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第八章 圆锥曲线方程单元测试题 1


第八章 圆锥曲线方程单元测试题
一、选择题 1. 中心在原点,准线方程为 x=± 4,离心率为 的椭圆方程是 A.
x2 y2 ? ?1 4 3
1 2

( D. x 2 ?


y2 ?1 4

B.

x2 y2 ? ?1 3 4

C.

x2 ? y2 ? 1 4

2. AB 是抛物线 y2=2x 的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是 A.2 3. 若双曲线 A. 2 B.
1 2





C.

3 2

D.

5 2

x2 y2 2 ? ? 1 的一条准线与抛物线 y =8x 的准线重合,则双曲线的离心率为 8 b2





B. 2 2

C.4

D. 4 2
1 2

4. 已知抛物线 y=2x2 上两点 A(x1,y1), B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 x1x2= , 那么 m 的值 等于( A.
5 2

) B.
3 2

C. 2

D.3

5.已知双曲线 x2- 离为 A.
4 3

y2 =1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF ? MF2 =0,则点 M 到 x 轴的距 1 2



) B.
x2 a2 ? y2 b2
5 3

C.

2 3 3

D. 3

6.点 P(-3,1)在椭圆

? 1 (a>b>0)的左准线上,过点 P 且方向为 a =(2,-5)的光线,经直线

y=-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为 A.
3 3

( D.
1 2



B.

1 3

C.

2 2

7. 椭圆 于

x2 y2 ? ? 1 上有 n 个不同的点:P1,P2,…,Pn,椭圆的右焦点为 F,数列{|PnF|}是公差大 4 3

1 的等差数列,则 n 的最大值是 100

( C.200

) D.201

A.198

B.199
2 2

8. 过点(4, 0)的直线与双曲线 ( )

x y ? ? 1 的右支交于 A、B 两点,则直线 AB 的斜率 k 的取值范围是 4 12

A.| k |≥1

B.| k | > 3

C.| k |≤ 3
1 2

D.| k | < 1 ( )

9. 已知 θ 为三角形的一个内角,且 sinθ+cosθ= ,则方程 x2sinθ-y2cosθ=1 表示

A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线 10.下列图中的多边形均为正多边形,M、N 是所在边上的中点,双曲线均以图中的 F1、F2 为焦点, 设图①、②、③中的双曲线离心率分别为 e1、e2、e3,则( )

M F1 ①

N F2

M F1 ②

N

M F2 F1 ③

N F2

A.e1 > e2 > e3 B.e1 < e2 < e3 C.e1=e2 < e3 二、填空题 11.抛物线 y=x2 上到直线 2x-y=4 的距离最近的点是

D.e1=e2 > e3 .
x2 y2 ? ? 1 ,则平移向量 m 4 3

12.双曲线 3x2-4y2-12x+8y-4=0 按向量 m 平移后的双曲线方程为 = .

13. 在以 F1、 2 为焦点的双曲线 P F 14.椭圆

x2 y 2 则△F1F2P 的重心 G 的轨迹方程是—————————. ? ? 1 上运动, 16 9

x2 y2 ? ? 1 中,以 M(-1,2)为中点的弦所在直线的方程为 16 9

.

15.以下四个关于圆锥曲线的命题中: ① 设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,若 PA ? PB ? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ② 过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB、O 为坐标原点,若 OP ? ( OA ? OB ),则动点 P 的轨迹为 椭圆; ③ 方程 2x2-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④ 双曲线
x2 y2 x2 ? ?1与 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. 25 9 35
1 2

其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号) . 三、解答题 16. 已知双曲线的离心率为 2, 它的两个焦点为 F1、 2, 为双曲线上的一点, F P 且∠F1PF2=60° △PF1F2 , 的面积为 12 3 ,求双曲线的方程.

17.已知动圆 C 与定圆 x2+y2=1 内切,与直线 x=3 相切. (1) 求动圆圆心 C 的轨迹方程; (2) 若 Q 是上述轨迹上一点,求 Q 到点 P(m,0)距离的最小值.

18.如图,O 为坐标原点,直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b ,且交抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 于
M ( x1, y1)

、 N ( x2 , y2 ) 两点.
1 1 1 ? ? ; y1 y2 b

(1) 写出直线 l 的截距式方程; (2) 证明:

(3) 当 a ? 2 p 时,求 ?MON 的大小. y l M

O N b

a

x

19.设 x,y∈R, i , j 为直角坐标平面内 x 轴,y 轴正方向上的单位向量,若 a =x i +(y+2) j ,b = x i +(y-2) j ,且| a |+| b |=8 (1) 求动点 M(x,y)的轨迹 C 的方程. (2) 设曲线 C 上两点 A、B,满足(1)直线 AB 过点(0,3) ,(2) OP ? OA ? OB 且 OAPB 为矩形,求直 线 AB 方程..

20.动圆 M 过定点 A(- 2 ,0),且与定圆 A? :(x- 2 )2+y2=12 相切. (1)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 P(0,2)的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 E、F,求 PE ? PF 的取值范围.

参考答案
1.B 2. C 11. (1,1) 3. A 4. B 5. C 6. A 7. C
2

8. B 9. B

10. D 14. 9x-32y+73=0 15. ③④

12. (-2,-1) 13.

9x ? y 2 ? 1( y ? 0) 16

16. 解:以焦点 F1、F2 所在直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系,如右图所 示: 设双曲线方程为:
x2 y2 ? ?1 a2 b2

y

依题意有:
c ? ?e ? a ? 2 ? 1 ? ? ?S ?PF 1F 2 ? | PF 1| ? | PF 2| ? sin 60 ? 12 3 2 ? ?| PF 1| ? | PF 2|? 2a ? ?

P 60° F2 x

F1

0

解之得:a2=4,c2=16,b2=12 故所求双曲线方程为:
x2 y2 ? ?1 4 12

17.解:(1) 设 C (a, b), 则 R ? 3 ? a

? ⊙C 与⊙O 内切,?

a 2 ? b2 ? 1 ? 3 ? a

? b2 ? ?4a ? 4 即轨迹方程为 y 2 ? ?4 x ? 4
2 2 (2) 设 Q ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? ?4x0 ? 4
2 ? PQ ? ( x0 ? m) 2 ? y0 ? ( x0 ? m) 2 ? 4 x0 ? 4

?

?x0 ? (m ? 2)?2 ? 4m
?1 ? (m ? 2)?2 ? 4m ?
x y ? ?1 a b
m 2 ? 2m ? 1 ? m ? 1

当 m ? 2 ? 1 ,即 m ? ?1 时
PQ min ?

当 m ? 2 ? 1,即 m ? ?1 时, PQ min ? 2 ? m

18.解:(1)

(2) 由直线方程及抛物线方程可得: by2+2pay-2pab=0 故 所以
y1 ? y 2 ? ?2 pa , y1 y 2 ? ?2 pa b

1 1 y ?y 1 ? ? 1 2 ? y1 y2 y1 y2 b

(3) 设直线 OM,ON 的斜率分别为 k1,k2 则 k1 ?
y1 y , k2 ? 2 . x1 x2

当 a=2p 时,知 y1y2=-4p2,x1x2=4p2

所以,k1k2=-1,即 ? MON=90° . 19.( 1 ) 解:令 M(x,y),F1(0,-2),F2(0,2) 则 a = F1 M , b = F2 M ,即 | a |+| b |=| F1 M |+| F2 M |,即| F1 M |+| F2 M |=8 又∵ F1 F2 =4=2c,∴ c=2,a=4,b2=12 所求轨迹方程为
y2 x2 ? ?1 16 12

( 2) 解:由条件(2)可知 OAB 不共线,故直线 AB 的斜率存在,设 AB 方程为 y=kx+3,A(x1,y1), B(x2,y2),则 ? y 2 ? x1+x2=-
18k 3k 2 ? 4

? y ? kx ? 3

? (3k +4)x +18kx-21=0 x2 ? ?1 ? ? 16 12

2

2

x1·2= x

?21 3k 2 ? 4

y1·2=(kx1+3) (kx2+3)=k2 x1x2+3k(x1+x2)+9 y =
3b ? 48k 2 3k 2 ? 4
OA? OB =0

∵ OAPB 为矩形,∴ OA⊥OB ∴ x1x2+y1y2=0 得 k=± 所求直线方程为 y=±
5 4

y
P(0, 2)
?

5 x+3. 4

E
?

M
?

20.解:(1)A? 2 ,0),依题意有|MA? ? =2 3 ( |+ |+|MA| ? |MA? =2 3 >2 2

A(- 2 ,0)A? 2 ,0) ( F

x

∴点 M 的轨迹是以 A? 、A 为焦点,2 3 为长轴上的椭圆,∵a= 3 ,c= 2 的轨迹方程为
x2 ? y2 ? 1 3

∴b2=1.因此点 M

(2) 解法一:设 l 的方程为 x=k(y-2)代入

x2 2 2 2 2 ? y 2 ? 1 ,消去 x 得:(k +3)y -4k y+4k -3=0 3

由△>0 得 16k4-(4k2-3)(k2+3)>0 ? 0≤k2<1 设 E(x1,y1),F(x2,y2), 则 y1+y2=
4k 2 ? 3 4k 2 ,y1y2= 2 2 k ?3 k ?3

又 PE =(x1,y1-2), PF =(x2,y2-2) PF ∴ PE · =x1x2+(y1-2)(y2-2) =k(y1-2)· (y2-2) +(y1-2)(y2-2) k =(1+k2) ? ?
? 4k 2 ? 3 ? 4k 2 ? 2? 2 ? 4? 2 ? k ?3 k ?3 ? ?



9(k 2 ? 1) 2 ? ? ? 9?1 ? 2 ? 2 k ?3 ? k ?3?
? 2?

9 PF ∵0≤k2<1 ∴3≤k2+3<4 ∴ PE · ∈ ?3, ? ? ?

解法二:设过 P(0,2)的直线 l 的参数方程为
?x ? t cos? (t 为参数, ? 为直线 l 的倾角) ? ? y ? 2 ? t sin ?

代入

x2 ? y 2 ? 1 中并整理得: 3

(1+2sin2 ? )t2+12sin ? · t+9=0 2 2 由△=12 sin ? -36(1+2sin2 ? )>0 得:sin2 ? >
1 2

又 t1t2=

9 1 ? 2 sin 2 ?

PF ∴ PE · = PE · PF cos0°

=|PE|· |PF|=t1t2=

9 1 ? 2 sin 2 ?

1 9 PF 由 <sin2 ? ≤1 得: PE · ∈ ?3, ? ? ? 2

?

2?


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