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第二节 量词、基本逻辑联结词


课题:第二节
龙城中学高三数学组教学案 考 纲 要 求

命题与量词、逻辑联结词
命制: 审核: 周显明 时间:2012、6、12

1、了解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义. 2.理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1.(2011· 郑州二模)已知命题 p:?x∈R,x>sinx,则 p 的否定形式为( A.非 p:?x∈R,x<sinx C.非 p:?x∈R,x≤sinx B.非 p:?x∈R,x≤sinx D.非 p:?x∈R,x<sinx ) D.(非 p)∧q )

2.已知命题:p∧q 为真,则下列命题是真命题的是( 典 例 热 身 A.(非 p)∧(非 q) B.(非 p)∨(非 q) C.p∨(非 q) )

3.(2011· 汕头模拟)下列说法中,正确的是(

A.命题“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题是真命题 B.命题“?x∈R,x2-x>0”的否定是“?x∈R,x2-x≤0” C.命题“p∨q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 D.已知 x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 4.已知命题 p:?x∈R,(m+1)(x2+1)≤0,命题 q:?x∈R,x2+mx+1>0 恒成立.若 p∧q 为假命题,则实数 m 的取值范围为( A.m≥2 )

B.m≤-2 或 m>-1 C.m≤-2 或 m≥2 D.-1<m≤2

一、简单的逻辑联结词
1.用联结词“且”联结命题 p 和命题 q,记作 ,读作 “ 2.用联结词“或”联结命题 p 和命题 q,记作 ,读作 “ 3.对一个命题 p 全盘否定记作 ,读作“ ”或“ 的否定” . 4.命题 p∧q,p∨q,非 P 的真假判断. p∧q 中 p、 有一假为 q , p∨q 有一真为 , 与非 p 必定是 p ” . ” .

考 点 梳 理



二、全称量词与存在量词
1.全称量词与全称命题 (1) 短语“ ”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “ ”表示. (2)含有 的命题,叫做全称命题. (3)全称命题“对 M 中任意一个 x, p(x)成立”可用符号简记为: 有 . 2.存在量词与存在性命题 (1)短语“ ”或“有些”或“ ”在陈述中表示所述事物的个体 或部分,逻辑中通常叫做存在量词, 并用符号“ ”表示. (2)含有 的命题,叫做存在性命题.
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(3)存在性三、含有一个量词的命题的否定 命题 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0) [归纳领悟] 1.弄清命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题否定的前提. 2.注意命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定. 3.要判断“非 p”命题的真假,可以直接判断,也可以判断“p”的真假,因为 p 与非 p 的真 假相反. 4.常见词语的否定形式有 原语句 否定 形式 是 都是 > ≤ 至 少 有 至多有 对任意 x∈A 一个 一个 使 p(x)真 一 个 也 至少有 存 在 x0 ∈ A 没有 两个 使 p(x0)假 命题的否定

不是

不都是

命题“存在 M 中的元素 x,q(x)”可用符号简记为:

1.如果命题“p 且 q”与命题“p 或 q”都是假命题,那么( ) A.命题“非 p”与命题“非 q”的真值不同 B.命题 p 与命题“非 q”的真值相同 C.命题 q 与命题“非 p”的真值相同 D.命题“非 p 且非 q”是真命题

2.已知命题 p:3≥3;q:3>4,则下列选项正确的是( A.p∨q 为假,p∧q 为假,非 p 为真 B.p∨q 为真,p∧q 为假,非 p 为真 C.p∨q 为假,p∧q 为假,非 p 为假 D.p∨q 为真,p∧q 为假,非 p 为假
考 点 突 破 3.指出下列命题的真假: (1)命题: “不等式|x+2|≤0 没有实数解” ;

)

(2)命题: “-1 是偶数或奇数” .

4.写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“非 p”形式的复合命题,并判断真假.
(1)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线互相垂直; (2)p:方程 x2+x-1=0 的两实根符号相同;q:方程 x2+x-1=0 的两实根的绝对值相等. [归纳领悟] 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键.其步骤为: (1)确定命题的构成形式;(2)判断其中命题 p、q 的真假; (3)确定“p∨q”、“p∧q”、“非 p”形式命题的真假.

1.(2010· 湖南高考)下列命题中的假命题是 A.?x∈R,lgx=0 B.?x∈R,tanx=1 C.?x∈R,x3>0 D.?x∈R,2x>0 2.(2010· 天津高考)下列命题中,真命题是
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(

)

(

)

A.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 B.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C.?m∈R,函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.?m∈R,函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 3.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并判断其真假. (1)对数函数都是单调函数;(2)至少有一个整数,它既能被 2 整除,又能被 5 整除. 4.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假. (1)a>0,且 a≠1,则对任意实数 x,ax>0; (2)对任意实数 x1,x2,若 x1<x2,则 tanx1<tanx2;
2 (3)?T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sinx|;(4)?x0∈R,使 x0+1<0.

[归纳领悟] 1.要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x,验证 p(x)成立. 2.要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合 M 中的一个 x=x0,使 p(x0)不成立即可. 3.要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合 M 中,至少能找到一个 x=x0,使 p(x0) 成立即可,否则这一特称命题就是假命题.

高 考 真 题

1.若命题 p:?x∈R,2x2-1>0,则该命题的否定是 ( ) A.?x∈R,2x2-1<0 B.?x∈R,2x2-1≤0 C.?x∈R,2x2-1≤0 D.?x∈R,2x2-1>0 2.命题“存在 x∈Z 使 x2+2x+m≤0”的否定是( ) A.存在 x∈Z 使 x2+2x+m>0 B.不存在 x∈Z 使 x2+2x+m>0 C.对任意 x∈Z 使 x2+2x+m≤0 D.对任意 x∈Z 使 x2+2x+m>0 3.写出下列命题的否定,并判断命题的否定的真假,指出命题的否定属全称命题还是特称命 题. (1)所有的有理数是实数; (2)有的三角形是直角三角形. 4.写出下列命题的否定并判断其真假: (1)p:不论 m 取何实数,方程 x2+mx-1=0 必有实数根; (2)p:有的三角形的三条边相等 (4)p:?x0∈N,x2-2x0+1≤0. 0 (3)p:菱形的对角线互相垂直;

下列命题: ①?x∈R,不等式 x2+2x>4x-3 均成立; ②若 log2x+logx2≥2,则 x>1; c c ③“若 a>b>0 且 c<0,则a>b”的逆否命题是真命题; ④若命题 p:?x∈R,x +1≥1,命题 q:?x∈R,x -x-1≤0,则命题 p∧非 q 是真命题.其
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2 2

中真命题为 ( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ [归纳领悟] 1.弄清命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题否定的前提. 2.注意命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定. 3.要判断“非 p”命题的真假,可以直接判断,也可以判断“p”的真假,因为 p 与非 p 的真 假相反. 4.常见词语的否定形式有 原语句 否定 形式 是 都是 > ≤ 至 少 有 至多有 对任意 x∈A 一个 一个 使 p(x)真 一 个 也 至少有 存 在 x0 ∈ A 没有 两个 使 p(x0)假

不是

不都是

1.(2009· 天津高考)命题“存在 x0∈R,2x0≤0”的否定是( ) A.不存在 x0∈R,2 x0 >0 B.存在 x0∈R,2 x0 ≥0 C.对任意的 x∈R,2x≤0 D.对任意的 x∈R,2x>0 2.(2009· 海南、宁夏高考)有四个关于三角函数的命题: 高 考 真 题 x x 1 p1:?x∈R,sin2 +cos2 = ;p2:?x,y∈R,sin(x-y)=sinx-siny; 2 2 2 p3:?x∈[0,π], 1-cos2x π =sinx;p4:sinx=cosy?x+y= . 2 2

其中的假命题是 ( ) A.p1,p4 B.p2,p4 C.p1,p3 D.p2,p3 - - 3.(2010· 新课标全国卷)已知命题 p1:函数 y=2x-2 x 在 R 上为增函数.p2:函数 y=2x+2 x 在 R 上为减函数.则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(非 p1)∨p2 和 q4:p1∧(非 p2)中,真 命题是 A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 ( ) D.q2,q4

当 堂 检 测

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