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高考数学试题新亮点类比推理题(全面很好)


高考数学试题新亮点——类比推理题
“多考一点想,少考一点算” ,以能力立意的数学高考试题不断推出一些思 路开阔、情境新颖脱俗的创新题型,它们往往不是以知识为中心,而是以问题为 中心,并不拘泥于具体的知识点,而是将数学知识、方法和原理融于一体,突出 对数学思想方法的考查,体现数学的思维价值。 类比推理是根据两个对象具有某些相同的属性而推出当一个对象具有一个 另外的性质时,

另一个对象也具有这一性质的一种推理方式。因此求解类比推理 问题的关键在于确定类比物,建立类比项。换言之,不能把类比仅停留在叙述方 式或数学结构等外层表象之上, 还需要对数学结论的运算、推理过程等进行类比 分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联。 一、数列中的类比推理 例 1 (2000 年上海卷)在等差数列 ?an ? 中,若 a10 ? 0 ,则有等式 a1 ? a2 ? ? ? ? ? an 类比上述性质, 相应地: 在等比数列 ?bn ? ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a19?n (n ? 19, n ? N ? ) 成立, 中,若 b9 ? 1 ,则有等式 分析 成立.

本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是: 用减法定义 性质用加法表述(若 m , n , p , q? N * , 且

等差数列

m ? n ? p ? q , 则 am ? an ? a p ? aq ) ;

等比数列

用除法定义

性质用乘法表述(若 m , n , p , q? N * , 且

m ? n ? p ? q , 则 am ? an ? a p ? aq ).

由此,猜测本题的答案为: b1b2 ? ? ? bn ? b1b2 ? ? ? b17?n (n ? 17, n ? N * ). 事实上,对等差数列 ?an ? ,如果 ak ? 0 ,则 an?1 ? a2k ?1?n ? an?2 ? a2k ?2?n ? ? ? ?

? ak ? ak ? 0 . 所以有: a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? (an?1 ? an?2 ? ? ? ? ?
( n ? 2k ? 1, n ? N * ).从而对等比数列 ?bn ? ,如果 bk ? 1 ,则有等 a2k ?2?n ? a2k ?1?n ) 式: b1b2 ? ? ? bn ? b1b2 ? ? ? b2k ?1?n (n ? 2k ? 1, n ? N * ) 成立.

1

评注

本题是一道小巧而富于思考的妙题,主要考查观察分析能力,抽象概括

能力,考查运用类比的思想方法由等差数列 ?an ? 而得到等比数列 ?bn ? 的新的一般 性的结论。 例 2 (2004 年北京高考题)定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项 与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做 该数列的公和. 已知数列 ?an ? 是等和数列,且 a1 ? 2 ,公和为 5,那么 a18 的值为 个数列的前 n 项和 S n 的计算公式为 分析 . ,这

由等和数列的定义,易知 a2 n?1 ? 2 , a 2 n ? 3 ( n =1,2,…) ,故 a18 ? 3 .
5 5 1 n ;当 n 为奇数时, S n ? n ? . 2 2 2

当 n 为偶数时, S n ? 评注

本题以“等和数列”为载体,解决本题的关键是课本中所学的等差数列

的有关知识及其数学活动的经验,本题还考查分类讨论的数学思想方法。 二、函数中的类比推理 例 3(2003 年上海春招高考题)设函数 f ( x) ?
1 2 ? 2
x

,利用课本中推导等差数 .

列前 n 项和公式的方法, 可求得 f (?4) ? ? ? ? ? f (0) ? ? ? ? ? f (5) ? f (6) 的值为 分析

此题利用类比课本中推导等差数列前 n 项和公式的倒序相加法, 观察每一
? f ( x) ? 1 2 ? 2
x

个因式的特点,尝试着计算 f ( x) ? f (1 ? x) :
1 f (1 ? x) ? 1 2
1? x



? 2

?

2

x x

2? 2 ?2 1 ? 2x ?

?

2 , 2 ? 2x

? 2x

1? ? f ( x) ? f (1 ? x) ?

2 2 ? 2x

2 , 2

发现 f ( x) ? f (1 ? x) 正好是一个定值, ?2S ? 评注

2 ? 12 ,?S ? 3 2 . 2

此题依据大纲和课本,在常见中求新意,在平凡中见奇巧,将分析和
2

解决问题的能力的考查放在了突出的位置.本题通过弱化或强化条件与结论,揭 示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题.这样,通过从课本出发,无 论是对内容的发散,还是对解题思维的深入,都能收到固本拓新之用,收到“秀 枝一株,嫁接成林”之效,从而有效于发展学生创新的思维。 例 4 (2003 年上海春招高考题)已知函数 f ( x) ? (1) 证明 f ( x) 是奇函数,并求 f ( x) 的单调区间. (2) 分别计算 f (4) ? 5 f (2) g (2) 和 f (9) ? 5 f (3) g (3) 的值, 由此概括出涉及函数
f ( x) 和 g ( x) 的对所有不等于零的实数 x 都成立的一个等式,并加以证明.

x ?x 5

1 3

?

1 3

, g ( x) ?

x ?x 5

1 3

?

1 3

.

分析 (1)略; (2)分别计算得 f (4) ? 5 f (2) g (2) 和 f (9) ? 5 f (3) g (3) 的值都为 零,由此概括出对所有不等于零的实数 x 有: f ( x 2 ) ? 5 f ( x) ? g ( x) ? 0.如果将式子

f ( x 2 ) ? 5 f ( x) ? g ( x) ? 0 中 的 5 改 成 字 母 ? (? ? 0) , 可 进 一 步 推 广 f ( x 2 ) ? ? f ( x) ? g ( x) ? 0 .
评注 由数字型向字母型类比推广相当于从特例向一般推广,但其实质都是

一般化策略.正如波利亚在其《怎样解题》中所阐述的一般化思想: “一般化就是 从考虑一个对象, 过渡到考虑包含该对象的一个集合,或者从考虑一个较小的集 合过渡到考虑一个包含该较小的集合的更大集合。 ” 三、排列组合中的类比推理
m ? 例 5 (2002 年上海高考题)规定:C x

x( x ? 1) ? ? ? ( x ? m ? 1) ,其中 x ? R ,m m!

0 m 是正整数,且 C x ? 1 ,这是组合数 Cn (n , m 是正整数,且 m ? n) 的一种推广. 5 (1) 求 C? 15 的值; m n ?m m m?1 m m (2) 组合数的两个性质 ( Cn 是否都能推广到 C x ? Cn , Cn ? Cn ? Cn ?1 )

( x ? R , m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不 能,则说明理由;
m m (3)已知组合数 C n 是正整数,证明:当 x ? Z , m 是正整数时, Cx ?Z .

3

分析

m m 本题“新的规定 C x ( x ? R , m 是正整数) ”是组合数 C n ( n , m 是正整数,

且 m ? n )的一种推广.这个结论是中学数学教学内容中没有的,目的是考查考生 对相关的数学思想方法的自觉运用以及创新思维能力. 解: (1)根据新规定直接进行演算即可
5 C? 15 ?

(?15)( ?16)( ?17 )( ?18)( ?19) ? ?11628 . 5!
2 ?1 2

(2) 性质①不能推广.反例: 当 x ? 2 , m ? 1时,C 1 2 有意义, 但C 性质②能推广,且推广形式不变:
m m?1 m Cx ? Cx ? Cx ?1 ( x ? R , m 是正整数).

无意义.

证明如下:
m m ?1 Cx ? Cx ?

x( x ? 1)(x ? 2) ? ? ? ( x ? m ? 1) x( x ? 1)(x ? 2) ? ? ? ( x ? m ? 2) ? m! (m ? 1)!

x( x ? 1)( x ? 2) ? ? ? ( x ? m ? 2) ? ( x ? 1) m! 1 m = ? ( x ? 1)?( x ? 1) ? 1??( x ? 1) ? 2? ? ? ? ?( x ? 1) ? m ? 1? = C x ?1 m!

=

(3)需要就 x 与 m 的大小作出逻辑划分并进行严密的论证.
m 当 x ? m 时, x , m 都是正整数, C n 就是组合数,结论显然成立;

x( x ? 1)( x ? 2) ? ? ? 0 ? ? ? ( x ? m ? 1) ? 0 ? Z ,结论也成立; m! x( x ? 1)( x ? 2) ? ? ? ( x ? m ? 1) 1 m ? ? (?1) m (? x ? m ? 1)( ? x ? m ? 2) 当 x ? 0 时, C x m! m!

当 0 ? x ? m 时, C xm ?

m ? ? ? (? x ? 1)(? x) ? (?1) m C? x ? m?1 m m m ? ? x ? m ? 1 ? 0 ,?C? ) m C? x?m?1 是正整数,故 C x ? (?1 x?m?1 ? Z . m 综上所述,当 x ? Z , m 是正整数时, Cx ?Z .

评注

本题以组合数为载体考查运用类比推理和分类讨论的数学思想方法,

考查运算能力和创新思维能力。 例 6 (2003 年上海高考题)已知数列 ?an ?( n 为正整数)的首项为 a1 ,公比 为 q 的等比数列.
0 1 2 0 1 2 3 (1) 求和: a1 C2 ; a1C3 . ? a2C2 ? a3C2 ? a2C3 ? a3C3 ? a4C3

4

(2) 由(1)的结果,归纳概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明. 分析 本题由(1)的结论,通过大胆猜测,归纳猜想出一般性的结论:

0 1 2 (1) a1 C2 = a1 ? 2a1q ? a1q 2 ? a1 (1 ? q) 2 , ? a2C2 ? a3C2 0 1 2 3 ? a1 ? 3a1q ? 3a1q 2 ? a1q 3 ? a1 (1 ? q) 3 . a1C3 ? a2C3 ? a3C3 ? a4C3

(2)归纳概括的结论为:若数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列,则
0 1 2 3 n a1Cn ? a2Cn ? a3Cn ? a4Cn ? ? ? ? ? (?1) n an?1Cn ? a1 (1 ? q) n .(证明略)

评注

本题主要考查探索能力、类比归纳能力与论证能力,突出了创新能力

的考查;通过抓住问题的实质,探讨具有共同的属性,可以由特殊型命题直接归 纳概括出一般型命题。 四、立体几何中的类比推理 例 7 (2002 年上海春招题) 若从点 O 所作的两条射线 OM、 ON 上分别有点 M 1 、

M 2 与点 N1 、 N 2 ,则三角形面积之比为:

S ?OM 1N1 S ?OM 2 N 2

?

OM 1 ON1 . 若从点 O 所作 ? OM 2 ON 2

的不在同一个平面内的三条射线 OP、OQ 和 OR 上分别有点 P 1 、P 2 与点 Q1 、Q2 和 R1 、 R2 ,则类似的结论为: 分析 猜想 评注 .

在平面中是两三角形的面积之比,凭直觉可猜想在空间应是体积之比,故

VO ? P1Q1R1 VO ? P2Q2 R2

?

OP OQ1 OR1 1 .(证明略) ? ? OP2 OQ2 OR2

本题主要考查由平面到空间的类比.要求考生由平面上三角形面积比的

结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论.又在 2004 年广东高考数学试卷中出 现本题的类题。 例 8 (2003 年全国高考题)在平面几何中,有勾股定理: “设 ? ABC 的两边 AB、AC 互相垂直,则 AB2 ? AC 2 ? BC 2 .”拓展到空间,类比平面几何的勾股定 理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是: “设 三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直,则 分析 .”

关于空间问题与平面问题的类比, 通常可抓住几何要素的如下对应关系作 多边形;
5

对比: 多面体





体 积 面 积

面 积 ; 线段长;

二面角 ……

平面角

由此,可类比猜测本题的答案:
2 2 2 2 S? ? S? ? S? A D B? S ?B C D (证明略). A B C A CD

评注

本题考查由平面几何的勾股定理到空间的拓展推广,因此平时的教学

与复习中要注意类比等思想方法的学习, 更要注意研究性学习在数学中的适时切 入。 例 9 (2004 年上海春招高考题)在 ? DEF 中有余弦定理:
DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos?DFE . 拓展到空间,类比三角形的余弦定理,

写出斜三棱柱 ABC- A1 B1C1 的 3 个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关 系式,并予以证明. 分析
2 2 2 根据类比猜想得出 S AA ? S ABB ? S BCC ? 2S ABB1A1 ? S BCC1B1 cos? . 1C1C 1A 1 1B1

其中 ? 为侧面为 ABB 1A 1 与 BCC1 B1 所成的二面角的平面角. 证明: 作斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的直截面 DEF,则 ? DFE 为面 ABB 1A 1 与面

BCC1 B1 所成角,在 ?DEF 中有余弦定理:
DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos?? ,

同乘以 AA12 ,得

DE 2 ? AA12 ? DF 2 ? AA12 ? EF 2 ? AA12 ? 2DF ? AA1 ? EF ? AA1 cos??

2 2 2 S AA ? SA s B1B A1 ? S B C 1C B1 ? 2S A B1B A1 ? S B C 1C B1 c o ? 1C1C

评注

本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广, 因为

类比是数学发现的重要源泉, 因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法 的学习。 五、解析几何中的类比推理 例 10 (2001 年上海高考题)已知两个圆: x 2 ? y 2 ? 1 , 与 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 ② ①

则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程,

6

将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而 已知命题要成为所推广命题的一个特例,推广的命题为 分析 将题设中所给出的特殊方程①、②推广归纳到一般情况: ③ ④ .

设圆的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , 与

( x ? c) 2 ? ( y ? d ) 2 ? r 2

其中 a ? c 或 b ? d ,则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程. 评注 本题通过类比推广,可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。

例 11 (2003 年上海春招题)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于 原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在, 并记为 k PM 、 k PN 时,那么 k PM 与 k PN 之积是与点 P 的位置无关的定值.试对双曲 线
x2 y2 ? ? 1 写出具有类似特性的性质,并加以证明. a2 b2 x2 y2 类似的性质为:若 M、N 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上关于原点对称的两个点, a b

分析

点 P 是双曲线上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 k PM 、k PN 时, 那么 k PM 与 k PN 之积是与点 P 的位置无关的定值. 证明:设点 M、P 的坐标为( m , n ) 、 ( x, y ) ,则 N( ? m ,? n ).
b2 2 b2 2 2 2 因为点 M (m,n ) 在已知双曲线上, 所以 n ? 2 m ? b , 同理 y ? 2 x ? b 2 . a a
2

则 k PM ? k PN ? 评注

y ? n y ? n y 2 ? n2 b2 x2 ? m2 b2 ? ? ? ? ? (定值). x ? m x ? m x2 ? m2 a 2 x2 ? m2 a 2

本题以椭圆、双曲线为载体,考查直线的斜率,椭圆、双曲线的概念与

方程,考查数学运算能力。 波利亚曾说: “如果没有相似推理,那么无论是在初等数学还是在高等数学 中,甚至在其他任何领域中,本来可以发现的东西,也可能无从发现.”因此, 作为基础教育之一的中学数学, 在教学中必须重视培养学生的类比推理和归纳推 理的能力。为此,特提出以下教学建议:

7

(1)根据教材特点,在传授新知识时,有意识地引导学生,通过类比与归纳得 出新的知识,逐步学会类比推理的方法。 (2)在进行知识复习时,经常对相关的知识进行类比,培养学生对相关知识进 行类比的习惯。 (3)在解题教学中,通过类比,引导学生推广数学命题,或通过类比,探求解 题途径,深化对知识的理解,对数学思想方法的掌握。 (4)通过类比,拓展学生的数学能力,提高学生的发现问题、分析问题和解决 问题的能力,提高学生的实践能力和创新精神。 开普勒对类比也情有独钟: “我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最可信 赖的老师… …”正因为如此,以上这些有趣而富有启迪的类比越来越多地受到 了命题专家的关注,逐渐成为高考命题的新视角。

8


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