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点线面的位置关系高水平测试卷


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6 4

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? ?ABC 5

点线面的位置关系章节测试卷
班级 姓名 座位号

一、选择题 1.已知三棱锥 P-ABC 中,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, PA ? 平面 ABC,且 PA=1, 则点 A 到平面 PBC 的距离为( ) A.1 B.

1 2

C.

3 2

D.

5 2

2. 、已知

中,AB=2,BC=1, ?ABC ? 90? ,平面 ABC 外一点

P 满足 PA=PB=PC=

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

3 ,则三棱锥 P—ABC 的体积是( 2
C. D.



A. 1

B.

1 3

3.已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列命 题: ①若 m∥β ,n∥β ,m、n ? α ,则α ∥β ; ②若α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =m,n ? γ ,则 m⊥n; ③若 m⊥α ,α ⊥β ,m∥n,则 n∥β ; ④若 n∥α ,n∥β ,α ∩β =m,那么 m∥n; 其中所有正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 4.设三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 在底面 ABC 内射影 O 在 △ ABC 内部,且到三个侧 面的距离相等,则 O 是 △ ABC 的( ) A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心 5. 已知直线 m、l,平面 α、β,且 m⊥α, l β,给出下列命题:①若 α∥β,则 m⊥l; ②若α ⊥β ,则 m∥l;③若 m⊥l,则α ∥β ;④若 m∥l,则α ⊥β .其中正确命题的个 数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6.已知 ?1,? 2 ,?3 是三个相互平行的平面,平面 ?1 , ? 2 之间的距离为 d 1 ,平面 ?2 ,?3 之间

“d1 ? d2” 的距离为 d2 .直线 l 与 ?1,? 2 ,?3 分别交于 P 是 “P 1, P 2, P 3 .那么 1P 2 ? P 2P 3”
的 ( ) A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

7.设 a 、 b 是两条不同直线, ? 、 ? 是两个不同平面,则下列四个命题: ①若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 b // ? ; ②若 a // ? , a ? ? ,则 ? ? ③若 a ? ? , ? ?

?;

? ,则 a // ? 或 a ? ? ; ?.

④若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 ? ?

其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.异面直线 a、b 成 60° ,直线 c⊥a,则直线 b 与 c 所成的角的范围为 ( ) A.[30° ,90° ] B.[60° ,90° ] C.[30° ,60° ] D.[60° ,120° ] 9.已知异面直线 a 与 b 所成的角为 500,P 为空间一点,则过点 P 与 a、b 所成的角都 是 300 的直线有且仅有( ) A .1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 10.EF 是异面直线 a、b 的公垂线,直线 l∥EF,则 l 与 a、b 交点的个数为 ( ) A、0 B、1 C、0 或 1 D、0,1 或 2 11 .在正四面体 ABCD 的面上,到棱 AB 以及 C 、D 两点的距离都相等的点共有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 12.对于平面 ? 、 ? 、 ? 和直线 a 、 b 、m、n,下列命题中真命题是 ( A.若 a ? m, a ? n, m ? ? , n ? ? , ,则 a ? ? B.若 a // b, b ? ? ,则 a // ? C.若 a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? ,则 ? // ? D.若 ? // ? , ? )

? ? a, ?

? ? b, 则 a // b

二、填空题 13. 如图所示, 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 的面对角线 A?B 上存在一点 P
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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

使得 AP ? D ?P 取得最小值,则此最小值为
D' A' B' C'

D A

P B

C

14.在矩形 ABCD 中,AB=a,AD=2b,a<b ,E 、题 F 分别是 AD、BC 的中点,以 EF 为 (第 17 ? 时,二面角 C—EF—B 的平面角的余弦值 折痕把四边形 EFCD 折起,当 ?CEB ? 90 图) 等于 。 15.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个 球面上,且该六棱柱的体积为

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

9 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为___________ 8

16. 如图所示的长方体中,AB=AD= 2 3 , CC1 = 2 ,则二面角 C1 ? BD ? C 的大小为 _______;

17.如图,在四面体 PABC 中,E、F 分别为 CP、AB 的中点,且 EF=2 ,PB=4, AC=4,则直线 PB 与直线 AC 所成角的大小为

三、解答题 18.如图,在梯形 ABCD 中, AB / / CD , AD ? DC ? CB ? 1, ?ABC ? 60 ,四边形

ACFE 为矩形,平面 ACFE ? 平面 ABCD , CF ? 1 . (1)求证: BC ? 平面 ACFE ;
(2)求二面角 A-BF-C 的平面角的余弦值; ( 3 )若点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为

? (? ? 90 ) ,试求 cos ? 的取值范围.

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G OA ? P ABCD AG AOP ? ? AG 2BD ? ?120 BD? O OQ Q D P 8 3? ? 1
A1

C1 B1

E

D

C F B

A

19.如右图,四边形 的中点,圆柱 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求二面角 D Q .

是圆柱 的底面圆的半径 ;

的轴截面,点

在圆柱 ,

的底面圆周上, .



,侧面积为

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的平面角的余弦值. C

G A O P B

?BAD ? 60? , ?SAD 20. 如图, 已知菱形 ABCD 的边长为 2, S 为平面 ABCD 外一点,
为正三角形, SB ?

6 ,M、N 分别为 SB、SC 的中点。

(Ⅰ)求证:平面 SAD ? 平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 A—SB—C 的余弦值; (Ⅲ)求四棱锥 M—ABN 的体积。 21.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点.

(1)求证: EF //平面 ABC1D1 ;

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? (2)求证: EF ? B1C ; (3)求三棱锥 VB1 ? EFC 的体积.

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参考答案 1.C 【解析】 PA ? 平面 ABC,所以 PA ? AB, PA ? AC ,? PB ? PC ? 2 ?1 ? 5
2 2
2 2 在等腰 ?PBC 中,BC 边上的高等于 ( 5) ? 1 ? 2,? S ?PBC ?

1 ? 2 ? 2 ? 2, 2

?ABC 是正三角形,? S?ABC ?

3 2 ,设则点 A 到平面 PBC 的距离为 h; ?2 ? 3, 4

则由 VP? ABC ? VA?PBC 得: S?ABC ? PA ?

1 3

S ? PA 1 3 ?1 3 S?PBC ? h,? h ? ?ABC ? ? 3 S?PBC 2 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

故选 C 2.B 3.B 【解析】解:因为利用线面的位置关系可知,那么 ①若 m∥β ,n∥β ,m、n ? α ,则α ∥β ;错误 ②若α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =m,n ? γ ,则 m⊥n;错误 ③若 m⊥α ,α ⊥β ,m∥n,则 n∥β ; 成立。 ④若 n∥α ,n∥β ,α ∩β =m,那么 m∥n;成立 故选 B 4.C 5.B 6.C 【解析】解析:平面 ?1 , ? 2 , ? 3 平行,由图可以得知: 如果平面距离相等,根据两个三角形全等可知 P 1P 2 ? P 2P 3 如果 P 1P 2 ? P 2P 3 ,同样是根据两个三角形全等可知 d1 ? d 2 7.D 8.A 9.B 10.C 【答案】B 12.D 13. 2 ? 2

a2 14. ? 2 b
4 15. ? 3
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16. 30

?

17. 60? 【 解 析 】 取 BC 中 点 D , 连 接 DE , DF 。 因 为 D, E 分 别 为 B C, P C中 点 , 所 以

DE / /

1 1 BP, DF / / AC , 所 以 ? EDF 是 BP 与 AC 所 成 角 。 在 ?EDF 中 , 2 2 1 1 DE ? BP ? 2, DF ? AC ? 2, EF ? 2 , 所 以 ?EDF 是 等 边 三 角 形 , 从 而 有 2 2

?EDF ? 60
18. (1)证明:在梯形 ABCD 中, ∵ AB // CD , AD ? DC ? CB ? 1 , ∠ ABC = 60 ,∴ AB ? 2 ∴ AB ? AC ? BC ∴
2 2 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

∴ AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos60 ? 3
2 2 2 o

BC ⊥ AC

∵平面 ACFE ⊥平面 ABCD , 平面 ACFE ∩平面 ABCD ? AC , BC ? 平面 ABCD ∴ BC ⊥平面 ACFE (2)取 FB 中点为 G ,连结 AG、CG ∵

AF ? AC2 ? CF 2 ? 2 , ∴ AB ? AF ∴ AG ⊥ FB ∵

CF ? CB ? 1



CG ⊥ FB ∴ ∠ AGC = ?



BC ⊥ CF



FB ? 2 ∴ CG ?

2 14 , AG ? 2 2

2 2 2 ∴ cos ? ? CG ? AG ? AC ? 7 2CG ? AG 7

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D AP AD AB P3? ? ? BP AP G O ? AG AOP ?? DP 2 2 ? AD 8 AD ? 2 2 3 ? ? AP ? 2 ?2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? cos120O ? 2 3
? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

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(3)由(2)知,①当 M 与 F 重合时, cos ? ?

7 7

②当 M 与 E 重合时,过 B作BN // CF , 且使BN ? CF ,连结 EN、FN ,则平面 MAB ∩平 面 FCB = BN , ∵

BC ⊥ CF ,又∵ AC ⊥ CF ∴

CF ⊥平面 ABC ∴

BN ⊥平面

ABC

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

∴ ∠ ABC = ?



? = 60 ,∴ cos ? =

1 2

③当 M 与 E、F 都不重合时,令 FM ? ? (0 ? ? ? 3) 延长 AM 交 CF 的延长线于 N ,连结 BN ∴ N 在平面 MAB 与平面 FCB 的交线上 ∵ B 在平面 MAB 与平面 FCB 的交线上 ∴ 平面 MAB ∩平面 FCB = BN 过 C 作 CH⊥NB 交 NB 于 H ,连结 AH, 由(I)知, AC ⊥ BC , 又∵AC⊥CN,∴ AC⊥平面 NCB ∴ AC⊥NB, 又∵ CH⊥NB,AC∩CH=C,∴ NB⊥平面 ACH ∴AH⊥NB 在 ?NAC 中,可求得 NC= ∴ ∠AHC= ?

3 ,从而,在 ?NCB 中,可求得 CH= 3??
AH=
3

3

?? ? 3 ?

2

?3

∵ ∠ACH= 90

o



AC ? CH ?
2 2

?? ? 3 ? ? 4 ?? ? 3 ? ? 3
2 2



cos ? ?

CH ? AH

1


2

0?? ? 3 ∴

?? ? 3 ?

?4

? 7 1? 。 7 1 ? cos ? ? , 综上得 cos ? ? ? , ? 7 2 ? 7 2?

【解析】略 19.解: (1)(解法一):由题意可知 在 又 ∵ 中, 是 的中点, ∴ .① ∵ ,解得 , ∴ 为圆 , 的直径, ∴ . ,

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DA D P BP G ? BP P AG BPG PGB ? ? AG AG PG BG BD ? 90 ? B ? 2 2 2 ? ?6 1 1 DA BP AG ? 平面 底面 平面 DAP ABP DPB ? ? B A 0 0 4 0 ? ? ? ?3 ?10 P D 3 ,,OP 3 ,? 0 8 AD 3,? ? ? 2 2 3 2 ? ?3 AD PG 15 3 3 3 3 5 3 3? BP BD ? ? , 3 ? ,? 4 ? , 1 2 , 0 BG PG ? BP ? PG ? PD ? ? 2 AP ? 6 ?? ?0 ? ? ?,? ? ? ?? cos PGB ? ? G BG PG AG ? ? BD , ? ? , , ? 3 , ? , , , 3 , 3 3 3 0 , ? 4,2 3 ? 0 2 2 ? 2?2 ? 2BG ? 2 2? ? 10 ?? 5 2 2 2 ? ? ? ? ?? ? ?

? ? ?? ??

?

?

由已知知 ∴ .

,∴ ②∴ 由①②可知: , ∴

,∴ ,∴ , . ,

. .

(2) 由(1)知: ∴ 是二面角 , z D Q. C .

的平面角

,

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

G y A O P x B



.

.

(解法二):建立如图所示的直角坐标系, 由题意可知 则 , , .解得 , . , ∵ 是 的中点,∴ 可求得

.

( 1 )



, ∴

.



,∴

.

(2)由(1)知,







.

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 设 ∵ 【解析】略 20.

P APG ABG ? B BP 15 BP ?2 3 15 n AG ?? AG AB ?AG PG BP ? ? 0 ? ? 0 0? n ? ? x ,2 y , 1 ? ,? 0 ,? 1 cos ? ? ? ?? 5 5 2 5 BP ? n

【解析】略 21.解: 是平面 的法向量,由 . 所以二面角 , ,解得 的平面角的余弦值 .

, ∴ 是平面

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的法向量.

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? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

D1 A1 E B1

C1

D F A B

C

(1)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,则

? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1D1 EF ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // D1 B

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

B1C ? AB ? ? B1C ? BC1 B1C ? 平面ABC1D1 ? B1C ? BD1 ? ? (2) ?? ?? ? ? EF ? B1C AB, B1C ? 平面ABC1 D1 ? EF // BD1 ? BD1 ? 平面ABC1D1 ? ? AB BC1 ? B ?
(3)

? 2 CF ? 平面BDD1B1 ?CF ? 平面EFB1 且 C F ? B F
1 BD1 ? 3 , B1F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 2

EF ?

B1 E ? B1D12 ? D1E 2 ? 12 ? (2 2)2 ? 3 ,∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 ,即 ?EFB1 ? 90
1 1 1 1 1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? ? EF ? B1 F ? CF = ? ? 3 ? 6 ? 2 ? 1 3 3 2 3 2
【解析】略 22. (1) 60 (2) 90 (3)

5 6

【解析】解法一: (1)将图形补充成长方体 ABCD ? MNGF , 连 FN ,则 BD

NF ,又连 NE ,易知 FN ? EF ? EN ? 2

∴ ?EFN ? 60 ,∴ BD 与 EF 所成角为 60 // ???? 4 分 = CA ,而 CA ? 平面 BDF (2)取 AM 的中点 H ,连 EH ,则 EH ∴ EH ? 平面 BDF ,又 EH 过 BF 的中点,即 EH ? 平面 BEF ∴平面 BEF ? 平面 BDF ∴二面角 D — BF — E 的大小为 90 (3) V ? VF ? ABCD ? VF ?BCE ???? 8 分

1 1 ? S ABCD ? DF ? S 3 3

BCE

? DC [来源:学&科&网]

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? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

1 1 1 5 ? ?1? 2 ? ? ?1 ? 3 3 2 6
解法二:建立空间直角坐标系(如图) (1) DB ? (1,1,0) , EF ? (0, ?1,1)

???? 12 分

z F E

?1 1 cos ? DB, EF ?? ?? 2 2? 2
∴ ? DB, EF ?? 120 ∴异面直线 BD 与 EF 所成角为 60 ???? 4 分
A x

D B

C

y

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

(2)显然平面 BDF 的一个法向量为 AC ? (?1,1,0) 设平面 BEF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) 又 BE ? (?1,0,1) 得

EF ? ( 0 ? , 1, 1 ) 由 n ? BE , n ? EF
取 x ? 1 得 n ? (1,1,1)

x? z ?0 ? x ? y ? z ?? ?y ? z ? 0

而 AC ? n ? 0

∴平面 DBF ? 平面 BEF ???? 8 分[来源:学&科&网 ???? 12 分

∴二面角 D — BF — E 的大小为 90 Z&X&X&K] (3)同解法(1)

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