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高二理科数学下学期期末考试复习题


高二下学期期终考试数学(理)
一、选择题 1、复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则 z 在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2、对四组数据进行统计画出四个散点图,对其线性相关系数比较,正确的是

A. r3 ? r2 ? 0 ? r4 ? r1 C. r3 ? r2 ? 0 ? r1 ? r4 3、曲线 y ? x ? tan x ? A. y ? x ?

B. r2 ? r3 ? 0 ? r4 ? r1 D. r2 ? r3 ? 0 ? r1 ? r4

?

? 在点 ( ,1) 处的切线方程为 4 4
B. y ? 3 x ?
3? ?1 4

?
4

?1 3? ?1 4

C. y ? ?3x ?

D. y ? ( 2 ? 1) x ?

2 ?1 ? ?1 4

4、电子手表厂生产某批电子手表正品率为

3 1 ,次品率为 ,现对该批电子手表 4 4

) 等于 进行测试,设第 X 次首次测到正品,则 P(1 ? X ? 2013

1 2012 A. 1 ? ( ) 4

1 2013 B. 1 ? ( ) 4

3 2012 C. 1 ? ( ) 4

3 2013 D. 1 ? ( ) 4

5、12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人 调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是( A. C82 A32
6 B. C82 A6
2 C. C82 A6



D. C82 A52

6、 将正整数 1, 2,3, 4,5, 6, 7 随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各 数之和相等的概率是( A. ) B.

4 63

5 63

C.

8 63

D.

10 63

7、 已知 f ( x) 满足 f (2 x ? 1) ? 线是( )

1 f ( x) ? x 2 ? x ? 2 ,则函数 f ( x) 在 ?1 ,f (1) ? 处的切 2

A. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0

B. 2 x ? 3 y ? 10 ? 0 D. 2 x ? y ? 2 ? 0

8、有三张卡片的正、反两面分别写有数字 0 和 1,2 和 3,4 和 5,某学生用它 们来拼一个三位偶数,则所得不同的三位数有( A.48 B.24 C.22 ) D.20

9.一个建筑队承包了两项工程,每项工程均有三项任务,由于工序的要求,第 一项工程必须按照任务 A、任务 B、任务 C 的先后顺序进行,第二项工程必须按 照任务 D、任务 E、任务 F 的先后顺序进行,建筑队每次只能完成一项任务,但 第一项工程和第二项工程可以自由交替进行, 若公司将两项工程做完,共有多少 种安排方法( A.12 ) B.30 C.20 D.48

10、口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,
??1,第n次摸取红球 定义数列 ?an ? ,an ? ? ,如果 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,那么 ?1,第n次摸取白球

S5 ? 3 的概率为(
3?1? ? 2? A. C5 ? ? ? ? ? 3? ? 3? 3 2



?1? ? 2? B. C52 ? ? ? ? ? 3? ? 3?

2

3

?1? ? 2? C. C54 ? ? ? ? ? 3? ? 3?

4

1 ? 1 ?? 2 ? D. C5 ? ?? ? ? 3 ?? 3 ?

4

11、已知正四棱锥 P—ABCD 的四条侧棱,底面四条边及两条对角线共 10 条线 段,现有一只蚂蚁沿着这 10 条线段从一个顶点爬行到另一个顶点,规定: (1) 从一个顶点爬行到另一个顶点视为一次爬行;(2)从任一顶点向另 4 个顶点爬行

是等可能的(若蚂蚁爬行在底面对角线上时仍按原方向直行). 则蚂蚁从顶点 P 开始爬行 4 次后恰好回到顶点 P 的概率是( A. ) C.

1 16

B.

9 16

9 64

D.

13 64

12.已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数,其导函数 f '( x) 满足 f '( x) ? f ( x)( x ? R) , 则 A. f (2) ? e2 f (0), f (2011) ? e2011 f (0) C. f (2) ? e2 f (0), f (2011) ? e2011 f (0) B. f (2) ? e2 f (0), f (2011) ? e2011 f (0) D.f (2) ? e2 f (0), f (2011) ? e2011 f (0)

二、填空题
3 13、二项式 ( x ?

1 n ) 的展开式中所有二项式系数的和为 32,且此二项展开式 5x 2
a

2 x 中 x 10 项的系数为 a,则 ?0 ( x ? e )dx 的值为___________

14、将大小相同 5 个不同颜色的小球,放在 A、B、C、D、E 共 5 个盒子中,每个球可以 任意放在一个盒子里,则恰有两个盒子空且 A 盒子最多放 1 个球的放球方法总数为 __________ 15、 已知 则 a ? 2a ? 3a ? 4a ? ___________. (1 ? 2x)4 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 , 1 2 3 4

16、将右图中编有号的五个区域染色,有五种颜色可供选择,要求有公共边的两个区域不 能同色,则不同的涂色方法总数为________________(用数字作答).
5 1 4 2 3

三、解答题

17、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 的图象经过点 M (1, 4) ,曲线在点 M 处的切线恰好 与直线 x ? 9 y ? 0 垂直.

Ⅰ)求实数 a、 b 的值; Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 ?m, m ?1? 上单调递增,求 m 的取值范围.

18、已知 (1 ? 2 x )n 的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的 2 倍,而等于 它后一项的系数的 . (1) 求该展开式中二项式系数最大的项; (2) 求展开式中系数最大的项.
5 6

19、 已知 f ( x) ? (1 ? mx) (1)若 m ?

2013

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2013 x 2013 ( x ?R)

??

2

1

?1

(sin x ? 1 ? x 2 )dx ,求 m、 a0 及 a1 的值;

1 n (2) 若离散型随机变量 X~B (4, ) 且 m ? EX 时, 令 bn ? (?1) nan , 求数列 {bn } 2

的前 2013 项的和 T2013 。

20、 北京时间 2011 年 3 月 11 日 13: 46, 日本本州岛附近发生 9.0 级强烈地震, 强震导致福岛第一核电站发生爆炸,爆炸导致的放射性物质泄漏,日本东京电力 公司为反应堆注水冷却燃料池,于是产生了大量的废水.4 月 4 日,东京电力公 司决定直接向海中排放上万吨高核辐射浓度的污染水, 4 月 7 日玉筋鱼被查出放 射性铯 137 超标. 《中华人民共和国环境保护法》规定食品的铯含量不得超过 1.00ppm.现从一批玉筋鱼中随机抽出 15 条作为样本,经检验各条鱼的铯含量 的茎叶图(以小数点前一位数字为茎,小数点后一数字为叶)如下: (Ⅰ)检查人员从这 15 条鱼中随机抽出 3 条,求恰有 1 条鱼铯含量超标的概率 (Ⅱ)以此 15 条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据,若从这批鱼中任选 3 条,记 ? 表示抽到的鱼中铯含量超标的鱼的条数,求 ? 分布列和数学期望 E? .
玉筋鱼的含量 0 1 1 3 2 1 5 9 8 7 3 2 1 2 3 5 4

21、已知函数 f ( x) ?

ln x ? 1 ? a ,a?R x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若 ln x ? kx ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)已知 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? e ,求证: x1 ? x2 ? x1 x2 .

?) 22、已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ax, (a ? R), (e ? 2.718281828

(1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的单调区间及极值;

(2)令 g ( x) ? (1 ? a) x ,当 x ? [e ? 1,2] 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)令 a n ? 1 ?
n 2 ,记数列 {an } 的前 n 项积为 Tn ,求证: Tn ? e 。 2n

高二数学(理)假期作业(一)
一、 选择题 二、 填空题 三、解答题 17、 (1) f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ,由题意可得 a ? b ? 4 , 3a ? 2b ? 9 , a ? 1, b ? 3 , (2) f ( x) ? x3 ? 3x2 , 所以 f ' ( x) ? 3x2 ? 6x ? 3x( x ? 2) , 1-5、AABBC 13、 e ?
2 3

6-10、ABDCC 14、1020 15、-8

11-12、DD 16、420

易知 f ( x) 在 (??, ?2) 和 (0, ??) 上单调递增,所以 m ? 1 ? ?2 或 m ? 0 .

即 m ? ?3 或 m ? 0 .
r ?1 18.解:(1) 第 r + 1 项项系数为 Cnr 2r ,第 r 项系数为 C11 2r ?1 ,第 r + 2 项系 r ?1 数为 C11 2r ?1
r r ?1 r r ?1 ?Cn ?Cn 2r ? 2Cn 2r ?1 ? Cn ? ? ? 2r ? n ? 1 依题意得 ? ? r r 5 r ?1 r ?1 整理得 ? r 5 r ?1 即 ? ?5(n ? r ) ? 3(r ? 1) 2 ?Cn 2 ? Cn ?Cn ? Cn ? 6 3 ? ?

求得 n = 7,故二项式系数最大的项是第 4 项和第 5 项.
3 4 T4 ? C7 (2 x )3 ? 280 x 2,T5 ? C7 (2 x )4 ? 560 x 2
r r r ?1 ? 2r ?1 ?C7 2 ? C7 (2) 假设第 r + 1 项的系数最大,则 ? r r r ?1 2r ?1 ? ?C7 2 ? C7

3

7! 7! ? r r ?1 1 ?2 ? ? r !? 7 ? r ?! 2 ? (r ? 1)!?8 ? r ?! 2 ? 13 16 ? ?r 8 ? r 即? 即? 解得 ? r ? 3 3 7! 7! 1 2 ? 2r ? 2r ?1 ? ? ? r !? 7 ? r ?! ? ( r ? 1)! 6 ? r ! 7 ? r r ? 1 ? ? ? ?

又∵ r ? N ,∴ r = 5∴ 展开式中系数最大的项为 T6 ? C75 (2 x )5 ? 672 x 2 19、解: (1)? m ?
?m ?

5

??

2

1

?1

(sin x ? 1 ? x 2 )dx
1

??

2

1

?1

sin xdx ?

??

2

?1

1 ? x 2 dx ?

2

?

(? cos x) ? ?
?1

1

2

?

?

?
2

=1

4分

2013 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2013 x 2013 , 则: f ( x) ? (1 ? x)
1 令 x ? 0 得: a0 ? 1 ,且 a1 ? C2013 ? 2013;

6分
?m ? 2

1 (2)∵离散型随机变量 X ~ B ( 4, ) 且 m ? EX 2

7分

? f ( x) ? (1 ? 2x) 2013 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2013 x 2013 (1 ? 2x) 则两边取导得: 4026
(1 ? 2) 令 x ? ?1 得: 4026
2012

2012

? a1 ? 2a2 x ? 3a3 x 2 ? ? ? 2013 a2013 x 2012

9

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? ? 2013 a2013

a2013 ? ?4026; 即: ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? ? ? 2013

∴数列 {bn } 的前 2013 项的和 T2013 ? ?4026;

12 分

20、解: (1)记“从这 15 条鱼中随机抽出 3 条,求恰有 1 条鱼铯含量超标”为事 件 A,则
1 2 C5 C 45 P( A) ? 3 10 ? C15 91

所以从这 15 条鱼中随机抽出 3 条,求恰有 1 条鱼铯含量超标的概率 (2)由题意可知,这批鱼铯含量超标的概率是 P ?

45 . 91

5 1 ? ,…………6 分 15 3

? 的取值为 0,1,2,3,其分布列如下: ?
0 1 2 3

P
1 B (3, ) . 3

1 2 C30 ( )0 ( )3 3 3
E? =1

1 1 1 2 2 C3 ( )( ) 3 3

1 2 C32 ( ) 2 ( )1 3 3

3 1 3 2 0 C3 ( ) ( ) 3 3

所以 ?

21 解(I) f ?( x ) ?

a ? ln x ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e a .------------2 分 2 x

当 x ? (0, e a )时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 为增函数; 当 x ? (e a , ??)时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 为减函数, 可知 f ( x) 有极大值为 f (e a ) ? e ? a . -------------------4 分
ln x ? k 在 (0,??) 上恒成立, x

(Ⅱ) 欲使 ln x ? kx ? 0 在 (0,??) 上恒成立, 只需 设 g ( x) ?
ln x ( x ? 0) , x

………………6 分

1 1 由(Ⅰ)知, g ( x) 在 x ? e 处取最大值 ,所以 k ? .--------------8 分 e e ln x (Ⅲ) e ? x1 ? x2 ? x1 ? 0 ,由上可知 f ( x) ? 在 (0, e) 上单调递增, x

x ln(x1 ? x2 ) ? ln x1 , 所以 ln( x1 ? x2 ) ? ln x1 ,即 1 x ? x 1 2 x1 ? x2 x1

………………10 分

同理

x2 ln(x1 ? x2 ) ? ln x2 ,两式相加得 ln(x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? ln(x1 x2 ) , x1 ? x2
--------------12 分

所以 x1 ? x2 ? x1 x2 .

22、解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x, ( x ? ?1)
? f ?( x) ? 1 ?x ?1 ? 当 x ? (?1,0) 时 f ?( x) ? 0 ;当 x ? (0,??) 时 f ?( x) <0 1? x 1? x

∴当 x ? 0 时 f 极大值 ( x) ? f (0) ? 0 ,无极小值, 且函数 f ( x) 的单调增区间为 (?1,0) ,单调减区间为 (0,??) ; 4分

(2)当 x ? [e ? 1,2] 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立等价于 ln(1 ? x) ? (1 ? 2a) x ≥0 即: 1 ? 2a ?
ln(1 ? x) ln(1 ? x) , x ? [e ? 1,2] , 恒成立。令 ? ( x) ? x x

x ? ln(1 ? x) ?? ?( x) ? 1 ? x 2 x
当 x ? [e ? 1,2] 时,
?1 ? 2a ? ln 3 2

x ? 1, ln(1 ? x) ? 1 1? x

则:? ?( x) ? 0 ? ? min ( x) ? ? (2) ?

ln 3 2

?a ?

2 ? ln 3 2 ? ln 3 ,?? ) 则实数 a 的取值范围 [ 4 4

9分

ln(1 ? x) ? x ? 0 , (3) 由 (1 ) 得: 当 x ? 0 时,f ( x) 在区间 (0,??) 单调递减, 则:

即: ln(1 ? x) ? x,? ln a n ? ln(1 ? 则: ln a1 ? ln a 2 ? ? ? ln a n ? 记: M n ?

n n )? n , n 2 2

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n 2 2 2 2

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n 2 2 2 2

① ②

1 1 2 n ?1 n ? M n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2

1 1 1 1 n ①-②得: M n ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2

1 1 n ? M n ? 1 ? n ? n ?1 2 2 2

?Mn ? 2 ?

n?2 ? 2 ? ln Tn ? 2 2 n ?1

2 则: Tn ? e


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