 4 x2 ? y ? y2 4 2 两式相减得,y12 ? y2 ? 4 ? x1 ? x2 ?, 1 ? ? ?1 x1 ? x2 y1 ? y2 ? 直线l的方程为y-2=x-2,即y=x

一、椭 1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角.



2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 上,则过 P 的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 0 2 a b a b 2 2 x y 6. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直 0 a b x0 x y0 y 线方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 7. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F PF2 ? ? ,则 1 a b ? 2 椭圆的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b tan . 2 2 2 x y 8. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).
5. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 0 9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相 应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M, A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 即 K AB

x2 y 2 b2 ? 2 ? 1 的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则 kOM ? k AB ? ? 2 , a a2 b 2 b x ?? 2 0 。 a y0

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 12. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 2 ? 2 ? 2 ? 2 . 0 a b a b a b

x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y 13. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 2 ? 2 . 0 a b a b a b
二、双曲线 1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆, 除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若 P ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 0

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 上 , 则 过 P 的 双 曲 线 的 切 线 方 程 是 0 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 a 2 b2 xx y y P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 7. 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1 ,F 2 ,点 P 为双曲线上任意一点 a b ? ?F1PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 co t . 2 2 2 x y 8. 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a . 1
6. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y 2 11. AB 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则 a b b2 x b2 x K OM ? K AB ? 2 0 ,即 K AB ? 2 0 。 a y0 a y0
12. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a 2 b2

x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b x2 y 2 13. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 0 a b 2 2 xx y y x y ? 2 ? 02 ? 02 . 2 a b a b
椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 椭 圆

x2 y 2 1. 椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 a b x2 y 2 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 2. 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 a b

B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ?

b2 x0 (常数). a 2 y0

x2 y 2 3. 若 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , a b

?PF2 F1 ? ? ,则
4. 设椭圆

a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点, a 2 b2
sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a

在△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F F2 P ? ? ,则有 1

x2 y 2 5. 若椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 ? 1 a b
时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 椭 圆 内 一 定 点 , 则 a 2 b2

2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
7. 椭 圆

( x ? x0 )2 ( y ? y0 ) 2 ? ? 1 与 直 线 A x? B ? y a2 b2 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .

C 有公共点的充要条件是 ? 0

8. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0) 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ .(1) ,O a 2 b2 4a 2b2 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为 2 2 ;(3) S?OPQ 的最小值是 a ?b | OP |2 | OQ |2 a b

a 2b 2 . a 2 ? b2 x2 y 2 9. 过椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平 a b | PF | e ? . 分线交 x 轴于 P,则 | MN | 2 x2 y 2 10. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴 a b a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? 相交于点 P( x0 ,0) , 则 ? . a a

x2 y 2 11. 设 P 点是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点 ,F1 、F2 为其焦点记 a b

?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |?
12. 设 A、B 是椭圆

? 2b2 2 .(2) S ?PF1F2 ? b tan . 2 1 ? cos ?

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, ?PAB ? ? , a 2 b2 2ab2 | cos ? | ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , e 分别是椭圆的半焦距离心率, c、 则有(1) | PA |? 2 .(2) a ? c 2co s2 ? 2a 2 b 2 cot ? . tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ? 2 b ? a2 x2 y 2 ? ? 1( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与 a 2 b2

13. 已知椭圆

椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连 线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相 垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线 a 2 b2 x2 y 2 交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 2. 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交 a b
1. 双曲线

双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? ?

b2 x0 (常数). a 2 y0

x2 y 2 3. 若 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦 a b
点, ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则 4. 设双曲线

c?a ? ? c?a ? ? ? tan cot (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上 a 2 b2

任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F F2 P ? ? , 则 有 1

sin ? c ? ? e. ?(sin ? ? sin ? ) a
5. 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e a 2 b2

≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定点, a 2 b2

则 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时, 等 1 号成立.

x2 y 2 7. 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > 0) 与直 线 Ax ? By ? C ? 0 有 公 共 点 的 充要 条件 是 a b 2 2 A a ? B 2b 2 ? C 2 . x2 y 2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 a b OP ? OQ .
(1) 值是

4a 2b2 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为 2 ;(3) S?OPQ 的最小 b ? a2 | OP |2 | OQ |2 a b

a 2b 2 . b2 ? a 2

9. 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点, a 2 b2 | PF | e ? . 弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 | MN | 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y 2 11. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 a b ? 2b2 2 .(2) S ?PF1F2 ? b cot . ?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |? 2 1 ? cos ? 2 2 x y 12. 设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, a b ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有
10. 已知双曲线 (1) | PA |?

2ab2 | cos ? | . | a 2 ? c 2co s2 ? |
2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

(2) tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ? 13. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过双曲线右焦点 F a 2 b2

的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线 段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心 率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

其他常用公式:

1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根与系数关系来计算弦长,常用 的弦长公式: AB ? 1 ? k
2

x1 ? x2 ? 1 ?

1 y1 ? y2 k2
(A,B 不同时为 0)的形式。 (它不适用于斜率为 0 的直线) 。

2、直线的一般式方程:任何直线均可写成 3、知直线横截距 与直线 ,常设其方程为 垂直的直线可表示为

4、两平行线 5、若直线 则 (斜率)且 与直线 (在

间的距离为 平行



轴上截距) (充要条件) ,特别提醒:只有当

6、圆的一般方程:

时,方程

才表示圆心为

,半径为

的 圆 。 二元 二 次 方程 且 且 。

表 示 圆 的 充要 条 件是

7、圆的参数方程:

( 为参数),其中圆心为

,半径为 。圆的参数方程 ;

的 主 要 应 用 是 三 角 换 元 :

8、 切线长:过圆 长为

为直径端点的圆方程 ( ( ) )外一点 所引圆的切线的

9、弦长问题:①圆的弦长的计算:常用弦心距

,弦长一半

及圆的半径 所构成的直角三角

形来解: ,当

;②过两圆 时,方程



交点的圆(公共弦)系为 为两圆公共弦所在直线方程.。

攻克圆锥曲线解答题的策略
摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题,提高成绩,战胜高考,可从四个 方面着手:知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。 关键词:知识储备 第一、知识储备:
1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 k ? tan ? , ? ?[0, ? ) ②点到直线的距离 d ? (3)弦长公式 直线 y ? kx ? b 上两点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离: AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2
? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 或 AB ? 1 ?

方法储备

思维训练

强化训练

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

③夹角公式: tan ? ?

k2 ? k1 1 ? k2 k1

1 y1 ? y2 k2

(4)两条直线的位置关系 ① l1 ? l2 ? k1k2 =-1 ② l1 // l 2 ? k1 ? k 2且b1 ? b2

2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)

x2 y 2 ? 1(m ? 0, n ? 0且m ? n) 标准方程: ? m n

距离式方程: ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a 参数方程: x ? a cos? , y ? b sin ? (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程:
x2 y 2 ? ? 1(m ? n ? 0) m n

距离式方程: | ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 |? 2a (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?
2b 2 2b 2 椭圆: ;双曲线: ;抛物线:p 2 a a

(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知 F1、F2 是椭圆
x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,平面内一个动点 M 满足 MF1 ? MF2 ? 2 则 4 3

动点 M 的轨迹是( ) A、双曲线;B、双曲线的一支;C、两条射线;D、一条射线 ? (5)、焦点三角形面积公式: P在椭圆上时,S?F1PF2 ? b 2 tan 2 ? P在双曲线上时,S?F1PF2 ? b 2 cot 2

? | PF1 |2 ? | PF2 |2 ?4c2 ???? ???? ???? ????? (其中 ?F1PF2 ? ? ,cos ? ? , PF1 ? PF2 ?| PF1 | | PF2 | cos ? ) | PF1 | ? | PF2 |
(6)、记住焦半径公式: (1) 椭圆焦点在x轴上时为a ? ex0 ; 焦点在y轴上时为a ? ey0 ,可简 记为“左加右减,上加下减” 。 (2) 双曲线焦点在x轴上时为e | x0 | ?a
p p , 焦点在y轴上时为 | y1 | ? 2 2 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题)

(3) 抛物线焦点在x轴上时为 | x1 | ?

x 设 A? x1 , y1 ? 、 B?x2 , y2 ? , M ?a, b? 为椭圆
2 2 2 2

y2 ? ? 1 的弦 AB 中点则有 4 3
2 2

2

x1 y x y x ? x2 ? 1 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ;两式相减得 1 4 3 4 4 3

?

? ? ?y

2

1

? y2 3

2

??0

?

?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ?
4

??

? y1 ? y 2 ?? y1 ? y 2 ?
3

? k AB = ?

3a 4b

2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么?如 果有两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用 判别式 ??0 ,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点 1 2 1 2 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,将这两点代入曲线方程得到○○两个式子,然后 ○-○,整体消 元〃〃〃,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点, 〃〃〃 则可以利用三点 A、B、F 共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根 与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为 y ? kx ? b ,就意味着 k 存在。 例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 4x 2 ? 5 y 2 ? 80上,且点 A 是椭圆短轴的一个端点(点 A
在 y 轴正半轴上). (1)若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线 BC 的方程; (2)若角 A 为 90 ,AD 垂直 BC 于 D,试求点 D 的轨迹方程. 分析:第一问抓住“重心” ,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率,从而写出直线 BC 的 方程。第二问抓住角 A 为 90 可得出 AB⊥AC,从而得 x1 x2 ? y1 y2 ? 14( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0 ,然后利用
0
0

联立消元法及交轨法求出点 D 的轨迹方程;
解: (1)设 B( x1 , y1 ),C( x2 , y 2
2 2 x12 y12 x2 y 2 ? ? 1, ? ?1 ),BC 中点为( x0 , y0 ),F(2,0)则有 20 16 20 16

两式作差有

( x1 ? x2 )(x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ?0 20 16

x0 y 0 k ? ?0 5 4

(1)

F(2,0)为三角形重心,所以由

x1 ? x 2 y ? y2 ? 4 ? 2 ,得 x0 ? 3 ,由 1 ? 0 得 y0 ? ?2 ,代入(1)得 3 3

k?

6 5

直线 BC 的方程为 6 x ? 5 y ? 28 ? 0

2)由 AB⊥AC 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 14( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0

(2)

设直线 BC 方程为 y ? kx ? b, 代入4 x 2 ? 5 y 2 ? 80 ,得 (4 ? 5k 2 ) x 2 ? 10bkx ? 5b 2 ? 80 ? 0

x1 ? x 2 ?

? 10 kb 5b 2 ? 80 , x1 x 2 ? 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2

y1 ? y 2 ?

8k 4b 2 ? 80k 2 , y1 y 2 ? 代入(2)式得 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2

4 9b 2 ? 32b ? 16 ? 0 ,解得 b ? 4(舍) 或 b ? ? 2 9 4 ? 5k

4 y? 4 9 ? y ? 4 ? ?1 ,即 9 y 2 ? 9x 2 ? 32y ? 16 ? 0 直线过定点(0, ? ) ,设 D(x,y) ,则 9 x x 16 2 20 2 2 所以所求点 D 的轨迹方程是 x ? ( y ? ) ? ( ) ( y ? 4) 。 9 9 4、设而不求法
例 2、如图,已知梯形 ABCD 中 AB ? 2 CD ,点 E 分有向线段 AC 所成的比为
? ,双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点当

2 3 ? ? ? 时,求双曲线离 3 4

心率 e 的取值范围。 分析:本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算
? ? 能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系 xOy ,如图,若设 C ? , h ? , c ?2 ?

代入

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 ,求得 h ? ? ,进而求得 xE ? ?, yE ? ?, 再代入 2 ? 2 ? 1 ,建立目标函 a2 b a b

数 f (a, b, c, ? ) ? 0 ,整理 f (e, ? ) ? 0 ,此运算量可见是难上加难.我们对 h 可采取设而不求 的解题策略, 建立目标函数 f (a, b, c, ? ) ? 0 ,整理 f (e, ? ) ? 0 ,化繁为简. 解法一:如图,以 AB 为垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系 xOy , 则 CD⊥ y 轴因为双曲线经过点 C、D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知 C、D 关于 y 轴对称

? ? 依题意,记 A ?? c, 0? ,C ? , h ? ,E ?x0 , y 0 ? ,其中 c ? | AB | 为双曲 c 2 ? ?

1 2

线的半焦距, h 是梯形的高,由定比分点坐标公式得
c ?c? ? 2 ? ?? ? 2 ?c , y ? ?h x0 ? 0 1? ? 2?? ? 1? 1? ?

设双曲线的方程为

x2 y2 c ? 2 ? 1 ,则离心率 e ? 2 a b a

由点 C、E 在双曲线上,将点 C、E 的坐标和 e ?
e2 h 2 ? ?1 , 4 b2

c 代入双曲线方程得 a



e2 ? ? ? 2 ? ? ? ? h 2 ?1 ? ??? ? 4 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? b2



由①式得

h2 e2 ? ?1 , 4 b2



将③式代入②式,整理得
e2 ?4 ? 4? ? ? 1 ? 2? , 4 3 ? ? 1? 2 故 e ?1 2 3 3 2 3 ? 由题设 ? ? ? 得, ? 1 ? 2 3 e ?2 4 3 4

解得

7 ? e ? 10

所以双曲线的离心率的取值范围为 7 , 10

?

?

分析: 考虑 AE , AC 为焦半径,可用焦半径公式, AE , AC 用 E , C 的横坐标表示, 回避 h 的 计算, 达到设而不求的解题策略. 解法二:建系同解法一, AE ? ? ? a ? exE ? , AC ? a ? exC ,
c ?c ? ? ? ? ? 2 ? c AE ? 3 2 3 2 ? xE ? , 又 , 代入整理 ? ? 1 ? 2 , 由题设 ? ? ? 得, ? e ?1 3 4 1? ? 2 ? ? ? 1? AC 1 ? ?

2 3 3 ? 1? 2 ? 3 4 e ?2

解得

7 ? e ? 10

所以双曲线的离心率的取值范围为 7 , 10 5、判别式法

?

?

例 3 已知双曲线 C : y ? x ? 1 ,直线 l 过点 A 2 ,0 ,斜率为 k ,当 0 ? k ? 1 时,双曲线
2 2

2

2

?

?

的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 B 的坐标。 分析 1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是 研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过 点 B 作与 l 平行的直线,必与双曲线 C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别 式 ? ? 0 . 由此出发,可设计如下解题思路:
l : y ? k(x ? 2)

?0 ? k ? 1?
2

直线 l’在 l 的上方且到直线 l 的距离为

l ': y ? kx ? 2k 2 ? 2 ? 2k
把直线 l’的方程代入双曲线方程,消去 y,令判别式 ?

?0

解得k的值

解题过程略. 分析 2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且 仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ” ,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思 路:
问题

kx ? 2 ? x 2 ? 2 k
关于 x 的方程 解

k 2 ?1
求解

? 2

?0 ? k ? 1? 有唯一

转化为一元二次方程根的问题

简解:设点 M ( x, 2 ? x 2 ) 为双曲线 C 上支上任一点,则点 M 到直线 l 的距离为:

kx ? 2 ? x 2 ? 2k k 2 ?1

? 2

?0 ? k ? 1?

???

于是,问题即可转化为如上关于 x 的方程. 由于 0 ? k ? 1 ,所以 2 ? x 2 ? x ? kx ,从而有

kx ? 2 ? x 2 ? 2k ? ?kx ? 2 ? x 2 ? 2k.
于是关于 x 的方程 ???

? ? kx ? 2 ? x 2 ? 2k ? 2(k 2 ? 1)
? 2 2 2 ? ? 2 ? x ? ( 2(k ? 1) ? 2k ? kx) , ?
2

?

?

? 2(k 2 ? 1) ? 2k ? kx ? 0 ?
2

? ??k ?
?

? 1 x 2 ? 2k 2(k 2 ? 1) ? 2k x ?

?

?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0,

?

2

? 2(k 2 ? 1) ? 2k ? kx ? 0. ?

由 0 ? k ? 1 可知:

方 程 ?k 2 ? 1?x 2 ? 2k 2(k 2 ? 1) ? 2k x ?

?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0 的 二 根 同 正 , 故

?

2

2(k 2 ? 1) ? 2k ? kx ? 0 恒成立,于是 ??? 等价于

?k

2

? 1 x 2 ? 2k 2(k 2 ? 1) ? 2k x ?

?

?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0 .

?

2

由如上关于 x 的方程有唯一解,得其判别式 ? ? 0 ,就可解得

k?

2 5 . 5

点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维 的优越性. 例 4 已知椭圆 C: x 2 ? 2 y 2 ? 8 和点 P(4,1) ,过 P 作直线交椭圆于 A、B 两点,在线段 AB 上取点 Q,使
AP AQ ?? ,求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程. PB QB

分析:这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手。其 实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法 将点 Q 的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的.

由于点 Q( x, y) 的变化是由直线 AB 的变化引起的,自然可选择直线 AB 的斜率 k 作为参 数,如何将 x, y 与 k 联系起来?一方面利用点 Q 在直线 AB 上;另一方面就是运用题目 条件:
AP AQ ?? 来转化.由 A、B、P、Q 四点共线,不难得到 x ? 4( x A ? xB ) ? 2 x A xB ,要建 PB QB 8 ? ( x A ? xB )

立 x 与 k 的关系,只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程,利用韦达定理即可. 通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经 做到心中有数.

AP PB

??

AQ QB

x?

4( x A ? x B ) ? 2 x A x B 8 ? ( x A ? xB )
将直线方程代入椭圆方程,消去 y,利用韦达定理

x ? f ?k ?
利用点 Q 满足直线 AB 的方程:y = k (x—4)+1,消去参数 k

点 Q 的轨迹方程

在得到 x ? f ?k ? 之后,如果能够从整体上把握,认识到:所谓消参,目的不过是得到 关于 x, y 的方程(不含 k) ,则可由 y ? k ( x ? 4) ? 1 解得 k ? 可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。 简解:设 A?x1 , y1 ?, B( x2,y2 ), Q( x, y) ,则由 AP ? ? AQ 可得:
PB QB

y ?1 ,直接代入 x ? f ?k ? 即 x?4

4 ? x1 x ? x1 , ? x2 ? 4 x2 ? x

解之得: x ?

4( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 8 ? ( x1 ? x2 )

(1)

设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 4) ? 1 ,代入椭圆 C 的方程,消去 y 得出关于 x 的一元 二次方程:

?2k


2

? 1 x 2 ? 4k (1 ? 4k ) x ? 2(1 ? 4k ) 2 ? 8 ? 0

?

(2)

4k (4k ? 1) ? ? x1 ? x 2 ? 2k 2 ? 1 , ? ? 2 ? x x ? 2(1 ? 4k ) ? 8 . 2 ? 1 2 2k ? 1 ?

代入(1) ,化简得: x ? 4k ? 3 .
k?2

(3)

与 y ? k ( x ? 4) ? 1 联立,消去 k 得: ?2 x ? y ? 4?( x ? 4) ? 0. 在(2)中,由 ? ? ?64k 2 ? 64k ? 24 ? 0 ,解得
16 ? 2 10 16 ? 2 10 ?x? . 9 9
2 ? 10 2 ? 10 ?k? 4 4

,结合(3)可求得

故知点 Q 的轨迹方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0

( 16 ? 2 10 ? x ? 16 ? 2 10 ).
9 9

点评:由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、 韦达定理模块思维易于想到. 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参., 而“引参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.

6、求根公式法 例 5 设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆 范围. 分析:本题中,绝大多数同学不难得到: AP = ? x A ,但从此后却一筹莫展, 问题的根
PB

AP x2 y2 的取值 ? ? 1 顺次交于 A、B 两点,试求 PB 9 4

xB

源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所 求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程) ,这只需利用对应的思想实施; 其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 分析 1: 从第一条想法入手,
AP x = ? A 已经是一个关系式,但由于有两个变量 x A , x B , PB xB

同时这两个变量的范围不好控制, 所以自然想到利用第 3 个变量——直线 AB 的斜率 k. 问 题就转化为如何将 x A , x B 转化为关于 k 的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程, 消去 y 得出关于 x 的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.
把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 求根公式 xA= f(k) B = g(k) ,x

AP/PB = —(xA / xB)
得到所求量关于 k 的函数关系式 由判别式得出 k 的取值范围 所求量的取值范围

简解 1:当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得

AP 1 ?? ; PB 5

当 l 与 x 轴不垂直时,设 A?x1 , y1 ?, B( x2,y2 ) ,直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭圆 方程,消去 y 得 9k 2 ? 4 x 2 ? 54kx ? 45 ? 0 解之得
x1, 2 ? ? 27k ? 6 9k 2 ? 5 . 9k 2 ? 4

?

?

因为椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑 k ? 0 的情形.
2 2 当 k ? 0 时, x1 ? ? 27k ? 6 9k ? 5 , x2 ? ? 27k ? 6 9k ? 5 , 2 2

9k ? 4

9k ? 4

所以

x ? 9k ? 2 9k 2 ? 5 AP 18k 18 =1 ? =1 ? ?? 1 = 2 PB x 2 9k ? 2 9k 2 ? 5 9 k ? 2 9k ? 5 9?2 9? 5

.
k2

由 所以

? ? (?54k ) 2 ? 180 9k 2 ? 4 ? 0 , 解得 k 2 ?
?1 ? 1? 18 9?2 9? 5 k2 ?? 1, 5

?

?

5 , 9

综上

?1 ?

AP 1 ?? . PB 5

分析 2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:判别式往往是产生不等的 根源. 由判别式值的非负性可以很快确定 k 的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与 k 联系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定 理,原因在于

x AP ? ? 1 不是关于 x1 , x 2 的对称关系式. 原因找到后,解决问题的方法自然 PB x2

也就有了,即我们可以构造关于 x1 , x 2 的对称关系式.
把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程, 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 韦达定理 xA+ xB = f(k) A xB = g(k) ,x AP/PB = —(xA / xB) 构造所求量与 k 的关系式 由判别式得出 k 的取值范围 关于所求量的不等式

简解 2:设直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭圆方程,消去 y 得

?9k

? 54k ? ? x1 ? x 2 ? 9k 2 ? 4 , ? ? ? x x ? 45 . ? 1 2 9k 2 ? 4 ?

2

? 4 x 2 ? 54kx ? 45 ? 0

?

(*)



2 x1 ? ? ,则, ? ? 1 ? 2 ? 324k . x2 ? 45k 2 ? 20

在(*)中,由判别式 ? ? 0, 可得 k 2 ? 从而有
4? 324k 2 36 ,所以 ? 2 45k ? 20 5

5 , 9 4??? 1

?

?2?

36 ,解得 5

1 ? ? ? 5. 5

1 结合 0 ? ? ? 1 得 ? ? ? 1 . 5 AP 1 ?? . 综上, ? 1 ? PB 5 点评:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有 界性法,函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优 美解法. 解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至 会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵, 运筹帷幄,方能决胜千里.

第三、推理训练:数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是
数学求解的核心。以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰 当的解题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程。在推理过程中,必须注意所 使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等) ,做到思考缜密、推理严密。 通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑,快速提高解题能力。 例 6 椭圆长轴端点为 A, B , O 为椭圆中心, F 为椭圆的右焦点,且 AF ? FB ? 1 ,
OF ? 1 .

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)记椭圆的上顶点为 M ,直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,问:是否存在直线 l ,使点 F 恰为 ?PQM 的垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。 思维流程: (Ⅰ)
由 AF ? FB ? 1 , OF ? 1 写出椭圆方程

??? ??? ? ?

??? ?

(a ? c)(a ? c) ? 1 , c ? 1

a ? 2, b ? 1

(Ⅱ) 由 F 为 ?PQM 的重心
? y ? x ? m 消元 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 2

PQ ? MF , MP ? FQ

k PQ ? 1

3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0

解题过程: (Ⅰ)如图建系,设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 c ? 1 a 2 b2

又∵AF ? FB ? 1 即 (a ? c) ? (a ? c) ? 1 ? a2 ? c2 ,∴a 2 ? 2

x2 故椭圆方程为 ? y2 ? 1 2
(Ⅱ)假设存在直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,且 F 恰为 ?PQM 的垂心,则 设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,∵M (0,1), F (1,0) ,故 k PQ ? 1 , 于是设直线 l 为 y ? x ? m ,由 ?

? y ? x?m 得, 3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0 2 2 ?x ? 2 y ? 2

∵MP ? FQ ? 0 ? x1 ( x2 ? 1) ? y2 ( y1 ? 1) 又 yi ? xi ? m(i ? 1,2) 得 x1 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? m)( x1 ? m ? 1) ? 0 即

???? ??? ?

2x1x2 ? ( x1 ? x2 )(m ?1) ? m2 ? m ? 0 由韦达定理得
2? 2m2 ? 2 4m ? (m ? 1) ? m2 ? m ? 0 3 3
4 4 或 m ? 1 (舍) 经检验 m ? ? 符合条件. 3 3

解得 m ? ?

点石成金:垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零. 例 7、已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(?2, 0) 、 B(2, 0) 、
? 3? C ?1, ? 三点. ? 2?

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程:

(Ⅱ)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、 B 的任意一点, F (?1, 0), H (1, 0) ,当Δ DFH 内切 圆的面积最大时,求Δ DFH 内心的坐标; 思维流程:
B、 (Ⅰ) 由椭圆经过 A、 C 三点 设方程为 mx2 ? ny2 ? 1 得 到 m, n 的 方 程 组 解出 m, n

(Ⅱ)

由 ?DFH 内切圆面积最大 转化为点 D 的纵坐标的绝对值最大最大

转化为 ?DFH 面积最大

D 为椭圆短轴端点

?DFH 面积最大值为 3

S ?DFH

1 ? ? 周长 ? r内切圆 2

r内切圆 ?

3 3

得出 D 点坐标为 ? 0,?

? ? ?

3? ? 3 ? ?

3 C B 解题过程: (Ⅰ) 设椭圆方程为 mx2 ? ny2 ? 1 ?m ? 0, n ? 0? , A(?2, 0) 、 (2, 0) 、 (1, ) 将 2 代入椭圆 E 的方程,得

? 4m ? 1, 1 1 x2 y 2 ? ?1 . 解得 m ? , n ? .∴椭圆 E 的方程 ? ? 9 4 3 4 3 ?m ? 4 n ? 1 ?

(Ⅱ) | FH |? 2 ,设Δ DFH 边上的高为 S ?DFH ?

1 ? 2? h ? h 2

当点 D 在椭圆的上顶点时, h 最大为 3 ,所以 S ?DFH 的最大值为 3 . 设Δ DFH 的内切圆的半径为 R ,因为Δ DFH 的周长为定值 6.所以, S ?DFH ? 所以 R 的最大值为
3 .所以内切圆圆心的坐标为 (0, 3 ) 3 3 .
1 ? ?的周长 ? r?的内切圆 2 1 R?6 2

点石成金: S ?的内切圆 ?

0) 例 8、 已知定点 C (?1, 及椭圆 x 2 ? 3 y 2 ? 5 , 过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点.
1 (Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标是 ? ,求直线 AB 的方程; 2

(Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 M ,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若 不存在,请说明理由. 思维流程: (Ⅰ)解:依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 将 y ? k ( x ? 1) 代入 x 2 ? 3 y 2 ? 5 , 消去 y 整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0. 设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),

?? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 0, ? 则? 6k 2 ? x1 ? x2 ? ? 2 . 3k ? 1 ?
1 由线段 AB 中点的横坐标是 ? , 2

(1) (2)
x1 ? x2 3k 2 1 ?? 2 ? ? ,解得 k ? ? 3 ,符合题意。 2 3k ? 1 2 3



所以直线 AB 的方程为 x ? 3 y ?1 ? 0 ,或 x ? 3 y ?1 ? 0 . (Ⅱ)解:假设在 x 轴上存在点 M (m, 0) ,使 MA ? MB 为常数. ① 当直线 AB 与 x 轴不垂直时,由(Ⅰ)知
x1 ? x2 ? ? 6k 2 3k 2 ? 5 , x1 x2 ? 2 . 3k 2 ? 1 3k ? 1 (3)

??? ???? ? 所以 MA ? MB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1)
? (k 2 ?1) x1x2 ? (k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? m2 . 将 (3)
代 入 , 整 理 得

1 14 (2m ? )(3k 2 ? 1) ? 2m ? ???? ???? (6m ? 1)k 2 ? 5 3 3 ? m2 ? m2 ? 2m ? 1 ? 6m ? 14 . MA ? MB ? ? m2 ? 2 2 3 3(3k 2 ? 1) 3k ? 1 3k ? 1
注意到 MA ? MB 是与 k 无关的常数, 从而有 6m ? 14 ? 0,m ? ?
???? ???? 4 7 , 此时 MA ? MB ? . 3 9

7 2 ? ? 2 ? ? ② 当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A,B 的坐标分别为 ? ?1, ?、?1, ? ? ? ,当 m ? ? 3 3? ? 3? ?

???? ???? 4 时, 亦有 MA ? MB ? . 9

? 7 ? 综上,在 x 轴上存在定点 M ? ? ,? ,使 MA ? MB 为常数. 0 ? 3 ?

1 14 (2m ? )(3k 2 ? 1) ? 2m ? ???? ???? (6m ? 1)k 2 ? 5 3 3 ? m2 点石成金: MA ? MB ? ? m2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1
1 6m ? 14 ? m 2 ? 2m ? ? . 3 3(3k 2 ? 1)

例 9、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) , l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) l 交椭圆于 A、B 两个不同点。 平行于 OM 的直线 , (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程: 解: (1)设椭圆方程为
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2 x2 y2 ? ?1 8 2

?a ? 2b ?a 2 ? 8 ? ? 则? 4 解得? 2 1 ?b ? 2 ?a2 ? b2 ? 1 ? ?

∴椭圆方程为

(Ⅱ)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 1 1 ? l的方程为: y ? x ? m 又 KOM= 2 2
1 ? ?y ? 2 x ? m ? ? x 2 ? 2m x ? 2m 2 ? 4 ? 0 由? 2 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

? ? ? (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) ? 0, 解得 ? 2 ? m ? 2, 且m ? 0

(Ⅲ)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),且x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m2 ? 4 则 k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

由 x2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0可得

x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4
而 k1 ? k 2 ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1) ? ( x2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)(x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)(x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)(x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ? ? x1 x 2 ? (m ? 2)(x1 ? x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x 2 ? 2)

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ? ?0 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? k1 ? k 2 ? 0
故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 点石成金:直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形 ? k1 ? k 2 ? 0

x2 y2 2 3 例 10、已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离 3 a b



3 . 2

(1)求双曲线的方程; (2) 已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C, 且 C, 都在以 B 为圆心的圆上, D D 求 k 的值. 思维流程: 解: (1)c ? 2 ∵
a 3 3
ab ab d ? ? ? x y 2 2 , 原点到直线 AB: ? ? 1 的距离 c a ?b a b ? b ? 1, a ? 3.
x2 ? y 2 ? 1. 3

3 . 2 .

故所求双曲线方程为

(2)把 y ? kx ? 5代入x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 .

设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ),CD 的中点是 E( x0 , y0 ) ,则
x0 ? k BE x1 ? x2 15k 5 ? ? y 0 ? kx0 ? 5 ? , 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 y ?1 1 ? 0 ?? . x0 k

? x0 ? ky0 ? k ? 0,


15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
故所求 k=± 7 .

点石成金: C,D 都在以 B 为圆心的圆上 ? BC=BD ? BE⊥CD; 例 11、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大 值为 3,最小值为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (II)若直线 l : y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点(A、B 不是左右顶点) ,且以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 思维流程: 解: (Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

由已知得: a ? c ? 3,a ? c ? 1 , a ? 2,c ? 1, x2 y 2 ? 1. ? 椭圆的标准方程为 ? 4 3 ? b2 ? a 2 ? c2 ? 3 (II)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .

? y ? kx ? m, ? 联立 ? x 2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 ,则
? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0,即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0, ? 8mk ? , ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) x1 x2 ? . ? 3 ? 4k 2 ?

又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ?
0) 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, ,

3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

? k AD kBD ? ?1 ,即

y1 y2 ? ? ?1 . x1 ? 2 x2 ? 2

? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 15mk ? ? ? ? 4 ? 0 . ?7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 . 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2k 解得: m1 ? ?2k,m2 ? ? ,且均满足 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 . 7 当 m1 ? ?2k 时, l 的方程 y ? k ( x ? 2) ,直线过点 (2, ,与已知矛盾; 0)
2k 2? ? ?2 ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,直线过定点 ? ,? . 0 7 7? ? ?7 ? ?2 ? 所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? ,? . 0 ?7 ? 点石成金:以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 ? CA⊥CB;

当 m2 ? ?

例 12、已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右两个焦点分别为 F1、F2 ,点 P 在双曲线右支上. a2 b2
3 41 16 , ) 时, PF1 ? PF2 ,求双曲线的方程; 5 5

(Ⅰ)若当点 P 的坐标为 (

(Ⅱ)若 | PF1 |? 3 | PF2 | ,求双曲线离心率 e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. 思维流程: 解: (Ⅰ)(法一)由题意知, PF1 ? (?c ?

3 41 16 3 41 16 ,? ) , PF2 ? (c ? ,? ) , 5 5 5 5 3 41 3 41 16 ) (c ? ) ? (? ) 2 ? 0 (1 分) ? PF1 ? PF2 ,? PF1 ? PF2 ? 0, ? (?c ? 5 5 5
解得 c 2 ? 25,? c ? 5 . 由双曲线定义得: | PF1 | ? | PF2 | ? 2a,

? 2a ? (?5 ?

3 41 2 16 3 41 2 16 ) ? (? ) 2 ? (5 ? ) ? (? ) 2 5 5 5 5
x2 y2 ? ?1 9 16

? ( 41 ? 3) 2 ? ( 41 ? 3) 2 ? 6

,

? a ? 3, b ? 4

?所求双曲线的方程为:

(法二) 因 PF1 ? PF2 ,由斜率之积为 ? 1 ,可得解. (Ⅱ)设 | PF1 |? r1 , | PF2 |? r2 , ( 法 一 ) 设 P 的 坐 标 为 ,

( x? , y ? )

,













得 ,

r1 ?| a ? ex ? |? a ? ex ? , r2 ?| a ? ex ? |? ex ? ? a

? r1 ? 3r2 ,? a ? ex ? ? 3(ex ? ? a),? x? ?

2a 2 c

? x? ? a,?

2a 2 ? a, ?2a ? c , c

?e 的最大值为 2,无最小值. 此时

c b c2 ? a2 ? 2, ? ? e2 ?1 ? 3 , a a a

?此时双曲线的渐进线方程为 y ? ? 3x
(法二)设 ?F1 PF2 ? ? , ? ? (0, ? ] .

? (1)当 ? ? ? 时, ? r1 ? r2 ? 2c, 且r1 ? 3r2, 2c ? 4r2 , 2a ? r1 ? r2 ? 2r2
此时 e ?

2c 4r2 ? ?2. 2a 2r2

( (2)当 ? ? 0,?) ,由余弦定理得:
2 (2c) ? r1 ? r2 ? 2r1r2 cos ? ? 10r2 ? 6r2 cos ? 2 2 2 2

?

e?

2c r2 ? 10 ? 6 cos ? 10 ? 6 cos ? , ? ? 2a 2r2 2

? cos ? ? (?1,1) ,?e ? (1,2) ,综上, e 的最大值为 2,但 e 无最小值. (以下法一)


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