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06-07学年数学必修IV模块综合测评二(附答案)


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模块综合测试 (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的 4 个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.下列命题中的真命题是( ) A.三角形的内角必是第一象限或第二象限的角 B.角 α 的终边在 x 轴上时,角 α 的正弦线、正切线分别变成一个点 C.终边相同的角必相等 D.终边在第二象限的角是钝角 解析:三角形的内角可以等于 90° ,而 90° 的角既不属于第一象限也不属于第二象限,A 错; 由正弦线、正切线的定义可知 B 正确;终边相同的角可以相差 360° 的整数倍,C 错;终边 在第二象限且小于 180° 的角才是钝角,D 错. 答案:B 2.若 α、β 的终边关于 y 轴对称,则下列等式正确的是( ) A.sinα=sinβ B.cosα=cosβ C.tanα=tanβ D.cotα=cotβ 解析:因为 α、β 的终边关于 y 轴对称,所以 β=2kπ+π-α,k∈Z, sinβ=sin(2kπ+π-α)=sinα. 答案:A

k? n? ? ,k∈Z},B={β|β= + ,n∈Z}的关系是( 6 3 6 A.A ? B B.A ? B C.A ? B n? ? 解析:B={β|β= + ,n∈Z}可以转化为 3 6 (2n ? 1)? B={β|β= ,n∈Z},由此可知 A ? B,B 正确. 6
3.集合 A={α|α= 答案:B 4.已知向量 a=(3,2),b=(x,4),且 a∥b,则 x 的值为( A.6 B.-6 C. ? ) D.

) D.A=B

8 3

8 3

解析:因为 a∥ b,所以 3× 4-2× x=0,从而 x=6. 答案:A 5.已知向量 OP 、 OP 、 OP 满足条件 OP 3 1 1 2 △P1P2P3 的形状是( A.等腰三角形 C.等边三角形 解析:由 OP 1 ) B.直角三角形 D.不能确定

? OP2 ? OP =0,| OP |=| OP2 |=| OP |=1,则 3 3 1

? OP2 ? OP =0,得 OP ? OP2 ? ?OP3 . 3 1

∴ OP ? OP |=| ? OP |=| OP |. | 1 2 3 3 ∴ OP ? OP )2= OP3 , ( 1 2
2

即 OP1 ? OP1 ? 2OP1 ? OP2 ? OP3 .
2 2 2

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由 OP1 ? OP2 ? OP3 =1,得 OP · 3 =1 OP
2 2 2

1 . 2

同理,可得 OP · 3 = OP · 3 = ? 2 OP 1 OP

1 . 2

2 2 OP 又 P P2 ? OP ? OP ,∴ P P2 |2= OP2 ? 2OP1 · 1 ? OP1 =1+1+1=3. | 1 1 2 1

同理,| P P3 |= 3 ,| P P2 |= 3 , 1 1 ∴ P P2 |=| P2 P3 |=| P3 P |= 3 . | 1 1 ∴ P1P2P3 是正三角形. △ 答案:C 6.(2006 高考湖北卷, 1)已知向量 a=( 3 ,1),b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a· 3 ,则 b 理 b= 等于( A.( ) B.(

3 1 , ) 2 2

1 3 , ) 2 2

C.(

1 3 3 , ) 4 4

D.(1,0)

解析:b 为单位向量,∴ b=(cosθ,sinθ). 设 ∵ b= 3 ,∴ 3 ,1)·(cosθ,sinθ)= 3 cosθ+sinθ= 3 . a· ( ∴ sin(θ+

? ? ? ? ? ? ? )=sin .∴ θ+ = 或 θ+ =π- .∴ θ=0 或 θ= . 3 3 3 3 3 3 3

当 θ=0 时,b=(1,0),b∥ 轴,不合题意舍去. x 当 θ=

? 1 3 时,b=( , ). 2 2 3
)

答案:B 7.已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° c=2a+3b,d=ka-b(k∈R), c⊥d, , 且 那么 k 的值为( A.-6 B.6

14 C. ? 5

14 D. 5

解析:a· b=1× cos60° 2× =1, ∵ d, c⊥ ∴ d=(2a+3b)· c· (ka-b)=2ka2-2a· b+3ka· 2=2k-2+3k-12=0. b-3b ∴ k=

14 . 5

答案:D 8.(2006 高考安徽卷,理 6)将函数 y=sinωx(ω>0)的图象按向量 a=(象如图 1 所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( )

? ,0)平移,平移后的图 6

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图1

? ) 6 ? C.y=sin(2x+ ) 3
A.y=sin(x+

? ) 6 ? D.y=sin(2x- ) 3 ? 解析:将函数 y=sinωx(ω>0)的图象按向量 a=(- ,0)平移,平移后的图象所对应的解析式为 6 ? 7? ? 3? y=sinω(x+ ).由图象知,ω( + )= ,所以 ω=2,因此选 C. 12 6 2 6
B.y=sin(x答案:C 9.已知|p|= 2 2 ,|q|=3,p、 的夹角为 q 则| AD |为( )

? , 如图 2, AB =5p+2q, AC =p-3q,D 为 BC 的中点, 若 4

图2 A.

15 2

B.

15 2

C.7

D.18

1 1 1 ( AC ? AB )= (5p+2q+p-3q)= (6p-q), 2 2 2 1 2 (6 p ? q ) 2 ∴ AD |= | AD | = | 2 1 36 p 2 ? 12 p ? q ? q 2 = 2
解析: AD = =

1 2

36 ? (2 2 ) 2 ? 12 ? 2 2 ? 3 ? cos

?
4

? 32

=

15 . 2

答案:A

? )的图象,只要将函数 y=sin2x 的图象( ) 3 ? ? A.向左平行移动 个单位 B.向左平行移动 个单位 3 6 ? ? C.向右平行移动 个单位 D.向右平行移动 个单位 3 6 ? ? 解析:由 y=sin2x 到 y=sin(2x- )关键是看 x 的变化,即由 x 到 x- ,所以需向右平行移动 3 6 ? 个单位. 6
10.要得到函数 y=sin(2x-

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答案:D 11.如果|cosθ|= A. ?

1 5? ? , <θ<3π,那么 sin 的值等于( 5 2 2
B.

)

10 5

10 5

C. ?

15 5

D.

15 5

解析:由

5? 1 1 <θ<3π,可知 cosθ<0,则|cosθ|=-cosθ= ,cosθ=- . 2 5 5



5? ? 3? ? ? 1 ? cos? 15 < < ,则 sin <0.于是 sin = ? . ?? 4 2 2 2 2 2 5

答案:C 12.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图 3 所示,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等 于( )

图3 A.2 B. 2 ?

2

C. 2 ? 2 2

D. ? 2 ? 2 2

解析:由图象可知,f(x)=2sin

? x 的周期为 8, 4

∴ f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)=f(1)+f(2)+f(3) =2sin

? ? 3? +2sin +2sin =2+ 2 2 . 4 4 2

答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填在横线上)

1 2 1 2 sin x+ cos x=_______________. 2 3 1 2 1 1 1 1 1 sin x ? cos2 x tan2 x ? ? 36 ? 3 3?2 3 ? 55 . 解析: 2 ?2 2 2 2 36 ? 1 111 sin x ? cos x tan ? 1 55 答案: 111
13.已知 tanx=6,那么 14.已知 AB =2e1+ke2, CB =e1+3e2, CD =2e1-e2,若 A、B、D 三点共线,则 k=____________. 解析:若 A、B、D 三点共线,则 AB ∥BD ,设 AB =λ BD . ∵BD ? CD ? CB =e1-4e2, ∴ 1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2. 2e

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∴?

?? ? 2, ∴ k=-8. ?k ? ?4?.

答案:-8 15.若|a+b|=|a-b|,则 a 与 b 的夹角为_________________. 解法一:可考虑夹角公式.

∵ |a+b|=|a-b|,∴ (a+b)2=(a-b)2. 整理得 a· b=0,∴ b. a⊥ ∴ 与 b 的夹角为 90° a . 解法二:考虑平行四边形模型. 在平行四边形 OABC 中, OA =a, OC =b. 则 OB =a+b, CA =a-b. ∵ |a+b|=|a-b|,即| OB |=| AC |, ∴ 平行四边形 OABC 为矩形. ∴ 与 b 的夹角为 90° a . 答案:90° 16.给出下列五个命题: ①函数 y=tanx 的图象关于点(kπ+

? ,0)(k∈Z)对称; 2

②函数 f(x)=sin|x|是最小正周期为 π 的周期函数; ③设 θ 为第二象限的角,则 tan

? ? ? ? >cos ,且 sin >cos ; 2 2 2 2

④函数 y=cos2x+sinx 的最小值为-1. 其中正确的命题是________________________________________. 解析:① 由正切曲线,知点(kπ,0),(kπ+ ② f(x)=sin|x|不是周期函数,② 错.

? ,0)是正切函数的对称中心,∴ 对. ① 2

? ,2kπ+π),k∈Z, 2 ? ? ? ∴ ∈(kπ+ ,kπ+ ). 2 4 2 ? ? 当 k=2n+1,k∈Z 时,sin <cos . 2 2
③ θ∈(2kπ+ ∵ ∴ 错. ③ ④ y=1-sin2x+sinx=-(sinx ?

1 2 5 )+ , 4 2

∴ sinx=-1 时,ymin=1-(-1)2+(-1)=-1. 当 ∴ 对. ④

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答案:① ④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知 cosα=

1 ? cot(?? ? ? ) ? sin(2? ? ? ) ,且- <α<0,求 的值. 3 2 cos(?? ) tan?

解:∵ cosα=

1 ? 2 2 2 ,且- <α<0,∴ sinα=,cotα= ? . 3 2 3 4

∴ 原式=

cot(?? ) sin ? ? cot? sin ? 2 =-cotα= . ? cos(?? ) tan? sin ? 4

18.(本小题满分 12 分)已知向量 OA =(3,-4), OB =(6,-3), OC =(5-m,-(3+m)). (1)若点 A、B、C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求实数 m 的值. 解:(1)已知向量 OA =(3,-4), OB =(6,-3), OC =(5-m,-(3+m)),若点 A、B、C 能构成三角形, 则这三点不共线. ∵ AB =(3,1), OC =(5-m,-(3+m)), ∴ 3(1-m)≠2-m. ∴ 实数 m≠

1 时满足条件. 2

(若根据点 A、B、C 能构成三角形,则必须|AB|+|BC|>|CA|) (2)若△ABC 为直角三角形,且∠ 为直角,则 AB ⊥ AC , A ∴ 3(2-m)+(1-m)=0,解得 m=

7 . 4

19.(本小题满分 12 分)已知 f(x)=sin(2x+ 的最小值为-3,求 a 的值.

? ? ? ? )+sin(2x- )+2cos2x+a,当 x∈[- , ]时,f(x) 6 6 4 4

? ? )+sin(2x- )+2cos2x+a 6 6 ? = 3 sin2x+cos2x+1+a=2sin(2x+ )+1+a, 6 ? ? ? ? 2? x∈[- , ],∴ ≤2x+ ≤ . 4 4 3 6 3
解:∵ f(x)=sin(2x+ ∴ f(x)在[-

? ? 3 , ]上的最小值为 2()+1+a=1- 3 +a. 4 4 2

由题意知 1- 3 +a=-3,∴ a= 3 -4.

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20.(本小题满分 14 分)已知函数 y=

1 3 cos2x+ sinxcosx+1,x∈R. 2 2

(1)求它的振幅、周期和初相; (2)用五点法作出它的简图; (3)该函数的图象是由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的? 解:y=

1 1 5 3 3 cos2x+ sinxcosx+1= cos2x+ sin2x+ 2 4 4 2 2

=

1 ? 5 sin(2x+ )+ . 2 6 4
1 1 2? ? 3 cos2x+ sinxcosx+1 的振幅为 A= ,周期为 T= =π,初相为 φ= . 2 2 2 6 2

(1)y=

(2)令 x1=2x+

? 1 ? 5 1 5 ,则 y= sin(2x+ )+ = sinx1+ ,列出下表,并描出如下图象: 2 4 6 6 4 2 ? ? 5? 2? 11? ? x 12 3 12 12 6 ? 2? x1 0 π 2π 3 2
0 1 0 -1 0

y=

1 ? 5 sin(2x+ )+ 2 6 4

y=sinx1

5 4

7 4

5 4

3 4

5 4

(3)解法一:将函数图象依次作如下变换:

? 函数 y=sinx 的图象 ????? ? 函数 y=sin(x+
1 各点横坐标缩短到原来 的 (纵坐标不变 )

向左平移 个单位 6

?

? )的图象 6

2 ???????????? 函数 y=sin(2x+

? )的图象 6

2 ???????????? 函数 y=

1 各点纵坐标缩短到原来 的 ( 横坐标不变 )

1 ? sin(2x+ )的图象 2 6

????? ? 函数 y= ?

5 向上平移 个单位 4

1 ? 5 sin(2x+ )+ 的图象. 2 6 4

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即得函数 y=

1 3 cos2x+ sinxcosx+1 的图象. 2 2
1 各点横坐标缩短到原来 的 (纵坐标不变 )

2 解法二:函数 y=sinx 的图象 ?????????? ? ?
向左平移

?

12 函数 y=sin2x 的图象 ????? ? 函数 y=sin(2x+ ?

个单位

? )的图象 6

????? ? 函数 y=sin(2x+ ?
1 各点纵坐标缩短到原来 的 ( 横坐标不变 )

5 向上平移 个单位 2

? 5 )+ 的图象 6 2
1 ? 5 sin(2x+ )+ 的图象. 2 6 4

2 ???????????? 函数 y=

即得函数 y=

1 3 cos2x+ sinxcosx+1 的图象. 2 2

21.(本小题满分 12 分)已知点 A、 C 的坐标分别为 A(3,0)、 B、 B(0,3)、 C(cosα,sinα),α∈( (1)若| AC |=| BC |,求角 α 的值;

? 3? , ). 2 2

(2)若 AC · =-1,求 BC

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan?

解:(1)∵ AC =(cosα-3,sinα), BC =(cosα,sinα-3),
2 2 ∴ AC |= (cos ? ? 3) ? sin ? ? 10 ? 6 cos ? , | 2 2 | BC |= cos ? ? (sin ? ? 3) ? 10 ? 6 sin ? .

由| AC |=| BC |得 sinα=cosα. 又∵ α∈( (2)由

? 3? 5? , ),∴ α= . 4 2 2
2 . 3

AC · =-1 得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα= BC



2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin ? (sin ? ? cos? ) ? =2sinαcosα. sin ? 1 ? tan? 1? cos?
4 , 9

由① 式两边平方得 1+2sinαcosα= ∴ 2sinαcosα= ?

5 . 9

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2 sin 2 ? ? sin 2? 5 ?? . 1 ? tan? 9

22.(本小题满分 12 分)(2006 高考湖北卷, 16)设函数 f(x)=a· 理 (b+c), 其中向量 a=(sinx,-cosx), b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx),x∈R. (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; (2)将函数 y=f(x)的图象按向量 d 平移, 使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称, 求长 度最小的 d. 解:(1)由题意得 f(x)=a· (b+c)=(sinx,-cosx)· (sinx-cosx,sinx-3cosx) =sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x= 2 ? 故 f(x)的最大值为 2 ? (2)由 sin(2x+

2 ,最小正周期是

3 3? ? )=0 得 2x+ =kπ, 4 4 k? 3? 即 x= ,k∈Z. 2 8
于是 d=(

2? =π. 2

3 2 sin(2x+ ? ). 4

3? k? k? 3? 2 ,-2),|d|=( ( ? ) ? 4 (k∈Z). 8 2 2 8

因为 k 为正数,要使|d|最小,则只要 k=1,此时 d=(快乐时光

? ,-2)即为所求. 8

省 略 老师:量词有时不能随便省略,哪位同学能举一个例子? 匡欢:比如“他给我一枝枪!”如果省略量词“枝”,那我的命运就大不一样了! 快乐时光 聪明的学生 物理课上,老师正在讲振动和共鸣,为了让学生更好的理解它们的物理原理.老师提问 道:“如果我朝鱼塘扔一块石头,会发生什么现象? 学生异口同声地回答:“罚款 5 元!” 快乐时光 一天长大 爷爷说:“今天是我的生日.” 孙子问:“?生日?是什么意思?” “生日嘛,就是说爷爷是今天出生的……” 孙子听了,瞪大眼睛说: “嗬,今天生的怎么就长这么大了呀!” 快乐时光 童言童语 一年级的老师教小朋友认识家禽动物. 老师:“有一种动物两只脚,每天早上太阳公公出来时,它都会叫你起床,而且叫到你 起床为止,是哪一种动物?” 小朋友:“妈妈!”

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快乐时光 雷雨时 老师:“你们注意了没有,闪电老是在雷声之前.” 学生:“这是再简单不过的事了.人们的眼睛不都是长在耳朵的前面吗?”

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