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优化方案数学必修4(北师大版)第二章§2、2.1应用案巩固提升


[A 基础达标] → → → 1.在四边形 ABCD 中,若AC=AB+AD,则( A.四边形 ABCD 是矩形 B.四边形 ABCD 是菱形 C.四边形 ABCD 是正方形 D.四边形 ABCD 是平行四边形 解析:选 D.由向量加法的平行四边形法则知四边形 ABCD 是平行四边形.故选 D. → → → 2.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,BC+DC+BA=( ) ) → A.BD → C.BC → B.DB → D.CB → → → → → → → → 解析:选 C.BC+DC+BA=BC+(DC+BA)=BC+0=BC. 3.已知 a,b,c 是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b +a)中,与向量 a+b+c 相等的个数为( A.5 C.3 ) B.4 D.2 解析:选 A.依据向量加法的交换律及结合律,每个向量式均与 a+b+c 相等,故选 A. → → → → → 4.在矩形 ABCD 中,|AB|=4,|BC|=2,则向量AB+AD+AC的长度等于( A.2 5 C.12 B.4 5 D.6 ) → → → → → → → 解析:选 B.因为AB+AD=AC,所以AB+AD+AC的长度为AC的模的 2 倍,故选 B. → → → → 5.已知平行四边形 ABCD,设AB+CD+BC+DA=a,且 b 是一非零向量,则下列结 论:①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|.其中正确的是( A.①③ C.②④ B.②③ D.①② ) → → → → 解析:选 A.因为在平行四边形 ABCD 中,AB+CD=0,BC+DA=0,所以 a 为零向量, 因为零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,所以①③正确, ②④错误. 6.当非零向量 a,b 满足________时,a+b 平分以 a 与 b 为邻边的平行四边形的内角. 解析:由平面几何知识知,在平行四边形中,菱形的对角线平分其内角. 答案:|a|=|b| → → → 7.已知 G 是△ABC 的重心,则GA+GB+GC=________. 解析: → 如图,连接 AG 并延长交 BC 于 E,点 E 为 BC 中点,延长 AE 到 D,使 GE=ED,则GB → → → → +GC=GD,GD+GA=0, → → → 所以GA+GB+GC=0. 答案:0 → → → → 8. 在平行四边形 ABCD 中, 若|BC+BA|=|BC+AB|, 则四边形 ABCD 是________(图形). → → → → → → 解析:如图所示,BC+BA=BD,BC+AB=AC, → → → → 又|BC+BA|=|BC+AB|, → → 所以|BD|=|AC|,则四边形 ABCD 是矩形. 答案:矩形 → → → 9.如图所示,P,Q 是三角形 ABC 的边 BC 上两点,且 BP=QC.求证:AB+AC=AP+ → AQ. → → → → → → 证明:AB=AP+PB,AC=AQ+QC, → → → → → → 所以AB+AC=AP+PB+AQ+QC. → → 因为PB与QC大小相等,方向相反, → → 所以PB+QC=0, → → → → → → 故AB+AC=AP+AQ+0=AP+AQ. 10.如图,在重 300 N 的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的 夹角分别为 30°,60°,当整个系统处于平衡状态时,求两根绳子的拉力的大小. 解:如图

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