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高二数学必修5


一、新课引入
现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在 着大量的不等关系.如:两点之间线段最短;三 角形两边之和大于第三边;两边之差小于第三边 ;长与短、高与矮、轻与重、大与小、不超过或 不少于等,都描述了客观事物在数量上存在的不 等关系.

相等只是相对的,不等才是绝对的!

二、新课讲解

40

/>
实例1.限速40km / h的路标, 指示司机在前方路段行 驶时, 应使汽车的速度v不超过40km / h. 实例2.某品牌酸奶的质量检查规定, 酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%, 蛋白质的含量p应不少于2.3% . 思考 :

(1)以上两个不等关系中的不等词? 不超过, 小于、大于、不小于、不大于、少于、多于、
不少于 (2)将以上两个不等关系用不等式(组)表示 ? ? f ? 2.5% ? ? p ? 2.3%
不少于、不多于、至多、最多、至少、最少

v ? 40

二、新课讲解
例1.某市政府准备投资1800万元兴办一所中学.经调 查, 班级数量以20至30个为宜, 每个初高中班硬件配 置分别为28万元与58万元, 该学校的规模(初高中班 级数量)所满足的条件是什么?

设该校有初中班x个,高中班y个,则有
?20 ? x ? y ? 30 ? ?28x ? 58y ? 1800

练1.用不等式表示下面的不等关系 :
(1)a与b的和是非负数; (2)某公路立交桥对通过车辆的高度h"限高4m";

二、新课讲解
(3)如图, 在一个面积为350m 2的矩形地基上建造一 个仓库,四周是绿地.仓库的长L大于宽W的4倍.

问题 1: 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?

转化为数学问题:a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0), 若再加 m(m>0)克糖,则糖水更甜了,为什么?

b 分析:起初糖水的浓度为 ,加入 m 克糖后的糖 a b?m b?m b ? 即可,怎么 水浓度为 ,只要证明 a?m a?m a 证呢?

这个数学问题怎么解决?

这是一个不等式的证明问题

问题 2: 某杂志以每本 2 元的价格发行时,发行量为 10 万 册.经过调查,若价格每提高 0.2 元,发行量就减少 5000 册.要使杂志社的销售收入大于 22.4 万元,每本杂志的价 格应定在怎样的范围内?

这个数学问题又怎么解决?
分析:若杂志的定价为 x 元,则销售的总收入为 x?2 ? ? ? 0.5 ? x 万元。那么不等关系“销售的 ?10 ? 0.2 ? ? 总收入 大于 22.4 万元”可以表示为不等式 x?2 ? ? ? 0.5 ? x >22.4 ?10 ? 0.2 ? ?

这是一个解不等式的问题

问题 3: 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种,按照生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。应怎样截更好?

分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根, 截得 600mm 的钢管 y 根. 根据题意,应有如下的不等关系: ⑴解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm; ⑵截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍; ⑶解得两钟钢管的数量都不能为负。
?500 x ? 600 y ≤ 4000 ? 由以上不等关系,可得不等式组: ?3x ≥ y ? ?x ≥ 0 ? ?y≥0

这是一个二元一次不等式组的问题

不等式的定义:用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式. 说明: (1)不等号的种类:>、<、≥(≦) 、≤(≧) 、≠. (2)解析式是指: 代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集 R.

那么不等式是否与等式有类似的性质呢?
对于不等式在初中我们已经接触过 ,知道不等式的基本性 质与等式的基本性质是有所不同的,为什么会这样呢? 这一章主要从实数的基本性质及不等式的基本概念出发 , 一步步系统认识不等式,掌握一些不等式,从而为以后进一步学 习数学和其它学科运用不等式打好基础.

首先从实数大小比较说起……

对于任意两个实数 a、b,在 a>b,a = b,a<b 三种关系中有且仅有一种成立.
判断两个实数大小的依据是: a ? b? a?b? 0 作差比较法 a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0 这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础. 作差比较法其一般步骤是 :

作差

变形

判断

结论
因式分解、配方、 通分等手段

例 1 比较(a+3)(a-5)与(a+ 2)(a-4)的大小. 作差 解: ∵ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)
? (a 2 ? 2a ? 15) ? (a 2 ? 2a ? 8)

变形

? ?7 ∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4) <0 定符号
∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)

确定大小

例 2.比较 ( x2 ? 1)2 与 x 4 ? x 2 ? 1 的大小.
解: ∵ ( x2 ? 1)2 ? ( x4 ? x2 ? 1)
? x4 ? 2 x 2 ? 1 ? ( x 4 ? x 2 ? 1) ? x2
2 x ? R ∵ , ∴ x ?0

作差

变形

定符号
确定大小



( x ? 1) ? ( x ? x ? 1)
2 2 4 2

(当x=0时取“=”)

!

对于 " ? "或 " ? "的问题, 既要防止 " ? "的遗漏, 又 要说明何时取到" ? ".

b?m b ? b 、m 都是正数,且 a ? b ,求证: 例 3 已知 a 、 a?m a
b ? m b (b ? m)a ? (a ? m)b 证明: ∵ ? ? a?m a (a ? m)a ab ? ma ? ab ? bm ? (a ? m)a m(a ? b) ? (a ? m)a ∵a、 b 、m 都是正数,且 a ? b ∴ m ? 0, m ? a ? 0, a ? 0, a ? b ? 0
b?m b b?m b ? ? 0∴ ? ∴ a?m a a?m a

作差

变形

定符号
确定大小

课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号.
⑴ ( 3 ? 2) 2 _____ < 6 ? 2 6;
2 ⑵ ( 3 ? 2) 2 ____( 6 ? 1) ; <

1 1 < ⑶ ______ ; 5?2 6? 5

> log 1 b. ⑷若0 ? a ? b , log 1 a ____
2 2

小结:

不等式的定义:用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式. 说明: (1)不等号的种类:>、<、≥(≦) 、≤(≧) 、≠. (2)解析式是指: 代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集 R.

判断两个实数大小的依据是: a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0

作差比较法


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