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2014届银川一中高三第一次月考文科理科试卷及答案第一次月考数学(理科)试卷答案


银川一中 2014 届高三第一次月考数学(理科)试卷参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A C A D B C D D B C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 3 14. -2<k<2 15. (??, ?7] ? [1, ??) 16.①③④ 三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. 解:p:?<0 且 a>0,故 a>2; q:a>2x-2/x+1,对 ? x∈(-∞,-1),上恒成立,增函数(2x-2/x+1)<1 此时 x=-1,故 a≥1 “p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,等价于 p,q 一真一假.故 1≤a≤2 18. 解析:(1) b ? 1, c ? ?1 , n ? 2 时, fn ( x) ? xn ? x ?1 ∵ f n ( ) f n (1) ? (

?

f 2 (?1) ? f 2 (1) | f 2 (?1) ? f 2 (1) | b ? ? f 2 (? ) 2 2 2

? 1 ? c ? | b | ?( ?
? (1 ?

b2 ? c) 4

|b| 2 ) ? 4 恒成立 2

(3)证法一 设 xn 是 f n ( x) 在 ?

?1 ? ,1? 内的唯一零点 (n ? 2) ?2 ?

?1 ? n?1 n fn ( xn ) ? xn ? xn ?1 , fn?1 ( xn?1 ) ? xn?1 ? xn?1 ?1 ? 0 , xn ?1 ? ? ,1? ?2 ? n?1 n 于是有 fn ( xn ) ? 0 ? fn?1 ( xn?1 ) ? xn?1 ? xn?1 ?1 ? xn?1 ? xn?1 ?1 ? fn ( xn?1 ) ?1 ? ,1? 上是递增的,故 xn ? xn?1 (n ? 2) , ?2 ? 所以,数列 x2 , x3 ,?, xn ?是递增数列.
又由(1)知 f n ( x) 在 ? 证法二 设 xn 是 f n ( x) 在 ?

1 2

1 1 ?1 ? ? ) ?1 ? 0 ,∴ f n ( x) 在 ? ,1? 内存在零点. n 2 2 ?2 ?

?1 ? ?2 ? ?1 ? ?1 ? ∴ f n ( x) 在 ? ,1? 上是单调递增的,所以 f n ( x) 在 ? ,1? 内存在唯一零点. ?2 ? ?2 ?
又当 x ? ? ,1? 时, fn?( x) ? nxn?1 ? 1 ? 0 (2)当 n ? 2 时, f2 ( x) ? x2 ? bx ? c 对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 都有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ? 4等价于 f 2 ( x) 在 [?1,1] 上最大值与最小 |

?1 ? ,1? 内的唯一零点 ?2 ? n n n fn?1 ( xn ) fn?1 (1) ? ( xn ?1 ? xn ?1)(1n?1 ?1 ?1) ? xn ?1 ? xn ?1 ? xn ? xn ?1 ? 0

则 f n ?1 ( x) 的零点 xn ?1 在 ( xn ,1) 内,故 xn ? xn?1 (n ? 2) , 所以,数列 x2 , x3 ,?, xn ?是递增数列. 19.解: (Ⅰ)因为每件商品售价为 0.05 万元,则 x 千件商品销售额为 0.05×1000 x 万元, .. .. 依题意得: 当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ?

b 值之差 M ? 4 ,据此分类讨论如下:(ⅰ)当 | |? 1 ,即 | b |? 2 时, 2 M ?| f2 (1) ? f2 (?1) |? 2 | b |? 4 ,与题设矛盾 b ? 0 ,即 0 ? b ? 2 时, 2 b b M ? f 2 (?1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4 恒成立 2 2 b (ⅲ)当 0 ? ? 1 ,即 ?2 ? b ? 0 时, 2 b b M ? f 2 (?1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4 恒成立. 2 2 综上可知, ?2 ? b ? 2
(ⅱ)当 ?1 ? ? 注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用 max{a, b} 表示 a , b 中的较大者.当 ?1 ?

1 2 x ? 10 x ? 250 3

b ? 1 ,即 ?2 ? b ? 2 时, 2

b M ? max{ f 2 (1), f 2 (?1)} ? f 2 (? ) 2

1 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 .????????????2 分 3 10000 ? 1450 ? 250 当 x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ? 51x ? x 10000? ? = 1200? ? x ? ? .??????????????????4 分 x ? ? ? 1 2 ?? 3 x ? 40x ? 250(0 ? x ? 80), ? 所以 L( x) ? ? ????6 分 ?1200? ? x ? 10000?( x ? 80). ? ? ? x ? ? ? 1 2 (Ⅱ)当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? ? ( x ? 60 ) ? 950 . 3 此时,当 x ? 60 时, L(x) 取得最大值 L(60) ? 950万元. ??????8 分

1

当 x ? 80 时,

? 10000? L( x) ? 1200? ? x ? ? x ? ? ? 1200? 2 x ? 10000 ? 1200? 200 ? 1000 x

综上所述, k 的取值范围为[1, e ]. 22. (Ⅰ)证明:? PE 切⊙ O 于点 E ,??A ? ?BEP ? PC 平分??A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE ? ?ECD ? ?A ? ?CPA , ?EDC ? ?BEP ? ?DPE ,
??ECD ? ?EDC ,? EC ? ED

2

10000 此时,当 x ? 时,即 x ? 100 时 L(x) 取得最大值 1000 万元.??????11 分 x ? 950 ? 1000
所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元. ????????????????????????????????????12 分 20. (1)解:由 f ( x) ? ex ? 2 x ? 2a, x ?R 知, f ' ( x) ? ex ? 2, x ?R . 令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 .于是,当 x 变化时, f ?? x ? 和 f ?x ? 的变化情况如下表:

(Ⅱ)证明:? ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE
??BPD ? ?EPC ,??PBD ∽ ?PEC ,?

PE PC ? PB PD

同理 ?PDE ∽ ?PCA ,?

PC CA ? PD DE PE CA CA PE ? ? ? DE ? CE , ? ? PB DE CE PB

x

0 + f ' ( x) 单调递减 单调递增 f ( x) 2 ? 2 ln 2 ? 2a 故 f ( x) 的单调递减区间是 (??,ln 2) ,单调递增区间是 (ln 2, ??) . f ( x) 在 x ? ln 2 处取得 极小值,极小值为 f (ln 2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a . (2)证明:设 g ( x) ? e x ? x2 ? 2ax ?1, x ?R ,于是 g ?( x) ? ex ? 2x ? 2a, x ?R . 由(1)知, 对任意 x ? R ,都有 g ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 R 内单调递增.
'

(??,ln 2) ?

ln 2

(ln 2, ??)

23.

于是,当 a ? ln 2 ?1 时,对任意 x ? (0, ??) ,都有 g (x) ? g (0) ,而 g (0) ?0 ,
x 2 从而对任意 x ? (0, ??) ,都有 g ( x) ? 0 ,即 ex ? x2 ? 2ax ?1 ? 0, 故 e ? x ? 2ax ? 1.

21. (Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 , 而 f ?( x) = 2x ? b , g ?( x) = e (cx ? d ? c ) ,∴ a =4, b =2, c =2, d =2;
x

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x ? 4 x ? 2 , g ( x) ? 2e ( x ? 1) ,
2 x

24.解:(Ⅰ) a ? 3 时,即求解 2x ? 3 ? x ?1 ? 2

设函数 F ( x) = kg ( x) ? f ( x) = 2ke ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 2 ( x ? ?2 ),
x 2

F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ? 1) , 有题设可得 F (0) ≥0,即 k ? 1 ,
令 F ?( x) =0 得, x1 = ? ln k , x2 =-2, (1)若 1 ? k ? e ,则-2< x1 ≤0,∴当 x ? (?2, x1 ) 时, F ( x) <0,当 x ? ( x1 , ??) 时, F ( x) >0,
2

即 F ( x) 在 (?2, x1 ) 单调递减,在 ( x1 , ??) 单调递增,故 F ( x) 在 x = x1 取最小值 F ( x1 ) ,而

3 时, 2 x ? 3 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 2 2 3 ②当 1 ? x ? 时, 3 ? 2 x ? x ? 1 ? 2 ? 2 ? x ? 2 ? x ? 0 2 2 ③当 x ? 1 时, 3 ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 3 x ? 2 ? x ? 3
①当 x ?

F ( x1 ) = 2 x1 ? 2 ? x12 ? 4 x1 ? 2 = ? x1 ( x1 ? 2) ≥0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立,
(2)若 k ? e ,则 F ?( x) = 2e ( x ? 2)(e ? e ) ,
2
2 x 2

? 2 ? ? 综上,解集为 ? x x ? 或x ? 2? ?5? 3 ? ? (Ⅱ)即 2x ? a ? 5 ? x ? x ?1 恒成立
令 g ( x) ? 5 ? x ? x ? 1 ? ?

y
4

∴当 x ≥-2 时, F ?( x) ≥0,∴ F ( x) 在(-2,+∞)单调递增,而 F (?2) =0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立, (3)若 k ? e ,则 F (?2) = ?2ke
2 ?2

? 2 = ?2e ?2 (k ? e 2 ) <0,

?6 ? 2 x, x ? 1 则函数图象为 ? 4, x ? 1

∴当 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) 不可能恒成立,

a ? ? 3 ,? a ? 6 ?10? 2

o

3

a 2

x

2


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