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湖北省八校2016届高三第二次联考 理科数学试题


湖北省2016届八校第二次联考数学(理科)试题

湖北省

华师一附中 黄冈中学 襄阳四中 襄阳五中

黄石二中 孝感高中

荆州中学 鄂南高中

八校

2016 届高三第二次联考 数学试题(理科)
命题学校:黄冈中学 命题人:冯小玮 袁小幼 审题人:范裕龙
考试时间:2016 年 3 月 29 日 下午 15:00—17:00 试卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必先将自己 的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.回答第 I 卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x x2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {x y ? ln(2 ? x)} ,则 A ? B ? ( A. (1,3) B. (1,3] C. [ ?1, 2) ) D. (?1, 2) )
1 7

4 3 ? 2.若复数 z ? (cos? ? ) ? (sin ? ? )i 是纯虚数( i 为虚数单位) ,则 tan(? ? ) 的值为( 5 5 4
A. ? 7 的前 n 项和,则 S5 ? ( A.32 B. ?
1 7

C. 7

D. ? 7 或 ?

3.在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1 ? 2, 且 a2 , a4 ? 2, a5 成等差数列,记 Sn 是数列{an} ) B.62 C.27 D.81

4.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? ) 的最小正周期为 ? ,且其图像向左平移 个单 3 2 位后得到函数 g ( x) ? cos ? x 的图像,则函数 f ( x) 的图像( ) A.关于直线 x ?

?

?

?
12

对称

B.关于直线 x ? D.关于点 (

5? 对称 12

? C.关于点 ( ,0) 对称 12
的概率为( A.
1 10

5? ,0) 对称 12

5.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念,则在甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻 ) B.
2 3 1 3 1 4

C.

D.

6 .已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? ? f ( x ) , f ( x ? 1) ? f (1 ? x ) ,且当 x ? [0,1]
) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ,则 f (31) = (

) C. ?1
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A. 0

B. 1

D. 2

湖北省2016届八校第二次联考数学(理科)试题

7.若如下框图所给的程序运行结果为 S=41,则图中的判断框①中应填入的是( A. i ? 6 ? B. i ≤ 6? C. i ? 5 ? D. i ? 5 ?

)

8.有 6 名选手参加演讲比赛,观众甲猜测:4 号或 5 号选手得第一名;观众乙猜测:3 号选 手不可能得第一名;观众丙猜测:1,2,6 号选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6 号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有 1 人 猜对比赛结果,此人是( A.甲 9. 设 F1 , F2 为椭圆 的值为( A.
5 14

) B.乙 C.丙 D.丁
PF2 PF1

x2 9

?

y2 5

点 P 在椭圆上, 若线段 PF1 的中点在 y 轴上, 则 ? 1 的两个焦点,

) B.
5 13

C.

4 9

D.

5 9

?4 x ? y ? 8 ≥ 0 ? 10.已知变量 x, y 满足 ? x ? y ? 5 ≤ 0 , 若目标函数 z ? ax ? y(a ? 0) 取到最大值 6 ,则 a 的值 ? y ? 1≥ 0 ?

为( A. 2

) B.

5 4

5 C. 或2 4
)

D. ?2

11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线及粗虚线画出的是某 多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为( A. 8? C. 12? B. D.
25 2 41 4

?

?

12. 已知直线 x ? 9 y ? 8 ? 0 与曲线 C : y ? x3 ? px 2 ? 3x 相交于 A, B ,且曲线 C 在 A, B 处的切线 平行,则实数 p 的值为( A. 4 ) B.4 或 ?3 C. ?3 或 ?1 D. ? 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 m ? 3? sin xdx ,则二项式 (a ? 2b ? 3c)m 的展开式中 ab2 c m ? 3 的系数为
0

?



? ?? ? ??? 1 ??? EB D ? 14. 在 Rt△ABC 中, ∠A=90° , AB=AC=2, 点 D 为 AC 中点, 点 E 满足 BE ? BC , 则A
3


2


y2 x ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的渐近线被圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 截得的弦长为 2, 则 a 2 b2
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15. 已知双曲线

湖北省2016届八校第二次联考数学(理科)试题

该双曲线的离心率为



16.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ? N ? , Sn ? (?1)n an ?
(t ? an ?1 )(t ? an ) ? 0 恒成立,则实数 t 的取值范围是

1 ? n ? 3且 2n



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足

2b sin(C ?

?
6

)?a ?c.

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若点 M 为 BC 中点,且 AM ? AC ,求 sin ?BAC .

18.(本小题满分 12 分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校 200 名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查,如下表: (平均每天锻 炼的时间单位:分钟) 平均每天锻炼 的时间(分钟) 总人数
[0,10) [10, 20) [20,30) [30, 40) [40,50) [50, 60)

20

36

44

50

40

10

将学生日均课外课外体育运动时间在 [40, 60) 上的学生评价为“课外体育达标”. (Ⅰ)请根据上述表格中的统计数据填写下面 2 ? 2 列联表,并通过计算判断是否能在犯 错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “课外体育达标”与性别有关? 课外体育不达标 男 女 合计 (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该校高三学生中,抽取 3 名学生,记 被抽取的 3 名学生中的“课外体育达标”学生人数为 X ,若每次抽取的结果是相互独立 的,求 X 的数学期望和方差. 参考公式: K 2 = 参考数据: 20 110 课外体育达标 合计

? a ? b? ? c ? d ? ? a ? c ? ? b ? d ?
0.10 2.706

n ? ad ? bc ?

2

,其中 n ? a ? b ? c ? d .

P ? K 2 ≥ k0 ?
k0

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

第3页

共4页

湖北省2016届八校第二次联考数学(理科)试题

19.(本小题满分 12 分)已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, AD ∥ BC ,
?BCD ? 90? , PA ? 底面ABCD , ?ABM 是边长为 2 的等边三角形, PA ? DM ? 2 3 .

(Ⅰ)求证:平面 PAM ? 平面PDM ; (Ⅱ)若点 E 为 PC 中点,求二面角 P ? MD ? E 的余弦值.
E

20. (本题满分 12 分)已知抛物线 x 2 ? 2 py 上点 P 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) 为抛物线上的两个动点,其中 y1 ? y2 且 y1 ? y2 ? 4 ,线段 AB 的垂直平分线 l 与 y 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值. 21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

x ln x ? a(a ? 0) . x ?1 (Ⅰ)当 x ? (0,1) 时,求 f ( x ) 的单调性;
(Ⅱ)若 h( x) ? ( x 2 ? x) ? f ( x) ,且方程 h( x) ? m 有两个不相等的实数根 x1 , x2 .求证:
x1 ? x2 ? 1 .

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时请 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1 :几何证明选讲 如图,在锐角三角形 ABC 中, AB ? AC ,以 AB 为直径的圆 O 与边 BC , AC 另外的交点分别为 D, E ,且 DF ? AC 于 F . (Ⅰ)求证: DF 是 ⊙O 的切线;

7 (Ⅱ)若 CD ? 3 , EA= ,求 AB 的长. 5
23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4 :坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知点 P 的直角坐
? ? 标为 (1, 2) ,点 M 的极坐标为 (3, ) ,若直线 l 过点 P ,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆
2 6

心, 3 为半径. (Ⅰ)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点,求 PA ? PB .

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?
x ? 2 ? x ? 4 ? m 的定义域为 R .

(Ⅰ)求实数 m 的范围; (Ⅱ)若 m 的最大值为 n ,当正数 a , b 满足
第4页

4 1 ? ? n 时,求 4 a ? 7b 的最小值. a ? 5b 3a ? 2b
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